(共29张PPT)
学业分层测评
阶段一
阶段二
阶段三
垂直
原
点
坐标轴
坐标平面
zOx
135°
右手
x
y
z
横坐标
纵坐标
竖坐标
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
紫款出
微体验o
阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
素能关
类型
素能关
名师指津
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
探究点
综合关
cM2002
x
第四章圆与方程
Beijing
august20-28,200
学习目标导航
2
B
E
D1
B1
c>
建系
建立恰当的空间直角坐标系
确定点
的坐标
确定出所需点的坐标
应用
利用空间两点间的距离
公式
公式求得所求线段的长
C
B
A
B
D0
C
y
B第四章
圆与方程
[自我校对]
①(x－a)2＋(y－b)2＝r2
②x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)
③|O1O2|＞r1＋r2
④|O1O2|＝r1＋r2
⑤|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2
(教师用书独具)
求圆的方程
求圆的方程主要是联系圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．一般地，当已知圆的圆心或半径的几何特征时，设圆的标准方程，并结合圆的几何性质求解；当已知圆上三个点时，设圆的一般方程；当所求圆经过直线与圆、圆与圆的交点时，常利用圆系方程来解答．
过两个已知圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．
求圆心在直线3x＋4y－1＝0上，且经过两圆x2＋y2－x＋y－2＝0与x2＋y2＝5的交点的圆的方程.
【精彩点拨】 解答本题可利用过两圆交点的圆系方程求解，也可求出两交点坐标，再利用待定系数法求解．
【规范解答】 法一：设所求圆为x2＋y2－x＋y－2＋λ(x2＋y2－5)＝0，
化为一般式，得x2＋y2－x＋y－＝0.
故圆心坐标为，
代入直线3x＋4y－1＝0，得λ＝－.
再把λ代入所设方程，得x2＋y2＋2x－2y－11＝0，
故所求圆的方程为x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
法二：解方程组
得两圆的交点为A(1，－2)和B(2，－1)．
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
∵A，B在圆上，且圆心在直线3x＋4y－1＝0上，
∴
解得
∴所求圆的方程是x2＋y2＋2x－2y－11＝0.
[再练一题]
1．圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴均相切，求此圆的标准方程．
【解】 设所求圆的标准方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2(r＞0)．因为圆与两坐标轴均相切，故圆心坐标满足x0－y0＝0或x0＋y0＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，所以5x0－3y0＝8.
由得
由得
所以圆心坐标为(4,4)或(1，－1)，相应的半径为r＝4或r＝1，故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
直线与圆、圆与圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．
2．解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题．
已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l过点P(2,3)且与圆M交于A，B两点，且|AB|＝2，求直线l的方程．
【精彩点拨】 分斜率存在与不存在两种情况：
(1)
(2)
【规范解答】 (1)当直线l存在斜率时，设直线l的方程为y－3＝k(x－2)，
即kx－y＋3－2k＝0.
示意图如图，作MC⊥AB于C.
在Rt△MBC中，|BC|＝|AB|＝，|MB|＝2，
故|MC|＝＝1，
由点到直线的距离公式得＝1，
解得k＝.
故直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
(2)当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，
且|AB|＝2，所以符合题意．
综上所述，直线l的方程为3x－4y＋6＝0或x＝2.
[再练一题]
2．已知圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点Q(3，－)，求圆C的方程．
【解】 设所求圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C(a，b)与Q(3，－)的连线垂直于直线x＋y＝0，且斜率为.
由题意得
解得或
∴所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
轨迹问题
1.求动点的轨迹方程是解析几何中的重要题型，解答这类问题常用的方法有：直接法、定义法、消元法、代数法等．
2．求轨迹方程的步骤：(1)建系设点；(2)列出动点满足的轨迹条件；(3)把轨迹条件坐标化；(4)化简整理；(5)检验．在检验中要排除不符合要求的点，或者补充上漏掉的部分．
如图4 1，圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN，(M，N分别为切点)，使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．
图4 1
【精彩点拨】 由△PMO1与△PNO2均为直角三角形表示出切线长|PM|与|PN|，建立坐标系后，设出P点坐标即可由等式|PM|＝|PN|求出P点的轨迹方程．
【规范解答】 如图，以O1，O2所在直线为x轴，线段|O1O2|的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0)，设动点P的坐标为(x，y)．
在Rt△PMO1中，|PM|2＝|PO1|2－1，
在Rt△PNO2中，|PN|2＝|PO2|2－1.
