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2018年中考数学基础复习专题(四)方程与方程组（学生版）
【知识要点】
知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义
只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程
几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组
知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法
一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1
二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程
知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系
当为二元一次方程中的一个未知数的 ( http: / / www.21cnjy.com )取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。21世纪教育网版权所有
知识点5、一元二次方程的定义
ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。
知识点6、一元二次方程的几种解法
如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程
（2）解整式方程
（3）检验
知识点8、解分式方程要验根的原因
解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式.
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析
掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
【复习点拨】
1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，
2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。21·cn·jy·com
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
1．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成 ( http: / / www.21cnjy.com )，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
2．若|x2﹣4x+4|与互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．定义[x]表示不超过实数x的最大整数， ( http: / / www.21cnjy.com )如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= x2的解为（ ）#N．
A．0或 B．0或2 C．1或 D．或﹣
4．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
5．若数a使关于x的分式方程+=4的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解，则m的值等于 ．
7．已知是方程组的解，则a2﹣b2= ．
8．某活动小组购买了4个篮 ( http: / / www.21cnjy.com )球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
9．一元二次方程x（x+3）=0的根是 ．
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．2-1-c-n-j-y
11．关于x的分式方程=的解是 ．
12．某水果店搞促销活动，对某种水果打 ( http: / / www.21cnjy.com )8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意可列方程为 ．21·世纪*教育网
13．若关于x的方程=与方程x﹣3（x﹣1）=2﹣（x+1）的解互为相反数，求k的值．
14．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．2·1·c·n·j·y
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
15．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？21*cnjy*com
请解答上述问题．
16．对任意一个三位数n，如果n满 ( http: / / www.21cnjy.com )足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F计算：F；【来源：21cnj*y.co*m】
（2）若s，t都是“相异数”，其中 ( http: / / www.21cnjy.com )s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
17．某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动 ( http: / / www.21cnjy.com )，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：【出处：21教育名师】
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
18．根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
21．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．21教育网
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？www-2-1-cnjy-com
（2）该果农把今年收获的樱 ( http: / / www.21cnjy.com )桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
22．解方程： +=1．
23．某市为创建全国文明 ( http: / / www.21cnjy.com )城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．www.21-cn-jy.com
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
24．一汽车从甲地出发开往相距240k ( http: / / www.21cnjy.com )m的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．21cnjy.com
25．某同学准备购买笔和本子送给农村希 ( http: / / www.21cnjy.com )望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．【版权所有：21教育】
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．21教育名师原创作品
26．随着人们“节能环保，绿色出行 ( http: / / www.21cnjy.com )”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：21*cnjy*com
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款 ( http: / / www.21cnjy.com )B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
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2018年中考数学基础复习专题(四)方程与方程组（解析版）
【知识要点】
知识点1、方程（组）的解（整数解）等概念。
使等式左右两边相等的未知数的值叫做方程的解
知识点2、一元一次方程及二元一次方程组的定义
只含有一个未知数并且未知数的次数是1系数不为0的方程叫做一元一次方程
几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组
知识点3、一元一次方程、二元一次方程组的解法
一元一次方程的解法是：去分母，去括号，移项，合并同类，系数化为1
二元一次方程组的解法是：通过加减，代入消元转化为一元一次方程
知识点4、一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系
当为二元一次方程中的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值。从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值。
知识点5、一元二次方程的定义
ax2＋bx＋c＝0（a≠0），a，b，c均为常数，尤其a不为零要切记。
( http: / / www.21cnjy.com )
知识点6、一元二次方程的几种解法
如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。
知识点7、分式方程的解法
（1）去分母，把分式方程转化为整式方程
（2）解整式方程
（3）检验
知识点8、解分式方程要验根的原因
解分式方程时我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式.
因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验.
