(共16张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.4
----勾股定理及逆定理的应用
三角形的三边之间满足怎样数量
关系时，此三角形是直角三角形？
C
B
A
a
c
b
∵△ABC为直角三角形．
∴a2＋b2＝c2
.
∵a2＋b2＝c2
，
∴△ABC为直角三角形．
直角三角形勾股定理的内容：
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）
等满足a2＋b2＝c2的一组正整数，通常称为勾股数，
请你填表并探索规律．
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n
三角形的三边分别是3，4，5的整数倍，这样的三个数是一组勾股数。
a
3
5
7
9
11
…
2n+1
b
4
12
24
40
60
…
2n(n＋1)
c
5
13
25
41
61
…
2n(n＋1)＋1
①从前2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看
．
设n为正整数，那么，2n+1，2n(n+1)，2n(n+1)+1是一组勾股数。
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
第七届国际数学教育大会的会徽
1
数学海螺图：
由此可知，利用勾股定理，可以作出长为
，
，
，…
的线段.
√
3
√
2
√
5
√
n
-1
0
1
2
3
√
√
你能在数轴上表示出
的点吗？
√
2
√
2
-
呢？
探究:
你能在数轴上画出表示
的点吗？
变式：
要做一个如图所示的零件，按规定∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗
？
例1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
A
B
C
D
24
20
15
7
设每相邻两个结的距离为1，三角形的三边长分别为：3，4，5是一组勾股数，所以三角形是直角三角形。
AC2=AB2+BC2=242+72=625
又AD2+DC2=202+152=625=AC2
这个零件符合要求。
2.
如图，小明和小强攀登一无名高峰，他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？
解：因为∠BEA=∠BAE=45°，
所以∠ABC=∠BAC=15°
E
所以BC=AC=2km，
在Rt△BCD中，CD=1km，
所以主峰高度为
3、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE=
x
km，
解得：x=10
则
BE=（25-x）km
C
A
E
B
D
x
25-x
15
10
分析：由条件知：DE=CE
得：152+x2=(25-x)2+102
答：E站应建在离A站10km处.
利用勾股定理，列方程，解决实际问题。
(8-x)
x
10
10
A
B
C
D
F
E
8
6
4
x
解：设DE为x，则CE为
(8-x).
CE2+CF2＝EF2
(8-x)2+42=x2
x=5
分析：在Rt AEF中，求AE
4、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
即：EF=5.
在Rt AEF中，AE=
=
=5
√
5
√
AF2+EF2
√
102+52
1、在△ABC中，三边长分别是8，15，17，则这个三角形是
，它的面积是
.
2、△ABC中，若a=5，b=12，则当c=
，∠C=90°
3、三角形的两边为6和8，要使它成为直角三角形，
则第三边长为
.
4、在△ABC中，AB=7，BC=24，AC=25，
则
=90 .
∠B
5、三角形三边长分别为8，15，17，那么最短边上的高是
。
15
直角三角形
60
13
10或
3√
2
7、判断由线段a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形？如果是，指出哪一条边所对的角是直角：
(1)a=12，b=16，c=20
(2)
a=8，b=12，c=15
(3)
a=5，b=6，c=8
(4)
a:b:c=5:12:13
6
6、如图所示，正方形的棱长为
m，
用经过A、B、C三点的平面截这个
正方体，所得截面的周长是
m.
√
2
∵a2+b2=c2
，∴是
∠C=90°
∵a2+b2≠c2
，∴不是
∵a2+b2≠c2
，∴不是
∵a2+b2=c2
，∴是
设a=5x，b=12x，c=13x
∠C=90°
8、如图，在两面墙之间有一个底端在E点的梯子，当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点.已知∠BEC=60°，
∠DEA=45°
，点D到地面的垂直距离DA=
m，求点B到地面的垂直距离BC.
A
E
C
B
D
60°
45°
提示：因为△ADE是等腰直角三角形，所以AE=AD=3
m，由勾股定理可求梯子ED长。在Rt△BCE中，由∠CBE=90°-60°
=30°，可求
CE=
BE=
ED.
再由勾股定理可求BC.
√
2
1
2
1
2
ED=BE=6
CE=3
3√
3
BC=
9、如图，有一块地，已知AD=4
m，CD=3
m，∠ADC=90°，AB=13
m，BC=12
m。求这块地的面积。
D
C
B
A
13
12
4
3
提示：连接AC，在Rt
△ACD中
由勾股定理求得AC，再证明△ABC是直角三角形，用S△ABC-S
△ACD即可求得面积。
24
m2.
10、如图：四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=90°，∠A=60°，
AB=2，CD=1，求四边形ABCD的周长和面积。
60°
A
D
C
B
2
1
E
提示：延长BC，AD交于E，
∠E=30°，在Rt
△ABE和Rt
△CDE中，求得BC和AD，即可求出周长。
用S△ABE
-
S
△CDE
即可求得面积。
周长=5+
√
3
面积=
√
3
3
2
1、设△ABC的三条边长分别是a、b、c，且a=n2-1，
b=2n，c=n2＋1．问：△ABC是直角三角形吗？
2、若△ABC的三边a、b、c满足条件
a2+b2+c2+338＝10a+24b+26c，试判断△ABC的形状.
3、如图，以△ABC的三边为直径向外作半圆，三个半圆的面积满足：S1＋S3＝S2，试判断△ABC的形状？
A
C
a
b
c
S1
S2
S3
B
1、通过本节课的学习，你知道一个三角形的三边在数量上满足怎样的关系时，这个三角形才是直角三角形呢？
2、勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？
勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；
勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．
先把实际问题转化为直角三角形，
再用勾股定理（有时也可建立方程模型）来解决问题。
在解决实际问题时，先要对三角形的形状做出判断，
是直角三角形，才能运用勾股定理。
作业：p18
9
p28
A
2、5(共13张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.3
----勾股定理的逆定理
1.直角三角形有哪些性质
结合图形用几何语言叙述：
在Rt ABC中，∠ACB＝90°，则有：
D
300
c
∠A+∠B＝90°
a2+b2=c2
D是斜边AB的中点，则：
1
2
CD=AD=BD=
AB
∠A＝30°，则：
1
2
BC=
AB
2.如何判断三角形是直角三角形
∠A+∠B＝90°
1
2
CD=AD=BD=
AB
1
2
BC=
AB
问题：如果三边a，b，c满足a2+b2=c2，
三角形是直角三角形吗？
如图（1），已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
探究
（1）
c
（2）
你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？
可以画一个Rt△A
B
C
，
使∠C
=90°，B
C
=a
，A
C
=b，
如图（2）
′
′
′
′
′
′
′
′
根据勾股定理，A
B
2
=a2+b2
因为
a2+b2=c2，所以A
B
2
=c2，
于是斜边A
B
=c
′
′
′
′
′
′
在△ABC和
中，
因为
，
所以△ABC
≌
(SSS)
于是
(全等三角形的对应角相等)
所以△ABC是直角三角形.
（1）
c
（2）
如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：
a2
+
b2
=
c2，那么这个三角形是直角三角形.
结论
直角三角形的判定定理：
思考：如何判定由一组数为边长构成的三角形是直角三角形呢？
C
B
A
c
b
a
注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。
（2）运用时注意条件。
如图，
△ABC的三边为a、b、c，
∵a2
+
b2
=
c2，
∴
△ABC是直角三角形。
例1
判断由a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a=15
,
b
=8
,
c=17
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：∵152＋82=225＋64=289
而172=289
∴
152＋82=172
举
例
∴这个三角形是直角三角形
(2)
a=13
,
b
=15
,
c=14
注意书写格式。
解：∵132＋142=169＋196=365
而152=225
∴
132＋142≠152
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
∴这个三角形不是直角三角形
例2
如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，
AC=17，求DC的长.
先根据直角三角形判定定理
再根据勾股定理，计算结果
∠ADC=180°-∠ADB=90°.
（直角三角形判定定理）
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，
解：在△ABD中，
已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，
所以
例3 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，
BC边上的中线AD＝24，求AC.
解：
∵AD是BC边上的中线，
D
C
B
A
∵AD2＋BD2=576＋100=676，
AB
2=262=676，
注意：在运用勾股定理运算时，
先要判断出三角形是不是直角三角形。
∴AD2＋BD2=AB2，
∴
∠ADB=90°，AD垂直平分BC．
∴AC=AB=26.
∴BD=CD=
BC=
×20=10．
1
2
1
2
1.
已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？
（1）a
=8，b
=15，c
=17；
（2）a
=10，b
=24，c
=25.
是.
不是.
练习
2、请判断以下列各组数据为边的三角形的形状．
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
直角三角形
（3）a=4，b=5，c=
√
41
是.
3.
下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的
是（
）．
A．3，4，5； B．10，6，8；
C．4，5，6；
D．12，13，5．
C
4．若△ABC的两边长为8和15，则能使△
ABC为直
角三角形的第三边的平方是（ ）
A．161；
B．289；
C．17；
D．161或289．
D
D
C
B
A
5、已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，
AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，
若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
分析：本题关键求出草地面积。
把它分成两个三角形来计算。
解：连接BD，∵
∠A＝90°
∴
△DAB是直角三角形。
∴BD=
=
=5
√
AD2+AB2
√
42+32
又在△DBC中，
BD2+BC2=
169，DC2=169。
即：BD2+BC2=DC2。
∴
△DBC是直角三角形。
草地面积=S△DAB
+S△DBC=6+30=36(m2)
需投入资金：3600元。
勾股定理
的逆定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b
斜边为c，那么有a2+b2=c2
勾股定理
如果三角形的三边长a、b、c
满足
a2+b2=c2。那么这个三角形是直角三角形。
这节课的收获：
三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
满足a2＋b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
作业：P16练习
2
A
2课题：1.3.1
直角三角形全等的判定（一）
教学目标
1、已知斜边和直角边会作直角三角形；熟练掌握“斜边、直角边定理”，熟练地利用这个定理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；
2、通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
3、初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。
重点：掌握“斜边、直角边定理”。
难点：
数学语言的正确表达。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、全等三角形的对应边
---------,，对应角-----------
2、判定三角形全等的方法有：
。
3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则 ABC
DEF(
)
（2）若∠A=∠D，
，则 ABC≌ DEF(AAS)
（3）若AB=DE，
，则 ABC≌ DEF(SAS)
二、问题思考（出示ppt课件）
有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？
在 ABC和 ABE中，∠A=∠A，AB=AB，BC=BE，
这两个三角形全等吗？
两个直角三角形呢？
判定两个直角三角形全等，除了可以运用一般
三角形全等的判定定理外，是否还有别的判定方法呢？
三、探究交流（出示ppt课件）
现在我们来探究下面的问题：
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知AB=A′B′
，AC=A′C′
，∠ACB=∠A′C′B′=90°，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′
全等吗？
师生活动：引导学生观察、猜想、思考
用不同方法证明：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′
1、你能把这两个三角形通过平移、旋转或
轴反射等变换拼接成一个等腰三角形吗？
因为AC=
A′C′，可以把Rt△A′B′C′
经过平移、旋转或轴反射，使A′C′
的像
和AC重合，并使点B′
的像和B落在AC的两旁.
2、从上面的操作中，你能猜测这两个直角三角形全等吗？
3、请用推理的方法说明你猜想的正确性。
证明：因为∠ACB
=
90°.
∠ACB=∠A′C′B′=90°，因为AB=A′B′=AB′，
所以∠B=∠B’
.
(等边对等角)
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′
中，
所以∠BCB′=∠ACB+∠ACB′=180°.故B，C，(C′)，B′在同一条直线上.