又因为|PM|＝|PN|，所以|PM|2＝2|PN|2，即
|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)，即|PO1|2＋1＝2|PO2|2，
所以(x＋2)2＋y2＋1＝2[(x－2)2＋y2]，
整理得x2＋y2－12x＋3＝0，即为所求点P的轨迹方程．
[再练一题]
3．等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
【解】 设另一端点C的坐标为(x，y)
.
依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，
得＝
，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4,2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线．即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3,5)．
又因为点B、C不能为一直径的两个端点，所以≠4.且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))．
综上，它的轨迹是以点A(4,2)为圆心，为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点.
数形结合思想
1.数形结合思想在解析几何中的应用极其广泛，利用数形结合的思想解题，能把抽象的数量关系与直观的几何图形建立起关系，从而使问题在解答过程中更加形象化、直观化，而本章的相关知识整体体现了这种思想，即把几何问题代数化，同时利用代数(方程)的思想反映几何问题．
2．(1)形如u＝的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；
(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率的最值问题；
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可借助于图形分析转化为动点到定点距离的最值问题．
已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点．
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值．
【精彩点拨】 利用式子与x－2y的几何意义求解．
【规范解答】 (1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率．令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1,2)的圆C的两条切线的斜率．
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，
∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得．
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
[再练一题]
4．若实数x，y满足x2＋y2＋8x－6y＋16＝0，求x＋y的最小值．
【解】 原方程化为
(x＋4)2＋(y－3)2＝9，
设x＋y＝b，则y＝－x＋b，
可见x＋y的最小值就是过圆(x＋4)2＋(y－3)2＝9上的点作斜率为－1的平行线中，纵截距b的最小值，此时，直线与圆相切，
由点到直线的距离公式得＝3.
解得b＝3－1或b＝－3－1，
所以x＋y的最小值为－3－1.
1．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1
B．2
C.
D．2
【解析】 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
【答案】 C
2．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝( )
A．－
B．－
C.
D．2
【解析】 由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
【答案】 A
3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【解析】 法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0) x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
依题意，有＝，解得a＝2.
以下同法一．
【答案】 B
4．已知a∈R方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】 由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－<0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
【答案】 (－2，－4) 5
5．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
【解析】 圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝.|AB|＝2，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，
所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.
【答案】 4π(共29张PPT)
学业分层测评
阶段一
阶段二
阶段三
d＞r
d＝r
d＜r
阶卫认知预习质疑
知识梳理要点初探
紫款出
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阶段2合作探究通关
分组讨论疑难细究
类型1
素能关
类型
素能关
名师指津
阶段3体验落实评价
课堂回馈即时达标
探究点
综合关
cM2002
x
第四章圆与方程
Beijing
august20-28,200
学习目标导航
y
x-y+1
0
y
10
A-14.3.1
空间直角坐标系
4.3.2
空间两点间的距离公式
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是
( )
A．(－1,3，－5)
B．(1,3,5)
C．(1，－3,5)
D．(－1，－3,5)
【解析】 P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标为(1,3,5)．
【答案】 B
2．点P到原点O的距离是( )
A.
B．1
C.
D.
【解析】 |PO|＝＝1.
【答案】 B
3．与A(3,4,5)，B(－2,3,0)两点距离相等的点M(x，y，z)满足的条件是( )
A．10x＋2y＋10z－37＝0
B．5x－y＋5z－37＝0
C．10x－y＋10z＋37＝0
D．10x－2y＋10z＋37＝0
【解析】 由|MA|＝|MB|，得(x－3)2＋(y－4)2＋(z－5)2＝(x＋2)2＋(y－3)2＋z2，化简得10x＋2y＋10z－37＝0，故选A.
【答案】 A
4．已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为( )
A．3
B．3
C．2
D．2
【解析】 |AB|＝
＝
＝，
当a＝－1时，|AB|min＝＝3.
【答案】 B
5．如图4 3 3，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为( )
图4 3 3
A.a
B.a
C．a
D.a
【解析】 由题意得F，A1(a,0，a)，C(0，a,0)，
∴E，则|EF|＝＝a.
【答案】 B
二、填空题
6．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.
【解析】 点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)，∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.
【答案】 0
7．在空间直角坐标系中，以O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)为一个三棱锥的顶点，则此三棱锥的表面积为________.
