2017年秋沪科版八年级数学上册章末检测卷-第15章轴对称图形和等腰三角形（含答案）

第15章检测卷
时间：100分钟　　　　　满分：150分
班级：__________　　姓名：__________　　得分：__________
一、选择题(每小题4分，共40分)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(　　)
2．点P(－2，1)关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A．(2，－1)
B．(－2，1)
C．(2，1)
D．(－2，－1)
3．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为(　　)
A．6
B．5
C．4
D．3
第3题图　第4题图
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，过A点作AD∥BC，若∠BAD＝110°，则∠BAC的大小为(　　)
A．30°
B．40°
C．50°
D．70°
5．如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC＝CD，则∠BAD的度数为(　　)
A．50°
B．45°
C．40°
D．35°
第5题图　第6题图
6．如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折，使顶点C与A重合，折痕交BC于D，交AC于E，连接AD，若AE＝4cm，则△ABD的周长是(　　)
A．20cm
B．18cm
C．15cm
D．22cm
7．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR＝PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则下列四个结论正确的是(　　)
①点P在∠A的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP.
A．①②③④
B．①②
C．②③
D．①③
第7题图
8．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于(　　)
A．75°
B．15°
C．75°或15°
D．30°
9．如图，在等边三角形ABC中，中线AD、BE交于F，则图中共有等腰三角形(　　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
　
第9题图　
第10题图第11题图
10．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小，此时∠AMN＋∠ANM的度数为(　　)
A．130°
B．120°
C．110°
D．100°
二、填空题(每小题5分，共20分)
11．小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，共走了200米，则山的高度为________米．
12．△ABC的三边AB、BC、CA长分别为12、10、6，其三条角平分线的交点为O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝__________．
13．如图，在△ABC中，BC边的中垂线交BC于D，交AB于E.若CE平分∠ACB，∠B＝40°，则∠A＝________．
　第13题图　第14题图
14．如图，在线段AB上取一点C(非中点)，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于F，连接BD交CE于G，AE和BD交于点H，则下列结论正确的是________(填序号)．
①AE＝DB；②不另外添加线，图中全等三角形只有1对；③若连接FG，则△CFG是等边三角形；④若连接CH，则CH平分∠FHG.
三、解答题(共90分)
15．(8分)如图所示是一个8×10的正方形格纸，在△ABC中，A点坐标为(－2，1)．
(1)△ABC和△A′B′C′满足什么几何变换(直接写出答案)
(2)作△A′B′C′关于x轴的对称图形△A″B″C″；
(3)求A″、B″、C″三点的坐标(直接写出答案)．
16．(8分)已知点A(a＋b，2)，点B(－b，a－b)关于y轴对称，求ba的值．
17．(8分)如图，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求证：∠C＝2∠D.
18.(8分)如图，学校要在两条小路OM和ON之间的S区域规划修建一处“英语角”，按照设计要求，英语角C到两栋教学楼A，B的距离必须相等，到两条小路的距离也必须相等，则“英语角”应修建在什么位置？请在图上标出它的位置(尺规作图，保留痕迹)．
19．(10分)如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线对折，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E.
(1)求证：△DCE≌△BFE；
(2)若EF＝2，∠ADB＝30°，求DF的长．
20．(10分)如图，△ABC中，BA＝BD，CA＝CE，∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．
21．(12分)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm.
(1)求线段BC的长；
(2)连接OA，求线段OA的长；
(3)若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．
22．(12分)如图，延长△ABC的各边，使得BF＝AC，AE＝CD＝AB，顺次连接点D、E、F，得到△DEF为等边三角形．
(1)试证明△AEF≌△CDE；
(2)△ABC是等边三角形吗？请说明你的理由．
23．(14分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动(与A、C不重合)，Q是CB延长线上一点，点Q同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长；
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
参考答案与解析
1．A　2.D　3.A　4.B　5.B　6.D　7.A　8.C
9．D　解析：△CDE，△DEF，△ADE，△BDE，△ABF，△ABC都是等腰三角形，共6个．故选D.
10．B　解析：如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB＝120°，∴∠AA′M＋∠A″＝180°－∠BAD＝60°.由对称可得∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″.又∵∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°＝120°.故选B.
11．100　12.6∶5∶3
13．60°　解析：∵DE是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∴∠B＝∠BCE＝40°.∵CE平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠BCE＝80°，∴∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.