由于∠ACB=∠A′C′B′
，
∠B
=
∠B’
，AB=A′B′，
所以Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（AAS）
4、你能用语言概括上面发现的结论吗？
直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
小提示：这个定理的条件，实际就是已知两边和其中一边的对角对应相等，在前面已经探究过，具备这样条件的两个一般三角形并不一定全等.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，BD、CE分别是 ABC的高，且BE=CD。
求证：Rt BEC≌Rt CDB
证明：∵
BD、CE分别是 ABC的高，
∴
∠BEC=∠CDB=90°
在Rt BEC和Rt CDB中
∵
BC=CB，BE=CD
∴Rt BEC≌Rt CDB(HL)
本题还能证明出其他的结论吗？与同学讨论交流。
例2、已知一直角边和斜边，求作直角三角形。
已知线段a、c(a，一直角边CB=a，斜边AB=c.
师生讨论画法：
画法：1.画∠MCN=90
°.
2.在射线CM上取CB=a.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
.
思考：剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
注意：（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”外，还可以使用“HL”。（2）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、归纳总结（出示ppt课件）
直角三角形全等的判定定理:
SAS，AAS，ASA，SSS，HL
1、“HL”公理只适用判定直角三角形全等。2．使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。3．熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
填一填：1．“HL”公理是：有
相等的两个
三角形全等。
2．在应用“HL”公理时，必须先得出两个
三角形，然后证明
对应相等。
七、作业：P21
A
1、2
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
D
E
a
c课题：1.3.2直角三角形全等的判定(二)
教学目标
1、已知斜边和直角边会作直角三角形；熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；
2、通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。
3、通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。
重点：“斜边、直角边公理”的掌握。
难点：“斜边、直角边公理”的灵活运用。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形全等的斜边、直角边定理是：
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
2、直角三角形全等的判定定理:SAS，AAS，ASA，SSS，HL
3、综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!
两边及其中一边的对角对应相等的
两个三角形不一定全等。
4、使用“HL”定理要注意哪些问题？
（1）“HL”公理只适用判定直角三角形全等。
（2）使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。
（3）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
（4）熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
二、合作讨论（出示ppt课件）
如图，已知∠ACB=∠BDA=900
,
要使△ABC≌△BDA,
还需要增加一个什么条件 把它们分别写出来.
（1）增加AC=BD；（HL）
（2）增加BC=AD;
（HL）
（3）增加∠ABC=∠BAD
;
(AAS)
（4）增加∠CAB=∠DBA
;
(ASA)
学生活动：根据添加的条件，写出证明过程。并进行课堂展示。
教师活动：学生证明时进行检查、点拨、纠正。鼓励学生上台展示。
三、探究合作（出示ppt课件）
例1、
如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分BAC。请说明理由.
证明：因为∠1=∠2，（已知）
所以BD=CD.（等边对等角）又因为AD=AD(公共边)，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
则有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
变式训练：如图，已知P是∠AOB内部一点，
PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，
则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。
提示：连接OP，再证明
Rt△ODP≌Rt△OEP
∠DOP=∠EOP即：OP是∠AOB的平分线。
证明过程学生独立完成。
【方法总结】在运用HL判定两个直角三角形全等时，
要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．
例2、已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.求证：CE＝DF.
【思路启发】根据已知条件证明现有的Rt△ABC与Rt△BAD全等，
得出线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，
从而解决问题．
【简单解法】先用“HL”证得：Rt△ABC≌Rt△BAD，
得：AC＝BD，∠CAB＝∠DBA
再用“AAS”证得：△CAE≌△DBF，∴CE＝DF.
【方法总结】一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
例3、已知，如图所示，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE＋CE.
【思路启发】先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．
【简单解法】△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
【方法总结】当看到题目中要证线段和差关系时，
而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定
两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课外提升（出示ppt课件）
1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
2、如图，在△ABC与△A′
B′
C′
中，CD，C′
D′分别是高，并且AC=
A′
C′，CD=
C′
D′，∠ACB=∠A′
C′
B′．求证：△ABC≌△A
B
C
．
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：p21
A
3
B
5、6
A
B
C
D
A
B
C
D
1
2
A
O
B
E
P
D
A
B
C
D
C′
A′
B′
D′(共13张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.4.1
角平分线的性质（一）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，
这条射线就叫做这个角的角平分线。
如图∠AOB沿射线OC对折，
∠AOC
和∠COB重合。
A
B
O
C
如上图，射线OC是∠AOB的平分线。
∠AOC
=
∠COB
=
∠AOB
1
2
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
你能证明吗？
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：1．以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
3．作射线OC．
射线OC即为所求．
2.分别以MN为圆心．大于
MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
1
2
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
探究
A
O
B
P
E
D
PDO≌ PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，即：PD=PE.
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，
垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
角平分线上的点到角的两边的距离相等
题设：一个点在一个角的平分线上
结论：它到角的两边的距离相等
结论
用符号语言表示为：
∵∠1=
∠2，PD⊥OA
，PE⊥OB
∴PD=PE.
交换定理的题设和结论得到的命题为：
A
O
B
P
E
D
1
2
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
角平分线的性质
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
角的内部到角的两边距离相等的点，
在角平分线上。
角平分线的判定定理：
用符号语言表示为：
∵PD
⊥OA
，PE
⊥OB，PD=PE
∴
∠1=
∠2
.
A
O
B
P
E
D
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1=
∠2
.
则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt PDO≌Rt PEO(HL)即可
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
1
2
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证：
点P在∠AOB的平分线上。
举
例
1、如图，∠BAD=
∠BCD=900
，∠1=
∠2
.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上
.
（2）求证：BD是∠ABC的平分线
.
1
2
D
C
A
B
证明：（1）
∵∠1=
∠2
∴
BA=BC，
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt BAD和Rt BCD中，
∵
BA=BC
BD=BD
∴
Rt BAD≌Rt BCD
(HL)
∠ABD=
∠CBD
∴
BD是∠ABC的平分线
∵∠BAD=
∠BCD=900，
BA
⊥AD，BC
⊥CD
例2、如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，BD是∠AB
C的平分线
，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？
∵
∠C=90°
（已知）
∴
DC⊥BC（垂直的定义）
又∵
BD是∠ABC的平分线
∵
DE⊥BA（已知）
∴
DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
答：
(1)
DE=DC
(2)
BE=BC
角平分线的性质，为我们证明两线段相等
又提供了新的方法与途径
A
B
C
D
E
1
2
3
4
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识
1、填空：
(1).
∵∠1=
∠2，DC⊥AC，
DE⊥AB
∴___________
(____________________________________)
(2).
∵DC⊥AC
，DE⊥AB
，DC=DE
∴__________
（
）
A
C
D
E
B
1
2
∠1=
∠2
DC=DE
到角的两边的距离相等的点在角平分线上。
角平分线上的点到角的两边的距离相等
(3)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为
。
5
E
D
A
C
B
(3)∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
BD
=
CD
，
（
）
√
D
C
B
A
（2）∵
如图，DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
BD
=
CD，(
)
D
C
B
A
2、判断以下所填结论是否正确：
×
（1）∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD=
CD
(
)
A
D
C
B
×
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
∴
DE=AD=6（角平分线上的任意点
到角的两边的距离相等）
E
D
B
A
C
解：∵
∠A=90°
（已知）
∴
DA⊥AB（垂直的定义）
又∵
BD是∠ABC的平分线
∵
DE⊥BA
DE⊥BC（已知）
S△DBC
=
BC×DE=
×16×6=48
1
2
1
2
4.已知：如图，∠C=∠D=90°
，AC=AD
.
求证:（1）
∠ABC=
∠ABD
；
（2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
B
D
A
C
证明：
(1)∵∠C=
∠D=90°，
∴ BAD和 BCD均为直角三角形，
又∵AC=
AD，AB=AB
∴Rt BAD≌Rt BCD
(HL)
∴∠ABC=
∠ABD
（2）由（1）得：
∠CAB=
∠DAB
即：AB是∠CAD的平分线
∵∠C=
∠D=90°，即：BC⊥AC，BD⊥AD
∴
BC=BD
1.角平分线的性质定理：
在角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.
4、通过这节课的学习，觉得自己有什么收获吗？
一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.
作业：p24
练习
p26
A
1、2课题：1.2.3勾股定理（三）
教学目标
1、探索并掌握直角三角形判别的方法——勾股定理逆定理 ；会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 ；培养学生数形结合的思想.
2、通过“创设情境---实验验证----理论释意---应用”的探索过程，让学生感受知识的乐趣。
3、通过合作交流学习的发展体验获取数学知识的感受；通过对勾股定理逆定理的探究，激发学生学习数学的兴趣和创新精神.
重点：理解和应用直角三角形的判定方法
难点：理解勾股定理的逆定理
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1.直角三角形有哪些性质
结合图形用几何语言叙述：
在Rt ABC中，∠ACB＝90°，则有：∠A+∠B＝90°，a2+b2=c2
若D是斜边AB的中点，则：CD=AD=BD=
AB，
若∠A＝30°，则：BC=AB
2.如何判断三角形是直角三角形
∠A+∠B＝90°，CD=AD=BD=
AB，BC=AB
问题：如果三边a，b，c满足a2+b2=c2，三角形是直角三角形吗？
二、探究学习（出示ppt课件）
如图（1），已知在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形吗？
你能画一个直角三角形，使它的两直角边分别为a和b，斜边为c吗？
可以画一个Rt△A′
B′
C′
，使∠C′
=90°，B′
C′
=a
，A′
C′
=b，如图（2）
根据勾股定理，A′
B′
2
=a2+b2，因为
a2+b2=c2，所以A′
B′
2
=c2，于是斜边A′
B′
=c
在△ABC和△A′B′C′中，因为BC=B′C′=a，AC=A′C′=b，AB=A′B′=c，
所以△ABC
≌△A′B′C′
(SSS)
于是∠C＝∠C′＝90°(全等三角形的对应角相等)，所以△ABC是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
如果三角形的边长a，b，c有下面的关系：a2
+
b2
=
c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）这个定理实际就是勾股定理的逆定理。（2）运用时注意条件。
如图，
△ABC的三边为a、b、c，
∵a2
+
b2
=
c2，
∴
△ABC是直角三角形。
思考：如何判定由一组数为边长构成的三角形是直角三角形呢？
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
判断由a、b、c
组成的三角形是不是直角三角形：
(1)
a=15
,
b
=8
,
c=17
(2)
a=13
,
b
=15
,
c=14
分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。
解：（1）∵152＋82=225＋64=289
而172=289
∴
152＋82=172
∴这个三角形是直角三角形
（2）∵132＋142=169＋196=365
而152=225
∴
132＋142≠152
∴这个三角形不是直角三角形。
例2
如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，
AC=17，求DC的长.
解：在△ABD中，已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，∠ADC=180°-∠ADB=90°.
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，所以：DC=
【归纳总结】先根据直角三角形判定定理，再根据勾股定理，计算结果。
例3 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC.
解：
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=×20=10．
∵AD2＋BD2=576＋100=676，
AB
2=262=676，∴AD2＋BD2=AB2，
∴
∠ADB=90°，AD垂直平分BC．∴AC=AB=26.
注意：在运用勾股定理运算时，先要判断出三角形是
不是直角三角形。
四、巩固练习（出示ppt课件）
1.
已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？
（1）a
=8，b
=15，c
=17；（2）a
=10，b
=24，c
=25.
（3）a=4，b=5，c=
2、请判断以下列各组数据为边的三角形的形状．
（1）3，4，3；
（2）3，4，5；
（3）3，4，6；
（4）5，12，13．
3.
下列各数组中，不能作为直角三角形的三边长的是（
）．
A．3，4，5； B．10，6，8；
C．4，5，6； D．12，13，5．
4．若△ABC的两边长为8和15，则能使△
ABC为直角三角形的第三边的平方是（ ）
A．161； B．289； C．17； D．161或289
5、已知某校有一块四边形空地ABCD，如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，
若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：P16练习
2
A
2
A
B
C
D
30°
(1)
A
B
C
a
b
c
A′
a
b
c
B′
C′
(2)
A
C
B
D
8
6
10
17
A
B
C
D
A
B
C
D(共13张PPT)
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本课内容
本节内容
1.4.2
角平分线的性质（二）
1、怎样用尺规作角的平分线.
