课件16张PPT。课件14张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形24.1 测量 ? 知识点一 利用相似三角形的性质进行测量 24.1 测量利用相似三角形的性质可设计方案，测量不可到达的两地之间的距离或不可直接量出的物体的高度．
(1)利用太阳光是平行光线构造相似三角形，利用相似三角形的性质，得出同一时刻物体高度之比等于其影长之比．
(2)利用光的反射原理——反射角等于入射角，构造相似三角形进行测量．
(3)利用三角形的中位线性质定理，构造相似三角形进行测量． ? 知识点二 利用直角三角形的边角关系进行测量24.1 测量在有些特殊的题型中，有时也可借助直角三角形中的边角关系解决问题．
(1)有时借助等腰直角三角形的两条直角边相等，把高转移到地面，方便测量．
(2)有时借助勾股定理，知两边求第三边．探究问题一 构造相似三角形对物体进行测量24.1 测量例1 在一次数学活动课上，老师让学生到操场测量旗杆的高度，然后回来说出各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5 m的竹竿直立在离旗杆27 m的C处，如图24－1－2，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A和竹竿顶部E恰好落在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3 m，小芳身高为1.5 m，这样便可知道旗杆的高度．你认为这种测量方法可行吗？请说明理由．24.1 测量图24－1－2[解析] 判断这种方法是否可行，应考虑运用这种方法和已有的知识能否求出旗杆的高度．过点F作FG⊥AB于点G，交CE于点H，可知△AGF∽△EHF，且GF、HF、EH可求．这样就可求出旗杆的高度．24.1 测量24.1 测量24.1 测量24.1 测量探究问题二 构造直角三角形对物体进行测量 [解析] 将实际问题转化为数学问题来解．甲楼在乙楼上的影子CE＝AF，只要求出AF的高，便可知CE的高．24.1 测量[归纳总结] 构造直角三角形注意点：(1)尽量构造特殊的直角三角形，如含45°、30°角等；
(2)注意利用勾股定理和方程知识．24.1 测量备选探究问题 方案设计例 请你设计两种方案，测量学校的教学楼的高度．[解析] 可考虑这两种设计方案：一是构造可以测量的与原三角形相似的小三角形；二是利用比例尺，在纸上画一个与实物相似的小三角形．24.1 测量图24－1－824.1 测量方案二：站在距楼底m m(用皮尺量得)的地方看楼顶，视线PA与水平面夹角∠APB＝α(用测角仪测得)，然后按1∶500的比例在纸上将△PAB画出来，记为△P′A′B′，用皮尺测量人的身高为h m，用刻度尺量出纸上A′B′的长度，便可求出教学楼AC的实际高度，如图24－1－9.图24－1－9课件14张PPT。课件10张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形24.2 直角三角形的性质 ? 知识点一 直角三角形斜边上的中线的性质 24.2 直角三角形的性质一半 ? 知识点二 直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边之间的关系24.2 直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的 ．一半探究问题一 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的应用24.2 直角三角形的性质A 24.2 直角三角形的性质24.2 直角三角形的性质[归纳总结] 24.2 直角三角形的性质探究问题二 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半的应用24.2 直角三角形的性质[解析] 首先利用三角形内角和定理计算出∠1＝∠2＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可算出BM，EM的长，进而得到答案．24.2 直角三角形的性质解：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠AFC＝90°，∠AEB＝90°.
∵∠A＝60°，∴∠1＝∠2＝30°.
在Rt△EMC中，∵MC＝4，∴EM＝2.
在Rt△FBM中，∵FM＝5，∴MB＝2FM＝10.
