1.4.3 正切函数的性质与图象
课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．
函数y＝tan
x的性质与图象见下表：
y＝tan
x
图象
定义域
__________________________
值域
______
周期
最小正周期为______
奇偶性
__________
单调性
在开区间______________________内递增
一、选择题
1．函数y＝3tan(2x＋)的定义域是( )
A．{x|x≠kπ＋，k∈Z}
B．{x|x≠π－，k∈Z}
C．{x|x≠π＋，k∈Z}
D．{x|x≠π，k∈Z}
2．函数f(x)＝tan(x＋)的单调递增区间为( )
A．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z
C．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
D．(kπ－，kπ＋)，k∈Z
3．函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
4．下列函数中，在上单调递增，且以π为周期的偶函数是( )
A．y＝tan|x|
B．y＝|tan
x|
C．y＝|sin
2x|
D．y＝cos
2x
5．下列各式中正确的是( )
A．tan
735°>tan
800°
B．tan
1>－tan
2
C．tan
D．tan
6．函数f(x)＝tan
ωx
(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f的值是( )
A．0
B．1
C．－1
D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝的定义域是____________．
8．函数y＝3tan(ωx＋)的最小正周期是，则ω＝____.
9．已知a＝tan
1，b＝tan
2，c＝tan
3，则a，b，c按从小到大的排列是________________．
10．函数y＝3tan的对称中心的坐标是_________________________________．
三、解答题
11．判断函数f(x)＝lg
的奇偶性．
12．求函数y＝tan的定义域、周期、单调区间和对称中心．
能力提升
13．函数y＝tan
x＋sin
x－|tan
x－sin
x|在区间内的图象是( )
14．已知函数y＝tan
ωx在(－，)内是减函数，则( )
A．0<ω≤1
B．－1≤ω<0
C．ω≥1
D．ω≤－1
1．正切函数y＝tan
x在每段区间
(k∈Z)上是单调递增函数，但不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数．并且每个单调区间均为开区间，而不能写成闭区间
(k∈Z)．正切函数无单调减区间．
2．正切函数是奇函数，图象关于原点对称，且有无穷多个对称中心，对称中心坐标是(，0)
(k∈Z)．正切函数的图象无对称轴，但图象以直线x＝kπ＋
(k∈Z)为渐近线．
1．4.3 正切函数的性质与图象
答案
知识梳理
{x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z} R π 奇函数
(k∈Z)
作业设计
1．C 2.C 3.A 4.B 5.D
6．A [由题意，T＝＝，∴ω＝4.
∴f(x)＝tan
4x，f＝tan
π＝0.]
7．[kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
8．±2
解析 T＝＝，∴ω＝±2.
9．b解析 ∵tan
2＝tan(2－π)，tan
3＝tan(3－π)，
又∵<2<π，∴－<2－π<0，
∵<3<π，∴－<3－π<0，
显然－<2－π<3－π<1<，
且y＝tan
x在内是增函数，
∴tan(2－π)1，
即tan
231.
∴b10.
(k∈Z)
解析 由x＋＝
(k∈Z)，
得x＝－
(k∈Z)．
∴对称中心坐标为
(k∈Z)．
11．解 由>0，得tan
x>1或tan
x<－1.
∴函数定义域为
∪(k∈Z)
关于原点对称．
f(－x)＋f(x)＝lg
＋lg
＝lg＝lg
1＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
12．解 ①由－≠kπ＋，k∈Z，
得x≠2kπ＋π，k∈Z.
∴函数的定义域为.
②T＝＝2π，∴函数的周期为2π.
③由kπ－<－解得2kπ－∴函数的单调增区间为，k∈Z.
④由－＝，k∈Z，
得x＝kπ＋π，k∈Z.
∴函数的对称中心是，k∈Z.
13．D [当xx，y＝2tan
x<0；
当x＝π时，y＝0；当πtan
x>sin
x，y＝2sin
x．故选D.]
14．B [∵y＝tan
ωx在(－，)内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π.
∴|ω|≤1，即－1≤ω<0.](共30张PPT)
1.4.3 正切函数的性质与图象
第一章
§
1.4
三角函数的图象与性质
1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.
