棱柱、棱锥和棱台的结构特征
1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )．
A．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
B．每个侧面都是全等的矩形
C．底面是正方形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D．底面是正方形，有两个侧面是矩形
2．若正棱锥的底面边长与侧棱长都相等，则该棱锥一定不是( )．
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
3．正四棱锥S－ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为( )．
A．
B．a2
C．
D．
4．正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是( )．
A．(0，＋∞)
B．(，＋∞)
C．(，＋∞)
D．(，＋∞)
5．已知集合A＝{多面体}，B＝{长方体}，C＝{凸多面体}，则A、B、C之间的关系为________．
6．已知正四棱锥V－ABCD，底面面积为16，一条侧棱长为，则四棱锥的斜高为______．
7．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC1的交点为N，求：
(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长；
(2)PC和NC的长．
8．如图，在正三棱台ABC－A1B1C1中，已知AB＝10，棱台一个侧面梯形的面积为，O1、O分别为上、下底面正三角形的中心，D1D为棱台的斜高，∠D1DA＝60°，求上底面的边长．
9.一棱锥的底面积为S2，用一个平行于底面的平面去截棱锥，其截面面积为S1，现用一个平行于底面的平面将截面和底面间的高分成两部分，且上、下两部分之比为γ，求截面面积．
参考答案
1.
答案：C
2.
答案：D
3.
答案：C
4.
答案：D
解析：由正四棱锥的定义知四棱锥S－ABCD中，S在底面ABCD内的射影O为正方形的中心，而，
∴，即.
5.
答案：BCA
6.
答案：
解析：设VO为正四棱锥V－ABCD的高，作OM⊥BC于点M，则M为BC的中点，连接VM、OB，则VO⊥OM，VO⊥OB．
∵底面正方形ABCD面积为16，
∴BC＝4，BM＝CM＝2，
∴
又∵，
在Rt△VOB中，由勾股定理可得
.
在Rt△VOM(或Rt△VBM中)，由勾股定理可得
[或]．
7.
解：(1)正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为.
(2)如图所示，将侧面沿A1A剪开并展开，由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路径为线段MP.设PC＝x，在Rt△MAP中，有x＝2，故PC＝2，.
8.
解：AB＝10，则，.设上底面边长为x，则，过D1作D1H⊥AD于点H，则.在Rt△D1DH中，，
∴在梯形B1C1CB中，.
∴．∴40＝(x＋10)(10－x)．∴.∴上底面的边长为.
9.
解：设截面面积为S0，以S1、S0、S2为底面的锥体的高分别为h1、h0、h2.
由棱锥截面的性质得，
∴.
由此可得.∴.三视图
1．下列说法正确的有( )．
①直线的正投影一定是直线；②直线的正投影可能是线段；③平行直线的正投影是平行或重合的直线；④与投射面平行的平面图形，它的正投影与这个图形相似；⑤与投射面平行的平面图形，它的正投影与这个图形全等；⑥垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．
A．①②③④ B．②④⑤⑥
C．①③④⑤
D．①③⑤⑥
2．如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝BB′＝CC′＝AB，则多面体ABC－A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )．
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为( )．
4．一个几何体由一些小正方体摆成，其主视图与左视图如图所示，其俯视图不可能是( )．
5．如图是正四棱锥P－ABCD的三视图，其中主视图是边长为1的正三角形，则这个四棱锥的侧棱长为______．
6．如图(1)是小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么该几何体的主视图和左视图的序号是________．
7．根据三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图．
(1)三视图(a)．
(2)三视图(b)．
(a) (b)
8．如图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，请你设计一种塞子，既可以堵住圆形空洞又可以堵住方形空洞．
参考答案
1.
答案：D
2.
答案：D
解析：因为几何体的正视图是从前向后的正投影．
3.
答案：C
4.
答案：C
解析：通过分析主视图第一列有两个，而左视图第二列有两个，所以俯视图为选项C时，不符合要求．
5.
答案：
解析：由条件知，正四棱锥底面边长AB＝1，高PO＝(O是底面中心)，OB＝AB＝，故侧棱长.
6.
答案：(3)(5)
7.
解：(1)由俯视图并结合其他两个视图可以看出，这个物体是由一个圆柱和一个正四棱柱组合而成，圆柱的下底面圆和正四棱柱的上底面正方形内切，它的实物草图如图(a)．(2)由三视图知，该物体下部分是一个长方体，上部分的表面是两个等腰梯形和两个等腰三角形，它的实物草图如图(b)．
8.