∴BE＝12.[归纳总结] 注意本定理的前提条件是在直角三角形中，斜边(三角形的最长边)是30°角所对的边的2倍．课件8张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形1.锐角三角函数第1课时 定义及关系应用24.3 锐角三角函数 ? 知识点一 锐角三角函数的概念 第1课时 定义及关系应用 ? 知识点二 几个常用的关系式 第1课时 定义及关系应用探究问题 锐角三角函数的概念 第1课时 定义及关系应用例 [教材例题变式] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足a∶b＝3∶4，求∠B的三个三角函数值．[解析] 根据三角函数的概念应先求出第三边，或表示出第三边，再表示出某一锐角的三角函数值．第1课时 定义及关系应用第1课时 定义及关系应用第1课时 定义及关系应用课件15张PPT。课件15张PPT。课件7张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形1.锐角三角函数第2课时 特殊角的三角函数值24.3 锐角三角函数 ? 知识点 特殊角的三角函数值第2课时 特殊角的三角函数值探究问题一 特殊角的三角函数值 第2课时 特殊角的三角函数值第2课时 特殊角的三角函数值[归纳总结] 不难看出，30°、45°、60°这三个角的正弦值和余弦值的共同特点是：分母都是2，若把分子都加上根号，则被开方数就相应地变成了1，2，3.正切的特点是将分子全部都带上根号、令分母为3，则相应的被开方数就是3，9，27.另外，锐角的正弦值和正切值都随着角度的增大而增大，余弦值则随着角度的增大而减少．根据此特点有口诀：三十、四五、六十度，三角函数记牢固，分母弦二切是三，分子要把根号添，一二三来三二一，切值三九二十七，递增正切和正弦，余弦函数要递减．第2课时 特殊角的三角函数值探究问题二 由三角函数值求角度 C 第2课时 特殊角的三角函数值[归纳总结] 正确地记忆特殊角的三角函数值是解决问题的关键 课件14张PPT。课件9张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形2.用计算器求锐角三角函数值24.3 锐角三角函数 ? 知识点一 求已知锐角的三角函数值2.用计算器求锐角三角函数值2.用计算器求锐角三角函数值 ? 知识点二 已知锐角三角函数值，求角的度数2.用计算器求锐角三角函数值探究问题一 用计算器求三角函数值2.用计算器求锐角三角函数值例1 若角α的余角为38°，则α＝________°，sinα≈________(结果精确到0.0001)．520.7880 [解析] α＝90°－38°＝52°，用计算器计算可得sinα＝sin52°≈0.7880.2.用计算器求锐角三角函数值2.用计算器求锐角三角函数值探究问题二 由锐角三角函数值求锐角例2 (1)已知sinA＝0.5018，用计算器求锐角∠A(精确到1′)；2.用计算器求锐角三角函数值(2)已知tanA＝0.8745，求锐角∠A(精确到1′)．课件15张PPT。课件13张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形第1课时 解直角三角形24.4 解直角三角形 ? 知识点一 解直角三角形的概念第1课时 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． ? 知识点二 解直角三角形的关系式第1课时 解直角三角形探究问题一 已知两边，解直角三角形第1课时 解直角三角形第1课时 解直角三角形第1课时 解直角三角形探究问题二 已知一边和一锐角，解直角三角形例2 △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠A＝45°，解这个直角三角形．[归纳总结] 涉及斜边的问题，应选择与斜边相关的已知角的正弦、余弦，简称“涉斜(涉及斜边)选弦(选正弦、余弦)”策略．第1课时 解直角三角形例3 △ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解这个直角三角形．第1课时 解直角三角形第1课时 解直角三角形探究问题三 解直角三角形在图形中的应用第1课时 解直角三角形第1课时 解直角三角形第1课时 解直角三角形[归纳总结] 选择三角函数解题时，注意：
有斜(与斜边有关)用弦(正弦或余弦)，
无斜用切(正切)，
求对(角的对边)用正(正弦或正切)，
求邻(角的邻边)用余(余弦)，
宁乘勿除，避中(中间数据)取原(原始数据)．
方法：(1)对于可解的直角三角形，可直接利用边、角的关系求得有关元素；
(2)对于不可解的直角三角形，一般通过设未知元素构建方程，使直角三角形可解．课件14张PPT。课件9张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形第2课时 解直角三角形的应用（一）24.4 解直角三角形 ? 知识点一 方向角第2课时 解直角三角形的应用（一） ? 知识点二 仰角和俯角的概念第2课时 解直角三角形的应用（一）从下向上看从上往下看探究问题一 方向角的应用第2课时 解直角三角形的应用（一）第2课时 解直角三角形的应用（一）[解析] 要想知道公路会不会穿过湖泊，就必须知道点C到AB的距离是否大于1.8 km.第2课时 解直角三角形的应用（一）[归纳总结] (1)弄清题中的方向角的概念，然后根据题意画出图形，建立数学模型；