2.掌握正切函数y＝tan
x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.
3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法.
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
知识点一 正切函数图象的画法
答案
1.正切函数的图象：
2.正切函数的图象特征：
知识点二 正切函数的性质
思考1 正切函数的定义域是什么？
答案
答
周期性.
答案
答
奇偶性.
答 是.
解析式
y＝tan
x
图像
定义域
值域
R
周期
π
奇偶性
对称中心
单调性
在开区间
，k∈Z内都是增函数
奇
答案
返回
类型一 与正切函数有关的定义域问题
例1 求下列函数的定义域：
题型探究
重点难点
个个击破
解析答案
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线.
解析答案
又y＝tan
x的周期为π，
类型二 正切函数的单调性及其运用
解析答案
反思与感悟
解析答案
＞
反思与感悟
解析答案
B
解析答案
类型三 正切函数的图象及应用
反思与感悟
解析答案
例3 画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性.
反思与感悟
解 由y＝|tan
x|得，
其图象如图所示.
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，
1.作出函数y＝|f(x)|的图象一般利用图象变换方法，具体步骤是：
(1)保留函数y＝f(x)图象在x轴上方的部分；
(2)将函数y＝f(x)图象在x轴下方的部分沿x轴向上翻折.
2.若函数为周期函数，可先研究其一个周期上的图象，再利用周期性，延拓到定义域上即可.
反思与感悟
解析答案
(1)求函数f(x)的周期，对称中心；
返回
解析答案
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
达标检测
答案
C
C
答案
C
答案
解析答案
B
解析答案
5.比较大小：tan
1________tan
4.
∴tan
1＞tan(4－π)＝tan
4.
＞
规律与方法
返回1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课时目标 1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的性质：
函数
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
定义域
______
______
值域
______
______
奇偶性
______
______
周期性
最小正周期：______
最小正周期：______
单调性
在__________________________________
上单调递增；在__________________________________________________上单调递减
在__________________________________________上单调递增；在______________________________上单调递减
最值
在________________________时，ymax＝1；在________________________________________时，ymin＝－1
在______________时，ymax＝1；在__________________________时，ymin＝－1
一、选择题
1．若y＝sin
x是减函数，y＝cos
x是增函数，那么角x在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( )
A．sin
α>sin
β
B．sin
β>sin
α
C．sin
α≥sin
β
D．sin
α与sin
β的大小不定
3．函数y＝sin2x＋sin
x－1的值域为( )
A.
B.
C.
D.
4．函数y＝|sin
x|的一个单调增区间是( )
A.
B.
C.
D.
5．下列关系式中正确的是( )
A．sin
11°10°168°
B．sin
168°11°10°
C．sin
11°168°10°
D．sin
168°10°11°
6．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin(2x＋)
B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋)
D．y＝cos(x＋)
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin(π＋x)，x∈的单调增区间是____________．
8．函数y＝2sin(2x＋)(－≤x≤)的值域是________．
9．sin
1，sin
2，sin
3按从小到大排列的顺序为__________________．
10．设|x|≤，函数f(x)＝cos2x＋sin
x的最小值是______．
三、解答题
11．求下列函数的单调增区间．
(1)y＝1－sin
；
(2)y＝log(cos
2x)．
12．已知函数f(x)＝2asin＋b的定义域为，最大值为1，最小值为－5，求a和b的值．
能力提升
13．已知sin
α>sin
β，α∈，β∈，则( )
A．α＋β>π
B．α＋β<π
C．α－β≥－π
D．α－β≤－π
14．已知函数f(x)＝2sin
ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )
A.
B.
C．2
D．3
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋
(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π
(k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断．
3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
答案
知识梳理
R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ，＋2kπ]
(k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ]
(k∈Z) [2kπ，π＋2kπ]
(k∈Z) x＝＋2kπ
(k∈Z)
x＝－＋2kπ
(k∈Z) x＝2kπ
(k∈Z) x＝π＋2kπ
(k∈Z)
作业设计
1．C 2.D
3．C [y＝sin2x＋sin
x－1＝(sin
x＋)2－
当sin
x＝－时，ymin＝－；
当sin
x＝1时，ymax＝1.]