解：不妨把圆形看作是俯视图，方形看作是主视图，则可知塞子应该是一个圆柱形的几何体，只要底面直径和圆柱的高相等即可．如下图：棱柱、棱锥、棱台和球的表面
1．正三棱锥的底面边长为a，高为，则此三棱锥的侧面积为( )．
A．
B．
C．
D．
2．长方体的高等于h，底面积等于a，过相对侧棱的截面面积等于b，则此长方体的侧面积等于( )．
A．
B．
C．
D．
3．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积之比为( )．
A．
B．
C．
D．
4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是( )．
A．372
B．360
C．292
D．280
5．已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1＋2R2＝3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是______．
6．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a、4a、5a(a＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是______．
7．已知正三棱锥S－ABC，一个正三棱柱的一个底面的三顶点在棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15
cm，底面边长为12
cm，内接正三棱柱的侧面积为120
cm2.
(1)求三棱柱的高；
(2)求棱柱上底面所截棱锥与原棱锥的侧面积之比．
8．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积．
参考答案
1.
答案：A
2.
答案：C
解析：设长方体的底面边长分别为x，y，则，
由②得，∴.
∴.
3.
答案：A
4.
答案：B
解析：该几何体是由两个长方体组成，下方的长方体长为10，宽为8，高为2，故表面积为232，上方的长方体长为6，宽为2，高为8，故表面积为152.总的表面积为232＋152－2×2×6＝360.
5.
答案：
解析：由球的表面积公式得，，，将，，代入R1＋2R2＝3R3得.
6.
答案：
解析：由图可知，若拼成一个三棱柱，只能把原三棱柱底面相接，全面积确定，为；
若拼成一个四棱柱，可能有把以3a为底的侧面相接．以4a为底的侧面相接和以5a为底的侧面相接三种方案，相接的面积不在表面积中，故相接面的面积越大，得到的全面积越小，上述三种方案中把以5a为底的侧面相接时，得到的四棱柱表面积最小，为.
为使表面积最小的为四棱柱，只需S2＜S1，
即24a2＋28＜12a2＋48，
解得.
7.
解：(1)设正三棱柱的高为h，底面边长为x，如图所示．
则，
∴
又S三棱柱侧＝3x·h＝120，
∴xh＝40.
②
解①②得或
故正三棱柱的高为10
cm或5
cm.
(2)由棱锥的性质得
或.
8.
解：如图，在梯形ABCD中，
因为∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，
所以.
DD′＝AA′－2AD＝4a－2a＝2a.
所以.
由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后所形成的几何体为圆柱中被挖去一个底向上的圆锥，且圆锥的高等于圆柱的高．
由以上的计算知圆柱的母线长为，圆柱的底面半径为2a，被挖去圆锥的母线长为2a，底面圆的半径为a，
所以圆柱的侧面积，圆锥的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的底面积，组合体的上底面积S5＝S3－S4＝3πa2.所以组合体的表面积.构成空间几何体的基本元素
1．下列叙述中，一定是平面的是( )．
A．一条直线平行移动形成的面
B．三角形经过延展得到的平面
C．组成圆锥的面
D．正方形围绕一条边旋转形成的面
2．下列说法正确的是( )．
A．生活中的几何体都是由平面组成的
B．曲面都是有一定大小的
C．直线是无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的
D．许多平行直线也可以组成曲面
3．以下结论中不正确的是( )．
A．平面上一定有直线
B．平面上一定有曲线
C．曲面上一定无直线
D．曲面上一定有曲线
4．垂直于同一个平面的两个平面的位置关系是( )．
A．互相平行
B．互相垂直
C．相交但不一定垂直
D．可能相交，也可能平行
5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1和平面BC1D的位置关系是______．
6．下列说法：①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形ABCD(水平放置)上各点沿铅垂线方向向上移动相同距离到矩形A′B′C′D′所形成的几何体；③长方体一个面上任意一点到对面的距离相等．其中正确命题的序号是________．
7．按照要求完成类比：直线上一点把这条直线分成两部分．
(1)把直线改为平面，把点改为直线；
(2)把直线改为空间，把点改为平面．
8．给出两块相同的正三角形硬纸板，请你将其中一块折成三棱锥，另一块拼折成三棱柱．你能想出几种拼折法？
9.一次数学课外活动课，数学老师拿来一个西瓜和一把水果刀，对同学们说：“如果只允许切三刀，那么西瓜可能分成多少块呢？”
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：D
3.
答案：C
4.
答案：D
5.
答案：平行
解析：这两个平面无论如何延展，都不会有交点的．
6.
答案：①②③
7.
解：(1)平面内一条直线把平面分成两部分；
(2)空间中一个平面把空间分成两部分．
8.
解：其中一种拼折方法，如图所示：
9.