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
B
O
M
Ｎ
Ｃ
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD＝PE
用符号语言表述：
O
C
B
1
A
2
P
D
E
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
用符号语言表述：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
PD＝PE
∴
∠1=
∠2
即：OC是∠AOB的平分线
反过来：
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
动脑筋
A
C
B
M
N
P
如图，在△ABC中，作点P，使点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
你能在 ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
分析：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角的平分线其交点就是所求得P点。
口述作法
能证明作图结论吗？
如图，
△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
D
E
F
A
C
B
M
N
P
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
同理：PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
点P在∠A的平分线上吗？
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
∴PD=PE(
).
角平分线上的点到角两边距离相等
举
例
例1、如图，已知
EF⊥CD,
EF⊥AB，
MN⊥AC，
M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由：∵
NE⊥CD,
MN⊥CA
且MN=ME
N
M
F
E
D
C
B
A
∴
M在∠ACD的平分线上，
即：CM是∠ACD的平分线
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、
如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F。试探索BE+PF与PB的大小关系。
A
C
P
B
F
E
D
解：∵AP是∠DAC的平分线。
又
PE⊥DB
PF⊥AC
∴
PE=PF
在 EBP中，BE+PE>PB
∴
BE+PF>PB
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
A
B
C
D
E
F
F
E
D
C
B
A
D
N
E
B
F
M
C
A
1、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF。
求证：AD是△ABC的角平分线。
提示：Rt△DEB
≌Rt△DFC（HL）
得：DE=DF
由角平分线性质，得出结论。
2、已知
BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD，CE交点F，CF=BF，
求证：点F在∠A的平分线上.
提示：Rt△FEB
≌Rt△FDC（AAS）
得：DE=EF
由角平分线性质，得出结论。
D
C
B
A
变式训练：如图，△ABC中，∠A
=
90°，AB
=
AC，
BD是∠BAC的平分线，DE⊥BC于E，若BC
=
10cm，
则△DCE的周长等于(
)
A．10cm
B．8cm
C．6cm
D．9cm
E
A
3、已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，
AB
=
AC，BD平分∠ABC．
求证：BC
=
AB
+
AD
提示：由角平分线性质，得：AD=DE.
Rt△BAD≌Rt△BED（HL）
得：AB=BE
又可证：△DEC是等腰直角三角形，DE=EC
如图，有两条河流l1，l2
，两个工厂A，B，现要在这个区域内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
解：（1）画AB的垂直平分线MN，
A
B
l1
l2
（2）画∠α的平分线交直线MN于P,
则P点就是中转站的位置。
P
变式：如图，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个超市.使这个超市到三条公路的距离相等,应在何处修建
在确定超市的位置时,一定要画出三个角的平分线吗 你是怎样思考的 你是如何证明的
若把限制条件去掉，修建超市的地址有几处？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵
QD⊥OA，QE⊥OB，
点Q在∠AOB的平分线上
∴
QD＝QE
作业：P25
练习
P26
习题
3、5(共15张PPT)
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本课内容
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1.1.2
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
D
C
B
A
∠A+
∠B=90°
CD=AD=BD=
AB
1
2
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形；
(2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，那么BC与斜边AB有什么关系呢？
D
证明：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有：CD=
AB=BD
1
2
因为∠A+∠B=90°，
且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，
于是得：BC=CD=BD=
AB.
1
2
结论
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形性质定理：
C
B
A
30°
图形语言：
已知△ABC中，
∠ACB=90°，
∠B=30°(∠A=60°)，
那么：AC=
AB
1
2
还有其他方法证明这个定理吗？
还有其他方法证明这个定理吗？
D
A
C
B
300
600
你能用等边三角形的性质来证明
直角三角形的这条性质吗？
（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD
（2）将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。
这样构成等边△ADB
可证得：AB=DC=2BC，
即：BC=
AB
1
2
解：取线段AB的中点D，连结CD，
即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
动脑筋
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
D
于是得到：逆定理
如图，在Rt△ABC中，如果BC=
AB
，
那么∠A等于多少？
1
2
则有：CD=
AB=BD
1
2
又BC=
AB
，所以CD=BD=BC，
1
2
即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.
而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
举
例
例1
在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗
礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距
海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？
北
东
B
D
60°
分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.
解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，
海里，
∠AOD=30°.
所以轮船不会触礁.
于是：AD=
AO=
×30
1
2
√
3
1
2
≈25.98（海里）>20海里
E
D
C
B
A
例2、在 ABC中，∠B=30°，DE是AB的垂直平分线交BC于点D，AD平分∠BAC，已知AB=8
cm，
求AC长。
分析：由∠B=30°，AC就等于AB的一半吗？
注意：先要判断 ABC是直角三角形，再用定理计算。
解：
∵DE是AB的垂直平分线
∴
BD=AD，
∠B=∠BAD=30°
又∵
AD平分∠BAC，
∴
∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC=
2∠BAD=60°
∴
∠ACB=90°，即:
ABC是直角三角形.
∵
∠B=30°，AB=8
cm
∴AC=
AB=
4
cm
1
2
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A
=
30°
，且BC=3，则AB的长是
。
C
A
B
6
60
2、如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AB=4，BC=2，则∠B=
°
3、如图所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米
C
A
B
30°
250
5、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD
是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为
（
）
A、4.9
B、9
C、12
D、15
A
B
D
C
C
A
B
C
D
A
4、如图在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°，
AB=2
，DC=
，则∠B=（
）
A、30°
B、
45°
C、60°
D、
75°
√
3
√
3
6、如图所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（
）.
A.40°
B.
30°
C.
20°
D.10°
C
此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体度数，因此要求出x值，只能大致估计其范围，再在选项中选择可能的取值.
∵6x
>
90，∴
x
>15.
又6x<180，
∴x<30.
故，应选择C.
D
C
B
A
6x
7、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（
）.
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
P
E
D
C
B
A
B
∵BE，CD是AB，BC的高，
∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50°
，
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
故，应选择B.
9、如图，是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°，大厅两层之间的距离BC为6米.你能算出电梯AB的长度吗？
AB=12米.
8、p6
练习
2
∠A=30°.
10、下图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC
，
DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A
=
30°，AB=7.4m
，求BC、DE的长。
B
A
D
E
C
BC=3.7米，DE=1.85米
11、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点，BQ
⊥
AD
（1）猜想BE与AD的大小关系并证明。
（2）试说明BP=2PQ。
（1）可证得：
△BAE≌
△ACD
从而可得：BE=AD
A
C
B
Q
D
P
E
（2）由（1）得：∠ABE=∠CAD，
在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP
=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°
又BQ
⊥
AD
∴
∠PBQ=30°，
∴
BP=2PQ
1、这节课学了直角三角形的哪个性质？
含300角的对边与斜边的关系。
2、总结概括直角三角形的边、角性质。
3、一个三角形满足哪些条件才是直角三角形？
作业：P7
A
4、5
课外：P7
A
3，
B(共14张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.3.2
直角三角形全等的斜边、直角边定理是：
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
使用“HL”定理要注意哪些问题？
直角三角形全等的判定定理:SAS，AAS，ASA，SSS，HL
综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为:
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
切记!!!
两边及其中一边的对角对应相等的
两个三角形不一定全等。
如图，已知∠ACB=∠BDA=900
,
要使△ABC≌△BDA,
还需要增加一个什么条件 把它们分别写出来.
D
C
B
A
增加AC=BD;
增加BC=AD;
增加∠ABC=∠BAD
;
增加∠CAB=∠DBA
;
(HL)
(HL)
(AAS)
(ASA)
例1、
如图，∠ABD=∠ACD=90°，∠1=∠2，则AD平分BAC。请说明理由.
则有∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC.
证明：因为∠1=∠2，（已知）
举
例
所以BD=CD.（等边对等角）
又因为AD=AD(公共边)，
所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
变式训练：如图，已知P是∠AOB内部一点，PD⊥OA，
PE⊥OB，D，E分别是垂足，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线上。请说明理由。
A
B
P
O
D
E
提示：连接OP，
再证明
Rt△ODP≌Rt△OEP
∠DOP=∠EOP
证明过程学生独立完成。
【方法总结】在运用HL判定两个直角三角形全等时，
要紧紧抓住直角边和斜边这两个要点．
例2、已知如图AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F.
求证：CE＝DF.
分析：根据已知条件证明现有的
Rt△ABC与Rt△BAD全等，得出
线段和角相等，再证Rt△ACE和Rt△BDF全等，从而解决问题．
【方法总结】一般三角形全等的判定方法仍然适用于直角三角形，因此判定直角三角形全等的方法有五种，不要只限于“HL”．
先用“HL”证得：Rt△ABC≌Rt△BAD，
得：AC＝BD，∠CAB＝∠DBA
再用“AAS”证得：△CAE≌△DBF，∴CE＝DF.
例3、已知，如图所示，AB=AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，且B、C在DE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD=DE＋CE.
△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，AD＝CE，
∵AE＝AD＋DE，∴BD＝CE＋DE.
【方法总结】当看到题目中要证线段和差关系时，而且这三边分别在两个全等三角形中时，可先判定两三角形全等，再证明线段关系．在证明全等时可灵活选用判定方法．
分析：先证△ABD≌△ACE，再根据等量代换得出结论．
1、已知:如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE=DF.求证:
△ABC是等腰三角形.
2、如图，已知CE
⊥
AB，DF
⊥
AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。AC∥BD吗？为什么？
练习
F
E
D
C
B
A
D
B
C
A
F
E
证明
△BDF≌△CDE
∠B=∠C，从而结论得证。
由AF=BE，可得：AE=BF
可证得
△AEC≌△BFD，得：CE=DF
∠A=∠B，
得：AC∥BD
。
3、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是
D、E，
BE、CD相交于点O，如果AB=AC
哪么图中有几对全等的直角三角形？取其
中的一对予以证明。
E
D
C
B
A
O
4、已知：如图，AB=CD，AE⊥BD，CF
⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE.求证：
∠ABD=
∠CDB.
F
E
D
C
B
A
3对直角三角形全等。
由BF=DE，可得：BE=DF
可证得
△AEB≌△CFD，
得：
∠ABD=
∠CDB
还能得到哪些结论？
5.
已知：AB⊥AC，CD⊥AC，AD=CB，
问
△ABC
与△CDA全等吗 AD//BC
吗？
D
C
B
A
A
B
C
D
6.如图，在 ABC和 BCD
中，已知AC⊥BC，
AD⊥BD
,垂足分别为C、D
，AC=BD
求证：BC=AD
AC边公共，由“HL”可证得：
△ABC≌△CDA，
得:∠DAC=
∠BCA，∴AD//BC
AB边公共，由“HL”可证得：
△ACB≌△BDA，
∴BC=AD
7、已知AB//CD，
∠A=90
°、AB=CE、BC=DE，试问DE与BC的位置关系是怎样的？
B
E
D
C
A
M
1
2
证明：∵AB//CD，
∠A=90°
∴∠DCA=180°-∠A=90°（
）
在Rt ABC和Rt CED中，
∵
AB=CE
BC=DE
∴Rt ABC≌Rt CED（
）
∴∠1=
∠D（
）
∠1+
∠2=
∠2+
∠D=90°（
）
∴∠EMC=90°.
即：DE⊥BC
答：DE⊥BC
HL
1、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE大小有什么关系？
可证得：
△ABC≌△DEF，
得:∠ABC=
∠DEF，
又:∠DFE+∠DEF=900
∴
∠DFE+∠ABC=900
即：∠ABC与∠DFE互余。
2、如图，在△ABC与△A
B
C
中，
CD，
C
D
分别是高，并且AC=A
C，CD=C
D，∠ACB=∠A
C
B．
求证：△ABC≌△A
B
C
．
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
B
C
D
A
′
A
′
B
′
C
′
D
先可证得：
△ABD≌△A
C
D
(HL)
′
′
′
得:∠A=
∠A，
′
可证得：
△ABC≌△A
B
C
(ASA)
′
′
′
再加AC=A
C
，
∠ACB=
∠A
C
B
′
′
′
′
′
通过这节课的学习你有何收获？
直角三角形的全等判定方法：（四条）
概括为两条：
一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两边对应相等的两个直角三角形全等;
特别注意“HL”定理的使用条件.
