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2018年中考数学基础复习专题(二)代数式（学生版）
【知识要点】：
知识点1 整式的概念
（1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；
（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；
多项式的次数是多项式中最高次项的次数；
（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号
（4）同类项概念的两个相同与两个无关：
两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；
两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；
（5）整式加减的实质是合并同类项；
（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。
知识点2 整式的运算 （如结构图）
知识点3 因式分解
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用
写出结果．
（3）十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足
a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则
（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
（5）求根公式法：如果有两个根x1，x2，那么。
知识点4 分式的概念
（1）分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
（2）分式的约分
（3）分式的通分
知识点5 分式的性质
（1）（2）已知分式，分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的值为零：a＝0且b0；分式有意义：b0。
（3）零指数
（4）负整数指数
（5）整数幂的运算性质
上述等式中的m、n可以是0或负整数．
知识点6 根式的有关概念
1. 平方根：若x2＝a（a>0），则x叫做a的平方根，记为。
注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；
2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；
3. 立方根：若x3＝a（a>0），则x叫做a的立方根，记为。
4. 最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。
知识点7 二次根式的性质
①是一个非负数； ②
③ ④
⑤
知识点8 二次根式的运算
（1）二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．
（2）二次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
【复习点拨】
1. 复习整式的有关概念，整式的运算
2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。
3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。
4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
1．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
4．若a2﹣ab=0（b≠0），则=（ ）
A．0 B． C．0或 D．1或 2
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
6．阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i） （1﹣i）= ．
7．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 ．
8． = ．
9．下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步
=2xy+4x+1 第二步
（1）小颖的化简过程从第 步开始出现错误；
（2）对此整式进行化简．
10．计算或化简：
（1）﹣22+（π﹣2017）0﹣2sin60°+|1﹣|；
（2）a（3﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．
11．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
12．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
13．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
14．（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式÷．
15．某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：
原式=+（第一步）
=（第二步）
=．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 步开始出错的，其错误原因是 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
16．计算：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1．
17．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
18．计算、求值：
（1）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）；
（2）已知单项式2xm﹣1yn+3与﹣xny2m是同类项，求m，n的值．
19．（1）计算：（﹣1）2017+18÷﹣×；
（2）解不等式组：．
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2018年中考数学基础复习专题(二)代数式（解析版）
【知识要点】：
知识点1 整式的概念
（1）整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；
（2）单项式的次数是所有字母的指数之和；
多项式的次数是多项式中最高次项的次数；
（3）单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号
（4）同类项概念的两个相同与两个无关：
两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；
两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的顺序无关；
（5）整式加减的实质是合并同类项；
（6）因式分解与整式乘法的过程恰为相反。
知识点2 整式的运算 （如结构图）
知识点3 因式分解
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止．分解因式的常用方法有：
（1）提公因式法
如多项式
其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．
（2）运用公式法，即用
写出结果．
（3）十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式 寻找满足ab＝q，a＋b＝p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足
a1a2＝a，c1c2＝c，a1c2＋a2c1＝b的a1，a2，c1，c2，如有，则
（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．
分组时要用到添括号：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都改变符号.
