二次根式
一、选择题
1．下列计算正确的有(
)．
①
②
③
④
A．①、②
B．③、④
C．①、③
D．②、④
2．下列各式中一定是二次根式的是(
)．
A．
B．
C．
D．
3．当x=2时，下列各式中，没有意义的是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．已知那么a的取值范围是(
)．
A．
B．
C．
D．
5.（易错题）要使式子有意义，的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
6．直接写出下列各式的结果：
(1)＝_______；
(2)_______；
(3)_______；
(4)_______；
(5)_______；(6)
_______．
7．表示二次根式的条件是______．
8．使有意义的x的取值范围是______．
9．已知，则xy的平方根为______．
10．当x=－2时，＝________．
11.如果是二次根式，那么点的坐标为
.
三、解答题
12．计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
13.当为何值时，下列各式有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
14．当a=2，b=－1，c=－1时，求代数式的值．
15．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足试求△ABC的c边的长．
16.（阅读理解题）对于题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人解答的步骤如下.
甲的解答：.
乙的解答：.
谁的解答是错误的？为什么？
参考答案
1．C．
2．B．
3．D．
4．D．
5.D解析由二次根式的被开方数是非负数和分母不为零,列出不等式组,得解得∴a≥-2且a≠0,故选D.
6．(1)7；
(2)7；
(3)7；
(4)－7；
(5)0.7；
(6)49．
7．x≤0．
8．x≥0且
9．±1．
10．0．
11.(2,1)解析根据二次根式的概念知-(x-2)2≥0,得x＝2.故点A的坐标为(2,1).
12．(1)π－3．14；(2)－9；(3)
(4)36．
13.解:(1)由2-3x≥0,得x≤,
∴当x≤时,有意义.
(2)由-x2≥0且x2≥0,得x2＝0,
∴x＝0,∴当x＝0时,有意义.
(3)∵(x-3)2≥0,
∴当x取任意实数时,都有意义.
(4)根据二次根式被开方数大于等于0和分母不为0,可知x应
满足解得.
∴当时,有意义.
14．或1．
15．提示：a＝2，b＝3，于是1
16.解：乙的解答是错误的．
当时，，，所以，而应是.二次根式的性质
一、选择题
1.下列各式正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.的值等于（
）
A.
B.
C.1
D.
-1
3.已知二次根式的值为3，那么x的值是（
）
A.3
B.9
C.-3
D.3或-3
4.如果，那么x-y的值为（
）
A.
-1
B.1
C.2
D.3
5.，则（
）
A.
B.
C.
D.
6.要使有意义，则x的取值范围在数轴上表示为（
）
7.若与互为相反数，则x+y的值为（）
A.
3
B.
9
C.
12
D.
27
二、填空题
8.已知2.
9.已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是
.
10.李东和赵梅在解答题目:“先化简，再求值:，其中a=10”时得出不同的答案.
李东的解答过程如下：
.
赵梅的解答过程如下：
(1)
___的解答是错误的；
(2)
错误的原因是
.
三、解答题
11.计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；（5）；
（6）
12.利用，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式；
（1）16；（2）7；（3）1.5；（4）
13.若a，b是一等腰三角形的两边的长，且满足等式,求等腰三角形的周长.
14.在实数范围内分解因式：
(1);
(2)
15.
已知式子在实数范围内有意义，则点P（m,n）在平面直角坐标系中的哪个象限
16.先阅读，然后回答问题：
化简:
由于题中没有给出x的取值范围，所以要先分类讨论.
令x-3=0，x+2=0,分别求出x=3,x=-2(称
3,-2分别为的零点值），然后在数轴上标出表示3和-2的点，如图所示，数轴被分成三段，即x<-2，-2≤x<3，x≥3.
当x<-2时，原式=-（x-3）-(x+2)=-x+3-x-2=-2x+1;
当-2≤x<3时，原式=-（x-3）+(x+2)=-x+3+x+2=5;
当x≥3时，原式=（x-3）+（x+2）=x-3+x+2=2x-1.
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简：
参考答案
1.D解析因为,所以A,B,C选项均错,选D.
2.A解析因为,所以,因此.
3.D解析根据题意得x2＝9,解得x＝±3.
4.C解析由二次根式有意义的条件,得
解得∴x＝1,∴(x＋y)2＝0即x＋y＝0,
∴y＝-1.∴x-y＝1-(-1)＝2.
5.B解析
∴1-2a≥0,即.
6.C解析由3-x≥0得x≤3,由x＋3≥0得x≥-3,故-3≤x≤3,在数轴上表示为C.
7.D解析依题意得.
∴x＋y＝27.故选D.