【解析】 S△AOC＝S△BOC＝S△AOB
＝×2×2
＝2，
S△ABC＝×|AB|2＝×8＝2，
故三棱锥的表面积S＝6＋2.
【答案】 6＋2
三、解答题
8．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，判断△ABC的形状.
【解】 |AB|＝
＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
因为|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
所以△ABC为等腰直角三角形．
9．如图4 3 4，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．
图4 3 4
【解】 过点D作DE⊥BC，垂足为E.
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin
30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos
60°＝1－＝，
∴点D的坐标为.
[能力提升]
10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )
A.
B.
C.
D.
【解析】 设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝，∴＝.
【答案】 A
11．如图4 3 5，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，M为BD1的中点，N在A1C1上，且|A1N|＝3|NC1|，试求MN的长．
图4 3 5
【解】 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(a，a,0)，
A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，D1(0,0，a)．由于M为BD1的中点，所以M，取A1C1中点O1，则O1，因为|A1N|＝3|NC1|，所以N为O1C1的中点，故N.
由两点间的距离公式可得：|MN|＝＝a.4.2.1
直线与圆的位置关系
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离
B．相切
C．相交但直线不过圆心
D．相交且直线过圆心
【解析】 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
【答案】 C
2．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是( )
A．x＋2y－3＝0
B．x＋2y－5＝0
C．2x－y＋4＝0
D．2x－y＝0
【解析】 结合圆的几何性质知直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为：y－2＝－(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.
【答案】 B
3．圆心为(3,0)且与直线x＋y＝0相切的圆的方程为( )
A．(x－)2＋y2＝1
B．(x－3)2＋y2＝3
C．(x－)2＋y2＝3
D．(x－3)2＋y2＝9
【解析】 由题意知所求圆的半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝3，故选B.
【答案】 B
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
【解析】 由弦长公式l＝2，可知圆心到直线的距离d＝，即＝，解得a＝0或4.
【答案】 D
5．圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m，最小弦长为n，则m－n＝( )
A．10－2
B．5－
C．10－3
D．5－
【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，圆心(2，－3)到(－1,0)的距离为＝3<5.∴最大弦长为直径，即m＝10，最小弦长为以(－1,0)为中点的弦，
即n＝2＝2.
∴m－n＝10－2.
【答案】 A
二、填空题
6．直线x－y＝0与圆(x－2)2＋y2＝4交于点A、B，则|AB|＝________.
【解析】 圆心到直线的距离d＝＝，半径r＝2，∴|AB|＝2＝2.
【答案】 2
7．圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有________个.
【解析】 圆的方程可化为
(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，
所以弦心距为d＝＝.
又圆的半径为2，所以到直线x＋y＋1＝0的距离为的点有3个．
【答案】 3
三、解答题
8．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【解】 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方，得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，
则有＝2.解得a＝－.
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
9．在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－y＝4相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若圆O上有两点M、N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2，求直线MN的方程．
【解】 (1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，
即r＝＝2.
所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.
则圆心O到直线MN的距离d＝.
由垂径分弦定理得：＋()2＝22，即m＝±.
所以直线MN的方程为：2x－y＋＝0或2x－y－＝0.
[能力提升]
10．直线y＝x＋b与曲线x＝有且仅有一个公共点，则实数b的取值范围是( )
A．b＝
B．－1＜b≤1或b＝－
C．－1≤b≤1
D．以上都不正确
【解析】 如图，作半圆的切线l1和经过端点A，B的直线l3，l2，由图可知，当直线y＝x＋b为直线l1或位于l2和l3之间(包括l3，不包括l2)时，满足题意．
∵l1与半圆相切，∴b＝－；
当直线y＝x＋b位于l2时，b＝－1；
当直线y＝x＋b位于l3时，b＝1.
∴b的取值范围是－1＜b≤1或b＝－.
【答案】 B
11．已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3)．
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交．
(2)圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短．
此时PC⊥l，又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.
所以|AB|＝2＝2.
