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2018年中考数学基础复习专题(十) 圆（学生版）
【知识要点】
知识点1：知识点之间的关系
知识点2：圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．21世纪教育网版权所有
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
④圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．
知识点3：点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆．
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
知识点4：直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②切线的性质：与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径．
③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
三角形的内心到三角形三边的距离相等．
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
知识点5：圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．
由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．
③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
知识点6：与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
【复习点拨】
（1）掌握圆的有关概念和计算
①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．
②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．
③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．
④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．
⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．
⑦掌握圆内接四边形的性质
（2）点与圆的位置关系
①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系．
②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图．
（3）直线与圆的位置关系
①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系．
②了解切线的概念．
③能运用切线的性质进行简单计算和说理．
④掌握切线的识别方法．
⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念．
⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．
（4）圆与圆的位置关系
①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系．
②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．
③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
（5）圆中的计算问题
①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．
②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用．
③了解圆锥的高、母线等概念．
④结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图．
⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用．
⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．
1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）21教育网
A．26π B．13π C． D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
A． B．2 C．6 D．8
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）21cnjy.com
A． B．2 C．2 D．8
4．如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门， ( http: / / www.21cnjy.com )小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）21·cn·jy·com
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
5．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
6．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了， ( http: / / www.21cnjy.com )需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）www.21-cn-jy.com
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= cm．2·1·c·n·j·y
8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
9．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， =90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．【来源：21·世纪·教育·网】
10．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= °．21·世纪*教育网
11．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．www-2-1-cnjy-com
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC=，求AC和CD的长．
13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．2-1-c-n-j-y
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
15．如图，△ABC内接于 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O，AC是直径，BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．21*cnjy*com
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=9 ( http: / / www.21cnjy.com )0°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．
17．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
18．如图，⊙O与Rt△ABC的直 ( http: / / www.21cnjy.com )角边AC和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
19．如图，已知AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
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2018年中考数学基础复习专题(十) 圆（解析版）
【知识要点】
知识点1：知识点之间的关系
知识点2：圆的有关性质和计算
①弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等．21世纪教育网版权所有
②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
③在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半．
④圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角．
知识点3：点与圆的位置关系
①设点与圆心的距离为，圆的半径为，
则点在圆外； 点在圆上； 点在圆内．
②过不在同一直线上的三点有且只有一个圆． 一个三角形有且只有一个外接圆．
③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．
知识点4：直线与圆的位置关系
①设圆心到直线的距离为，圆的半径为，
则直线与圆相离；直线与圆相切；直线与圆相交．
②切线的性质：与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径．
③切线的识别：如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．
到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
④三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点．
三角形的内心到三角形三边的距离相等．
⑤切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
⑥切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．
知识点5：圆与圆的位置关系
①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含．
设两圆心的距离为，两圆的半径为，则两圆外离
两圆外切
两圆相交
两圆内切
两圆内含
②两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴．
由对称性知：两圆相切，连心线经过切点．两圆相交，连心线垂直平分公共弦．
③两圆公切线的定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．
两个圆在公切线同旁时，这样的公切线叫做外公切线．
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线．
④公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
知识点6：与圆有关的计算
①弧长公式： 扇形面积公式：
（其中为圆心角的度数，为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形．
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
