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2018年中考数学基础复习专题(九)图形的变换与四边形（学生版）
【知识要点】
知识点1：图形的变换与镶嵌
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点2：四边形的定义、判定及性质
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点3：矩形、菱形及正方形的判定
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点4：矩形、菱形及正方形的性质
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点5：梯形的判定及性质
( http: / / www.21cnjy.com )
【复习点拨】
1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。www.21-cn-jy.com
1．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种 ( http: / / www.21cnjy.com )女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（ ）
A． B． C． D．﹣
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（ ）
A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
4．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
6．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．【来源：21·世纪·教育·网】
7．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点 ( http: / / www.21cnjy.com )，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移OB个单位，则点C的对应点坐标为 ．21·世纪*教育网
8．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边 ( http: / / www.21cnjy.com )长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 （填序号）www-2-1-cnjy-com
9．如图，直线a∥b∥c， ( http: / / www.21cnjy.com )直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 ．2-1-c-n-j-y
10．正六边形的每个内角等于 °．
11．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 度．21*cnjy*com
12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E= ．
13．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 ．
14．某游乐场部分平面图如图所示，C、 ( http: / / www.21cnjy.com )E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（≈1.4，≈1.7）2·1·c·n·j·y
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
15．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．21教育网
16．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
17．A，B两地被大山阻隔，若要从 ( http: / / www.21cnjy.com )A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据：≈1.414，≈1.732）21cnjy.com
18．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
（1）该几何体的体积是 （立方单位），表面积是 （平方单位）
（2）画出该几何体的主视图和左视图．
19．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）
20．如图，在 ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB=2BC，∠F=36°．求∠B的度数．
21．已知：如图，在 ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．21世纪教育网版权所有
求证：OE=OF．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．21·cn·jy·com
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2018年中考数学基础复习专题(九)图形的变换与四边形（解析版）
【知识要点】
知识点1：图形的变换与镶嵌
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知识点2：四边形的定义、判定及性质
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知识点3：矩形、菱形及正方形的判定
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知识点4：矩形、菱形及正方形的性质
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知识点5：梯形的判定及性质
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【复习点拨】
1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。
2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边形进行综合计算和证明。【来源：21·世纪·教育·网】
【典例解析】
1．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种 ( http: / / www.21cnjy.com )女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】P3：轴对称图形．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选A
2．如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，则△ABC移动的距离是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】Q2：平移的性质．
【分析】移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1： ( http: / / www.21cnjy.com )，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EC：BC=1： ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵BC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EC= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴BE=BC﹣EC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选：D．
3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，下列结论错误的（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．∠BCB′=∠ACA′ B．∠ACB=2∠B
C．∠B′CA=∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】根据旋转的性质得到∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BCB′=∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'=2∠B，等量代换得到∠ACB=2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C=∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确．2-1-c-n-j-y
【解答】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′=∠ACA′，故A正确，21教育名师原创作品
∵CB=CB'，
∴∠B=∠BB'C，
又∵∠A'CB'=∠B+∠BB'C，
∴∠A'CB'=2∠B，
又∵∠ACB=∠A'CB'，
∴∠ACB=2∠B，故B正确；
∵∠A′B′C=∠B，
∴∠A′B′C=∠BB′C，
∴B′C平分∠BB′A′，故D正确；
故选C．
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4．已知2x=3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】S1：比例的性质．
【分析】根据等式的性质，可得答案．
【解答】解：A、两边都除以2y，得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选：A．
5．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2） 180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
6．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．21世纪教育网版权所有
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【考点】P8：利用轴对称设计图案；X6：列表法与树状图法．
【分析】直接利用已知得出涂黑后是轴对称图形的位置，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：空白部分有6个位置，只有在1，2处时，
