二次根式的加减
一、选择题
1.（易错题）下列二次根式中，化成最简二次根式后，与可以合并的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
3．化简后，与的被开方数相同的二次根式是(
)．
A．
B．
C．
D．
4．下列说法正确的是(
)．
A．被开方数相同的二次根式可以合并
B．与可以合并
C．只有根指数为2的根式才能合并
D．与不能合并
二、填空题
5．下列二次根式化简后，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______，与的被开方数相同的有______．
6．已知二次根式与是同类二次根式，(a＋b)a的值是______．
7.如果最简二次根式可以与合并，那么a=
.
三、解答题
化简下列各式：
8．
9．
10．
11．
12．
13.已知4x2+y2
-4x-6y+10=0，求的值.
14．化简求值：，其中，．
15．当时，求代数式x2－4x＋2的值．
16.如图，面积为48
cm2的正方形的四个角是面积为3
cm2的小正方形，请动手操作，将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体盒子的底面边长.
参考答案
1.A解析因为
所以与可以合并,故选A.
2.D解析:被开方数相同的二次根式才可以合并,合并时把根号外的因数相加减,根指数和被开方数不变.A、B选项的被开方数不相同,不能合并；C选项,,故不正确；D选项,,正确.
3．C．
4．A．
5．
6．1．
7.4解析因为与可以合并,且是最简二次根式,所以,所以a＝4.
8．
9．
10．
11．
12．
13.解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0，
∴（2x-1）2+（y-3）2=0，
∴，y=3．
原式=
.
当，y=3时，
原式=．
14．原式代入得2．
15．1．
16.解:长方体盒子的底面边长为二次根式的混合运算
一、选择题
1.下列计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
2．下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是(
)．
A．与
B与
C．与
D．与
3．与的关系是(
)．
A．互为倒数
B．互为相反数
C．相等
D．乘积是有理式
4.
的值是（
）
A.
B.
C.
D.
5.一个三角形的三边长分别是cm,
cm，cm,则此三角形的周长为（
）
A.
cm
B.
cm
C.
cm
D.
cm
二、填空题
6．当a=______时，最简二次根式与可以合并．
7．若，，那么a＋b=______，ab=______．
8.如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为时，则输出的值为
.
9.
=
.
三、解答题
计算下列各题：
10．
11．
12．
13．
14．已知求(1)x2－xy＋y2；(2)x3y＋xy3的值．
15.如果:①;②;③；
④；…，回答下列问题：
(1)利用你观察到的规律求;
(2)计算：
参考答案
1.D解析A中,两个二次根式的被开方数不同,不能合并,故A错误；B中,,故B错误；C中,有理数与无理数不能合并,故C错误；D中,,故D正确.
2．D．
3．B．
4.A解析原式
5.A解析周长为.
6．6．
7．
8.解析由运算程序得.
9.1解析原式
10．
11．
12．
13．
14．(1)9；
(2)10．
15.思想建立(1)要求f(n)就需要仔细观察前四个式子的规律:分母均为2,分子是两个二次根式相减,且其被开方数是连续的整数；(2)根据(1)式的规律进行计算即可.
解:(1).
(2)原式二次根式的加减
一、选择题
1．下列计算，正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
2．在下列二次根式中，与是同类二次根式的是(
)．
A．
B．
C．
D．
3.计算的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
4.若等腰三角形两边长分别为和,则这个三角形的周长为（）
A.
B.
C.
D.或
二、填空题
5．计算：(1)________；
(2)__________．
6．与无法合并，这种说法是______的．(填“正确”或“错误”)
三、解答题
7．
8．
9．
10．
11．
12.化简下列二次根式，并指出被开方数相同的最简二次根式.
(字母均取正数).
13.计算:⑴；
(2).
14.已知，求代数式的值.
15．探究下面的问题：
(1)判断下列各式是否成立 你认为成立的，在括号内画“√”，否则画“×”．
①（
）
②（
）
③（
）
④（
）
(2)你判断完以上各题后，发现了什么规律 请用含有n的式子将规律表示出来，并写出n的取值范围．
(3)请你用所学的数学知识说明你在(2)题中所写式子的正确性．
参考答案
1．C．
2．C．
3.A解析先化简各个二次根式,再把被开方数相同的二次根式合并,即故A正确.