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提
条件1
条件2
作业：p21
A
3
B
5、6课题：1.1.2直角三角形的性质与判定（二）
教学目标
1、掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，
掌握直角三角形的性质“直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30度”
2、经历“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”性质的发现过程。掌握直角三角形的性质，会运用直角三角形的性质进行简单的推理和计算。
3、体会从“一般到特殊”的思维方法和“逆向思维”方法，培养逆向思维能力。
重点：直角三角形性质“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”。
难点：直角三角形性质的应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形有哪些性质？结合图形，用图形语言叙述。
Rt ABC中，∠C=90°，D是AB的中点
∠A+
∠B=90°
CD=AD=BD=AB
2、一个三角形应满足什么条件才能是直角三角形
（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；
（2）有两个角的和是90°的三角形是直角三角形；
（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。
二、探究学习（出示ppt课件）按要求画图：
1、（1）画∠MON，使∠MON=30°；(2)在OM上任意取点P，过P作ON的垂线PK，垂足为K，量一量PO,PK的长度，PO，PK有什么关系；
(3)在OM上再取点Q,R，分别过Q,R作ON的垂线QD,RE,垂足分别为D,E，
量一量QD，OQ，它们有什么关系？量一量RE，OR，它们有什么关系？
由此你发现了什么规律？
2、探究直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，
那么它所对的直角边为什么等于斜边的一半。
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如果∠A=30°，
那么BC与斜边AB有什么关系呢？
证明：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边AB上的中线.
则有：CD=AB=BD因为∠A+∠B=90°，
且∠A=30°，
则∠B=60°，所以△CBD为等边三角形，于是得：BC=CD=BD=AB.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
这个定理的得出除了上面的方法外，你还有没有别的方法呢？
（让学生交流，得出把△ABC沿着AC翻折，利用等边三角形的性质证明）
（1）延长BC到D，使CD=BC，连接AD
（2）将△ABC沿AC对折，得到轴对称图形△ADC。
这样构成等边△ADB
你能用等边三角形的性质来证明直角三角形的这条性质吗？
可证得：AB=DC=2BC，即：BC=AB
2、上面定理的逆定理
（1）把“结论”和“条件”互换，怎么叙述？
（2）证明逆命题的正确性：
如图，在Rt△ABC中，如果BC=AB
，那么∠A等于多少？
解：取线段AB的中点D，连结CD，即CD为Rt△ABC斜边上的中线，
则有：CD=AB=BD，又BC=AB
，所以CD=BD=BC，
即：△BDC为等边三角形，于是∠B=60°.
而∠A+∠B=90°，所以∠A=30°.
于是得到：逆定理
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
在A岛周围20海里(1海里=1852m)水域内有暗
礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°的方向，且与轮船相距海里，如图.该船如果保持航向不变，有触暗礁的危险吗？
分析：轮船在航行过程中，如果与A岛的距离
始终大于20海里，则轮船就不会触暗礁.
解：过A点作AD⊥OB，垂足为D.
在Rt△AOD中，AO=海里，∠AOD=30°.
于是：AD=AO=×≈25.98（海里）>20海里
所以轮船不会触礁.
例2、在 ABC中，∠B=30°，DE是AB的
垂直平分线交BC于点D，AD平分∠BAC，
已知AB=8
cm，求AC长。
分析：由∠B=30°，AC就等于AB的一半吗？
注意：先要判断 ABC是直角三角形，再用定理计算。
解：
∵DE是AB的垂直平分线∴
BD=AD，
∠B=∠BAD=30°
又∵
AD平分∠BAC，∴
∠BAD=∠CAD=30°，即:∠BAC=
2∠BAD=60°
∴
∠ACB=90°，即:
ABC是直角三角形.∵
∠B=30°，AB=8
cm
∴AC=
4
cm
四、达标训练（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：P7
A
4、5课外：P7
A
3，
B
_
D
_
C
_
B
A
30°
A
B
C
D
A
B
C
D
60°
30°
A
B
C
D
60°
东
北
D
A
B
C
D
E(共17张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.1
1、三角形边的关系怎样？
2、直角三角形是特殊的三角形，它有哪些特殊性质？
3、直角三角形的三边有上述关系吗？
直角三角形的三边是不是有特殊性质？
A
B
C
a
b
c
a+b>c
a-bA
B
C
a
b
c
D
30°
a+b>c
a-b在Rt
△ABC，∠C=90°，
∠A=30°，
点D是AB
的中点。
∠B+
∠A=90°，
CD=
AB
1
2
BC=
AB
1
2
情境导入
搜索2002年国际数学家大会
观察大会的会标图徽
把这个会标图徽抽象出几何图形：
c
c
c
c
b-a
b
a
体会它的设计思路，从而发现直角三角形的两直角边与斜边的关系：
1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直
角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和
4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.
探究
b=4
A
C
c=
我量的为5cm.
B
a=3
5
2.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作
正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么
这三个正方形的面积有什么关系呢？
S1
S2
S3
S1=32=9
S2=42=16
S3=72-
×3×4×4
=25=52
1
2
S1+S2=S3
即：32+42=52
C
B
A
从Rt ABC的三边看，就有：
AC2+BC2=AB2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.
是否对于所有的直角三角形，它的三边之间
都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，
∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？
我们剪四个这样的直角三角形和一个边长
是c的正方形，如图摆放：
c
b
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
D
C
B
A
正方形ABCD的边长是(a+b)，
则面积是(a+b)2
正方形ABCD的面积也可以看着是四个直角三角形的面积+中间边长为c的正方形面积。即：c2+4×
ab
1
2
1
2
就有：(a+b)2=c2+4×
ab
即：a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
c
b
a
a
a
a
b
b
b
c
c
c
D
C
B
A
a2+2ab+b2=c2+2ab
把四个三角形摆成两个正方形（如图A、B）
解决问题：
1.图中的两个大正方形面积相等吗？
2.两幅图中的四个直角三角形总面积相等吗？
3.两幅图中空白部分的面积相等吗？
a
b
c
（A）
a
b
c
（B）
其中图(A)中的大正方形的面积为
，
图(B)中的大正方形的面积为
，
容易看出图(A)和图(B)中的两个大正方形面积
是相等的.
1
2
c2+4·
ab
1
2
a2+b2+4·
ab
于是有:
整理得：
a2
+
b2
=
c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2
+
b2
=
c2.
综上所述：直角三角形的性质定理：
其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角
形的这个性质；
由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边
为勾，较长的一边为股，斜边为弦，因此这一
性质称为勾股定理.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.因此根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三边的长.
变式训练：Rt ABC中，∠A=900，
AC=3，BC=4，求AB长。
C
A
B
4
3
C
A
B
4
3
举
例
注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。
（2）使用勾股定理时要明确哪个角是直角。
例1、Rt ABC中，∠C=900，
AC=3，BC=4，求AB长。
解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2
√
AC2+BC2
AB=
√
32+42
√
25
=
=
=5
（已知两直角边求斜边）
√
BC2-AC2
AB=
√
42-32
√
7
=
=
（已知一直角边和斜边，求另一直角边）
例2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm.
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.
(勾股定理)
所以AD=12.
所以AD的高为12cm.
解：因为在等腰三角形ACB中，AD是BC边上的高，
AB=AC，BC=10cm，所以
BD=DC=5cm，
（2）△ABC的面积是多少呢？
解：
因为三角形ACB中，
面积=底×高÷2，
即10×12÷2=60.
所以
ABC的面积是60cm2.
12
10
7
1
2
17
13
5
求下列各图中的x
5
13
x
8
6
x
24
25
x
1
x
1
x
8
15
x
12
3
4
x
x
2.
如图是一个边长为a的正方形，两条对角线AC与BD相交于O.观察此图形并回答下面问题：
（1）对角线AC有多长呢？
（2）图中有多少个直角三角形？
有8个直角三角形.
练习
1、p11
练习
AC=
3.
有一颗树较高(如图)，无法直接量出它的高度.可以先用测角器在离树底部不远处的地面上找一点B，使此时测得树顶点A的仰角为60°，再用皮尺测得BC之间的距离为a，由此你能得出这棵树的高度吗？
解：
在Rt△ABC中，∠ABC=60°，
可知∠BAC=30
°
，
由于BC=a，因此有AB=2a，
再由勾股定理可得：
树高
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别
为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2
几何语言：
二指
A
C
B
c
b
a
（两直角边的平方和等于斜边的平方。）
如图，在Rt
△ABC中
∵
∠C=90°
一限
∴a2+b2=c2（或：AC2+BC2=AB2)
三用
勾股定理作用呢？
已知直角三角形任意两边求第三边。
b
a
c
B
C
A
c2
=
a2
+
b2
√
a2+b2
c=
a2
=
.
b2
=
.
√
c2-b2
a=
√
c2-a2
b=
c2-b2
c2-a2
作业：P16
A
2、3、4
c
c
c
c
b-a
b
a
1、用这个图能证明勾股定理吗？
2、已知：∠C＝90°，a=6，
a：b＝3：4，求b和c.
c
a
b
b=8，c=10课题：1.2.1勾股定理（一）
教学目标
1、让学生体验勾股定理的探索过程；掌握勾股定理；学会用勾股定理解决简单的几何问题．
2、经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程，了解勾股定理
3、了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习数学的自信。
重点：
勾股定理
难点：
勾股定理的证明
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、三角形边的关系怎样？
2、直角三角形是特殊的三角形，它有哪些特殊性质？
在Rt
△ABC，∠C=90°，
∠A=30°，点D是AB
的中点。
3、直角三角形的三边有上述关系吗？
直角三角形的三边是不是有特殊性质？
二、情境导入（出示ppt课件）
向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。
三、探究学习（出示ppt课件）
1.在方格纸上画一个顶点都在格点上的直角三角形ABC，使两直角边分别为3cm和4cm，如图所示，试量出它的斜边c的长度.
2.再分别以这个直角三角形的三边为为边长向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，如图，那么这三个正方形的面积有什么关系呢？
师生活动：在方格图中计算三个正方形的面积，
然后比较它们之间的关系：
S1+S2=S3
从Rt ABC的三边看，就有：AC2+BC2=AB2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
3.
是否对于所有的直角三角形，它的三边之间
都有这样的特殊关系呢？即任作Rt△ABC，
∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，是否都有a2+b2=c2成立呢？
引导学生不同的图形证明勾股定理：
我们剪四个相同的直角三角形和一个边长是c的正方形，如图摆放：
正方形ABCD的边长是(a+b)，
则面积是(a+b)
2
正方形ABCD的面积也可以看着
是四个直角三角形的面积+中间边长
为c的正方形面积。即：c2+4×ab
就有：(a+b)
2=c2+4×ab
a2+2ab+b2=c2+2ab
即：a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
证法二：把四个三角形摆成两个正方形（如图A、B）
1.图中的两个大正方形面积相等吗？
2.两幅图中的四个直角三角形总面积
相等吗？
3.两幅图中空白部分的面积相等吗？
按上述思路，也可以证得：
a2+b2=c2
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
归纳定理：
直角三角形的性质定理：（勾股定理）
直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
a2+
b2=
c2.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、Rt ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求AB长。
解：由勾股定理得：AC2+BC2=AB2
AB=
（已知两直角边求斜边，注意：分清直角边和斜边，
已知哪条边，要求哪条边。）
变式训练：Rt ABC中，∠A=90°，AC=3，BC=4，求AB长。
（已知直角边和斜边，求另一条直角边）
注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。
（2）使用勾股定理时要明确哪个角是直角。
例2、如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm.