8.3解析当2＜x＜5时,x-2＞0,x-5＜0.
∴.
9.1解析由数轴可知0＜a＜1,则,故.
10.(1)李东
(2)未能正确运用二次根式的性质
解析化简形如的二次根式比较复杂,其结果等于a还是等于a的相反数,要由a的符号决定,当a≥0时,结果等于a,当a＜0时,结果等于a的相反数,所以当a＝10时,1-a＜0,,故李东的解答是错误的.
11.解:(1).
(2).
(3).
(4).
(5).
(6)∴1≤x≤3,∴x-1≥0,x-3≤0.
12.解:(1)16＝42.(2).
(3).(4).
13.解:由题意,得解得a＝2,则b＝5.
由三角形的三边关系,可知腰长为5,底边长为2,
∴等腰三角形的周长为5＋5＋2＝12.
14.解:(1)
.
(2)
.
15.分析:由横坐标和纵坐标的符号来判断P点在哪个象限.由二次根式有意义的条件和分式的分母不为0,得
∴∴点P在第三象限
16.思想建立：(1)要求和的零点值,就是令x＋1＝0,x-2＝0,求出x的值即可.
(2)要化简,就需要根据第(1)题找出的零点值,分类讨论,再根据二次根式的性质化简,,
解:(1),,
令x＋1＝0,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2,
∴的零点,值为-1,的零点值为2.
(2)
令x＋1＝O,得x＝-1,令x-2＝0,得x＝2.
在数轴上标出表示-1和2的点,如图所示,数轴被分成三段,即x＜-1,-1≤x＜2,x≥2.
当x＜-1时,原式＝-(x＋1)-(x-2)＝-x-1-x＋2＝-2x＋1;
当-1≤x＜2,原式＝(x＋1)-(x-2)＝x＋1-x＋2＝3;
当x≥2,原式＝(x＋1)＋(x-2)＝x＋1＋x-2＝2x-1二次根式综合
一、选择题
1.使式子有意义的x的取值范围是（
）
A.且x≠1
B.x≠1
C.
D.且x≠1
2.
化简的值是(
)
A.
B.
C.
D.
3．当a<2时，式子中，有意义的有(
)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若(x＋2)2＝2，则x等于(
)．
A．
B．
C．
D．
5.若，则代数式(x—1)
(y+1)的值等于（
）
A.
B.
C.
D.
2
6.若的整数部分为x,小数部分为y，则的值是（
）
A.
B.
C.1
D.3
7.若，则x-y的值为（
）
A.4
B.-4
C.7
D.-7
二、填空题
8.计算=
.
9．已知有意义，则在平面直角坐标系中，点P(m，n)位于第______象限．
10．若，则______．
11．当时，代数式的值为______．
12.已知
,则
ab
=
13.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位到达点B，点A表示,设点B所表示的数为m，则(m-1)
(m-3)的值是
.
14.对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下:
a※b=,如3※2=.
那么12※4=____________.
三、解答题
计算下列各题：
15．
16．
17．
18.化简：⑴;(2).
19.先化简，再求值：
(1)若
(0(2)已知，求的值.
20.
利用平方根去根号可以用一个无理数构造一个整系数方程.
例如：当时，移项得，
两边平方得，
所以
a2-2a+1=2,即
a2-2a-1=0，
仿照上述方法完成下面的题目.
已知,求：
(1)
a2+a
的值；
(2)
a3-2a+2
016
的值.
21．已知a是2的算术平方根，求的正整数解．
22．先观察下列等式，再回答问题．
①
②
③
(1)请根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果；
(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出用n(n为正整数)表示的等式．
参考答案
1.A解析式子中含有分母,分母不等于零；有二次根式,被开方数大于或等于零,所以应把两个结合起来考虑.由题意知解得且x≠1.
2.B解析.
3．B．
4．C．
5.B解析.
6.C解析因为,所以的整数部分为1,小数部分为,即x＝1,,所以.
7.B解析由二次根式和平方的非负性得
8.解析要弄清题目中各个式子的结构,选择合适的法则进行计算。
.
9．三．
10．
11．
12.1解析,,,
,,即a-1＝0,8-b＝0.
∴a＝1,b＝8,∴ab＝18＝1.
13.1解析由题意,得,
14.解析12 4
15．
16．
17．
18.解:(1).
(2)原式
19.解:(1)
,即
∵0＜a＜1,∴
(2)
20.解(1),移项得
两边平方,得
所以a2＋a＝1.
(2)a3-2a＋2016＝a(a2-2)＋2016
＝-1＋2016＝2015
21．x<3；正整数解为1，2．
22．(1)
(2)二次根式综合
一、选择题
1.下列式子中，是最简二次根式的是（）
A.