4.B解析∴只能以为腰长,为底边长.因此周长为.故选B.
5．(1)
6．错误．
7．
8．
9．
10．
11．0．
12.解:与是被开方数相同的最简二次根式.
13.分析:先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.
解:(1)原式；
(2)原式
14.解：把代入代数式得，
.
15．(1)都画“√”；(2)(n≥2，且n为整数)；
(3)证明：二次根式的混合运算
1．计算：
2.已知，求a2b-ab2的值.
3.先化简，再求值其中.
4.化简：(1)
(2)
(3)
(4)
5．当时，求和xy2＋x2y的值．
6．观察规律：……并求值．
(1)_______；(2)_______；(3)_______．
7.化简：（1);⑵;(3)
8．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：
化简：的结果是：__________________．
9.（综合应用题）若△ABC的三边长分别为a、b、c，化简.
10.化简:
(1)
(2)
11.有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m，n，使且则将变
成m2
+
n2
±2mn，即变成（m±n)2,从而使得方便化简.例如：,∴.
请你依照上面材料解下列问题:
(1)；
(2).
12．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式．如：与，与互为有理化因式．
试写下列各式的有理化因式：
(1)与______；
(2)与______；
(3)与______；
(4)与______；
(5)与______；
(6)与______．
参考答案
1．2．
2.解:,
3.解:原式
,
当,y＝27时,原式
4.
5．
6．
7.解:(1)；
(2)；
(3).
8．0．
9.解：因为a、b、c是△ABC的三边长，
所以a-b-c<0，a-b+c>0．
所以原式=b+c-a+a-b+c=2c.
10.思想建立
由于化简形如的二次根式比较复杂,其结果等于a还是等于a的相反数,要由a的符号决定,因此将根号内的完全平方式开出根号时,一般先加上绝对值符号,然后再根据a的符号进一步化简,这里用进行过渡,可以避免发生错误.
解:(1)
(2)
11.思想建立：要化简,,就需要将被开方数,分别写成一个数的平方的形式,参照材料给的方法将其转化即可.
解:(1)
(2)
12．(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)(答案)不唯一．二次根式的乘法
一、选择题
1.化简的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
2.在△ABC
中，，BC
上的高为cm，则△ABC的面积为（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知，则有（
）
A.5B.
4C.
-5D.
-64．若成立，则a，b满足的条件是(
)．
A．a＜0且b＞0
B．a≤0且b≥0
C．a＜0且b≥0
D．a，b异号
5．把根号外的因式移进根号内，结果等于(
)．
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．如果成立，x，y必须满足条件______．
7．计算：(1)_________；(2)__________；
(3)___________．
8．化简：(1)______；(2)
______；(3)______．
9．定义运算“@”的运算法则为：则(2@6)@6=______．
10．已知矩形的长为，宽为，则面积为______cm2．
11．比较大小：(1)____；(2)_____；(3)－_______－．
三、解答题
12．计算：(1)_______；
(2)_______；
(3)______；
(4)_______．
13．若(x－y＋2)2与互为相反数，求(x＋y)x的值．
14．化简：(1)________；
(2)_________．
15.计算：(1);
(2)；(3)；
(4)；
(5).
参考答案
1.A
解析.
2.C
解析由三角形的面积公式得.
3.A
解析,
∵25＜28＜36,,即5＜m＜6.故选A.
4．B．
5．D．
6．x≥0且y≥0．
7．(1)
(2)24；(3)－0.18．
8．(1)42；(2)0.45；(3)
9．
10．．
11．(1)>；(2)>；(3)<．
12．(1)
(2)
(3)
(4)9．
13．1．
14．(1)
(2)
15.解:(1)；
(2)；
(3)
；
(4)原式；
(5)原式.二次根式的除法
一、选择题
1.下列各式是最简二次根式的是（
）
A.
B.
C.
D.
2.下列计算中，正确的是（）
A.
B.
C.
D.
3．成立的条件是(
)．
A．x＜1且x≠0
B．x＞0且x≠1
C．0＜x≤1
D．0＜x＜1
4.下列各式计算正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
5．把化成最简二次根式为(
)．
A．
B．
C．
D．
6．已知，，则a与b的关系为(
)．
A．a=b
B．ab=1
C．a=－b
D．ab=－1
二、填空题
7．把下列各式化成最简二次根式：
(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；
(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．
8．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：
(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________
9.如果一个三角形的面积为，一边长为，那么这边上的髙为
.