（1）你能算出BC边上的高AD的长吗？
（2）△ABC的面积是多少呢？
解：(1)
在Rt△ADC中，AD2=132-52=144.
(勾股定理)
所以AD=12.
所以AD的高为12cm.
（2）因为三角形ACB中，面积=底×高÷2，
即10×12÷2=60.所以
ABC的面积是60cm2.
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
1、勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么：a2+b2=c2
2、能用几何语言描述。
3、勾股定理的作用。注意的问题。
七、作业：P16
A
2、3、4
八、课外讨论（出示ppt课件）
A
B
C
a
b
c
A
B
C
D
A
B
C
S3
S1
S2
c
c
c
c
A
b
a
B
C
D
a
b
c
（A）
a
b
c
（B）
C
A
B
A
C
B
B
A
C
D《直角三角形小结与复习（二）》
1、在△ABC中若∠A=25°，∠B=65°，此三角形为（
）。
A.
等腰三角形；
B.
钝角三角形；
C.
直角三角形；
D.
锐角三角形；
2、如图（1），已知AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，则∠E（
）
A.
大于90°
B.
等于90°
C.
小于90°
D.
无法确定
3、如图（2），ΔABC中，∠A=50°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
则∠BOC的度数是（
）
A.
115°
B.
110°
C.
105°
D.
130°
4、
如图（3），ΔABC中，AB=AC=4，P是BC上任意一点，过P作PD⊥AC于D，PE⊥AB于E，若SΔABC=6，则PE+PD=（
）
A.1；
B.
2；
C.
3；
D.
4；
5、在Rt△ABC中，∠C=90 ，∠A=30 ，BC=2cm，则AC=（
）。
A.；
B.
；
C.
；
D.
；
二、填空题：
1、如图（4），已知∠ACB=∠BDA=90°，
要使△ACB≌△BDA，至少还需加上条件是
。
2.直角三角形中，两锐角的平分线相交所
成的角的度数是_____________。
3.若∠A：∠B:∠C=2:3:5，则△ABC是_________三角形。
4、在△ABC中，∠A:
∠B:
∠C=1:2:3,最短的边长为5，
则最长的边长为______
5、如图（5），在Rt△ABC中，∠C=90°,
∠CBA=60°,
BD是△ABC的角平分线，如果CD=3
则AC的长为________
三、解答题；
1、如图（6），在△ABC中，AB=6，BC=AC=5
（1）求AB边上的高CD；（2）求BC边上的高AE。
（3）DF⊥BC，求DF
2、如图(7)，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
3、在一棵树的5米高的B处有两只猴子，
其中一只爬下树走到离树15米处的池塘A处，
另一只爬到树顶D后直接跃向池塘A处，
如果两只猴子所经过的距离相等，
问这棵树有多高？
4、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．
参考答案：
一、1、C；2、B；3、A；4、B；5、A；
二、1、AC=BD（答案不唯一）；2、135°；3、直角；4、10；5、9；
三、1、（1）CD=4；（2）由面积公式可得：AE=4.8；(3)也可由面积公式得：DF=1.2；
2、设CD=x，
DE=CD=x，AB=10，AE=AC=6，∴BE=4，BD=8-x，
在△BED中，由勾股定理列方程，求解。CD=3.
3、设BD=x，CD=5+x，AC=15，AD=BC+AC-BD=20-x
得：(5+x)2+152=(20-x)2，解得：x=3，∴树高：BC+CD=5+3=8米
4、证明：Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)
还能证明线段DE、BD、CE之间的数量关系。
图①中：DE=CE+BD，图②中：DE=CE-BD
A
B
C
D
E
(1)
A
B
C
O
(2)
A
B
C
D
E
F
(3)
A
B
C
D
（4）
（5）
A
B
C
D
E
F
（6）
A
B
C
D
E
（7）
A
·
B
C
D
B
A
E
D
C
②
B
A
E
D
C
①(共16张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.1.1
1、三角形的内角和为 ，特殊的三角形我们学过有哪些？
1800
2、两个角度数之和等于
，称这两个角互为余角。试画图说明。
900
D
C
B
A
3、有一个角是
的三角形叫直角三角形。
直角
900
4、在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，则图中有几个直角三角形？
有3个直角三角形：
Rt△ABC，
Rt△ACD，
Rt△CBD
说一说
1.如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=？
∴∠A
+∠B
=
90°.
∵∠A
+∠B+
∠C
=
180°.
∵∠C
=
90°.
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形.
这个性质，反过来怎么叙述？
探究
直角三角形的两个锐角互余。
反过来：
。
有两个角互余的三角形是直角三角形.
成立吗？
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的判定定理：
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝1800
又∵∠A＋∠B＝900
∴∠C＝900
∴△ABC是直角三角形。
已知如图，∠A＋∠B＝900，试证明△ABC是直角三角形。
1、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。
2、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个
内角分别是∠C＝
，∠B＝
，∠A＝
，
它是一个
三角形。
3、等腰直角三角形的两个锐角分别是
、
；
4、如果直角三角形有一个锐角为450，那么它一定
是
直角三角形。
450
450
900
等腰直角
400
等腰
做一做
450
450
如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，度量并比较CD，AB，AD，BD的长度.你能发现什么结论？
CD=
；
AD=
；
BD=
；
AB=
；
CD=
AB
.
DB
DB
AD
AD+DB
探究
我们来验证一下.
1
2
是否任意一个Rt
△ABC都有CD=
AB
成立呢？
1
2
在下图中，过
Rt△ABC
的直角顶点
C
作射线
CD′交
AB
于
D′，使
∠1
=
∠A，则有
.
(等角对等边)
于是受到启发：
又因为
∠A
+∠B
=
90°，
∠1
+∠2
=
90°，
所以
∠B
=∠2.
如上图，如果中线CD=
AB
，则有∠ACD=∠A.
1
2
AD′=CD′
于是得：BD′=CD′
(等角对等边).
故得
所以D′是斜边AB的中点，即CD′就是斜边AB的中线，从而CD′与CD重合，并且有:
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
直角三角形的性质定理：
CD=
AB
1
2
举
例
例1
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，求证：这个三角形是直角三角形。
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且
.求证：
△ABC是直角三角形.
证明：
因为
，
所以
∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B
.
得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以
：∠A+∠B
=90°.
所以△ABC是直角三角形.
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
这个三角形是直角三角形。
得出逆定理：（直角三角形的判定定理）
在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
我们知道：直角三角形的性质定理：
把例题1的结论与上述定理比较：
互为逆命题。
2、在Rt△ABC中，∠ACB＝900
，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，试填空：
⑴与CE相等的线段有： ；
⑵与∠A度数相等的角有 ；
⑶若∠A＝350，则∠ACD= ，
∠ACE= ；∠BCE= ；
∠DCB= 。
AE
BE
∠DCB
∠ECA
350
550
550
350
E
D
C
B
A
1、P4
练习1
练习
3、如图，AB∥CD，∠BAC和∠ACD的平分线相交于H点，E为AC的中点，EH=2.那么△AHC是直角三角形吗？为什么？若是，求出AC的长.
由EH=2
易知AC=4.
证明：
因为
AB∥CD，所以
∠BAC+∠DCA=180°.
又
，
，
所以
所以△AHC是直角三角形.
在Rt△AHC中，EH为斜边上的中线，
所以有
，
4、已知如图，Rt△ABC中，∠C＝900，
DE垂直平分AB，∠CAE︰∠EAD＝8
︰
5，求∠CEA的度数。
解：∵
DE垂直平分AB
∴∠EAB=∠EBA(
)
∴EA=EB
(
)
设∠CAE=8x，则∠EAD=
∠EBA=5x
D
A
B
C
E
∵
∠CAB+∠CBA=90°
∴∠CAE
+∠EAD+∠CBA=90°
即：8x
+5x+5x
=90°，x=
5°
∴∠CAE
=40°
在Rt
△AEC中
，∵
∠CAE
=40°
∴∠CEA
=50°
垂直平分线性质
等边对等角
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｂ
Ｅ
1、如图，已知四边形ABCD中，
∠ABC=90°，连接AC，E为AC中点，且BE=DE。求证：
∠ADC=90°
证明：∵E为AC中点，
∠ABC=90°，
∴BE是斜边AC的中线，
∴BE=
AC=AE=CE，
1
2
又∵BE=DE
∴DE=
AC
1
2
∴
△ADC是以AC为斜边的直角三角形
，
∴∠ADC=90°
2、如图，已知AB⊥BD，
AC⊥CD
,E为AD的中点。EB与EC相等吗？请说明理由。
变式训练：把结论换成：“点F是BC的中点，EF垂直BC吗？请说明理由。”
F
G
E
D
C
B
A
提示：EB、EC分别是有公共斜边Rt
△ACD
、Rt
△ABD的斜边AD上的中线。
提示：EB、EC分别是有公共斜边Rt
△ACD
、Rt
△ABD的斜边AD上的中线。
△BEC是等腰三角形，F是BC的中点，由三线合一可得：
EF⊥BC.
1.
这节课我们研究的是什么？怎么研究的？
2.
你有哪些收获？还存在什么困惑？
作业：p7
A
1、2
如何判定三角形是直角三角形？
直角三角形的有关性质：
(1)直角三角形的两个锐角互余。
(2)在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形全等的判定(二)
一、选择题
1.两个直角三角形全等的条件是(
)
A.一锐角对应相等 ;
B.两锐角对应相等;
C.一条边对应相等;
D.两条边对应相等
2.要判定两个直角三角形全等,需要满足下列条件中的( )
①有两条直角边对应相等;
②有两个锐角对应相等;
③有斜边和一条直角边对应相等;
④有一条直角边和一个锐角相等;
⑤有斜边和一个锐角对应相等;
⑥有两条边相等.
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
3.如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=DC,那么图中有全等三角形(
)
A.5对;
B.4对;
C.3对;
D.2对
4.已知在△ABC和△DEF中,∠A=∠D=90°,则下列条件中不能判定△ABC和△DEF全等的是(
)
A.AB=DE,AC=DF
B.AC=EF,BC=DF
C.AB=DE,BC=EF
D.∠C=∠F,BC=EF
5.如果两个直角三角形的两条直角边对应相等,那么两个直角三角形全等的依据是(
)
A.AAS
B.SAS
C.HL
D.SSS
二、填空题
1．“HL”公理是：有
相等的两个
三角形全等。
2．在应用“HL”公理时，必须先得出两个
三角形，然后证明
对应相等
3、已知△ABC和△A′B′C′,∠C=∠C′=90°,AC=A′C′,要判定△ABC≌△A′B′C′,必须添加条件为①________或②________或③________或④_________.
4、.、如图,B、E、F、C在同一直线上,AF⊥BC于F,DE⊥BC于E,AB=DC,BE=CF,
若要说明AB∥CD,理由如下:
∵AF⊥BC于F,DE⊥BC于E(已知)
∴△ABF,△DCE是直角三角形
∵BE=CF(已知)
∴BE+_____=CF+_______(等式性质)
即_______=___________(已证)
∴Rt△ABF≌Rt△DCE(
)
三、解答题
1、如图所示，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD交CE于点F，AD＝EC.求证：FA＝FC.
2、已知：如图，AB=CD，AE⊥BD，CF
⊥BD，垂足分别为E、F，且BF=DE.求证：
∠ABD=
∠CDB.
3、已知AB//CD，
∠A=90
°、AB=CE、BC=DE，试问DE与BC的位置关系是怎样的？
第1题
第2题
第3题
参考答案：
一、1、D2、B3、C4、B5、B
二、1、两边，直角；2、直角，边、角；3.①AB=A′B′
②BC=B′C′
③∠A=∠A′
④∠B=∠B′4、EF、EF、BF=CE,BF=CE,斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等
三、1、证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴在Rt△AEC和Rt△CDA中∴Rt△AEC≌Rt△CDA(HL)，∴∠FAC＝∠FCA，∴FA＝FC.