知识点9、关于行程、工程、储蓄、打折销售等基本类型应用题的分析
掌握生活中问题的数学建模的方法，多做一些综合性的训练。
【复习点拨】
1. 掌握一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程的定义，
2. 使学生掌握解方程的基本思想、方法、步骤。并能熟练运用各技巧解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、分式方程。
3. 列一元一次方程 二元一次方程组、一元二次方程、分式方程解应用题。
【典例解析】
1．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费由里程费、时长费、 ( http: / / www.21cnjy.com )远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元．
小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里与8.5公里．如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差（ ）
A．10分钟 B．13分钟 C．15分钟 D．19分钟
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，根据题意列出小王和小张车费的代数式，两者相等，计算可得出时间差．21教育网
【解答】解：设小王的行车时间为x分钟，小张的行车时间为y分钟，依题可得：
1.8×6+0.3x=1.8×8.5+0.3y+0.8×（8.5﹣7），
10.8+0.3x=16.5+0.3y，
0.3（x﹣y）=5.7，
x﹣y=19．
故这两辆滴滴快车的行车时间相差19分钟．
故选：D．
2．若|x2﹣4x+4|与 ( http: / / www.21cnjy.com )互为相反数，则x+y的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；16：非负数的性质：绝对值；23：非负数的性质：算术平方根．
【分析】根据相反数的定义得到|x2﹣4x+4|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，再根据非负数的性质得x2﹣4x+4=0，2x﹣y﹣3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．21*cnjy*com
【解答】解：根据题意得|x2﹣4x+4|+ ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
所以|x2﹣4x+4|=0， ( http: / / www.21cnjy.com )=0，
即（x﹣2）2=0，2x﹣y﹣3=0，
所以x=2，y=1，
所以x+y=3．
故选A．
3．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程[x]= ( http: / / www.21cnjy.com )x2的解为（ ）#N．
( http: / / www.21cnjy.com )
A．0或 ( http: / / www.21cnjy.com ) B．0或2 C．1或 ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )或﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；2A：实数大小比较；E6：函数的图象．
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x≤2时，则 ( http: / / www.21cnjy.com )x2=1；当﹣1≤x≤0时，则 ( http: / / www.21cnjy.com )x2=0，当﹣2≤x＜﹣1时，则 ( http: / / www.21cnjy.com )x2=﹣1，然后分别解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：当1≤x＜2时， ( http: / / www.21cnjy.com )x2=1，解得x1= ( http: / / www.21cnjy.com )，x2=﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )；
当x=0， ( http: / / www.21cnjy.com )x2=0，x=0；
当﹣1≤x＜0时， ( http: / / www.21cnjy.com )x2=﹣1，方程没有实数解；
当﹣2≤x＜﹣1时， ( http: / / www.21cnjy.com )x2=﹣1，方程没有实数解；
所以方程[x]= ( http: / / www.21cnjy.com )x2的解为0或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
4．若关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4
【考点】B2：分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．
【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，
解得：x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
由题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )≥0且 ( http: / / www.21cnjy.com )≠2，
解得：a≥1且a≠4，
故选：C．
5．若数a使关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4的解为正数，且使关于y的不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考点】B2：分式方程的解；CB：解一元一次不等式组．
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜ ( http: / / www.21cnjy.com )6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜﹣2，即可得出a≥﹣2，找出﹣2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．21教育名师原创作品
【解答】解：分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4的解为x= ( http: / / www.21cnjy.com )且x≠1，
∵关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=4的解为正数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )＞0且 ( http: / / www.21cnjy.com )≠1，
∴a＜6且a≠2．
( http: / / www.21cnjy.com )，
解不等式①得：y＜﹣2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解集为y＜﹣2，
∴a≥﹣2．
∴﹣2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=﹣2、﹣1、0、1、3、4、5，
（﹣2）+（﹣1）+0+1+3+4+5=10．
故选A．
6．若x=2是关于x的方程2x+3m﹣1=0的解，则m的值等于 ﹣1 ．
【考点】82：方程的解．
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于m的一元一次方程，从而可求出m的值．【版权所有：21教育】
【解答】解：根据题意得：4+3m﹣1=0
解得：m=﹣1，
故答案为：﹣1．
7．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解，则a2﹣b2= 1 ．
【考点】97：二元一次方程组的解．
【分析】根据 ( http: / / www.21cnjy.com )是方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解，可以求得a+b和a﹣b的值，从而可以解答本题．
【解答】解：∵ ( http: / / www.21cnjy.com )是方程组 ( http: / / www.21cnjy.com )的解，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得，①﹣②，得
a﹣b= ( http: / / www.21cnjy.com )，
①+②，得
a+b=﹣5，
∴a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=（﹣5）×（﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）=1，
故答案为：1．
8．某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元，②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )．
9．一元二次方程x（x+3）=0的根是 x=0或﹣3 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】利用分解因式法即可求解．
【解答】解：x（x+3）=0，
∴x=0或x=﹣3．
故答案为：x=0或x=﹣3．
10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 k＞ ( http: / / www.21cnjy.com )且k≠1 ．21世纪教育网版权所有
【考点】AA：根的判别式；A1：一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞ ( http: / / www.21cnjy.com )且k≠1．