解：从俯视的角度看被切的西瓜，如图所示，从前4个图知，可将西瓜分成4,6,7块；对于第5个图切了两刀，再拦腰切一刀，就将西瓜分成了8块．
故只允许切三刀可将西瓜分成4,6,7,8块．柱、锥、台和球的体积
1．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )．
A．2
B．1
C．
D．
2．直三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，已知点P、Q分别为AA1，CC1上的点，而且满足AP＝C1Q，则四棱锥B－APQC的体积是( )．
A．
B．
C．
D．
3．64个直径均为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲，一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则( )．
A．V甲＞V乙，S甲＞S乙
B．V甲＜V乙，S甲＜S乙
C．V甲＝V乙，S甲＞S乙
D．V甲＝V乙，S甲＝S乙
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上．若EF＝1，DP＝x，A1E＝y(x，y大于零)，则三棱锥P－EFQ的体积( )．
A．与x，y都有关
B．与x，y都无关
C．与x有关，与y无关
D．与y有关，与x无关
5．正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8，体积为14
cm3，则棱台的高为______．
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为______．
7．在棱长为1的正方体内，有两球外切，并且分别与正方体相内切．
(1)求两球的半径之和；
(2)球的半径为多少时，两球的体积之和最小？
8．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球．求：
(1)圆锥的侧面积；
(2)圆锥的内切球的体积．
9.如图所示，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，设V1为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是( )．
A．V1＞ B．V2＜
C．V1＞V2
D．V1＜V2
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：B
3.
答案：C
4.
答案：C
解析：∵三棱锥P－EFQ的体积由底面积和高确定，又EF＝1，且点Q到EF的距离为定值()，∴△EFQ的面积为定值，∴体积与y无关．∵三棱锥的高与DP有关，
∴三棱锥的体积与x有关．
5.
答案：2
cm
解析：设正四棱台的上底面边长为2a，则斜高、下底面边长分别为5a、8a.
所以高为
又∵
∴，即高为2
cm.
6.
答案：
解析：该几何体是由一个正四棱锥与一个长方体组合而成的．
7.
解：(1)如图，ABCD为过球心的对角面，.
设两球半径分别为R、r，
则有
∴
(2)设两球的体积之和为V，则
＝(R+r)(R2－Rr+r2)
＝(R+r)[(R+r)2－3Rr]
＝.
∴时，V有最小值．
8.
解析：(1)如图所示，作圆锥的轴截面，则等腰三角形ABC内接于O，O1内切于△ABC．
设O的半径为R，
由题意得R3＝972π，
∴R3＝729，R＝9.∴CE＝18.
已知CD＝16，∴ED＝2，连接AE.
∵CE是直径，
∴CA⊥AE，CA2＝CD·CE＝18×16＝288.
∴.
∵AB⊥CD，∴AD2＝CD·DE＝16×2＝32，
∴
(2)设内切球O1的半径为r.
∵△ABC的周长为，
∴
∴r＝4.
∴内切球O1的体积
9.
答案：D
解析：设大球的半径为R，小球的半径为r，则R＝2r，则大球的体积V＝πR3，4个小球的体积为.∴V2＝V－(πR3－V1)＝＞V1，∴C不正确．∵，∴又4个小球的体积为，∴.∴A，B均不正确．投影与直观图
1．下列关于直观图画法的说法不正确的是( )．
A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段仍平行于x轴，且长度不变
B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段仍平行于y轴，且长度不变
C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于135°
D．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图可能不同
2．如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列说法中正确的是( )．
A．内心的平行投影还是内心
B．重心的平行投影还是重心
C．垂心的平行投影还是垂心
D．外心的平行投影还是外心
3．下晚自习后，小华走路回家，在经过一盏路灯时，他发现自己的影子( )．
A．变长
B．变短
C．先变长后变短
D．先变短后变长
4．对于一条底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的( )．
A．2倍
B．倍
C．倍
D．倍
5．若线段AB平行于投射面，O是AB上一点，且AO∶OB＝m∶n，则点O的平行投影O′分线段AB的平行投影A′B′的长度之比是______．
6．小明想利用树影测树高，他在某一时刻测得长为1
m的竹竿影长0.9
m，但当他马上测树高时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子上了墙，如图所示．他测得留在地面部分的影子长2.7
m，留在墙壁部分的影高1.2
m，则树的高度为(太阳光线可看作为平行光线)______．
7．如图所示，在水平放置的平面α内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，其中对角线A′C′处于水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
8．小迪身高1.6
m，一天晚上放学回家，走到两路灯之间，她发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，她又向前走了5
m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10
m．(两路灯的高度是一样的)
求：(1)路灯的高度；
(2)当小迪走到B路灯下，她在A路灯下的身影有多长？
9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成60°角，房屋向南的窗户AB高1．6米，现要在窗子外面的上方安装一个水平遮阳篷AC，如图所示．
求：(1)当遮阳篷AC的宽度在什么范围内，太阳光线能直接射入室内？
(2)当遮阳篷AC的宽度在什么范围时，太阳光线不能直接射入室内？(精确到0.01米)
参考答案
1.