2、由BF=DE，可得：BE=DF，可证得
△AEB≌△CFD，得：
∠ABD=
∠CDB
3、答：DE⊥BC，可证得：Rt ABC≌Rt CED
∴∠1=
∠D，∠1+
∠2=
∠2+
∠D=90°∴∠EMC=90°.
即：DE⊥BC
B
E
D
C
A
M
1
2
A
B
C
D
E
F课题：《直角三角形》
教学目标
1．系统了解本章的知识体系及知识内容；在熟练掌握直角三角形相关概念的基础上，进一步熟悉掌握直角三角形性质与判定的应用；在掌握角平分线性质及其逆定理的基础上将知识融汇贯通，进行一些提高训练；培养对知识综合掌握、综合运用的能力。
2、通过典型例题及课本复习题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标和提高。3、主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
重点：勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质和判定、角平分线性质与判定在解决实际问题中的作用
难点：综合掌握、综合运用直角三角形相关知识
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1.直角三角形勾股定理的内容：
∵△ABC为直角三角形．
∴a2＋b2＝c2
.
反过来：∵a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．
2、直角三角形的特殊性质：
（1）斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）300角所对的边等于斜边的一半。
3、直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
4、角平分线的性质和判定：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
∵∠1=
∠2，
∵PD⊥OA
，
PD⊥OA
，
PE⊥OB
PE⊥OB
PD=PE
∴PD=PE.
∴
∠1=
∠2.
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
二、基础练习（见ppt课件）
三、例题精讲（出示ppt课件）
例1、已知：如图，
∠A=90°∠B=15°BD=DC，
请说明AC=BD的理由.
证明：∵
BD=DC，∠B=15°
∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）
∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠A=90°
∴AC=DC（直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半）
∴
AC=BD
例2：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC，FD=CD，问BE，AC互相垂直吗？请说明理由
答：BE⊥AC
证明：∵
AD是△ABC中BC边上的高，
即：AD⊥BC
∴
∠ADC=∠BDF=90°
又∵
BF=AC，FD=CD
∴
Rt△BDF≌Rt△ADC
(HL)
∴
∠FBD=∠CAD
∴
∠BFD=∠AFE
∵
∠BFD+∠FBD=90°
∴∠AFE+∠CAD=90°
∴∠AEF=90°
即：BE⊥AC
例3、如图，AC⊥BC，AD⊥BD，点E，F分别是AB，CD的中点，
求证：EF⊥CD.
证明：连接CE，DE
∵
AC⊥BC，AD⊥BD，
∴
△ACB和△ADB是具有公共斜边AB的直角三角形
。
又∵
E是AB的中点，∴
CE=DE=AB
∴
△CED是等腰三角形。又∵
F是CD的中点，∴
EF⊥CD
（三线合一）
例4、如图，A城市气象台测得台风中心，
在A城正西方向300千米的B处，正向北
偏东600的BF方向移动，已知距台风中心
200千米的范围内是受台风影响的区域，那么
A城是否受到这次台风的影响？为什么？
分析：A城是否受到这次台风的影响，就看
A城与台风中心的距离在200千米以内还是以外。
解：作AD⊥BF，∵∠CBF=600
∴∠FBA=300
在Rt ABD中，BA=300千米
，∴
AD=AB=150千米。
而
150＜200，所以A城会受到台风的影响
思考：若A城与B地的方向保持不变，为了确保A城不受台风影响，至少离B地多远？
例5、如图，已知AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D。若点E是BD上一点，能否在AB、CD上分别各找一点F、G，使Rt△FEB≌Rt△CEG？如果能，EF与EG的位置关系和数量关系怎样？
分析：要使Rt△FEB≌Rt△DEG，
就有夹直角的两边对应相等。
解：在AB上取BF=CE，
在CD上取CG=BE，连接EF，EG
∴
EF=EG且
EF⊥EG
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、作业：
P29-30
9、10、11、12
A
B
C
a
b
c
A
O
B
C
P
D
E
1
2
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
·
A
B
C
东
北
60°
D
F
A
B
C
D
E
F
G 《勾股定理（一）》
一、选择题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，三边长分别为a、b、c，则下列结论成立的是（
）
A、2abB、2ab≥c2
C、2ab>c2
D、2ab≤c2
2、一个直角三角形的三边分别是2、3、x，那么以x为边长的正方形面积是（
）
A.
13；
B.
5；
C.
13或5；
D.无法确定；
3、正方形的面积是4；则对角线长是（
）
A.
2；
B.
；
C.
2；
D.
4；
4、等腰三角形的底角15°，腰长是8，则它的面积是（
）
A.
32；
B.
4；
C.
8；
D.
16；
二、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=
.
2、在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，若BD=3，DC=1，则AD=____________。
3、在△ABC中，AB=2k，AC=2k-1，BC=3，当k=__________时，∠C=90°。
4、已知直角三角形斜边长为12cm，周长为30cm，则此三角形的面积为____。
5、等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为
。
三、解答题
1、已知△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b,
（1）如果求c；（2）如果求b；
2、
已知在△ABC中，∠ACB＝900
，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.
3、如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝900
，D是BC上任一点，
求证：BD2+CD2=2AD2
参考答案：
一、1、D；2、C；3、C；4、D；
二、1、9；2、4；3、2.5；4、45；5、12；
三、1、（1）c=；（2）b=8
2、解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，BC＝3，由勾股定理有AC=4，
，
3、过点D作DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F， 则DE∥AC，DF∥AB
又∵AB＝AC，∠BAC＝900
，∴EB＝ED，FD＝FC＝AE
在Rt△EBD和Rt△FDC中
BD2=BE2+DE2
,CD2=FD2+FC2
在Rt△AED中，DE2+AE2=AD2
∴BD2+CD2=2AD2课题：1.2.4勾股定理（四）
教学目标
1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，准确运用勾股定理及逆定理。
2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，应用“数形结合”的思想来解决。掌握直角三角形三边关系——勾股定理及直角三角形的判别条件——勾股定理的逆定理。
3、学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值；尽可能的给学生提供展示他们查阅有关勾股定理，进行交流的机会，并与在他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验。培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用
重点：掌握勾股定理及其逆定理
难点：灵活运用勾股定理及其逆定理解决有关问题
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、直角三角形勾股定理的内容：
∵△ABC为直角三角形．∴a2＋b2＝c2
.
2、三角形的三边之间满足怎样数量关系时，此三角形是直角三角形？
∵a2＋b2＝c2
.
∴△ABC为直角三角形．
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
满足a2＋b2＝c2的a、b、c三个正整数，称为勾股数．
二、探究交流（出示ppt课件）
1、勾股数的规律：
像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等满足a2＋b2＝c2
.的一组正整数，通常称为勾股数，
请你填表并探索规律．
a
3
6
9
12
…
3n
b
4
8
12
16
…
4n
c
5
10
15
20
…
5n
发现什么规律？三角形的三边分别是3，4，5的整数倍，这样的三个数是一组勾股数。
a
3
5
7
9
…
2n+1
b
4
12
24
40
…
2n(n+1)
c
5
13
25
41
…
2n(n+1)+1
发现什么规律？设n为正整数，那么，2n+1，2n(n+1)，2n(n+1)+1是一组勾股数。
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看
．
2、无理数在数轴上的表示方法：
（1）情境问题：从第七届国际数学教育大会的会徽，可以
看出：在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案
（2）抽象出数学问题：由此可知，利用勾股定理，
可以作出长为，
，
，…
的线段
你能在数轴上表示出的点吗？-呢？
（3）引导学生探究作图：
类比的作法，依次作，，
，…的作法。想一想：你能在数轴上画出表示
的点吗？
三、例题分析（出示ppt课件）
例1、很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
分析：设每相邻两个结的距离为1，三角形的三边长分别为：
3，4，5是一组勾股数，所以三角形是直角三角形。
变式：
要做一个如图所示的零件，按规定
∠B与∠D都应为直角，工人师傅量得所做
零件的尺寸如图，这个零件符合要求吗
？
2.
如图，小明和小强攀登一无名高峰，
他俩由山脚望主峰B测得仰角为45°.
然后从山脚沿一段倾角为30°的斜坡走
了2km到山腰C，此时望主峰B测得仰角为60°.于是小明对小强说：“我知道主峰多高了.”你能根据他们的数据算出主峰的高度吗？
分析：由题意，抽象成几何图形（如图）
分别求出BD，DE即可。
3、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，
CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品
收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，
则E站应建在离A站多少km处？
分析：由条件知：DE=CE
解：设AE=
x
km，则
BE=（25-x）km
得：152+x2=(25-x)2+102
解得：x=10答：E站应建在离A站10km处.
【方法归纳】利用勾股定理，列方程，解决实际问题。
4、矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
分析：在Rt AEF中，求AE
解：设DE为x，则CE为
(8-x).
CE2+CF2＝EF2
(8-x)2+42=x2
x=5即：EF=5.
在Rt AEF中，
AE=
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p18
9
p28
A
2、5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
-
A
B
C
D
24
20
15
7
A
B
C
D
E
45°
30°
60°
A
B
C
D
E
15
10
x
25-x
(8-x)
x
10
10
A
B
C
D
F
E
8
6
4
x
x
x《角平分线的性质（二）》
一、选择题
1、三角形中到三边距离相等的点是（ ）
A、三条边的垂直平分线的交点
B、三条高的交点
C、三条中线的交点
D、三条角平分线的交点
2、如图（1），∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（ ）
A、PD＝PE
B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO
D、PD＝OD
3、如图（2），直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）
A、1处
B、2处
C、3处 D、4处
4、如图（3）在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3
cm，那么AE+DE等于(
)
A．2
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．5
cm
（1）
（2）
（3）
二、填空题
1、如图（4），∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.
2、如图（5），在△ABC中，∠C=90°，
AD是角平分线，DE⊥AB于E，
且DE=3
cm，BD=5
cm，则BC=_____cm.
3、三角形的三条角平分线相交于一点，
并且这一点到________________相等。
4、点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，
且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为 .
三、解答题
1、如图（6），已知：AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，
DF⊥AC于F，求证：DE=DF
2、如图（7），已知O为∠BAC和∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于E，若OE=2求O到AB与O到CD的距离之和．
3、如图（8），BN是∠ABC的平分线，P在BN上，D、E分别在AB、BC上，
∠BDP+∠BEP=180°且∠BDP、∠BEP都不是直角，
求证：PD=PE
参考答案：
一、1、D；2、D；3、A；4、B；
二、1、30°；2、8cm；3、三边的距离；4、120°；5、14；
三、1、连接AD，可证得：△ABD
≌△ACD，得：AD是∠EAF的平分线。
又DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，所以DE=DF。
2、过点O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∵AO平分∠BAC
，CO平分
∠DCA，OE⊥AC于E，∴OM=OE=ON，∴OM+ON=4
3、过点P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，可证得：△PDM≌△PEN，
∴PD=PE
（4）
（5）
（8）
（7）
（6）课题：1.4.2角平分线的性质（二）
教学目标
1、在掌握角平分线的性质的基础上能应用性质定理解决一些简单的实际问题。
2、让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。
3、经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。
重点：角平分线的性质及其应用。
难点：灵活应用两个性质解决问题。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、怎样用尺规作角的平分线.