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2.(共31张PPT)
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提升层·能力强化
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cM2002
x
第四章圆与方程
Beijing
august20-28,200
圆的方程
标准方程:①
般方程:②
相交:d直线与圆的
位置关系
相切:d=r
相离:dr
圆
外离:③
外切:④
圆与圆的
相交:⑤
位置关系
内切01O2|=1r1-r2
内含:0≤|01O21<|r-r2
空间点的坐标(xy,
空间直角坐标系十空间两点间距离公式
空间两点的中点坐标公式
巩固层·知识整合
知识体系反哺教材
提升层能力强化
)化整合探究提升。
M
MAXo
5
2
L
3
y(共29张PPT)
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第四章圆与方程
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august20-28,200
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口袭物
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看精彩微课4.1.2
圆的一般方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是( )
A．一个点
B．一个圆
C．一条直线
D．不存在
【解析】 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，
可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．
【答案】 A
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圆过原点且圆心在直线y＝x上的条件是( )
A．D＝E＝0，F≠0
B．D＝F＝0，E≠0
C．D＝E≠0，F≠0
D．D＝E≠0，F＝0
【解析】 ∵圆过原点，∴F＝0，又圆心在y＝x上，∴D＝E≠0.
【答案】 D
3．由方程x2＋y2＋x＋(m－1)y＋m2＝0所确定的圆中，最大面积是( )
A.π
B.π
C．3π
D．不存在
【解析】 所给圆的半径为
r＝＝.
所以当m＝－1时，
半径r取最大值，此时最大面积是π.
【答案】 B
4．若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为( )
A．－2或2
B.或
C．2或0
D．－2或0
【解析】 把圆x2＋y2－2x－4y＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则＝，解得a＝2，或a＝0.故选C.
【答案】 C
5．若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为( )
A．x2＋y2＝25(y≠0)
B．x2＋y2＝25
C．(x－2)2＋y2＝25(y≠0)
D．(x－2)2＋y2＝25
【解析】 线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为|AB|＝5，所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝25(y≠0)．
【答案】 C
二、填空题
6．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
【解析】 由题意可得圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，将代入直线方程得－1－＋2＝0，解得a＝－2.
【答案】 －2
7．当动点P在圆x2＋y2＝2上运动时，它与定点A(3,1)连线中点Q的轨迹方程为________．
【解析】 设Q(x，y)，P(a，b)，由中点坐标公式得
所以
点P(2x－3,2y－1)满足圆x2＋y2＝2的方程，所以(2x－3)2＋(2y－1)2＝2，
化简得2＋2＝，即为点Q的轨迹方程．
【答案】 2＋2＝
三、解答题
8．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程.
【解】 圆心C，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2，
①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20，
②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以所以圆的一般方程为：
x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
9．已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹．
【解】 设动点P的坐标为(x，y)，根据题意可知AP⊥OP.
当AP垂直于x轴时，P的坐标为(1,0)，此时x＝1；
当x＝0时，y＝0；
当x≠0，且x≠1时，有kAP·kOP＝－1，
∵kAP＝，kOP＝，
∴·＝－1，
即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．
经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．
综上所述，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．
[能力提升]
10．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )
A．π
B．4π
C．8π
D．9π
【解析】 设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知
＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.
【答案】 B
11．已知圆的方程是x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0.
(1)求此圆的圆心与半径；
(2)求证：不论m为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．
【解】 (1)x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9，
∴圆心为(1－m,2m)，半径r＝3.
(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a，b)满足方程组
即2a＋b＝2.
∴不论m为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x＋y－2＝0上，且为等圆．(共26张PPT)
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2
1
0
＜
＝
＞
＞
＝
＜
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第四章圆与方程
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C
B4.2.2
圆与圆的位置关系
4.2.3
直线与圆的方程的应用
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知两圆的圆心距是6，两圆的半径分别是方程x2－6x＋8＝0的两个根，则这两个圆的位置关系是( )
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
【解析】 由已知两圆半径的和为6，与圆心距相等，故两圆外切．
【答案】 B
2．已知两圆相交于A(1,3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋2c的值为( )
A．－1
B．1
C．3
D．0
【解析】 由题意知：直线x－y＋c＝0为线段AB的垂直平分线，且线段AB的中点在直线x－y＋c＝0上，所以－1＋c＝0，即m＋2c＝1.
【答案】 B
3．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5
B．1
C．3－5
D．3＋5
【解析】 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
【答案】 C
4．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为( )
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
【解析】 ∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5，可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
【答案】 D
5．过点P(2,3)向圆C：x2＋y2＝1上作两条切线PA，PB，则弦AB所在的直线方程为( )
A．2x－3y－1＝0
B．2x＋3y－1＝0
C．3x＋2y－1＝0
D．3x－2y－1＝0
【解析】 弦AB可以看作是以PC为直径的圆与圆x2＋y2＝1的交线，而以PC为直径的圆的方程为(x－1)2＋＝.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB所在的直线方程为：(x－1)2＋－－(x2＋y2－1)＝0，整理可得2x＋3y－1＝0，故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________．
【解析】 设所求圆的方程为
(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
【答案】 x2＋y2－x＋y＋2＝0
7．与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相外切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程为__________.