圆柱的侧面积＝底面周长×高
圆柱的全面积＝侧面积＋2×底面积
③圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体．
④圆锥的侧面积＝×底面周长×母线；圆锥的全面积＝侧面积＋底面积
【复习点拨】
（1）掌握圆的有关概念和计算
①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．
②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．
③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．
④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．
⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．
⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．
⑦掌握圆内接四边形的性质
（2）点与圆的位置关系
①能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系．
②知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图．
（3）直线与圆的位置关系
①能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系．
②了解切线的概念．
③能运用切线的性质进行简单计算和说理．
④掌握切线的识别方法．
⑤了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念．
⑥能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算．
（4）圆与圆的位置关系
①了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系．
②能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关系．
③掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
（5）圆中的计算问题
①掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量．
②掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用．
③了解圆锥的高、母线等概念．
④结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图．
⑤会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用．
⑥能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积．
【典例解析】
1．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）www-2-1-cnjy-com
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A．26π B．13π C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】M2：垂径定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，于是得到结论．
【解答】解：连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=6，
∵OM：MD=5：8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
故选B．
( http: / / www.21cnjy.com )
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．6 D．8
【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】根据垂径定理，可得答案．
【解答】解：连接OC ( http: / / www.21cnjy.com )，
由题意，得
OE=OB﹣AE=4﹣1=3，
CE=ED= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
CD=2CE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
故选：B．
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) C．2 ( http: / / www.21cnjy.com ) D．8
【考点】M2：垂径定理；KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理．
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA﹣AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH= ( http: / / www.21cnjy.com )，所以CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．21*cnjy*com
【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=2CH=2 ( http: / / www.21cnjy.com )．
故选C．
( http: / / www.21cnjy.com )
4．如图是“明清影视城”的一 ( http: / / www.21cnjy.com )扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com )
A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米
【考点】M3：垂径定理的应用．
【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：连接OF，交AC于点E，
∵BD是⊙O的切线，
∴OF⊥BD，
∵四边形ABDC是矩形，
∴AD∥BD，
∴OE⊥AC，EF=AB，
设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=0.75米，
OE=R﹣AB=R﹣0.25，
∵AE2+OE2=OA2，
∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，
解得R=1.25．
1.25×2=2.5（米）．
答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．
故选：B．
( http: / / www.21cnjy.com )
5．如图，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm
【考点】M3：垂径定理的应用．
【分析】首先构造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的长，进而根据垂径定理得出答案．
【解答】解：如图，过O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，
∵CD=8，OD=13，
∴OC=5，
又∵OB=13，
∴Rt△BCO中，BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=12，
∴AB=2BC=24．
故选：C．
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6．小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎 ( http: / / www.21cnjy.com )了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
A．AB，AC边上的中线的交点
B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点
D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【考点】M3：垂径定理的应用．
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
所求的圆形玻璃是△ABC的外接圆，
∴这块玻璃镜的圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选B．
7．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB=8cm，DC=2cm，则OC= 5 cm．
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【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理R2=42+（R﹣2）2，计算求出R即可．
【解答】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AD= ( http: / / www.21cnjy.com )AB=4cm，
设⊙O的半径为R，
由勾股定理得，OA2=AD2+OD2，
∴R2=42+（R﹣2）2，
解得R=5
∴OC=5cm．
故答案为5．ww w.21c ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 ) njy.com
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8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 5 ．
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【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．
【分析】连接OC，由垂径定理知，点E是CD的中点，AE= ( http: / / www.21cnjy.com )CD，在直角△OCE中，利用勾股定理即可得到关于半径的方程，求得圆半径即可．
【解答】解：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE= ( http: / / www.21cnjy.com )CD= ( http: / / www.21cnjy.com )×6=3，
设⊙O的半径为xcm，
则OC=xcm，OE=OB﹣BE=x﹣1，
在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，
∴x2=32+（x﹣1）2，
解得：x=5，
∴⊙O的半径为5，
故答案为：5．
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9．如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O， ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 （32+48π）cm2 ．
( http: / / www.21cnjy.com )
【考点】M3：垂径定理的应用；MO：扇形面积的计算．