（5）求根公式法：如果有两个根x1，x2，那么。
知识点4 分式的概念
（1）分式的定义：整式A除以整式B，可以表示成的形式。如果除式B中含有字母，那么称为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母。
对于任意一个分式，分母都不能为零。
（2）分式的约分
（3）分式的通分
知识点5 分式的性质
（1）（2）已知分式，分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a与b异号；分式的值为零：a＝0且b0；分式有意义：b0。
（3）零指数
（4）负整数指数
（5）整数幂的运算性质
上述等式中的m、n可以是0或负整数．
知识点6 根式的有关概念
1. 平方根：若x2＝a（a>0），则x叫做a的平方根，记为。
注意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根；
2. 算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；
3. 立方根：若x3＝a（a>0），则x叫做a的立方根，记为。
4. 最简二次根式
被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
5. 同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。
知识点7 二次根式的性质
①是一个非负数； ②
③ ④
⑤
知识点8 二次根式的运算
（1）二次根式的加减
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．
（2）二次根式的乘法
二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即
二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根式互为有理化因式．
（3）二次根式的除法
二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去（或分子、分母约分）．把分母的根号化去，叫做分母有理化．
【复习点拨】
1. 复习整式的有关概念，整式的运算
2. 理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，能把简单多项式分解因式。
3. 掌握分式的概念、性质，掌握分式的约分、通分、混合运算。
4. 理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。
【典例解析】
1．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，则a﹣c等于（ ）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【考点】44：整式的加减．
【分析】根据题中等式确定出所求即可．
【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，
∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，
故选B
2．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．a（m+n）=am+an B．a2﹣b2﹣c2=（a﹣b）（a+b）﹣c2
C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D．x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x
【考点】51：因式分解的意义．
【分析】根据因式分解的意义即可判断．
【解答】解：（A）该变形为去括号，故A不是因式分解；
（B）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故B不是因式分解；
（D）该等式右边没有化为几个整式的乘积形式，故D不是因式分解；
故选（C）
3．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3
【考点】62：分式有意义的条件．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3；
故选：C．
4．若a2﹣ab=0（b≠0），则=（ ）
A．0 B． C．0或 D．1或 2
【考点】64：分式的值．
【分析】首先求出a=0或a=b，进而求出分式的值．
【解答】解：∵a2﹣ab=0（b≠0），
∴a=0或a=b，
当a=0时，=0．
当a=b时，=，
故选C．
5．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x≥1 B．x≥2 C．x＞1 D．x＞2
【考点】72：二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围；
【解答】解：由题意可知：
∴解得：x≥2
故选（B）
6．阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i） （1﹣i）= 2 ．
【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．
【分析】根据定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2
故答案为：2
7．把多项式x2﹣3x因式分解，正确的结果是 x（x﹣3） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【分析】直接提公因式x即可．
【解答】解：原式=x（x﹣3），
故答案为：x（x﹣3）．
8． = ．
【考点】6A：分式的乘除法．
【分析】原式约分即可得到结果．
【解答】解：原式= =，
故答案为：
9．下面是小颖化简整式的过程，仔细阅读后解答所提出的问题．
解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=x2+2xy﹣x2+2x+1+2x 第一步
=2xy+4x+1 第二步
（1）小颖的化简过程从第 一 步开始出现错误；
（2）对此整式进行化简．
【考点】4A：单项式乘多项式；4C：完全平方公式．
【分析】（1）注意去括号的法则；
（2）根据单项式乘以多项式、完全平方公式以及去括号的法则进行计算即可．
【解答】解：（1）括号前面是负号，去掉括号应变号，故第一步出错，
故答案为一；
（2）解：x（x+2y）﹣（x+1）2+2x
=x2+2xy﹣x2﹣2x﹣1+2x
=2xy﹣1．
10．计算或化简：
（1）﹣22+（π﹣2017）0﹣2sin60°+|1﹣|；
（2）a（3﹣2a）+2（a+1）（a﹣1）．
【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算；35：合并同类项；4A：单项式乘多项式；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂的意原式=义以及特殊角锐角三角函数即可求出答案；
（2）根据平方差公式以及单项式乘以多项式的法则即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=﹣4+1﹣2×+﹣1
=﹣3﹣+﹣1
=﹣4
（2）原式=3a﹣2a2+2（a2﹣1）
=3a﹣2a2+2a2﹣2
=3a﹣2
11．发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证 （1）（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的几倍？
（2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】验证（1）计算（﹣1）2+02+12+22+32的结果，再将结果除以5即可；
（2）用含n的代数式分别表示出其余的4个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是5的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为n，用含n的代数式分别表示出其余的2个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以3得到余数．