2.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表述：
∵
OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴
PD＝PE
3.角平分线的判定定理:
到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。
用符号语言表述：
∵
PD⊥OA，PE⊥OB
PD＝PE
∴
∠1=
∠2
即：OC是∠AOB的平分线
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
二、探究交流（出示ppt课件）
（1）动脑筋：你能在 ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？
如图，在△ABC中，作点P，使点P到
三边AB、BC、CA的距离相等。
分析：因为角平分线上的点到角两边的距离相等，
所以只要作△ABC任意两角的平分线其交点就
是所求得P点。
学生活动：口述作法，并跟着老师的示范，画图。
教师活动：根据学生的叙述，做作图示范。
（2）能证明作图结论吗？
如图，
△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE
(角平分线上的点到角两边距离相等)
同理：PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即：点P到三边AB、BC、CA的距离相等。
点P在∠A的平分线上吗？
三角形三条角平分线交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
三、例题精讲（出示ppt课件）
例1、如图，已知
EF⊥CD,
EF⊥AB，
MN⊥AC，
M是EF的中点，需要添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
(可以添加条件MN=ME或MN=MF)
理由：∵
NE⊥CD,
MN⊥CA，且MN=ME
∴
M在∠ACD的平分线上，
即：CM是∠ACD的平分线
同理：可得AM是∠CAB的平分线。
例2、
如图，在△ABC的外角∠DAC的平
分线上任取一点P，作PE⊥DB，PD⊥AC，
垂足分别为点E、D。试探索BE+PD与PB
的大小关系。
解：∵AP是∠DAC的平分线。
又
PE⊥DB
，
PD⊥AC
∴
PE=PD
在 EBP中，BE+PE>PB
∴
BE+PD>PB
例3、如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，
FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC
∴FM＝FH
，∴FG＝FH
，∴点F在∠DAE的平分线上
四、课堂练习（出示ppt课件）
五、应用实践（出示ppt课件）
如图，有两条河流l1，l2
，两个工厂A，B，现要在这个区域
内建一个中转站P，要求P到两工厂的距离相等，同时到两河
流的距离也相等，请你在图中标出P点的位置。
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：P25
练习
P26
习题
3、5
A
O
B
C
M
N
·
P
D
E
A
O
B
C
·
P
E
F
1
2
·
A
B
C
M
N
P
·
A
B
C
M
N
P
D
E
F
E
C
B
N
D
M
F
A
A
B
C
D
E
F
G
H
M
·
·
A
B
l1
l2(共14张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.2.2
-----勾股定理的简单应用
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，斜边为c，那么
A
C
B
c
b
a
几何语言：
.
勾股定理作用：
。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°
则：a2+b2=c2
c2
=
a2
+
b2
√
a2+b2
c=
a2
=
.
b2
=
.
√
c2-b2
a=
√
c2-a2
b=
c2-b2
c2-a2
在直角三角形中已知两边，求第三边。
从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形．
A
B
C
E
F
G
D
已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长．
例1
如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装
电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
′
解：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，
由勾股定理得：
在
中，
，
，
故
，
从而
A′A=3.87-3.71=0.16.
即梯子顶端A只向上移动了0.16m，
而不是移动0.5m.
题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
例2、
“引葭(jia)赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”
5
解：如图，AC为芦苇长，BC为水深，BA
为池中心点距岸边的距离．
设BC
=x尺，则AC
=(x+1)尺，
根据勾股定理得：x2＋52＝(x＋1)2，
解得：x＝12，
利用勾股定理建立方程，解决问题。
答：水深为12尺，芦苇长为13尺．
5
所以芦苇长为12＋1＝13（尺），
例3 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？
A
O
B
x
(10-x)
3
解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA=x，则AB=10-x．
∵∠AOB=90°，∴OA2＋OB2=AB2，
∴x2＋32=(10-x)2．
意思是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
∴OA=x=
(尺)
20
91
答：竹子折断处离地面有
尺。
20
91
1．Rt ABC的两条直角边a=3，
b=4，则斜边c是
.
2.已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，
则第三边长为
cm。
4.长方形的一边长是5，对角线是13，则另一条边是
.
3.
有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为
米．
5
或4
12
√
2
√
34
A
B
C
13
12
D
D
A
5、若直角三角形两直角边分别为12，16，则此直角三角形的周长为（
）
A.
28
B.
36
C.
32
D.
48
6、直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2等于（
）
A.
5
B.
25
C.
7
D.
25或7
7、隔湖有两点A、B，从与BA方向成直角
的BC方向上的点C测得CA=13米，CB=12米，则AB为(
)
A.
5米
B.
12米
C.
10米
D.
13米
1．如图，在△ABC中，
AB=AC=17，AD是高，BC=16，求△ABC的面积．
D
C
B
A
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，
AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积．
D
C
B
A
提示：在Rt
△ABD中，求出高AD=15.
S△ABC=120
提示：在Rt
△ABD中，求出高BD=9.
在Rt
△ACD中，求出高CD=5.
∴BC=14
∴
△ABC的周长=42．
S△ABC=64
3.如图所示是一个长方形零件的平面图，尺寸如图所示，求两孔中心A，B之间的距离.(单位:毫米)
4、一个门框尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
2m
1
m
C
提示：BC=80，AC=50
∴AB=10
≈94.3
√
89
AC=
=
≈2.24
√
5
√
12+22
>2.2
可以通过。
5、一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米
A
B
C
E
D
提示：把实际问题转化为直角三角形来解，如图。
过点B作BE⊥AD，垂足为E，
在Rt△ABC中，BE=CD=9，AB=15，
由勾股定理，得：AE=12，
发生火灾的窗口距地面=AE+ED=14.2（米）
6、如图所示，校园内有两棵树，距离12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
13m
12m
8m
A
B
C
D
E
7、
在台风“麦莎”的袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。这棵树折断之前有多高？
12米
9米
提示：画出右边的图形。
在Rt△AED中，由勾股定理，得：AD=13
A
C
B
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：AB=15
这棵树折断之前高度=15+9=24（米）
从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角
三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等
腰三角形转化为研究直角三角形，这是研究问题
的一种策略．
作业：p13
练习，p18
B
9课题：1.4.1角平分线的性质（一）
教学目标
1、让学生通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理
2、经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3、激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重点：领会角的平分线的两个互逆定理
难点：两个互逆定理的实际应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC
和∠COB重合。
2、什么是角平分线
一条射线将一个角分成为两个相等的角，这条射线就叫做这个角的角平分线。
如上图，射线OC是∠AOB的平分，∠AOC
=
∠COB
=∠AOB，
3、用尺规作已知角的平分线：
作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N．
（2）分别以MN为圆心．大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于C．
（3）作射线OC．射线OC即为所求．
你能证明吗？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、角平分线性质：
如图：画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，作PD⊥OA，垂足为D，PE⊥OB，垂足为E，试问PD与PE相等吗？你能得出什么结论？
猜想：将∠AOB沿OC对折，发现PD与PE重合，
即：PD=PE.
（2）引导学生证明猜想。
已知：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，
垂足分别是D、E.
求证：PD=PE.
可证明： PDO≌ PEO(AAS)
在OP上再取一个P点试一试，结论成立吗？
（3）得出结论：角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等
（4）理解性质：题设：一个点在一个角的平分线上。
结论：它到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：∵∠1=
∠2，PD⊥OA
，PE⊥OB，∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
2、角平分线性质的逆定理：（角平分线的判定定理）
（1）写出逆命题：交换定理的题设和结论得到的命题为：
到角的两边的距离相等的点，在角平分线上。
（2）证明逆命题的正确性：
如图：已知P点是∠AOB内一点，PD
⊥OA
，PE
⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.
求证：
点P在∠AOB的平分线上。
分析：如何量化表示结论？（连接OP，证明∠1=
∠2
.则OP是角平分线，即点P在∠AOB的平分线上）
证明：Rt PDO≌Rt PEO(HL)即可
（3）结论：角平分线的判定定理：
角的内部到角的两边距离相等的点，在角平分线上。
用符号语言表示为：
∵PD
⊥OA
，PE
⊥OB，PD=PE
∴
∠1=
∠2
.（OC是∠AOB的平分线）
综上所述：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，∠BAD=
∠BCD=900
，∠1=
∠2
.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上
.
（2）求证：BD是∠ABC的平分线
.
证明：（1）
∵∠1=
∠2
∴
BA=BC，
∵∠BAD=
∠BCD=900，
BA
⊥AD，BC
⊥CD
∴点B在∠ADC的平分线上
（2）在Rt BAD和Rt BCD中，∵
BA=BC，
BD=BD
∴
Rt BAD≌Rt BCD
(HL)
∠ABD=
∠CBD
∴
BD是∠ABC的平分线
例2、如图，在Rt△ABC
中，∠C=90°，BD是∠AB
C的平分线
，DE⊥AB，垂足为E，图中相等的线段有哪些？为什么？
答：
(1)
DE=DC
∵
∠C=90°
（已知）
∴
DC⊥BC（垂直的定义）
又∵
BD是∠ABC的平分线
∵
DE⊥BA（已知）
∴
DE=DC（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
(2)
BE=BC
做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识
角平分线的性质，为我们证明两线段相等
又提供了新的方法与途径
四、巩固练习（出示ppt课件）
3.如图，△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
4.已知：如图，∠C=∠D=90°
，AC=AD
.求证:（1）
∠ABC=
∠ABD
（2）BC=BD.（要求不用三角形全等的判定）
第3题
第4题
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p24
练习
p26
A
1、2
A
O
B
C
A
O
B
C
M
N
_
2
_
1
_
O
_
B
_
A
_
P
_
C
_
E
_
D
A
C
B
D
2
1
A
B
C
D
E
1
2
3
4
A
B
C
D
A
B
C
D
E课题：1.2.2勾股定理（二）
教学目标
1、勾股定理从边的方面进一步刻画直角三角形的特征，学生将在原有的基础上对直角三角形由更深刻的认识和理解。
2、放手学生从多角度地了解勾股定理； 提供学生亲自动手的能力。
3、学会运用勾股定理来解决一些实际问题，体会数学的应用价值；尽可能的给学生提供展示他们查阅有关勾股定理，进行交流的机会，并与在他人交流的过程中，敢于发表不同的见解，在交流活动中获得成功的体验。
重点：
应用勾股定理有关知识解决有关问题
难点：
灵活应用勾股定理有关知识解决有关问题
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
勾股定理：如果直角三角形的两直角边分别为a,b，
斜边为c，那么：a2+b2=c2
几何语言：在Rt△ABC中，∠ACB=90°则：a2+b2=c2
勾股定理作用：在直角三角形中已知两边，求第三边。
c2
=
a2
+
b2
，，
学生进行练习：
1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∠B=90゜.
①已知a=5，b=12，求c；
②已知a=20，c=29，求b
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
二、知识应用（出示ppt课件）
例1
如图，电工师傅把4m长的梯子靠在墙上，使梯脚离墙脚的距离为1.5m，准备在墙上安装
电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？
解：在△ABC中，AC=4，BC=1.5，
由勾股定理得：
AB=
在Rt△A′BC′中，A′C′=4，BC′
=1，A′B≈3.87，
从而
A′A=3.87-3.71=0.16.即梯子顶端A只向上移动了0.16m，
而不是移动0.5m.
例2、
“引葭(jia)赴岸”是《九章算术》中一道题“今有池方一丈，
葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”
解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。
设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
例3 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？
意思是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？
解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，
其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表
示竹梢触地处离竹根的距离．设OA=x，则AB=10-x．
∵∠AOB=90°，∴OA2＋OB2=AB2，
∴x2＋32=(10-x)2．
∴OA=x=(尺)
答：竹子折断处离地面有尺。
三、基础训练（见ppt课件）
四、解决问题（出示ppt课件）
1．如图，在△ABC中，
AB=AC=17，AD是高，BC=16，求△ABC的面积．
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积．
3.如图所示是一个长方形零件的平面图，尺寸如图所示，求两孔中心A，B之间的距离.(单位:毫米)
4、一个门框高2m，宽1m，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过？为什么？
5、一大楼发生火灾，消防车立即赶到距大楼9米处，升起云梯到失火的窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2.2米，则发生火灾的窗口距地面有多少米
6、如图所示，校园内有两棵树，距离12米，一棵树高8米，另一棵树高13米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
7、
在台风“麦莎”的袭击中，一棵大树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离树根底部12米处。这棵树折断之前有多高？
第5题
第6题
第7题
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p13
练习，p18
B
9
A
B
C
a
b
c
A
C′
A′
B
C
x
A
B
O
10-x
3
C
第3题
A
B
C
D
第1题
A
B
C
D
第2题
A
B
C
E
D
A
B
C
D
E
12米
9米课题：1.1.1
直角三角形的性质与判定（一）
教学目标
1、体验直角三角形应用的广泛性，理解直角三角形的定义，进一步认识直角三角形；学会用符号和字母表示直角三角形；
2、经历“直角三角形两个锐角互余”的探讨，掌握直角三角形两个锐角互余的性质；会用“两个锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形；理解和掌握直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半。
3、通过动手，猜想发现直角三角形的性质，引导逆向思维，探索性质的推导方法——同一法。体会从“一般到特殊”的思维方法，培养逆向思维能力。
重点：直角三角形性质和判定的探索及运用
难点：直角三角形性质“斜边上的中线等于斜边的一半”的判定探索过程
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、三角形的内角和为 ，特殊的三角形我们学过有哪些？
2、两个角度数之和等于
，称这两个角互为余角。试画图说明。
3、有一个角是
的三角形叫直角三角形。
4、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，
则图中有几个直角三角形？
二、探究交流（出示ppt课件）
1、直角三角形两锐角互余
如图，在Rt△ABC中，两锐角的和∠A+∠B=？
∵∠A
+∠B+
∠C
=
180°.