答案：B
2.
答案：C
3.
答案：D
4.
答案：B
解析：底边上的高变为原来的倍．
5.
答案：m∶n
6.
答案：4.2
m
解析：树高为AB，影长为BE，CD为树留在墙上的影高，
∴，CE＝1.08
m，树影长BE＝2.7＋1.08＝3.78
m，树高.
7.
解：四边形ABCD的图形如图所示．
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴在四边形ABCD中，DA⊥AC．
∵DA＝2D′A′＝2，，
∴.
8.
解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B路灯的底部．
由题目已知得MN＝PQ＝1.6
m，NQ＝5
m，CD＝10
m.
(1)设CN＝x，则QD＝5－x，路灯高BD为h.
∵△CMN∽△CBD，
即.①
又∵△PQD∽△ACD，
即②
由①②式得
x＝2.5
m，h＝6.4
m，
即路灯高为6.4
m.
(2)当小迪移到BD所在线上(设为DH)时，连接AH交地面于E，
则DE长即为所求的影长．
∵，
解得，即影长为.
9.
解：
(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，AB＝1.6
m，
则AC2＝BC2－AB2，BC＝2AC，
∴AC2＝4AC2－1.62，
∴AC＝≈0.92(m)．
当0≤AC≤0.92米时，太阳光线可直接射入室内．圆柱、圆锥、圆台和球
1．下列命题中，错误的是( )．
A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B．圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆
D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
2．圆柱的轴截面是边长为5
cm的正方形ABCD，则圆柱侧面上从A到C的最短距离为( )．
A．10
cm B．cm
C．cm
D．cm
3．一个圆台的上、下底面面积分别是1
cm2和49
cm2，一个平行于底面的截面面积为25
cm2，则这个截面与上、下底面的距离之比是( )．
A．2∶1
B．3∶1
C．∶1 D．∶1
4．如图是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是( )．
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
5．一件工艺品是将一个彩色半透明的正四面体镶嵌于一个水晶球体内制作而成的．已知正四面体的顶点都在球面上，球的直径为12
cm，则正四面体的棱长为______
cm，球心到正四面体各面的距离为______
cm.
6．长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点均在同一个球面上，AB＝AA1＝1，，则A，B两点间的球面距离为______．
7．设地球的半径为R，地球上的两点A、B的纬度都是北纬45°，A、B两点的球面距离为，已知A在东经20°处，试确定B点的位置．
8．如图，正方形ABB1A1的边长为15，其内有两点P、Q，P到AA1、A1B1的距离均为3，Q到AB、BB1的距离分别为2和4，将正方形卷成一个圆柱，使AB和A1B1相连，求此时P、Q两点之间最短的距离(沿圆柱侧面)．
9.棱长为2
cm的正方体容器中盛满水，把半径为1
cm的铜球放入水中，铜球刚好被淹没，现向正方体容器内再放入一个铁球，使它也淹没在水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该是多大？
参考答案
1.
答案：B
解析：当圆锥过顶点的轴截面顶角大于90°时，面积不是最大．设圆锥轴截面顶角为α，母线长为l，则轴截面面积，显然α≤90°时，轴截面面积最大；α＞90°时，轴截面面积不最大．
2.
答案：B
3.
答案：A
解析：作圆台的轴截面如图，则有Rt△A1BE∽Rt△BAF，
∴A1E∶BF＝BE∶AF，
又A1O1＝1
cm，AO＝7
cm，BO′＝5
cm，
∴A1E∶BF＝2∶1．
4.
答案：A
5.
答案：
2
解析：设正四面体的棱长为a，球的半径为正四面体的高的，∴，∴，球心到各面的距离为高的，即.
6.
答案：
解析：易求球半径为，设球心为O，则△AOB为正三角形，，
∴A，B间的球面距离为.
7.
解：如图所示，∵A、B的球面距离是指过A、B的大圆的劣弧长，
∴，因此AB＝R.
又∵，
在△AO′B中，，AB＝R，
∴AB2＝AO′2＋BO′2，∠AO′B＝90°，
∵A在东经20°处，∴B点的位置为20°±90°处，即B点位于北纬45°，东经110°或西经70°处．
8.
解：将此正方形卷成圆柱如①所示，若沿CP所在直线重新展开，所得图形如②所示．
则，
即P、Q两点间的距离为.
9.
解：过正方体对角线的截面图如图所示．
，，
，
设小球的半径为r.
在△AO1D中，，AS＝AO1+O1S，
所以，
解得，为所求．