故答案为：k＞ ( http: / / www.21cnjy.com )且k≠1．
11．关于x的分式方程 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )的解是 ﹣2 ．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解答】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）=﹣（x+1），
解得x=﹣2，
经检验，x=﹣2是分式方程的解．
∴x=﹣2．
故答案为﹣2．
12．某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用60元钱买这种水果，可以比打折前多买3斤．设该种水果打折前的单价为x元，根据题意可列方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3 ．21cnjy.com
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【分析】本题可根据：60元打折前买的斤数比打折后买的斤数少3斤，然后即可列出方程．
【解答】解：依题意得： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3，
故答案为： ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣3．
13．若关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )与方程x﹣3（x﹣1）=2﹣（x+1）的解互为相反数，求k的值．
【考点】85：一元一次方程的解．
【分析】解方程x﹣3（x﹣1）=2﹣（x+1）求得x=﹣2，然后将其代入关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可．
【解答】解：x﹣3（x﹣1）=2﹣（x+1），
x﹣3x+3=2﹣x﹣1，
解得x=2．
由题意得方程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )的解为x=2，则有
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
解得：k=0．
14．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．【来源：21cnj*y.co*m】
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】8A：一元一次方程的应用；AD：一元二次方程的应用．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量× ( http: / / www.21cnjy.com )（1+增长率），2016年收到微信红包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
【解答】解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
15．《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：
今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】根据这个物品的价格不变，列出一元一次方程进行求解即可．
【解答】解：设共有x人，可列方程为：8x﹣3=7x+4．
解得x=7，
∴8x﹣3=53，
答：共有7人，这个物品的价格是53元．
16．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位 ( http: / / www.21cnjy.com )上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F计算：F；
（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k= ( http: / / www.21cnjy.com )，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k= ( http: / / www.21cnjy.com )中，找出最大值即可．
【解答】解：（1）F÷111=9；
F÷111=14．
（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，
∴F（s）=÷111=x+5，F（t）=÷111=y+6．
∵F（t）+F（s）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x，y都是正整数，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )．
∵s是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∵t是“相异数”，
∴y≠1，y≠5．
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )或 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴k的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )．
17．某校组织“大手拉小手， ( http: / / www.21cnjy.com )义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元） 零售价（元）
黑色文化衫 10 25
白色文化衫 8 20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
【解答】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
( http: / / www.21cnjy.com )，
解得 ( http: / / www.21cnjy.com )，
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
18．根据要求，解答下列问题：
①方程x2﹣2x+1=0的解为 x1=x2=1 ；
②方程x2﹣3x+2=0的解为 x1=1，x2=2 ；
③方程x2﹣4x+3=0的解为 x1=1，x2=3 ；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为 1、8 ；
②关于x的方程 x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．
（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；
（2）根据以上方程特征及其解的特 ( http: / / www.21cnjy.com )征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．2·1·c·n·j·y
（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．
【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1，；
②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；
③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；
…
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；
②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．
（3）x2﹣9x=﹣8，
x2﹣9x+ ( http: / / www.21cnjy.com )=﹣8+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
（x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )）2= ( http: / / www.21cnjy.com )
x﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=± ( http: / / www.21cnjy.com )，
故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；
19．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2=0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一根小于1，求k的取值范围．
【考点】AA：根的判别式．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得△=（k﹣1）2≥0，由此可证出方程总有两个实数根；www.21-cn-jy.com
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 ( http: / / www.21cnjy.com )x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k ( http: / / www.21cnjy.com )+3）x+2k+2=0中，△=[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）=k2﹣2k+1=（k﹣1）2≥0，21·世纪*教育网
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2=（x﹣2）（x﹣k﹣1）=0，
∴x1=2，x2=k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
20．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，求m的值．