【解析】 设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1.
①
因为两圆外切，
则有＝1＋2＝3，
②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2
＝1.
【答案】 (x－5)2＋(y＋1)2＝1
三、解答题
8．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．
【解】 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，
即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，
①
已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，
②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
9．有相距100
km的A，B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍．问怎样确定A，B两批发市场的售货区域对当地居民有利？
【解】 建立以AB所在直线为x轴，AB中点为原点的直角坐标系(图略)，则A(－50,0)，B(50,0)．
设P(x，y)，由2|PA|＝|PB|，得x2＋y2＋x＋2
500＝0，
所以在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0内到A地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0外到B地购物合算；在圆x2＋y2＋x＋2
500＝0上到A，B两地购物一样合算．
[能力提升]
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7
B．6
C．5
D．4
【解析】 若∠APB＝90°，则点P的轨迹是以AB为直径的圆，
其方程为x2＋y2＝m2.
由题意知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1与圆O：x2＋y2＝m2有公共点，
所以|m－1|≤|OC|≤m＋1，易知|OC|＝5，
所以4≤m≤6，故m的最大值为6.
【答案】 B
11．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
【解】 (1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2，
∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，
∴r2＝|O1O2|－r1＝－2＝2(－1)，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程，为4x＋4y＋r－8＝0.
∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝＝，
解得r＝4或20.
∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.(共33张PPT)
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建立适当的
,用坐标和方程表示
第步〉间题中的
将平面几何问题转
化为问题
第二步
通过代数运算,解决代数问题
第三步>把代数运算结果“翻译”成
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第四章圆与方程
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y
E
Bx
审题认真审题,明确题意,从题目中抽象出几何模
型,明确题中已知和待求的数据
建系建立适当的平面直角坐标系,通过点的坐标及
已知条件,求出几何模型的方程
求解x利用直线、圆的性质等有关知识求解
还原》将运算结果还原为对实际问题的解释
y
港囗
轮船4.1.1
圆的标准方程
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
【解析】 由圆的标准方程得(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
【答案】 D
2．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2过原点，则( )
A．a2＋b2＝0
B．a2＋b2＝r2
C．a2＋b2＋r2＝0
D．a＝0，b＝0
【解析】 由题意得(0－a)2＋(0－b)2＝r2，即a2＋b2＝r2.
【答案】 B
3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是( )
A．1
B．4
C．5
D．6
【解析】 圆心(0,0)到M的距离|OM|＝＝5，所以所求最小值为5－1＝4.
【答案】 B
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
【解析】 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
【答案】 C
5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D．(x－1)2＋(y－2)2＝5
【解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0.
由得∴C(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 C
二、填空题
6．若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________.
【解析】 ∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，∴|a|>，即a>或a<－.
【答案】 a>或a<－
7．圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【解析】 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为(1,1)，圆心到直线x－y＝2的距离为＝，圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为1＋.
【答案】 1＋
三、解答题
8．已知圆C过点A(4,7)，B(－3,6)，且圆心C在直线l：2x＋y－5＝0上，求圆C的方程.
【解】 法一：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
∵A，B∈圆C，C∈l，
∴解得
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
法二：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，∵C∈l，
∴2a＋b－5＝0，则b＝5－2a，
∴圆心为C(a,5－2a)．
由圆的定义得|AC|＝|BC|，
即
＝.
解得a＝1，从而b＝3，即圆心为C(1,3)，半径r＝|CA|＝＝5.
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝25.
9．已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．
【解】 法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，
|AB|＝8，
∴|AO|＝4.
在Rt△AOC中，
|OC|＝
＝＝3.
设点C坐标为(a,0)，
则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.
∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．
代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.
∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.
[能力提升]
10．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是( )
A．(x－2)2＋(y－2)2＝20
B．(x－2)2＋(y－2)2＝10
C．(x－2)2＋(y－2)2＝5
D．(x－2)2＋(y－2)2＝
【解析】 易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.