4．C [由y＝|sin
x|图象易得函数单调递增区间，k∈Z，当k＝1时，得为y＝|sin
x|的单调递增区间．]
5．C [∵sin
168°＝sin
(180°－12°)＝sin
12°，
cos
10°＝sin
(90°－10°)＝sin
80°
由三角函数线得sin
11°12°80°，
即sin
11°168°10°.]
6．A [因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos(2x＋)＝－sin
2x在上为增函数，故B不符合．故选A.]
7.
8．[0,2]
解析 ∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤.
∴0≤sin(2x＋)≤1，∴y∈[0,2]
9．b解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin
2，sin(π－3)＝sin
3.
y＝sin
x在上递增，且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)1312.
∵b10.
解析 f(x)＝cos2x＋sin
x＝1－sin2x＋sin
x
＝－(sin
x－)2＋
∵|x|≤，∴－≤sin
x≤.
∴当sin
x＝－时，f(x)min＝.
11．解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z.
∴y＝1－sin
的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]
(k∈Z)．
(2)由题意得cos
2x>0且y＝cos
2x递减．
∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z.
∴kπ∴y＝log(cos
2x)的增区间为，k∈Z.
12．解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，
∴－≤sin≤1，易知a≠0.
当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1，
f(x)min＝－a＋b＝－5.
由，解得.
当a<0时，f(x)max＝－a＋b＝1，
f(x)min＝2a＋b＝－5.
由，解得.
13．A [∵β∈，
∴π－β∈，且sin(π－β)＝sin
β.
∵y＝sin
x在x∈上单调递增，
∴sin
α>sin
β sin
α>sin(π－β)
α>π－β α＋β>π.]
14．B [要使函数f(x)＝2sin
ωx
(ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤，即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6.
∴ω的最小值为，故选B.](共31张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数
的性质(一)
第一章
§
1.4
三角函数的图象与性质
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.
3.掌握函数y＝sin
x，y＝cos
x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
答案
知识点一 函数的周期性
思考1 观察该实例：钟表上的时针每经过12小时运行一周，分针每经过1小时运行一周，秒针每经过1分钟运行一周，具有怎样的属性？
答
周而复始，重复出现.
思考2 观察正弦曲线和余弦曲线，正弦函数和余弦函数具有上述规律吗？哪个公式可以反映这种规律？
答 具有.sin
(x＋2kπ)＝sin
x，cos(x＋2kπ)＝cos
x，k∈Z.
1.函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个
，使得当x取定义域内的
值时，都有
，那么函数f(x)就叫做周期函数，
叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个
，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.
非零常数T
每一个
f(x＋T)＝f(x)
非零
常数T
最小的正数
答案
2.两种特殊的周期函数
(1)正弦函数y＝sin
x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(2)余弦函数y＝cos
x是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
知识点二 求函数的最小正周期的方法
定义法
观察出周期，再用定义验证.也可利用函数性质推出f(x＋T)＝f(x)
图象法
作出函数图象，观察图象得出T，例如y＝|sin
x|
结论法
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的最小正周期为
知识点三 正弦函数、余弦函数的奇偶性
思考 对于x∈R，sin(－x)＝－sin
x，cos(－x)＝cos
x，这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质？
答
奇偶性.
1.对于y＝sin
x，x∈R恒有sin(－x)＝－sin
x，所以正弦函数y＝sin
x是
函数，正弦曲线关于
对称.
2.对于y＝cos
x，x∈R恒有cos(－x)＝cos
x，所以余弦函数y＝cos
x是
函数，余弦曲线关于
对称.
奇
原点
偶
y轴
返回
答案
类型一 求三角函数的周期
题型探究
重点难点
个个击破
解析答案
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝cos
2x，x∈R；
解 ∵cos(2x＋2π)＝cos[2(x＋π)]＝cos
2x，
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋π，
函数y＝cos
2x，x∈R的值才能重复出现，
∴函数y＝cos
2x，x∈R的周期是π.
反思与感悟
解析答案
∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，
反思与感悟
解析答案
(3)y＝|sin
x|.
解 作图如下：
观察图象可知最小正周期为π.