【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系；L8：菱形的性质．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=4m+17＞0，解之即可得出结论；
（2）设方程的两根分别为a、b，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据根与系数的关系结合菱形的性质，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再根据a+b=﹣2m﹣1＞0，即可确定m的值．21·cn·jy·com
【解答】解：（1）∵方程x2+（2m+1）x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2m+1）2﹣4（m2﹣4）=4m+17＞0，
∴当m＞﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )时，方程有两个不相等的实数根．
（2）设方程的两根分别为a、b，
根据题意得：a+b=﹣2m﹣1，ab=m2﹣4．
∵2a、2b为边长为5的菱形的两条对角线的长，
∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（﹣2m﹣1）2﹣2（m2﹣4）=2m2+4m+9=52=25，
解得：m=﹣4或m=2．
∵a＞0，b＞0，
∴a+b=﹣2m﹣1＞0，
∴m=﹣4．
若边长为5的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的2倍，则m的值为﹣4．
21．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．www-2-1-cnjy-com
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？2-1-c-n-j-y
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇 ( http: / / www.21cnjy.com )杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【考点】AD：一元二次方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．21*cnjy*com
【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，(21世纪教育网21cnjy.com)
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0（舍去），m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值为12.5．
(w ww.21cnj ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) y.co m)
22．解方程： ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )=1．
【考点】B3：解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x2+x+2=x2+2x，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
23．某市为创建全国文明城市，开展“美 ( http: / / www.21cnjy.com )化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增360万平方米．自2013年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米？
（2）为加大创城力度，市政府决定从2016年起加快绿化速度，要求不超过2年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米？
【考点】B7：分式方程的应用；C9：一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设原计划每年绿化面积 ( http: / / www.21cnjy.com )为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米．根据“实际每年绿化面积是原计划的1.6倍，这样可提前4年完成任务”列出方程；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米．则由“完成新增绿化面积不超过2年”列出不等式．
【解答】解：（1）设原计划每年绿化面积为x万平方米，则实际每年绿化面积为1.6x万平方米，根据题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=4，
解得：x=33.75，
经检验x=33.75是原分式方程的解，
则1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为54万平方米；
（2）设平均每年绿化面积增加a万平方米，根据题意得
54×3+2（54+a）≥360，
解得：a≥45．
答：则至少每年平均增加45万平方米．
24．一汽车从甲地出发开往相距240km的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快 ( http: / / www.21cnjy.com )，比原计划提前24min到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【分析】根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案．
【解答】解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )+ ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x=120，
经检验得：x=120是原方程的根，
答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是120千米/小时．
25．某同学准备购买笔和本子送给农村 ( http: / / www.21cnjy.com )希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．【出处：21教育名师】
（1）求这种笔和本子的单价；
（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．
【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．
【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，再解方程可得答案；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔 ( http: / / www.21cnjy.com )m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．
【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x=10，
经检验：x=10是原分式方程的解，
则x﹣4=6．
答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；
（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，
由题意得：10m+6n=100，
整理得：m=10﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )n，
∵m、n都是正整数，
∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；
∴有三种方案：
①购买这种笔7支，购买本子5本；
②购买这种笔4支，购买本子10本；
③购买这种笔1支，购买本子15本．
26．随着人们“节能环保 ( http: / / www.21cnjy.com )，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：
（1）A型自行车去年每辆售价多少元？
（2）该车行今年计划新进一批A型车 ( http: / / www.21cnjy.com )和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？
【考点】B7：分式方程的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．
【解答】解：（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由题意，得
( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：x=2000．
经检验，x=2000是原方程的根．
答：去年A型车每辆售价为2000元；
（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得
y=a+（60﹣a），
y=﹣300a+36000．
∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，
∴60﹣a≤2a，
∴a≥20．
∵y=﹣300a+36000．
∴k=﹣300＜0，
∴y随a的增大而减小．
∴a=20时，y有最大值
∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．
∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．
( http: / / www.21cnjy.com )
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