【答案】 C
11．(1)如果实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，求的最大值和最小值；
(2)已知实数x，y满足方程x2＋(y－1)2＝，求的取值范围．
【解】 (1)法一：如图，当过原点的直线l与圆(x－2)2＋y2＝3相切于上方时最大，过圆心A(2,0)作切线l的垂线交于B，在Rt△ABO中，OA＝2，AB＝.
∴切线l的倾斜角为60°，∴的最大值为.
同理可得的最小值为－.
法二：令＝n，则y＝nx与(x－2)2＋y2＝3联立，
消去y得(1＋n2)x2－4x＋1＝0，
Δ＝(－4)2－4(1＋n2)≥0，即n2≤3，
∴－≤n≤，即的最大值、最小值分别为、－.
(2)可以看成圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离．圆心C(0,1)到A(2,3)的距离为
d＝＝2.
由图可知，圆上的点P(x，y)到A(2,3)的距离的范围是.
即的取值范围是
.(四) 圆与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是( )
A．2
B．2
C．9
D.
【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得：
|AB|＝＝.
【答案】 D
2．当圆x2＋y2＋2x＋ky＋k2＝0的面积最大时，圆心坐标是( )
A．(0，－1)
B．(－1,0)
C．(1，－1)
D．(－1,1)
【解析】 圆的标准方程得：(x＋1)2＋＝1－，当半径的平方1－取最大值为1时，圆的面积最大．∴k＝0，即圆心为(－1,0)．
【答案】 B
3．圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．内含
D．内切
【解析】 把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别化为标准式为(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，两圆心间的距离d＝＝2＝|r1－r2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.
【答案】 D
4．过点(2,1)的直线中，被圆x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最长弦所在的直线方程为( )
A．3x－y－5＝0
B．3x＋y－7＝0
C．x＋3y－5＝0
D．x－3y＋1＝0
【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得＝，即3x－y－5＝0，故选A.
【答案】 A
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( )
A．相切
B．相交
C．相离
D．不确定
【解析】 由题意知点在圆外，则a2＋b2＞1，圆心到直线的距离d＝＜1，故直线与圆相交．
【答案】 B
6．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0
B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0
D．x－y－3＝0
【解析】 圆心C(1,0)，kPC＝＝－1，
则kAB＝1，AB的方程为y＋1＝x－2，
即x－y－3＝0，故选D.
【答案】 D
7．圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝1
B．(x＋2)2＋y2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a－2)2＋(1－0)2＝1，解得a＝2.故所求圆的方程是(x－2)2＋y2＝1.
【答案】 A
8．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A．36
B．18
C．6
D．5
【解析】 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0的圆心为(2,2)，半径为3，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为＝5＞3，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R＝6.
【答案】 C
9．把圆x2＋y2＋2x－4y－a2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x－4y－4＝0相切，则实数a的值为( )
A．－3
B．3
C．－3或3
D．以上都不对
【解析】 圆的方程可变为(x＋1)2＋(y－2)2＝a2＋7，圆心为(－1,2)，半径为，由题意得＝－1，解得a＝±3.
【答案】 C
10．若圆(x－5)2＋(y－1)2＝r2(r>0)上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离等于1，则实数r的取值范围为( )
A．[4,6]
B．(4,6)
C．[5,7]
D．(5,7)
【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x＋3y＋2＝0的距离为＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x＋3y＋2＝0的距离为1，则4【答案】 B
11．已知圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝2，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－3)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－2)2＋(y＋2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋3)2＝2
【解析】 设点(－2,2)关于直线x－y－1＝0的对称点为Q(m，n)，则解得m＝3，n＝－3，所以圆C2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C2的方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝2，故选D.
【答案】 D
12．已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2＝－2y＋3，直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A．1
B.
C．2
D．2
【解析】 由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r＝2.因为直线l经过点(1,0)且与直线x－y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率为－1，方程为y－0＝－(x－1)，即为x＋y－1＝0.又圆心(0，－1)到直线l的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝2.又坐标原点O到弦AB的距离为＝，所以△OAB的面积为×2×＝1.故选A.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知A(1,2,3)，B(5,6，－7)，则线段AB中点D的坐标为________.
【解析】 设D(x，y，z)，由中点坐标公式可得x＝＝3，y＝＝4，z＝＝－2，所以D(3,4，－2)．
【答案】 (3,4，－2)
14．以原点O为圆心且截直线3x＋4y＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________．
【解析】 原点O到直线的距离d＝＝3，设圆的半径为r，∴r2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x2＋y2＝25.