反思与感悟
解析答案
类型二 三角函数奇偶性的判定
解析答案
∴f(x)是偶函数.
(2)f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)；
解析答案
解 由
得－1x<1.
∴f(x)的定义域关于原点对称.
又∵f(x)＝lg(1－sin
x)－lg(1＋sin
x)
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin
x)－lg(1－sin
x)＝－f(x).
∴f(x)为奇函数.
1－sin
x>0，
1＋sin
x>0，
反思与感悟
解析答案
解 ∵1＋sin
x≠0，∴sin
x≠－1，
∵定义域不关于原点对称，
∴该函数是非奇非偶函数.
判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；
关键点二：看f(x)与f(－x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
反思与感悟
解析答案
解 f(x)＝sin
2x＋x2sin
x，
又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x)
＝－sin
2x－x2sin
x＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数.
解析答案
1－2cos
x≥0，
2cos
x－1≥0，
类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
解析答案
D
D
反思与感悟
解析答案
解答例3(2)此类题目的关键是利用化归思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可.
反思与感悟
D
答案
返回
解析答案
达标检测
D
解析答案
B
答案
解析答案
∴f(x)＝－cos
2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos
2x＝f(x)，
∴f(x)是最小正周期为π的偶函数.
B
解析答案
解析答案
5.若f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－sin
x，求当x＜0时，f(x)的解析式.
解 设x＜0，则－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)2－sin(－x)＝x2＋sin
x.
又∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)，
∴－f(x)＝x2＋sin
x，
∴f(x)＝－x2－sin
x，x＜0.
1.求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin
x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝
.
规律与方法
返回
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.
3.三角函数奇偶性与周期性的综合应用关键是利用化归思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上.(共23张PPT)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
第一章
§
1.4
三角函数的图象与性质
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法.
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
答案
知识点一 利用正弦曲线画正弦函数的图象
答 列表取值、描点、连线；难点在取值.
思考1 用描点法画y＝sin
x在[0,2π]上的图象如何操作？难点是什么？
答
利用正弦线平移作图.
思考2 如何精确地得出y＝sin
x在[0,2π]上的图象？
1.可以利用单位圆中的
线作y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象.
2.y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象向
、
平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin
x，x∈R的图象.
正弦
左
右
答案
思考 你认为哪些点是y＝sin
x，x∈[0,2π]图象上的关键点？
知识点二 正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图
答
最高点、最低点及图象与x轴的三个交点.
0
π
2π
答案
0
π
2π
步骤：(1)列表
(2)描点
画正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
；
答案
画余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
.
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线、余弦曲线的简图.
返回
答案
类型一 “五点法”作图的应用
题型探究
重点难点
个个击破
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表：
(2)描点连线，如图所示.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即
y＝sin
x或y＝cos
x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.
“五点法”是作简图的常用方法.
解析答案
跟踪训练1 利用“五点法”作出函数y＝－1－cos
x(0≤x≤2π)的简图.
解 (1)取值列表如下：
(2)描点连线，如图所示.
类型二 正弦函数、余弦函数图象的简单应用
反思与感悟
解析答案
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
应用1 解不等式问题
一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍.
反思与感悟
解析答案
例3 在同一坐标系中，作函数y＝sin
x和y＝lg
x的图象，根据图象判断出方程sin
x＝lg
x的解的个数.
解 建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象.
描出点(1,0)，(10,1)，并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示.
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个.
反思与感悟
解析答案
类型三 方程的根(或函数零点)问题
三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用.
反思与感悟
跟踪训练3 若函数f(x)＝sin
x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
解 由题意可知，sin
x－2m－1＝0，在[0,2π]上有2个根.即sin
x＝2m＋1有两个根.
可转化为y＝sin
x与y＝2m＋1两函数图象有2个交点.
由y＝sin
x图象可知：
－1＜2m＋1＜1，且2m＋1≠0，
返回
解析答案
达标检测
A
解析答案
解析 由y＝sin
x在[0,2π]上的图象作关于x轴的对称图形，应为D项.