三、解答题
10．化简：(1)
(2)
(3)
(4)
11．计算：(1)
(2)
(3)
12．试探究与a之间的关系．
13.计算：
(1)；
(2);
(3);
(4)
14.计算:
15.
先将化简，然后选一个你喜欢的x的值，代入后，求式子的值.
16.根据爱因斯坦的相对论，当地面上经过1秒钟时，宇宙飞船内只经过秒.
公式内的v是指宇宙飞船的速度，c是指光速（约
30万千米/秒），假定有一对亲兄弟，哥哥23岁，弟弟
20岁，哥哥乘着以光速0.
98倍的速度飞行的宇宙飞船进行了5年宇宙旅行后回来了.这个5年是指地面上的5年，所以弟弟的年龄为25岁,可是哥哥的年龄在这段时间里只长了一岁，只有24岁，就这样，宇宙旅行后弟弟比哥哥反而大了1岁，请你用以上公式验证一下这个结论.
17.（探究题）观察下列各式，通过分母有理化把不是最简二次根式的化成最简二次根式．
；
.
同理可得……
从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算
的值．
参考答案
1.B解析A中的,C中的的被开方数都含能开得尽方的因数,D中的被开方数是小数,所以A,C,D都不是最简二次根式,只有B中的是最简二次根式.
2.D解析因为,所以A错误,因为,所以B错误,因为,所以C错误,因为,所以D正确.
3．C．
4.C解析,故A项不正确；,故B项不正确；,故C项正确；,故D项不正确.
5．C．
6．A．
7．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)．
8．
9.4解析根据三角形的面积公式得这边上的高为.
11．
12．当a≥0时，；当a<0时，，而无意义．
13.解:(1)；
(2)
；
(3)
；
(4).
14.解:原式
15.解:原式
要使原式有意义,则x＞2.
所以本题答案不唯一,如取x＝4.则原式＝2
16.解:根据题意,得当t地面＝1(秒)时,
所以t地面:t飞船≈1:0.2＝5:1,即地面上经过5年,宇宙飞船内约经过1年,所以结论是正确的
17.解：原式
=
.二次根式的乘法
一、选择题
1.下列计算正确的是（）
A.
B.
C.
D.
2.(易错题)等式成立的条件是（
）
A.a≤-2或a≥2
B.
a≥2
C.
a≥-2
D.
-2≤a≤2
3.(易错題）对于任意实数a，下列各式中一定成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
4．下列计算正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
5．如果，那么(
)．
A．x≥0
B．x≥3
C．0≤x≤3
D．x为任意实数
6．当x=－3时，的值是(
)．
A．±3
B．3
C．－3
D．9
二、填空题
7.化简:①=
;
(2)
=
（x≥0，y≥0）
8.—个长方形的长和宽分别是cm和cm，则这个长方形的面积是
.
三、解答题
9．计算：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
10．已知三角形一边长为，这条边上的高为，求该三角形的面积．
11.化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
12.比较和的大小.
参考答案
1.D
解析因为,所以.故D正确.
2.B
解析由积的算术平方根成立的条件知故a≥2,故选B.
3.D
解析A中不能保证a-1≥O,a＋1≥O,所以A不正确；B中,故B不正确；C中,故C不正确；因为,所以D正确.
4．B．
5．B．
6．B．
7.①
②
解析①.
②∵x＞0,.
8.25cm2解析.
9．(1)
(2)45；
(3)24；
(4)
(5)
(6)
(7)49；
(8)12；
(9)
10．
11.解:(1)；
(2)
；
(3)
(4)
(5)
12.分析:可将根号外的因式移到根号里面,然后比较被开方数的大小.
解:,
又∵45＞24,,即.二次根式的除法
一、选择题
1．下列计算不正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
2．下列各式中，最简二次根式是(
)．
A．
B．
C．
D．
3.(易错题)下列各式错误的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.成立的条件是（
）
A.
x≥0
B.
x<1
C.
0≤x<1
D.x≥0且x≠1
5.下列二次根式是最简二次根式的是（
）
A.
B.;
C.
D.
6.化简的结果是（
)
A.
