备战2018中考数学专题突破 第一讲数与式

第一讲数与式
【专题知识结构】
【专题考点分析】
本专题的主要考点有实数的有关概念，科学记数法，非负数的性质，实数的运算；幂的运算，整式的运算，因式分解；分式的概念，分式的加减，分式的混合运算；二次根式的有关概念，二次根式的性质，二次根式的运算等．中考中数与式的考查一般以客观题为主，但分式的化简求值经常有开放型题目．数与式的考查常见题型以选择题或填空题为主，整式和分式的化简求值一般以解答题的形式进行考查。解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等.
【典型例题解析】
例题1：下列计算，正确的是（　　）
A．﹣=
B．|﹣2|=﹣
C．
=2
D．（）﹣1=2
【考点】24：立方根；1A：有理数的减法；22：算术平方根；6F：负整数指数幂．
【分析】根据立方根的概念、二次根式的加减运算法则、绝对值的性质、负整数指数幂的运算法则计算，即可判断．
【解答】解：﹣=2﹣=，A错误；
|﹣2|=，B错误；
=2，C错误；
（）﹣1=2，D正确，
故选：D．
例题2：若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（　　）
A．﹣10
B．﹣8
C．4
D．10
【分析】代入后求出即可．
【解答】解：∵x=﹣3，y=1，
∴2x﹣3y+1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，
故选B．
【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数时要有括号．
例题3：（2017·台州）计算：
【答案】解：原式=3+1-3.=1
【考点】绝对值，零指数幂，二次根式的性质与化简
【解析】【分析】根据二次根式，零次幂，绝对值等性质计算即可得出答案.
例题4：（2017浙江衢州）化简：
=　1　．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．
【解答】解：原式==1．
例题5：（2017浙江衢州）计算：
+（π﹣1）0×|﹣2|﹣tan60°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意：tan60°=，（π﹣1）0=1．
【解答】解：原式=2+1×2﹣=2+．
例题6：（2017 新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（　　）
A．﹣1
B．0
C．1
D．±1
【考点】63：分式的值为零的条件．
【专题】11
：计算题．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不等于0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：若=0，
则x﹣1=0且x+1≠0，
故x=1，
故选C．
【点评】命题立意：考查分式值为零的条件．关键是要注意分母不能为零．
例题7:
（2017 新疆）分解因式：x2﹣1=　（x+1）（x﹣1）　．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．
【解答】解：x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
【达标检测评估】
一、选择题：:
1.（2017 新疆）下列四个数中，最小的数是（　　）
A．﹣1
B．0
C．
D．3
【考点】18：有理数大小比较．
【分析】根据有理数的大小比较方法：负数＜0＜正数，找出最小的数即可．
【解答】解：∵﹣1＜0＜＜3，
∴四个数中最小的数是﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较的方法：正数都大于0；负数都小于0；两个负数，绝对值大的反而小．比较有理数的大小也可以利用数轴，他们从左到右的顺序，就是从大到小的顺序．
2.
（2017
四川绵阳）使代数式+有意义的整数x有（　　）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数是非负数，分母不能为零，可得答案．
【解答】解：由题意，得
x+3＞0且4﹣3x≥0，
解得﹣3＜x≤，
整数有﹣2，﹣1，0，1，
故选：B．
3.
（2017.四川眉山）某微生物的直径为0.000
005
035m，用科学记数法表示该数为（　　）
A．5.035×10﹣6
B．50.35×10﹣5
C．5.035×106
D．5.035×10﹣5
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000
005
035m，用科学记数法表示该数为5.035×10﹣6，
故选：A．
4.
（2017
四川绵阳）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则+++…+的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】38：规律型：图形的变化类．
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可．
【解答】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，a4=24=4×6，…，an=n（n+2）；
∴+++…+=++++…+=（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1+﹣﹣）=，
故选C．
二、填空题：
5.
（2017
四川绵阳）分解因式：8a2﹣2=　2（2a+1）（2a﹣1）　．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：8a2﹣2，
=2（4a2﹣1），
=2（2a+1）（2a﹣1）．
故答案为：2（2a+1）（2a﹣1）．
6.
（2017山东临沂）分解因式：m3﹣9m=　m（m+3）（m﹣3）　．
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：m3﹣9m，
=m（m2﹣9），
=m（m+3）（m﹣3）．
故答案为：m（m+3）（m﹣3）．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
7.
计算：
+（﹣3）0﹣|﹣|﹣2﹣1﹣cos60°=　﹣　．
【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值进行计算．
【解答】解：原式=+1﹣2﹣﹣
=﹣．
故答案为﹣．
8.
观察下列各式：
=﹣；[来%源&:~
21世纪教育网@]
=﹣；
=﹣；
…[来#源:@中%国教
育出版~网]
请利用你所得结论，化简代数式：
+++…+（n≥3且n为整数），其结果为　　．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+++…+的值．
【解答】解：∵
=﹣，
=﹣，
=﹣，
…
∴=（﹣），
∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．
故答案是：．
三、解答题
1.
（2017 新疆）计算：（）﹣1﹣|﹣|++（1﹣π）0．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
【分析】根据负整数指数幂，去绝对值，二次根式的化简以及零指数幂的计算法则计算．
【解答】解：原式=2﹣+2+1=3+．
【点评】本题综合考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的运算，属于基础题，掌握运算法则即可解题．
2.
（2017.四川眉山）先化简，再求值：（a+3）2﹣2（3a+4），其中a=﹣2．
【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．
【分析】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=a2+6a+9﹣6a﹣8=a2+1，
当a=﹣2时，原式=4+1=5．
3.
（2017山东临沂）计算：÷（x﹣）=　　．
【分析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=
=，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的混合运算，能正确运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
4.
（1）（2017
四川绵阳）计算：
+cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣|
（2）（2017
四川绵阳）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=2，y=．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题；
（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）+cos245°﹣（﹣2）﹣1﹣|﹣|
=0.2+
=0.2+
=0.7；
（2）（﹣）÷
=
=
=
=
=，
当x=2，y=时，原式=．