解析答案
2.下列图象中，是y＝－sin
x在[0,2π]上的图象的是( )
D
解析答案
两
解析答案
解析 由题意知，自变量x应满足2sin
x－1≥0，
解析答案
5.在[0,2π]内用五点法作出y＝－sin
x－1的简图.
解 (1)按五个关键点列表：
(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示.
1.正弦曲线、余弦曲线在研究正弦函数、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础.
2.五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一.
规律与方法
返回1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课时目标 1.了解正弦函数、余弦函数的图象.2.会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象．
1．正弦曲线、余弦曲线
2．“五点法”画图
画正弦函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是_________________________；
画余弦函数y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是__________________________．
3．正、余弦曲线的联系
依据诱导公式cos
x＝sin，要得到y＝cos
x的图象，只需把y＝sin
x的图象向________平移个单位长度即可．
一、选择题
1．函数y＝sin
x
(x∈R)图象的一条对称轴是( )
A．x轴
B．y轴
C．直线y＝x
D．直线x＝
2．函数y＝cos
x(x∈R)的图象向右平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
A．－sin
x
B．sin
x
C．－cos
x
D．cos
x
3．函数y＝－sin
x，x∈[－，]的简图是( )
4．在(0,2π)内使sin
x>|cos
x|的x的取值范围是( )
A.
B.∪
C.
D.
5．若函数y＝2cos
x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是( )
A．4
B．8
C．2π
D．4π
6．方程sin
x＝lg
x的解的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数y＝sin
x，x∈R的图象向右平移个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．
8．函数y＝的定义域是________________．
9．方程x2－cos
x＝0的实数解的个数是________．
10．设0≤x≤2π，且|cos
x－sin
x|＝sin
x－cos
x，则x的取值范围为________．
三、解答题
11．利用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y＝1－sin
x(0≤x≤2π)；
(2)y＝－1－cos
x(0≤x≤2π)．
12．分别作出下列函数的图象．
(1)y＝|sin
x|，x∈R；
(2)y＝sin|x|，x∈R.
能力提升
13．求函数f(x)＝lg
sin
x＋的定义域．
14．函数f(x)＝sin
x＋2|sin
x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．
1．正、余弦曲线在研究正、余弦函数的性质中有着非常重要的应用，是运用数形结合思想解决三角函数问题的基础．
2．五点法是画三角函数图象的基本方法，要熟练掌握，与五点法作图有关的问题是高考常考知识点之一．
§1.4 三角函数的图象与性质
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象
答案
知识梳理
2．(0,0)，，(π，0)，，(2π，0) (0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)
3．左
作业设计
1．D 2.B 3.D
4．A [
∵sin
x>|cos
x|，
∴sin
x>0，∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin
x，x∈(0，π)与y＝|cos
x|，x∈(0，π)的图象，观察图象易得x∈.]
5．D [
作出函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象，函数y＝2cos
x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形，如图所示的阴影部分．
利用图象的对称性可知该平面图形的面积等于矩形OABC的面积，又∵|OA|＝2，|OC|＝2π，
∴S平面图形＝S矩形OABC＝2×2π＝4π.]
6．C [用五点法画出函数y＝sin
x，x∈[0,2π]的图象，再依次向左、右连续平移2π个单位，得到y＝sin
x的图象．
描出点，(1,0)，(10,1)并用光滑曲线连接得到y＝lg
x的图象，如图所示．
由图象可知方程sin
x＝lg
x的解有3个．]
7．y＝－cos
x
解析 y＝sin
xy＝sin
∵sin＝－sin＝－cos
x，∴y＝－cos
x.
8.，k∈Z
解析 2cos
x＋1≥0，cos
x≥－，结合图象知x∈，k∈Z.
9．2
解析 作函数y＝cos
x与y＝x2的图象，如图所示，
由图象，可知原方程有两个实数解．
10.