黑色部分的图形是轴对称图形，故黑色部分的图形是轴对称图形的概率是： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
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7．如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），将正方形OABC沿着OB方向平移 ( http: / / www.21cnjy.com )OB个单位，则点C的对应点坐标为 （1，3） ．【出处：21教育名师】
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【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【分析】将正方形OABC沿着OB方向平移 ( http: / / www.21cnjy.com )OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，根据平移规律即可求出点C的对应点坐标．21*cnjy*com
【解答】解：∵在正方形OABC中，O为坐标原点，点C在y轴正半轴上，点A的坐标为（2，0），
∴OC=OA=2，C（0，2），
∵将正方形OABC沿着OB方向平移 ( http: / / www.21cnjy.com )OB个单位，即将正方形OABC沿先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，
∴点C的对应点坐标是（1，3）．
故答案为（1，3）．
8．如图，正方形ABCD和正方形CEF ( http: / / www.21cnjy.com )G边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是 ①② （填序号）21·世纪*教育网
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【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】由四边形ABCD与四边形EFG ( http: / / www.21cnjy.com )C都为正方形，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等，利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG，利用全等三角形对应角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．
【解答】解：设BE，DG交于O，
∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴BC=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCE+∠DCE=∠ECG+∠DCE=90°+∠DCE，即∠BCE=∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
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∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG，
∴∠1=∠2，
∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BE⊥DG；故①②正确；
连接BD，EG，如图所示，
∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2，
则BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+2b2，故③错误．
故答案为：①②．
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9．如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2 ( http: / / www.21cnjy.com )与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC=1：2，DE=3，则EF的长为 6 ．【来源：21cnj*y.co*m】
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【考点】S4：平行线分线段成比例．
【分析】由a∥b∥c，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，由此即可解决问题．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴EF=6，
故答案为6．
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10．正六边形的每个内角等于 120 °．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
【解答】解：六边形的内角和为：（6﹣2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为： ( http: / / www.21cnjy.com )=120°，
故答案为：120°
11．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 108 度．
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【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，
由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，
∠5=∠6=180°﹣108°=72°，
∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．
∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，
故答案为：108．
12．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l．
（1）将△ABC向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．
（2）画出△DEF关于直线l对称的三角形．
（3）填空：∠C+∠E= 45° ．
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【考点】P7：作图﹣轴对称变换；Q4：作图﹣平移变换．
【分析】（1）将点A、B、C分别右移2个单位、下移2个单位得到其对应点，顺次连接即可得；
（2）分别作出点D、E、F关于直线l的对称点，顺次连接即可得；
（3）连接A′F′，利用勾股定理逆定理证△A′C′F′为等腰直角三角形即可得．
【解答】解：（1）△A′B′C′即为所求；
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（2）△D′E′F′即为所求；
（3）如图，连接A′F′，
∵△ABC≌△A′B′C′、△DEF≌△D′E′F′，
∴∠C+∠E=∠A′C′B′+∠D′E′F′=∠A′C′F′，
∵A′C′= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )、A′F′= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，C′F′= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴A′C′2+A′F′2=5+5=10=C′F′2，
∴△A′C′F′为等腰直角三角形，
∴∠C+∠E=∠A′C′F′=45°，
故答案为：45°．
13．在边长为1的小正方形网格中，△AOB的顶点均在格点上，
（1）B点关于y轴的对称点坐标为 （﹣3，2） ；
（2）将△AOB向左平移3个单位长度得到△A1O1B1，请画出△A1O1B1；
（3）在（2）的条件下，A1的坐标为 （﹣2，3） ．
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【考点】Q4：作图﹣平移变换；P5：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等解答；
（2）根据网格结构找出点A、O、B向左平移后的对应点A1、O1、B1的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据平面直角坐标系写出坐标即可．
【解答】解：（1）B点关于y轴的对称点坐标为（﹣3，2）；
（2）△A1O1B1如图所示；
（3）A1的坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（1）（﹣3，2）；（3）（﹣2，3）．
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14．某游乐场部分平面图如图所示，C、E、A在同一直线上，D、E、B在同一直线上，测得A处与E处的距离为80 米，C处与D处的距离为34米，∠C=90°，∠BAE=30°．（ ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.4， ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.7）21cnjy.com
（1）求旋转木马E处到出口B处的距离；
（2）求海洋球D处到出口B处的距离（结果保留整数）．
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【考点】R2：旋转的性质．
【分析】（1）在Rt△ABE中，利用三角函数即可直接求得BE的长；
（2）在Rt△CDE中，利用三角函数求得DE的长，然后利用DB=DE+EB求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )AE= ( http: / / www.21cnjy.com )×80=40（米）；
（2）∵在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠CED=∠AEB=60°，
∴在Rt△CDE中，DE= ( http: / / www.21cnjy.com )≈ ( http: / / www.21cnjy.com )=40（米），
则BD=DE+BE=40+40=80（米）．
15．如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1： ( http: / / www.21cnjy.com )，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．21*cnjy*com