【答案】 x2＋y2＝25
15．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为________________．
【解析】 圆心为(－1,2)．
设所求的直线方程为3x＋4y＋D＝0，
由点到直线的距离公式，得
＝2，即＝2，
解得D＝5或－15.
故所求的直线方程为：3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0.
【答案】 3x＋4y＋5＝0或3x＋4y－15＝0
16．若x，y∈R，且x＝，则的取值范围是________．
【解析】 x＝ x2＋y2＝1(x≥0)，此方程表示半圆，如图，设P(x，y)是半圆上的点，则表示过点P(x，y)，Q(－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA的斜率为k，则它的方程为y＋2＝k(x＋1)．从而由＝1，解得k＝.又kBQ＝3，∴所求范围是.
【答案】
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)求经过两点A(－1,4)，B(3,2)且圆心在y轴上的圆的方程．
【解】 法一：∵圆心在y轴上，
设圆的标准方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵该圆经过A、B两点，
∴∴
所以圆的方程是x2＋(y－1)2＝10.
法二：线段AB的中点为(1,3)，
kAB＝＝－，
∴弦AB的垂直平分线方程为y－3＝2(x－1)，
即y＝2x＋1.
由得(0,1)为所求圆的圆心．
由两点间距离公式得圆半径r为
＝，
∴所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
18．在三棱柱ABO A′B′O′中，∠AOB＝90°，侧棱OO′⊥面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
【解】 如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA，OB，OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2,0,0)，B(0,2,0)，O(0,0,0)，A′(2,0,2)，B′(0,2,2)，O′(0,0,2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1,0,1)，
设E点坐标为(0,2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝
＝，
故当z＝1时，|EC|取得最小值为，此时E(0,2,1)为线段BB′的中点．
19．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，过点P(2，－1)作圆C的切线，切点为A，B.
(1)求直线PA，PB的方程；
(2)求过P点的圆C的切线长．
【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为
y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.
圆心到直线的距离等于，即＝，
∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，
故所求的切线方程为
y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，
即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.
(2)在Rt△PAC中|PA|2＝|PC|2－|AC|2
＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，
∴过P点的圆C的切线长为2.
20．(本小题满分12分)点A(0,2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
【解】 设点M(x，y)，因为M是弦BC的中点，故OM⊥BC.
又∵∠BAC＝90°，∴|MA|＝|BC|＝|MB|.
∵|MB|2＝|OB|2－|OM|2，
∴|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，
即x2＋(y－1)2＝7.
∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以为半径的圆．
21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(－2,3)，C(2,1)．
图1
(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；
(2)若B点的坐标为(－2，－2)，求直线BC截圆E所得的弦长．
【解】 (1)AC的中点E(0,2)即为圆心，
半径r＝|AC|＝＝，
所以圆E的方程为x2＋(y－2)2＝5.
(2)直线BC的斜率k＝＝，
其方程为y－1＝(x－2)，即3x－4y－2＝0.
点E到直线BC的距离为d＝＝2，所以BC截圆E所得的弦长为2＝2.
22.
(本小题满分12分)如图2，已知圆C：x2＋y2＋10x＋10y＝0，点A(0,6)．
图2
(1)求圆心在直线y＝x上，经过点A，且与圆C相外切的圆N的方程；
(2)若过点A的直线m与圆C交于P，Q两点，且圆弧PQ恰为圆C周长的，求直线m的方程．
【解】 (1)由x2＋y2＋10x＋10y＝0，
化为标准方程：(x＋5)2＋(y＋5)2＝50.
所以圆C的圆心坐标为C(－5，－5)，
又圆N的圆心在直线y＝x上，
所以当两圆外切时，切点为O，设圆N的圆心坐标为(a，a)，
则有＝，
解得a＝3，
所以圆N的圆心坐标为(3,3)，半径r＝3，
故圆N的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
(2)因为圆弧PQ恰为圆C周长的，所以CP⊥CQ.
所以点C到直线m的距离为5.
当直线m的斜率不存在时，点C到y轴的距离为5，直线m即为y轴，所以此时直线m的方程为x＝0.
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y＝kx＋6，
即kx－y＋6＝0.
所以＝5，解得k＝.
所以此时直线m的方程为x－y＋6＝0，
即48x－55y＋330＝0，
故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.
