备战2018中考数学专题突破 第八讲方程（组）与不等式（组）

第八讲方程（组）与不等式（组）
【专题知识结构】
【专题解题分析】
本专题的主要考点有方程的解，解一元一次方程，一元一次方程的应用；二元一次方程组的解法，二元一次方程组的应用；一元二次方程的解法，一元二次方程的应用；解分式方程，分式方程的增根，分式方程的应用；不等式的性质，解一元一次不等式(组)，不等式(组)的特殊解．中考中对方程(组)与不等式(组)的考查基本以客观题形式呈现，题型多样，选择题、填空题、解答题都有考查；
解决方程(组)与不等式(组)问题常用的数学思想就是转化思想；常用的数学方法有换元法，分类讨论法，整体代入法，设参数法等.
【典型例题解析】
例题1：（2017浙江湖州）解方程：
=+1．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】方程两边都乘以x﹣1得出2=1+x﹣1，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1得：2=1+x﹣1，
解得：x=2，
检验：∵当x=2时，x﹣1≠0，
∴x=2是原方程的解，
即原方程的解为x=2．
例题2：（2017广东）学校团委组织志愿者到图书馆整理一批新进的图书．若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本．求男生、女生志愿者各有多少人？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，根据“若男生每人整理30本，女生每人整理20本，共能整理680本；若男生每人整理50本，女生每人整理40本，共能整理1240本”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设男生志愿者有x人，女生志愿者有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：男生志愿者有12人，女生志愿者有16人．
例题3：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“ ”的一种运算如下：a b=2a﹣b．例如：5 2=2×5﹣2=8，（﹣3） 4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．
（1）若3 x=﹣2011，求x的值；
（2）若x 3＜5，求x的取值范围．
【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．
【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；
（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．
【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，
解得：x=2017；
（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，
解得：x＜4．
例题4：．（2017四川眉山）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（即最低档次）的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．
（1）若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；
（2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？
【考点】AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品；
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）．
答：此批次蛋糕属第3档次产品．
（2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，
根据题意得：（2x+8）×（76+4﹣4x）=1080，
整理得：x2﹣16x+55=0，
解得：x1=5，x2=11．
答：该烘焙店生产的是第5档次或第11档次的产品．
例题5：（2017四川南充）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．
（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？
（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）可设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，根据等量关系：①1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，②3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元，列出方程组求解即可；
（2）由于求最节省的租车费用，可知租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆，进而求解即可．
【解答】解：（1）设1辆甲种客车的租金是x元，1辆乙种客车的租金是y元，依题意有
，
解得．
故1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元；
（2）租用甲种客车6辆，租用乙客车2辆是最节省的租车费用，
400×6+280×2
=2400+560
=2960（元）．
答：最节省的租车费用是2960元．
例题6：（2017年贵州省安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．
（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？
【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．
【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，
=
x=15，
经检验x=15是原方程的解．
∴40﹣x=25．
甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；
（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，
，
解得20≤y＜24．
因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，
∴y取20，21，22，23，
共有4种方案．
【达标检测评估】
选择题：
1.
（2017年贵州省安顺）若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（　　）
A．0
B．﹣1
C．2
D．﹣3
【考点】AA：根的判别式．
【分析】首先根据题意求得判别式△=m2﹣4＞0，然后根据△＞0 方程有两个不相等的实数根；求得答案．
【解答】解：∵a=1，b=m，c=1，
∴△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×1=m2﹣4，
∵关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，
∴m2﹣4＞0，
则m的值可以是：﹣3，
故选：D．
2.
（2017广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（　　）
A．1
B．2
C．﹣1
D．﹣2
【考点】A3：一元二次方程的解．
【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，
∴22﹣3×2+k=0，
解得，k=2．
故选：B．
3.
（2017浙江湖州）一元一次不等式组的解是（　　）
A．x＞﹣1
B．x≤2
C．﹣1＜x≤2
D．x＞﹣1或x≤2
【考点】CB：解一元一次不等式组．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x＞x﹣1，得：x＞﹣1，
解不等式x≤1，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
故选：C．
4.
（2017贵州黔东南）已知一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则+的值为（　　）
A．2
B．﹣1
C．
D．﹣2
【考点】AB：根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，利用通分得到+=，然后利用整体代入的方法计算
【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，
所以+===﹣2．
故选D．
填空题：
5.
（2017四川南充）如果=1，那么m=　2　．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：1=m﹣1，
解得：m=2，
经检验m=2是分式方程的解，
故答案为：2
6.
（2016·辽宁丹东·3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为　60（1+x）2=100　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】设平均每月的增长率为x，根据4月份的营业额为60万元，6月份的营业额为100万元，分别表示出5，6月的营业额，即可列出方程．
【解答】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：60（1+x）2=100．
故答案为：60（1+x）2=100．
7.
（2016·湖北黄石·3分）关于x的一元二次方程x2+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是　m＞　．
【分析】设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根．由方程有实数根以及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【解答】解：设x1、x2为方程x2+2x﹣2m+1=0的两个实数根，
由已知得：，即
解得：m＞．
故答案为：m＞．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一元一次不等式组是关键．
8.
（2016·四川宜宾）今年“五一”节，A、B两人到商场购物，A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元，求一件甲商品和一件乙商品各售多少元．设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】分别利用“A购3件甲商品和2件乙商品共支付16元，B购5件甲商品和3件乙商品共支付25元”得出等式求出答案．
【解答】解：设甲商品售价x元/件，乙商品售价y元/件，则可列出方程组：
．
故答案为：．
解答题：
9.
（2017湖南怀化）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得x＜3．
解不等式②，得x≥﹣1．
所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜3．
它的解集在数轴上表示出来为：
10.
（2017湖南怀化）为加强中小学生安全教育，某校组织了“防溺水”知识竞赛，对表现优异的班级进行奖励，学校购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元．
（1）求购买1副乒乓球拍和1副羽毛球拍各需多少元；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30幅，且支出不超过1480元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，由购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需116元，购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需204元，可得出方程组，解出即可．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，根据购买足球和篮球的总费用不超过1480元建立不等式，求出其解即可．
【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍x元，一副羽毛球拍y元，
由题意得，，
解得：．
答：购买一副乒乓球拍28元，一副羽毛球拍60元．
（2）设可购买a副羽毛球拍，则购买乒乓球拍（30﹣a）副，
由题意得，60a+28（30﹣a）≤1480，
解得：a≤20，
答：这所中学最多可购买20副羽毛球拍．
11.
（2017四川南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，求m的值．
【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明原来的一元二次方程的△的值大于0即可；
（2）根据根与系数的关系可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【解答】（1）证明：∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，
∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x2﹣（m﹣3）x﹣m=0，方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2=7，
∴，
∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，
解得，m1=1，m2=2，
即m的值是1或2．
12.
（2017山东日照）某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．
【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
﹣=4
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×2+2（54+a）≥360
解得：a≥72．
答：则至少每年平均增加72万平方米．