解析 由题意知sin
x－cos
x≥0，即cos
x≤sin
x，在同一坐标系画出y＝sin
x，x∈[0,2π]与
y＝cos
x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：
观察图象知x∈[，π]．
11．解 利用“五点法”作图
(1)列表：
X
0
π
2π
sin
x
0
1
0
－1
0
1－sin
x
1
0
1
2
1
描点作图，如图所示．
(2)列表：
X
0
π
2π
cos
x
1
0
－1
0
1
－1－cos
x
－2
－1
0
－1
－2
描点作图，如图所示．
12．解 (1)y＝|sin
x|＝
(k∈Z)．
其图象如图所示，
(2)y＝sin|x|＝，其图象如图所示，
13．解 由题意，x满足不等式组，即，作出y＝sin
x的图象，如图所示．
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π)．
14．解 f(x)＝sin
x＋2|sin
x|＝
图象如图，
若使f(x)的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k的取值范围是(1,3)．1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课时目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求f(x)＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期.3.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的周期性及奇偶性．
1．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个______________，使得当x取定义域内的____________时，都有____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__________________．
2．正弦函数、余弦函数的周期性
由sin(x＋2kπ)＝________，cos(x＋2kπ)＝________知y＝sin
x与y＝cos
x都是______函数，____________________都是它们的周期，且它们的最小正周期都是________．
3．正弦函数、余弦函数的奇偶性
(1)正弦函数y＝sin
x与余弦函数y＝cos
x的定义域都是______，定义域关于________对称．
(2)由sin(－x)＝________知正弦函数y＝sin
x是R上的______函数，它的图象关于______对称．
(3)由cos(－x)＝________知余弦函数y＝cos
x是R上的______函数，它的图象关于______对称．
一、选择题
1．函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
2．函数f(x)＝sin(ωx＋)的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5
B．10
C．15
D．20
3．设函数f(x)＝sin，x∈R，则f(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
4．下列函数中，不是周期函数的是( )
A．y＝|cos
x|
B．y＝cos|x|
C．y＝|sin
x|
D．y＝sin|x|
5．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin
x，则f的值为( )
A．－
B.
C．－
D.
6．函数y＝cos(sin
x)的最小正周期是( )
A.
B．π
C．2π
D．4π
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2πx＋)的最小正周期是________．
8．函数y＝sin的最小正周期是，则ω＝______.
9．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin
x，则f(x)的解析式是______________．
10．关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：
①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
③存在φ，使f(x)是奇函数；
④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中的假命题的序号是________．
三、解答题
11．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝coscos(π＋x)；
(2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝.
12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sin
x，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．
能力提升
13．欲使函数y＝Asin
ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．
14．判断函数f(x)＝ln(sin
x＋)的奇偶性．
1．求函数的最小正周期的常用方法：
(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f(x＋T)＝f(x)成立的T.
(2)图象法，即作出y＝f(x)的图象，观察图象可求出T.如y＝|sin
x|.
(3)结论法，一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A、ω、φ为常数，A≠0，ω>0，x∈R)的周期T＝.
2．判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称．
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
答案
知识梳理
1．(1)非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期
2．sin
x cos
x 周期 2kπ
(k∈Z且k≠0) 2π
3．(1)R 原点 (2)－sin
x 奇 原点 (3)cos
x 偶 y轴
作业设计
1．D 2.B
3．B [∵sin＝－sin＝－cos
2x，
∴f(x)＝－cos
2x.
又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos
2x＝f(x)，
∴f(x)的最小正周期为π的偶函数．]
4．D [画出y＝sin|x|的图象，易知．]
5．D [f＝f＝－f＝－sin＝sin
＝.]
6．B [cos[sin(x＋π)]＝cos(－sin
x)＝cos(sin
x)．
∴T＝π.]
7．1
8．±3
解析 ＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.
9．f(x)＝sin|x|
解析 当x<0时，－x>0，
f(－x)＝sin(－x)＝－sin
x，
∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin
x.
∴f(x)＝sin|x|，x∈R.
10．①④
解析 易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos
x是偶函数，①④都不成立．
11．解 (1)x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin
2x·(－cos
x)＝sin
2xcos
x.
∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin
2xcos
x＝－f(x)．
∴y＝f(x)是奇函数．
(2)对任意x∈R，－1≤sin
x≤1，
∴1＋sin
x≥0,1－sin
x≥0.
∴f(x)＝＋定义域为R.
∵f(－x)＝＋＝＋＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
(3)∵esin
x－e－sin
x≠0，∴sin
x≠0，
∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.