(2)将实际问题中的数量关系归结为解直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形；
(3)解非直角三角形常见的辅助线：①通过作高构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边．第2课时 解直角三角形的应用（一）探究问题二 仰角和俯角的应用第2课时 解直角三角形的应用（一）[解析] 在Rt△ACD和Rt△CDB中分别求出AD，BD的长度，然后根据AB＝AD＋BD即可求出AB的值．课件15张PPT。课件7张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形第3课时 解直角三角形的应用（二）24.4 解直角三角形 ? 知识点 坡角与坡度（坡比）第3课时 解直角三角形的应用（二）探究问题 坡度和坡角的应用第3课时 解直角三角形的应用（二）第3课时 解直角三角形的应用（二）[解析] 梯形的问题，首先应作辅助线构造直角三角形，再利用条件解直角三角形．第3课时 解直角三角形的应用（二）第3课时 解直角三角形的应用（二）课件27张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形本 章 总 结 提 升 本章总结提升本章总结提升1 0 1 0 本章总结提升1增大 减小(90°－∠A) (90°－∠A) 本章总结提升90° 直角三角形上 下 铅垂高度水平宽度? 类型之一 锐角三角函数本章总结提升B 本章总结提升? 类型之二 解直角三角形在三角形中的应用本章总结提升本章总结提升本章总结提升[点评] 解决解直角三角形的问题时，有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，弄清已知条件中各量之间的关系，利用三角函数关系式解题；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决．本章总结提升? 类型之三 解直角三角形在四边形中的应用本章总结提升[解析] (1)要求CD的长，通常需要把它放到一个三角形中，考虑到∠CED＝45°，∠DCE＝30°，可以过点D作CE的垂线，那么会出现两个直角三角形，问题得以解决；(2)四边形ABCD的面积等于△ABC和△ACD的面积和．本章总结提升本章总结提升[点评] (1)在解决图形问题时，若出现某些特殊的角度，如30°、45°、60°等，可以考虑作直角三角形，然后利用三角函数来解题．(2)割补法是求不规则图形的常见方法，其一般做法是通过添加图形或是分割图形，使其成为规则的图形，然后相加或相减求值．本章总结提升? 类型之四 解直角三角形在实际中的应用本章总结提升[解析] △ABC不是直角三角形，若作CD⊥AB于点D，则把原三角形分割成两个直角三角形：Rt△ADC和Rt△BDC.在Rt△ADC中，已知AC和∠A，可求出AD和CD的长；在Rt△BDC中，已知∠B和已求得的CD的长，可求出BD和BC的长，AC＋BC－AB就是汽车少走的路线的长． 本章总结提升[点评] 对于非直角三角形，可以通过作高，构造直角三角形解决．本章总结提升? 类型之五 仰角、俯角在解直角三角形中的应用本章总结提升[解析] 要求塔高AB，可先利用等腰三角形的性质和判定确定AE的长，再通过Rt△AEF求出AF的长，通过Rt△BEF求出BF
的长，最后由二者差求塔高AB.本章总结提升[点评] (1)要注意俯角是俯视时的视线与水平线的夹角，不要弄成了俯视时的视线与铅垂线的夹角；(2)从点B测得点A的俯角等于从点A测得点B的仰角；(3)解答测量问题时，要注意从中学习测量的方法与策略．本章总结提升? 类型之六 坡度、坡角的应用本章总结提升 本章总结提升本章总结提升[点评] 斜坡的坡角指坡面与水平面所夹的锐角，坡比是指坡角的正切值，亦即斜坡高度(铅垂高度)和水平长度的比，切莫把坡比误认为斜坡的垂直高度与斜坡长度的比，也就是莫把坡角的正弦误作坡度．本章总结提升? 类型之七 方向角的应用本章总结提升[解析] 通过添加辅助线将斜三角形转化成直角三角形，进而利用三角函数求解．课件20张PPT。课件10张PPT。数 学新课标（HS） 九年级上册第24章 解直角三角形综合与实践 高度的测量综合与实践 高度的测量近几年来测量问题备受中考命题者的青睐，而且测量的方法很多．本文将举例介绍几种解答这类问题的方法． 综合与实践 高度的测量探究问题一 利用相似三角形的性质测量物体的高度或宽度15 综合与实践 高度的测量综合与实践 高度的测量探究问题二 利用影长测物高综合与实践 高度的测量[解析] 此题根据同一时刻的物高与影长成正比求解．但难点在于不知道树影的全长，由地面部分的影长可计算部分树高．若过C作CE⊥AB于点E，即可求出AE的长，于是易求出树高AB.[归纳总结] 用此法测物高的前提条件是晴朗的天气，且物体的影子具有可测性．综合与实践 高度的测量探究问题三 构造相似三角形测量河的宽度综合与实践 高度的测量[归纳总结] (1)测量河宽的常用方法是在平地上选点，构造相似三角形，测出相关数据，根据相似三角形的对应边成比例来求解，常构造如下两种相似三角形(AB为河宽)．
图4中，可先测量BD、BC、CE的长，再求AB的长；图5中，可先测量AC、DC、DE的长，再求AB的长．综合与实践 高度的测量(2)选点的位置必须恰当，否则在理论上成立而实际操作不具可行性，出现类似在水中测线段的长的情况．