【分析】连接OA、OB，根据三角形的面积公式求出S△AOB，根据扇形面积公式求出扇形ACB的面积，计算即可．21·世纪*教育网
【解答】解：连接OA、OB，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，
∴∠AOB=90°，
∴S△AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )×8×8=32，
扇形ACB（阴影部分）= ( http: / / www.21cnjy.com )=48π，
则弓形ACB胶皮面积为（32+48π）cm2，
故答案为：（32+48π）cm2．
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10．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78°，则∠EAC= 27 °．2-1-c-n-j-y
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【考点】M5：圆周角定理；L8：菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质得到∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DCB= ( http: / / www.21cnjy.com )=51°，根据圆内接四边形的性质得到∠AEB=∠D=78°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D=78°，
∴∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DCB= ( http: / / www.21cnjy.com )=51°，
∵四边形AECD是圆内接四边形，
∴∠AEB=∠D=78°，
∴∠EAC=∠AEB﹣∠ACE=27°，
故答案为：27．
11．如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点（不与B，C重合），PE是△ABP的外接圆⊙O的直径．21教育名师原创作品
（1）求证：△APE是等腰直角三角形；
（2）若⊙O的直径为2，求PC2+PB2的值．
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【考点】MA：三角形的外接圆与外心；KW：等腰直角三角形．
【分析】（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，可得PM=AN，由△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，推出PC= ( http: / / www.21cnjy.com )PM，PB= ( http: / / www.21cnjy.com )PN，可得PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4；21*cnjy*com
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABC=45°，
∴∠AEP=∠ABP=45°，
∵PE是直径，
∴∠PAB=90°，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴AP=AE，
∴△PAE是等腰直角三角形．
（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，
∴PM=AN，
∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，
∴PC= ( http: / / www.21cnjy.com )PM，PB= ( http: / / www.21cnjy.com )PN，
∴PC2+PB2=2（PM2+PN2）=2（AN2+PN2）=2PA2=PE2=22=4．
（也可以证明△ACP≌△ABE，△PBE是直角三角形）
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12．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，CO的延长线交AB于点D
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（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC=6，sin∠BAC= ( http: / / www.21cnjy.com )，求AC和CD的长．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心；T7：解直角三角形．
【分析】（1）延长AO交BC于H，连接BO，证明A、O在线段BC的垂直平分线上，得出AO⊥BC，再由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）延长CD交⊙O于E，连接BE，则CE是⊙O的直径，由圆周角定理得出∠EBC=90°，∠E=∠BAC，得出sinE=sin∠BAC，求出CE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=10，由勾股定理求出BE=8，证出BE∥OA，得出 ( http: / / www.21cnjy.com )，求出OD= ( http: / / www.21cnjy.com )，得出CD═ ( http: / / www.21cnjy.com )，而BE∥OA，由三角形中位线定理得出OH= ( http: / / www.21cnjy.com )BE=4，CH= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=3，在Rt△ACH中，由勾股定理求出AC的长即可．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB=AC，OB=OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB=AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC=90°，BC⊥BE，
∵∠E=∠BAC，
∴sinE=sin∠BAC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CE= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=10，
∴BE= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，OA=OE= ( http: / / www.21cnjy.com )CE=5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
解得：OD= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CD=5+ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC=OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )BE=4，CH= ( http: / / www.21cnjy.com )BC=3，
∴AH=5+4=9，
在Rt△ACH中，AC= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )．
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13．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，∠B=∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E，连接AE．【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求证：四边形AECD为平行四边形；
（2）连接CO，求证：CO平分∠BCE．
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【考点】MA：三角形的外接圆与外心；L7：平行四边形的判定与性质．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠B=∠E，得到∠E=∠D，根据平行线的判定和性质定理得到AE∥CD，证明结论；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．
【解答】证明：（1）由圆周角定理得，∠B=∠E，又∠B=∠D，
∴∠E=∠D，
∵CE∥AD，
∴∠D+∠ECD=180°，
∴∠E+∠ECD=180°，
∴AE∥CD，
∴四边形AECD为平行四边形；
（2）作OM⊥BC于M，ON⊥CE于N，
∵四边形AECD为平行四边形，
∴AD=CE，又AD=BC，
∴CE=CB，
∴OM=ON，又OM⊥BC，ON⊥CE，
∴CO平分∠BCE．
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14．如图，在△ABC中，∠C=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BD=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
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【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；
（2）在直角三角形OBD中，设OF=OD ( http: / / www.21cnjy.com )=x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为圆的半径，求出圆心角的度数，直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积．
【解答】解：（1）BC与⊙O相切．
证明：连接OD．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
又∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．
又∵BC过半径OD的外端点D，
∴BC与⊙O相切．
（2）设OF=OD=x，则OB=OF+BF=x+2，
根据勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即（x+2）2=x2+12，
解得：x=2，即OD=OF=2，
∴OB=2+2=4，
∵Rt△ODB中，OD= ( http: / / www.21cnjy.com )OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∴S扇形AOB= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
则阴影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF= ( http: / / www.21cnjy.com )×2×2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
故阴影部分的面积为2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )．