14．①③④　解析：∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACE＝∠BCD.在△ACE和△DCB中，∵∴△ACE≌△DCB(SAS)，∴AE＝DB，∠CAE＝∠CDB.∵∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝∠DCE.在△ACF与△DCG中，∵∴△ACF≌△DCG.同理可得△BCG≌△ECF，故①正确，②错误；∵△ACF≌△DCG，∴CF＝CG.∵∠FCG＝60°，∴△FCG是等边三角形，故③正确；如图，过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N.∴∠AMC＝∠DNC＝90°.在△ACM与△DCN中，∵∴△ACM≌△DCN，∴CM＝CN，∴CH平分∠FHG，故④正确．故答案为①③④.
15．解：(1)轴对称；(2分)
(2)如图所示；(5分)
(3)A″(2，－1)，B″(1，－2)，C″(3，－3)．(8分)
16．解：∵点A(a＋b，2)，点B(－b，a－b)关于y轴对称，∴(4分)解得∴ba＝(－2)0＝1.(8分)
17．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠D.∵AD∥BC，∴∠D＝∠CBD.(3分)∴∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝2∠D，∴∠C＝2∠D.(8分)
18．解：如图所示，作∠NOM的平分线和线段AB的垂直平分线，它们的交点为C，则C点就是英语角的位置．(8分)
19．(1)证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AB＝CD，∠A＝∠C＝∠ADC＝90°.由折叠的性质可得AB＝FB，∠F＝∠A＝90°.∴DC＝BF，∠C＝∠F.在△DCE和△BFE中，∵∴△DCE≌△BFE(AAS)；(5分)
(2)解：由折叠的性质可得∠BDF＝∠ADB＝30°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADB－∠BDF＝30°.由(1)可知△DCE≌△BFE，∴CE＝FE＝2.在Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴DE＝2CE＝4，∴DF＝DE＋EF＝4＋2＝6.(10分)
20．解：∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝(180°－∠B)＝90°－∠B.∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠CEA＝(180°－∠C)＝90°－∠C.(4分)∴∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－(∠BDA＋∠CEA)＝180°－＝(∠B＋∠C)＝(180°－∠BAC)＝(180°－100°)＝40°.(10分)
21．解：(1)∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB.∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，∴BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝6cm；(4分)
(2)∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB.∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC.∴OA＝OB＝OC.∵OB＋OC＋BC＝16cm，BC＝6cm，∴OA＝OB＝OC＝5cm；(8分)
(3)∵∠BAC＝120°，∴∠ABC＋∠ACB＝60°.由(1)可知DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC－∠BAD－∠EAC＝∠BAC－∠ABC－∠ACB＝120°－60°＝60°.(12分)
22．解：(1)∵BF＝AC，AB＝AE，∴AF＝CE.∵△DEF是等边三角形，∴EF＝DE.又∵AE＝CD，∴△AEF≌△CDE(SSS)；(5分)
(2)△ABC是等边三角形．(6分)理由如下：由(1)可知△AEF≌△CDE，∴∠FEA＝∠EDC，∴∠BCA＝∠EDC＋∠DEC＝∠FEA＋∠DEC＝∠DEF.又∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∴∠BCA＝60°.同理可得∠BAC＝60°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．(12分)
23．解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB＝60°.∵∠BQD＝30°，∴∠QPC＝90°.(2分)设AP＝x，则PC＝6－x，QB＝x，∴QC＝QB＋BC＝6＋x.(4分)∵在Rt△QCP中，∠CQD＝30°，∴PC＝QC，即6－x＝(6＋x)，解得x＝2，∴AP＝2；(6分)
(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．(7分)如图，过P作PF∥BC交AB于F，(8分)则∠1＝∠2.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°.∵PF∥BC，∴∠AFP＝∠ABC＝60°，∠APF＝∠C＝60°，∴△APF为等边三角形，∴AP＝FP.∵PE⊥AB，∴AE＝FE＝AF，即AF＝2EF.(10分)又∵P、Q点运动速度相同，∴AP＝BQ，∴FP＝BQ.在△BDQ和△FDP中，∴△BDQ≌△FDP(AAS)，∴DB＝DF，∴BF＝2DF.(12分)∵AF＋BF＝AB，∴2EF＋2DF＝AB，∴EF＋DF＝AB，即DE＝AB＝×6＝3.(14分)