【解答】解：发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．
验证（1）（﹣1）2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15，15÷5=3，
即（﹣1）2+02+12+22+32的结果是5的3倍；
（2）设五个连续整数的中间一个为n，则其余的4个整数分别是n﹣2，n﹣1，n+1，n+2，
它们的平方和为：（n﹣2）2+（n﹣1）2+n2+（n+1）2+（n+2）2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10，
∵5n2+10=5（n2+2），
又n是整数，
∴n2+2是整数，
∴五个连续整数的平方和是5的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n﹣1，n+1，
它们的平方和为：（n﹣1）2+n2+（n+1）2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2，
∵n是整数，
∴n2是整数，
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2．
12．我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．
例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．
（1）如果一个正整数m是另外一个正整数n的平方，我们称正整数m是完全平方数．
求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；
（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为36，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”；
（3）在（2）所得“吉祥数”中，求F（t）的最大值．
【考点】59：因式分解的应用．
【分析】（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），找出m的最佳分解，确定出F（m）的值即可；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，根据“吉祥数”的定义确定出x与y的关系式，进而求出所求即可；
（3）利用“吉祥数”的定义分别求出各自的值，进而确定出F（t）的最大值即可．
【解答】解：（1）证明：对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），
∵|n﹣n|=0，
∴n×n是m的最佳分解，
∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；
（2）设交换t的个位上数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，
∵t是“吉祥数”，
∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=36，
∴y=x+4，
∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，
∴满足“吉祥数”的有：15，26，37，48，59；
（3）F（15）=，F（26）=，F（37）=，F（48）==，F（59）=，
∵＞＞＞＞，
∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值为．
13．将下列各式因式分解：
（1）x2﹣9
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）首先提取公因式﹣3m，进而利用十字相乘法分解因式得出答案；
（3）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案；
（4）首先去括号，进而利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解答】解：（1）x2﹣9=（x+3）（x﹣3）；
（2）﹣3ma2+12ma﹣9m
=﹣3m（a2﹣4a+3）
=﹣3m（a﹣1）（a﹣3）；
（3）4x2﹣3y（4x﹣3y）
=4x2﹣12xy+9y2，
=（2x﹣3y）2；
（4）（a+2b）2+2（a+2b﹣1）+3
=（a+2b）2+2（a+2b）+1，
=（a+2b+1）2．
14．（1）计算：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（2）利用所学知识以及（1）所得等式，化简代数式÷．
【考点】6A：分式的乘除法；4B：多项式乘多项式．
【分析】（1）根据多项式乘以多项式法则计算即可得；
（2）利用（1）种结果将原式分子、分母因式分解，再约分即可得．
【解答】解：（1）原式=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（2）原式=
=（m﹣n）
=m+n．
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15．某学生化简分式+出现了错误，解答过程如下：
原式=+（第一步）
=（第二步）
=．（第三步）
（1）该学生解答过程是从第 一 步开始出错的，其错误原因是 分式的基本性质 ；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【考点】6B：分式的加减法．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）一、分式的基本性质用错；
（2）原式=+
=
=
故答案为：（1）一、分式的基本性质用错；
16．计算：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1．
【考点】79：二次根式的混合运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值结合零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简求出答案．
【解答】解：﹣16×cos45°﹣20170+3﹣1
=﹣1+2×﹣1+
=．
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17．计算：（﹣）×+|﹣2|﹣（）﹣1．
【考点】79：二次根式的混合运算；6F：负整数指数幂．
【分析】根据二次根式的性质以及负整数指数幂的意义即可求出答案．
【解答】解：原式=﹣+2﹣﹣2
=﹣2﹣
=﹣3
18．计算、求值：
（1）计算：|﹣2|+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）；
（2）已知单项式2xm﹣1yn+3与﹣xny2m是同类项，求m，n的值．
【考点】79：二次根式的混合运算；34：同类项；6F：负整数指数幂．
【分析】（1）利用绝对值的定义结合平方差公式计算得出答案；
（2）直接利用同类项的定义分析得出答案．
【解答】解：（1）|﹣2|+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
=2﹣+2﹣（5﹣1）
=﹣；
（2）∵单项式2xm﹣1yn+3与﹣xny2m是同类项，
∴，
解得：．21世 纪教 育网
19．（1）计算：（﹣1）2017+18÷﹣×；
（2）解不等式组：．
【考点】79：二次根式的混合运算；6F：负整数指数幂；CB：解一元一次不等式组．
【分析】（1）先利用负整数指数幂的意义和二次根式的除法法则运算，然后进行除法运算，最后进行加减运算；
（2）分别解两个不等式得到x≥﹣2和x＜1，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集．
【解答】（1）解：原式=﹣1+18÷9﹣
=﹣1+2﹣3
=﹣2； 21世 纪教 育网
（2）解：解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
所以不等式组的解集为：﹣2≤x＜1．
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