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15．如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径， ( http: / / www.21cnjy.com )BC=BA，在∠ACB的内部作∠ACF=30°，且CF=CA，过点F作FH⊥AC于点H，连接BF．2·1·c·n·j·y
（1）若CF交⊙O于点G，⊙O的半径是4，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的长；
（2）请判断直线BF与⊙O的位置关系，并说明理由．
【考点】MB：直线与圆的位置关系；M2：垂径定理；MA：三角形的外接圆与外心；MN：弧长的计算．
【分析】（1）连接OB，首先证明四边形BOHF是矩形，求出AB、BF的长，由BF∥AC，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，可得 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，由此即可解决问题；【版权所有：21教育】
（2）结论：BF是⊙O的切线．只要证明OB⊥BF即可；
【解答】解：（1）∵AC是直径，
∴∠CBA=90°，
∵BC=BA，OC=OA，
∴OB⊥AC，
∵FH⊥AC，
∴OB∥FH，
在Rt△CFH中，∵∠FCH=30°，
∴FH= ( http: / / www.21cnjy.com )CF，
∵CA=CF，
∴FH= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=OC=OA=OB，
∴四边形BOHF是平行四边形，
∵∠FHO=90°，
∴四边形BOHF是矩形，
∴BF=OH，
在Rt△ABC中，∵AC=8，
∴AB=BC=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵CF=AC=8，
∴CH=4 ( http: / / www.21cnjy.com )，BF=OH=4 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4，
∵BF∥AC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴AG=4 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣4 ( http: / / www.21cnjy.com )．
（2）结论：BF是⊙O的切线．
理由：由（1）可知四边形OBHF是矩形，
∴∠OBF=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O的切线．
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16．如图，在△ABC中，∠ACB= ( http: / / www.21cnjy.com )90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．www.21-cn-jy.com
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．
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【考点】MB：直线与圆的位置关系；MO：扇形面积的计算．
【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；
（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED ( http: / / www.21cnjy.com )=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OE，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵BF=EF，
∴∠B=∠BEF，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠AEO+∠BEF=90°，
∴∠OEG=90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED=90°，
∵∠A=30°，
∴∠EOD=60°，
∴∠EGO=30°，
∵AO=2，
∴OE=2，
∴EG=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴阴影部分的面积= ( http: / / www.21cnjy.com )2×2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )﹣ ( http: / / www.21cnjy.com )π．
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17．如图，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P．
（1）求证：AP=AB；
（2）若OB=4，AB=3，求线段BP的长．
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【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）欲证明AP=AB，只要证明∠APB=∠ABP即可；
（2）作OH⊥BC于H．在Rt△POC中，求出OP、PC、OH、CH即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA=90°，
∴∠ABP+∠OBC=90°，
∵OC⊥AO，
∴∠AOC=90°，
∴∠OCB+∠CPO=90°，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠APB=∠ABP，
∴AP=AB．
（2）解：作OH⊥BC于H．
在Rt△OAB中，∵OB=4，AB=3，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )=5，
∵AP=AB=3，
∴PO=2．
在Rt△POC中，PC= ( http: / / www.21cnjy.com )=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) PC OH= ( http: / / www.21cnjy.com ) OC OP，
∴OH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CH= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵OH⊥BC，
∴CH=BH，
∴BC=2CH= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴PB=BC﹣PC= ( http: / / www.21cnjy.com )﹣2 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )．
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18．如图，⊙O与Rt△ABC的直角边A ( http: / / www.21cnjy.com )C和斜边AB分别相切于点C、D，与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连接FE并延长交AC边于点G．
（1）求证：DF∥AO；
（2）若AC=6，AB=10，求CG的长．
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【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）欲证明DF∥OA，只要证明OA⊥CD，DF⊥CD即可；
（2）过点作EM⊥OC于M，易知 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，只要求出EM、FM、FC即可解决问题；
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AB与⊙O相切与点D，又AC与⊙O相切与点，
∴AC=AD，∵OC=OD，
∴OA⊥CD，
∴CD⊥OA，
∵CF是直径，
∴∠CDF=90°，
∴DF⊥CD，
∴DF∥AO．
（2）过点作EM⊥OC于M，
∵AC=6，AB=10，
∴BC= ( http: / / www.21cnjy.com )=8，
∴AD=AC=6，
∴BD=AB﹣AD=4，
∵BD2=BF BC，
∴BF=2，
∴CF=BC﹣BF=6．OC= ( http: / / www.21cnjy.com )CF=3，
∴OA= ( http: / / www.21cnjy.com )=3 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵OC2=OE OA，
∴OE= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∵EM∥AC，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴OM= ( http: / / www.21cnjy.com )，EM= ( http: / / www.21cnjy.com )，FM=OF+OM= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴CG= ( http: / / www.21cnjy.com )EM=2．
( http: / / www.21cnjy.com )
19．如图，已知AB是⊙O的直径， ( http: / / www.21cnjy.com )点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2 ( http: / / www.21cnjy.com )，求线段EF的长．
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【考点】MC：切线的性质．
【分析】（1）由切线性质知OC⊥CD，结合AD⊥CD得AD∥OC，即可知∠DAC=∠OCA=∠OAC，从而得证；21·cn·jy·com
（2）①由AD∥OC知∠EOC=∠DAO=105°，结合∠E=30°可得答案；
②作OG⊥CE，根据垂径定理及等腰直角三角形性质知CG=FG=OG，由OC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )得出CG=FG=OG=2，在Rt△OGE中，由∠E=30°可得答案．
【解答】解：（1）∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAO；
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC=∠DAO=105°，
∵∠E=30°，
∴∠OCE=45°；
②作OG⊥CE于点G，
( http: / / www.21cnjy.com )
则CG=FG=OG，
∵OC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠OCE=45°，
∴CG=OG=2，
∴FG=2，
在Rt△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )．
( http: / / www.21cnjy.com )
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