B.
C.
D.
7.计算的结果是（
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
8．在横线上填出一个最简单的因式，使得它与所给二次根式相乘的结果为有理式，如：
与
(1)与______；
(2)与______；
(3)与______；
(4)与______；
(5)与______．
9．化简二次根式：(1)________(2)_________(3)_________
10．已知则______；_________．(结果精确到0．001)
11.如果，则用含a,b的代数式表示为__________
.
三、解答题
12.计算：
（1）；
（2）.
13.已知a,b满足,求的值.
14.观察下列各式及其验证过程：
验证：.
.
验证:.
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并给出证明.
15.已知，且x为偶数，求的值.
16.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
.
（一）
（二）
（三）以上这种化简的方法叫做分母有理化。
还可以用如下方法化简：
（四）（1）请用不同的方法化简.
①参照（三）式化简；②参照（四）式化简.
⑵化简：.
参考答案
1．C．
2．C．
3.C解析,故A项正确；,故B项正确；,故C项错误；,故D项正确.
4.C解析由得,所以0≤x＜1.
5.B解析故都不是最简二次根式,只有选项B中被开方数既不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,因此,是最简二次根式.
6.B
解析采用分解质因数的方法,可将20拆成4×5,而4可化
为22,即20＝22×5,所以.
7.B
解析原式,故B正确.
8．
9．
10．0.577，5.196．
11.10ab解析.因为,所以.
12.分析:可以推广到多个二次根式相乘,即.
解:(1)原式
(2)原式
13.解:由可知
4a-b＋1＝0,,
解得a＝-1,b＝-3
所以原式.
14.思路建立要猜想的变形结果及这些式子反映的规律,就需要先对变形后等号两边的式子的结构特点进行观察、比较,归纳出一般规律,再根据题中给出的两个式子的验证方法对猜想、归纳得出的式子进行验证.
解:(1)
验证:
(2)(n为自然数,且n≥2).
证明:
15.思想建立强要求代数式的值,就需要求出x的值,先根据已知条件得出x的取值范围,再根据x为偶数求出x具体的值,最后将得到的x的值,代入化简后的代数式中求出最后结果.
解:由已知得
解得
∵x为偶数,∴x＝8.
16.思路建立(1)要参照(三)式化简,就需要找一个与相乘能化去根号的式子,即分子、分母同时乘以即可.要参照(四)式化简,就需把分子2写成5-3,进而写成,再因式分解即可.
(2)参照(1)题的方法,把,,,…分母有理化,再合并即可.
解:(1)①原式
②原式
.
(2)原式二次根式的混合运算
一、选择题
1.计算的结果是（
）
A.-7
B.
C.
D.
2．下列计算正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
3．等于(
)．
A．7
B．
C．1
D．
4．下列计算正确的是(
)．
A．
B．
C．
D．
5.计算的结果是（
）
A.
6
B.
C.
D.
12
二、填空题
6.若三角形的一边长为cm，这条边上的高为cm，则此三角形的面积是
cm2.
7．合并二次根式：(1)________；(2)________．
8．(1)规定运算：(a
b)=｜a－b｜，其中a，b为实数，则_______．
(2)设，且b是a的小数部分，则________．
三、解答题
计算下列各题：
9．
10．
11．
12．
13．
14.对于任意实数a，b,定义一种运算“&”如下:a&b
=
a(a
-b)
+
b(a+b)，如3&2=3×(3-2)
+
2×(3
+
2)
=
13，求&的值.
15．已知，求的值．
16．已知求．(精确到0.01)
17.阅读与计算:请阅读以下材料，并完成相应的任务.
斐波那契(约1170 1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列).后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果.在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数.
斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.
斐波那契数列的第n个数可以用表示(其中，n≥1）这是用无理数表示有理数的一个范例.
任务:请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
参考答案
1.D解析原式.故选D.
2．D．
3．B．
4．D．
5.D
解析：,故选D.
6.解析根据三角形面积公式,得.
7．(1)
(2)
8．(1)3；(2)
9．
10．
11．
12．
13．(可以按整式乘法，也可以按因式分解法)．
14.解:由a&b＝a(a-b)＋b(a＋b)得
15．4．
16．约7.70．
17.解:第1个数:当n＝1时,
第2个数:当n＝2时,
＝1.