B.
C.
D.
2.下列运算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3.下列各式正确的是（）
A.
B.
C.
D.
4.等于（
）
A.
B.
C.
D.
5．下列各式的计算中，正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
6．a，b两数满足b<0｜a｜，则下列各式中，有意义的是(
)．
A．
B．
C．
D．
7．已知A点坐标为点B在直线y＝－x上运动，当线段AB最短时，B点坐标(
)．
A．(0，0)
B．
C．(1，－1)
D．
8.如图,数轴上与1，对应的点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，设点C表示的数为x，则=(
)
A.
B.
C.
D.2
二、填空题
9．的相反数是______，绝对值是______．
10．已知直角三角形的两条直角边长分别为5和，那么这个三角形的周长为______．
11.已知x是正整数，且是整数，则x的最小值是
.
12.已知，则代数式的值为
.
13.观察规律:，…，将你猜想到的规律用一个式子来表示：
.
14.
计算=_________________.
三、解答题
15．
16．
17．
18.计算：
(1)；
(2);
(3);
(4)
19.一个三角形的三边长分别为.
(1)求它的周长(要求结果化简）；
(2)请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
20．已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，△BCD为等边三角形，且AD，求梯形ABCD的周长．
21．用6个边长为12cm的正方形拼成一个长方形，有多少种拼法 求出每种长方形的对角线长(精确到0.1cm，可用计算器计算)．
参考答案
1.A解析,,的被开方数含有分母,故都不是最简二次根式.符合最简二次根式的条件.故选A.
2.D解析,故A项不正确；,故B项不正确；,故C项不正确；.故D项正确.
3.C
4.C解析
5．C．
6．C．
7．B．
8.C解析由题意得,
9．
10．
11.3解析∵是整数,x是正整数,当x＝1,2时,不是整数,当x＝3时,.
∴x的最小值是3.
12.3解析.
13.
解析
,,
,…,
∴可总结为
14.-2.解析
15．
16．
17．0．
18.解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)
19.解(1)此三角形的周长为
(2)当x＝20时,此三角形的周长为整数.
20．周长为
21．两种：(1)拼成6×1，对角线
(2)拼成2×3，对角线(cm)．二次根式
一、选择题
1.下列式子一定是二次根式的是
（
）
A.
B.
C.
D.
2.（安徽）与最接近的整数是
(
)
A.4
B.3
C
2
D．1
3．下列各式中，x的取值范围是x＞2的是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．若，则x－y的值是(
)．
A．－7
B．－5
C．3
D．7
二、填空题
5.（易错题）如果是二次根式，那么是二次根式吗？
（填“是”或“不是”）
6．表示二次根式的条件是______．
7．当x______时，有意义，当x______时，有意义．
8．若无意义，则x的取值范围是______．
9.已知实数a，b，若，则a____b．
10.（应用题）如图是一个矩形，长为a，宽为b，则阴影部分的面积为____.
三、解答题
11．当x为何值时，下列式子有意义
(1)
(2)
(3)
(4)
12．计算下列各式：
(1)
(2)
(3)
(4)
13.在实数范围内，将下列各式分解因式：
(1)a2-7；
(2)2a2-1；
(2)a4-4；
(4)4a2-3.
14.（探究题）代数式的最小值是多少？
15.已知，求x的取值范围．
参考答案
1.C解析判断是否为二次根式必须满足两个条件:一是被开方数为非负数,二是根指数为2.C中x2＋2＞0,而其他选项中被开方数不一定大于0,故只有C符合条件.
2.B解析：由可得，又因4比9更接近5，所以更接近整数3，故选B．
3．B．
4．D．
5.是
解析由二次根式的概念得x-2≥0,即x≥2,当x≥2时,2x-3＞0,所以是二次根式.
6．a≥－1．
7．<1，
>－3．
8．x<－2．
9.≤解析：由题易知b-a≥0，∴b≥a．
10.
解析：阴影部分的面积为矩形面积减去扇形和半圆的面积．
11．(1)x≤1；(2)x＝0；(3)x是任意实数；(4)x≤1且x≠－2．
12．(1)18；(2)a2＋1；(3)
(4)6．
13.解：(1)
．(2)
.
(3)
．(4)
．
14.解：由二次根式的意义，得解得x≥2，显然当x=2时，原代数式的值最小，最小值为．
15.解：等式的左边=，右边-2x-5.
当|1-x|=x-1，|x-4|=4-x时，左边=右边，
∴，解得1≤x≤4.
∴x的取值范围是1≤x≤4.