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【考点】S9：相似三角形的判定与性质；M2：垂径定理．
【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；
②证明△ADE∽△CBE，得出 ( http: / / www.21cnjy.com )，证明△CBE∽△CDB，得出 ( http: / / www.21cnjy.com )，求出CB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4，由勾股定理求出CG= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，即可得出△BCD的面积．
【解答】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AEB，
∵C是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC= ( http: / / www.21cnjy.com )∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CB=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4，
∴CG= ( http: / / www.21cnjy.com )=2，
∴△BCD的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )BD CG= ( http: / / www.21cnjy.com )×2×2=2．
16．小明在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
sin245°+sin245°≈（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2=1．
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．
（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；
（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
【考点】T4：互余两角三角函数的关系；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；
（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．
【解答】解1：（1）当α=30°时，
sin2α+sin2（90°﹣α）
=sin230°+sin260°
=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2
= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )
=1；
（2）小明的猜想成立，证明如下：
如图，在△ABC中，∠C=90°，
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设∠A=α，则∠B=90°﹣α，
∴sin2α+sin2（90°﹣α）
=（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2+（ ( http: / / www.21cnjy.com )）2
= ( http: / / www.21cnjy.com )
= ( http: / / www.21cnjy.com )
=1．
17．A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据： ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.414， ( http: / / www.21cnjy.com )≈1.732）21教育网
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【考点】T8：解直角三角形的应用．
【分析】过点C作CD⊥AB与D，根据AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )0km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB与D，
∵AC=10km，∠CAB=30°，
∴CD= ( http: / / www.21cnjy.com )AC= ( http: / / www.21cnjy.com )×20=10km，
AD=cos∠CAB AC=cos∠30°×20=10 ( http: / / www.21cnjy.com )km，
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=10km，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )CD=10 ( http: / / www.21cnjy.com )≈14.14km
∴AB=AD+BD=10 ( http: / / www.21cnjy.com )+10≈27.32km．
则AC+BC﹣AB≈20+14.14﹣27.32≈6.8km．
答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．
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18．5个棱长为1的正方体组成如图的几何体．
（1）该几何体的体积是 5 （立方单位），表面积是 22 （平方单位）
（2）画出该几何体的主视图和左视图．
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【考点】U4：作图﹣三视图．
【分析】（1）几何体的体积为5个正方体的体积和，表面积为20个正方形的面积；
（2）主视图从左往右看3列正方形的个数依次为2，1，2；左视图1列正方形的个数为2．
【解答】解：（1）每个正方体的体积为1，∴组合几何体的体积为5×1=5；
∵组合几何体的前面和后面共有5×2=10个正方形，上下共有6个正方形，左右共6个正方形（外面4个加里面2个），每个正方形的面积为1，
∴组合几何体的表面积为22．
故答案为：5，22；
（2）作图如下：
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19．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD．
（1）请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点P表示）；
（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段EF表示）
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【考点】U6：中心投影．
【分析】（1）根据小军和小丽的身高与影长即可得到光源所在；
（2）根据光源所在和小华的身高即可得到相应的影长．
【解答】解：如图所示：
（1）点P就是所求的点；
（2）EF就是小华此时在路灯下的影子．
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20．如图，在 ABCD中，DE=CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若AB=2BC，∠F=36°．求∠B的度数．
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【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，证出∠D=∠ECF，由ASA即可证出△ADE≌△FCE；www.21-cn-jy.com
（2）证出AB=FB，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ADE≌△FCE（ASA）；
（2）解：∵△ADE≌△FCE，
∴AD=FC，
∵AD=BC，AB=2BC，
∴AB=FB，
∴∠BAF=∠F=36°，
∴∠B=180°﹣2×36°=108°．
21．已知：如图，在 ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE=DF．连接EF，与对角线AC交于点O．2·1·c·n·j·y
求证：OE=OF．
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【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】由平行四边形的性质得出AB∥ ( http: / / www.21cnjy.com )CD，AB=CD，证出AE=CF，∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，由ASA证明△AOE≌△COF，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵BE=DF，
∴AB+BE=CD+DF，即AE=CF，
∵AB∥CD，
∴AE∥CF，
∴∠E=∠F，∠OAE=∠OCF，
在△AOE和△COF中， ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF．
22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的两点，且BF=ED，求证：AE∥CF．21·cn·jy·com
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【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【分析】连接AC，交BD于点O，由“平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形ABCD的对角线互相平分”得到OA=OC，OB=OD；然后结合已知条件证得OE=OF，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，即可得出结论．【版权所有：21教育】
【解答】证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BF=ED，
∴OE=OF，
∵OA=OC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
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