∴定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，
∴该函数是奇函数．
12．解 x∈[π，3π]时，3π－x∈[0，]，
∵x∈[0，]时，f(x)＝1－sin
x，
∴f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin
x.
又∵f(x)是以π为周期的偶函数，
∴f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，
∴f(x)的解析式为f(x)＝1－sin
x，x∈[π，3π]．
13.π
解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，
则y在[0,1]上至少含49
个周期，
即，解得ω≥π.
14．解 ∵sin
x＋≥sin
x＋1≥0，
若两处等号同时取到，则sin
x＝0且sin
x＝－1矛盾，
∴对x∈R都有sin
x＋>0.
∵f(－x)＝ln(－sin
x＋)
＝ln(－sin
x)
＝ln(＋sin
x)－1
＝－ln(sin
x＋)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．(共31张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数
的性质(二)
第一章
§
1.4
三角函数的图象与性质
1.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
2.掌握y＝sin
x，y＝cos
x的单调性，并能利用单调性比较大小.
3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间.
学习目标
问题导学
新知探究
点点落实
答案
知识点 正弦函数、余弦函数的性质
观察正弦函数、余弦函数的图象：
思考1 正弦函数、余弦函数的值域各是什么？
答 [－1,1].
答
答案
思考3 推广到整个定义域，正弦函数、余弦函数单调区间是什么？
答案
解析式
y＝sin
x
y＝cos
x
图象
值域
[－1,1]
[－1,1]
返回
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
2kπ，k∈Z
π＋2kπ，k∈Z
答案
类型一 利用单调性比较三角函数值大小
题型探究
重点难点
个个击破
解析答案
例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.
反思与感悟
解析答案
(2)sin
196°与cos
156°；
解 sin
196°＝sin(180°＋16°)＝－sin
16°，
cos
156°＝cos(180°－24°)＝－cos
24°＝－sin
66°，
∵0°＜16°＜66°＜90°，
∴sin
16°＜sin
66°；
从而－sin
16°＞－sin
66°，即sin
196°＞cos
156°.
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
比较三角函数值大小的策略：
(1)利用诱导公式转化为锐角三角函数值.
(2)不同名的函数化为同名函数.
(3)自变量不在同一单调区间的化至同一单调区间.
解析答案
跟踪训练1 (1)已知α，β为锐角三角形的两个内角，则以下结论正确的是( )
A.sin
α＜sin
β
B.cos
α＜sin
β
C.cos
α＜cos
β
D.cos
α＞cos
β
B
解析答案
(2)比较下列各组数的大小：
解析答案
②cos
1，sin
1.
即cos
1＜sin
1.
类型二 求三角函数的单调区间
反思与感悟
解析答案
反思与感悟
用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间.求单调区间时，需将最终结果写成区间形式.
反思与感悟
解析答案
类型三 正弦函数、余弦函数的最值问题
解析答案
反思与感悟
解析答案
(2)求函数y＝cos2x－sin
x的值域.
解 y＝cos2x－sin
x＝－sin2x－sin
x＋1
∵sin
x∈[－1,1]，
当sin
x＝1时，ymin＝－1.
1.形如y＝asin
x(或y＝acos
x)的函数的最值要注意对a的讨论.
2.将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式.
3.换元后配方利用二次函数求最值.
反思与感悟
解析答案
返回
解析答案
(2)求函数y＝cos2x＋4sin
x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.
解 y＝cos2x＋4sin
x＝1－sin2x＋4sin
x
＝－sin2x＋4sin
x＋1＝－(sin
x－2)2＋5.
达标检测
D
解析答案
解析答案
D
解析答案
B
解析答案
4.求函数y＝f(x)＝sin2x－4sin
x＋5的值域.
解 设t＝sin
x，则|t|≤1，
f(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，
g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.
开口向上，对称轴t＝2不在研究区间(－1,1)内，
g(t)在(－1,1)上是单调递减的，
∴g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，
g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，即g(t)∈[2,10].
∴f(x)＝sin2x－4sin
x＋5的值域为[2,10].
解析答案
1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
规律与方法
2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.
返回
3.求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin
x(或cos
x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.