∠C
=
90°.
∴∠A
+∠B
=
90°.
直角三角形的两个锐角互余。
2、利用两锐角互余判断三角形是直角三角形。
动脑筋：如图，在△ABC中，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
已知如上图，∠A＋∠B＝90°，试证明△ABC是直角三角形。
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
又∵∠A＋∠B＝90°
∴∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形。
直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形.
做一做：
（1）、Rt△ABC中，一个锐角∠A＝500，则另一个锐角∠B＝ 。
（2）、△ABC中，∠C：∠B：∠A＝1：1：2，则它的三个内角分别是∠C＝
，∠B＝
，∠A＝
，它是一个
三角形。
（3）、等腰直角三角形的两个锐角分别是
、
；
（4）、如果直角三角形有一个锐角为450，那么它一定是
直角三角形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的探索过程
如图，画一个Rt△ABC，并作出斜边AB上的中线CD，
度量并比较CD，AB，AD，BD的长度.你能发现什么结论？
CD=
；AD=
；BD=
；
AB=
；CD=
.
问题：是否任意一个Rt
△ABC都有CD=AB
成立呢？我们来验证一下.
师生活动：（1）按要求作图:画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，
（2）量一量各线段的长度。
（3）猜想：你能猜想出什么结论？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（4）寻找理论依据：
①你能用符号表示上面问题中的条件和结论吗？
已知：Rt△ABC中，∠C=90°，CD是中线，问：CD=AB吗？②分析：直接证明很困难，不妨假设CD=AB,那么，∠A=∠ACD,因此，考虑作射线C，使∠A=∠AC，看看C有什么特点？引导学生得出C=A=B
=AB,
(5)归纳：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
三、知识应用，变式训练（出示ppt课件）
例1
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，
那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？（交流讨论）
已知：如图，CD是△ABC的AB边上的中线，且CD=AB
.
求证：
△ABC是直角三角形.
证明：∵CD=AB=AD=DB
∴
∠1=∠A，(等边对等角)
∠2=∠B
.
得∠A+∠B+∠1+∠2=180°，
2(∠A+∠B)=180°.
所以
∠A+∠B
=90°.
所以△ABC是直角三角形.
归纳：若三角形一条边上的中线等于这条边长的一半，那么这个三角形是直角三角形。
四、课堂练习，巩固提高（出示ppt课件）
五、拓展训练（出示ppt课件）
1、如图，已知四边形ABCD中，
∠ABC=90°，连接AC，
E为AC中点，且BE=DE。求证：
∠ADC=90°
2、如图，已知AB⊥BD，
AC⊥CD
,E为AD的中点。
EB与EC相等吗？请说明理由。
变式训练：把结论换成：“点F是BC的中点，EF垂直BC吗？请说明理由。”
六、反思小结（出示ppt课件）
今天我们学习哪些内容？
（1）直角三角形的性质：①两锐角互余，
②斜边上的中线等于斜边的一半。
（2）直角三角形的判定方法：
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形；
2、两个锐角互余的三角形是直角三角形
3、一条边上的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
七、作业p7
A
1、2
A
B
C
D
A
B
C
A
B
C
D
A
B
C
D
1
2
A
B
C
D
E
F
A
C
B
D
E
G《勾股定理（三）》
一、选择题
1、a、b、c是△AB的三边，①a=5，b=12，c=13
②a=8，b=15，c=17
③a∶b∶c=3∶4∶5
④a=15，b=20，c=25上述四个三角形中直角三角形有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC=（
）
A、6
B、
C、
D、4
3、将一个直角三角形两直角边同时扩大到原来的两倍，则斜边扩大到原来的
（
）
A、4倍
B、2倍
C、不变
D、无法确定
4、如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是（
）
A、2，3，4
B、，，
C、6，8，10
D、，，
5、若△ABC的两边长为3和5，则能使
△ABC是直角三角形的第三边的平方是
(
)
A、16
B、34
C、4
D、16或34
6、满足下列条件△ABC，不是直角三角形的是（
）
A、b2
=
a2
－c2
B、a∶b∶c=3∶4∶5
C、∠C=∠A－∠B
D、∠A∶∠B
∶∠C
=3∶4∶5
二、填空题
1、三角形的两边为3和5，要使它成为直角三角形，则第三边长为
。
2、设三角形三边长分别为a=7，b=25，c=24，该三角形是
三角形．
3、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为
。
4、在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，
则地毯长度为
米。
三、解答题
1、古埃及人没有先进的测量工具，据说当时他们采用“三四五放线法”--
归方。“
归方”---做直角。他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处.
他们能得到直角三角形吗？
2、
如果一个三角形的三边长分别为a2
=m2-n2
，b=2mn，c=m2+n2(m＞n)
则这三角形是直角三角形
3、如图在 ABC中，已知AB=10，BD=6，
AD=8AC=17。求DC的长。
4、一块木板如图，已知AB＝4，BC＝3，DC＝12，
AD＝13，∠B=90°，求木板的面积？
参考答案：
一、1、C；2、B3；、B；4、A；5、D；6、D；
二、1、4或；2、直角；3、96cm2；4、7米；
三、1、解：如图，设每两个结的距离为x（x>0），
则AC=3x，BC=4x，AB=5x
AC2
+BC2
=(3x)
2
+(4x)
2
=25x2
AB2=(5x)
2
(
25x2
AC2+BC2
=AB2
∴△ABC是
直角三角形
2、证明：∵
a2+b2=(
m2-n2)2
+(2mn)2
=m4+2m2n2+n4
=
(m2+n2)2
∴a2+b2=c2 ,∠C＝900；
3、解：在△ABD中，已知
AB
=
10，BD=6，AD=8，
根62+82=102，
即AD2+BD2=AB2.
所以∠ADB
=
90°，∠ADC=180°-∠ADB=90°.
即 ADC是直角三角形。
在Rt△ADC中，根据勾股定理，
可得
DC2=AC2-AD2，所以：DC=
4、解：连接AC，∵∠B=90°，AB＝4，BC＝3，∴AC=5，
又在△ADC中，AC2+DC2=52+122=169，而AD2=132=169，
∴AC2+DC2=
AD2
，
即△ADC是直角三角形，
=
答：木板的面积是24.
A
C
B
D
8
6
10
17
A
B
C《直角三角形的性质与判定（二）》
一、选择题
1、如图(1)在△ABC中，AD⊥BC，∠C=45°，AB=2，DC=，则∠B=（
）
A、30°
B、
45°
C、60°
D、
75°
2、如图(2)，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD
是∠B的平分线，AC=18，则BD的值为
（
）
A、4.9
B、9
C、12
D、15
3、如图(3)所示，在Rt△ABD中，∠D=90°，C为AD上一点，则x可能是（
）.
A.40°
B.
30°
C.
20°
D.10°
二、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A
=
30°
，且BC=3，则AB的长是
。
2、如图（4）：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=2，则∠B=
°
3、如图（5）所示，一个人从山下A点沿30°的坡路登上山顶，他走了500米后到达山顶的点B，则这座山的高度是 米
4、如图（6）在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交BC边于点D，BD=16cm，则AC的长为______
5、如图（7）在△ABC中，若∠BAC=120°，AB=AC，AD⊥AC于点A，BD=3，则BC=______.
三、解答题
1、如图所示，在锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。
2、如图是屋架设计图的一部分，其中BC⊥AC
，
DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A
=
30°，AB=7.4m
，求BC、DE的长。
3、如图，
△ABC是等边三角形，E、D分别是AC、BC的两动点，若AE=DC，AD、BE交于P点，BQ
⊥
AD
（1）猜想BE与AD的大小关系并证明。（2）试说明BP=2PQ。
参考答案：
一、1、A；2、C；3、C；
二、1、6；2、60°；3、250；4、8cm；5、9；
三、1、∵BE，CD是AB，BC的高，∴∠BDP=90°，∠BEA=90°.又∠A=50°
，
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
∴∠ABE=90°-∠A=90°-50°=
40°.
2、BC=3.7米，DE=1.85米
3、（1）可证得：
△BAE≌
△ACD
从而可得：BE=AD
（2）由（1）得：∠ABE=∠CAD，
在△BPQ中，∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°
又BQ
⊥
AD
∴
∠PBQ=30°，
∴
BP=2PQ
A
B
C
D
（1）
A
B
C
D
（2）
A
B
C
D
（3）
6x
B
A
C
（4）
B
A
C
（5）
A
B
C
D
E
（6）
A
B
D
（7）
C
第3题
A
A
B
C
D
E
P
第1题
A
B
C
D
E
第2题
B
C
D
E
P
Q《直角三角形全等的判定（一）》
一、选择题
1如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中全等的
三角形对数为（ ）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2．两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则：
（1）若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等；
（2）若直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；
（3）若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；
（4）两个直角三角形都有一个锐角是30°，那么这两个直角三角形全等。
其中正确命题的个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．三角形三边长分别为6、8、10，那么它的最短边上的高为（
）。
A．4
B．5
C．6
D．8
4、如果两个直角三角形的两条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等的依据是（
）。
A．SAS
B．ASA
C．HL
D．SSS
5、等边三角形的高为2，则它的面积是（
）。
A．2
B．4
C．
D．
二、填空题
1、已知直角三角形的斜边长为75cm，两条直角边的比是3︰4，则这两条直角边的边长分别为__________。
2、如图，在等边三角形ABC中，AD是中线，DE⊥AB，垂足为E。若BC＝4cm，则DE的长___________
cm。
第2题
第3题
第4题
3、已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,∠BAD=______.
4、如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需添加条件是
。
三、解答题：
1、如图，B，E，F，C在同一直线上AF⊥BC，DE⊥BC，AB=DC，
BE=CF，请你判定AB与CD的位置关系.
2、如图在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证△ABC是等腰三角形。
第1题
第2题
第3题
3、如图AD⊥DB，BC⊥CA，AC、BD相交于点O，如果AD＝BC，那么图中还有哪些相等的线断，请证明。（DB＝AC就不要证明了）
参考答案：
一、1、C；2、D；3、D；4、A；5、C；
二、1、45cm和60cm
；2、；3、△ABD，△ACD，HL，DC，∠CAD
；
4、AD=BC或BD=AC；
三、1、△ABF≌△DCE，∠B＝∠C，∴AB∥CD。
2、△BDE≌△CDF，∠B＝∠C，∴AB=AC，即：△ABC是等腰三角形。
3、AD⊥DB，BC⊥CA，，AD＝BC，AB=AB，∴△ABD≌△BAC，
∠DBA＝∠CAB，∴OA=OB
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
D
C
A
B
C
D
E
F
B
D
A
C
B
A
E
F
C
D《直角三角形小结与复习（一）》
一、选择题
1、以下不能构成直角三角形三边长的数据是（）
A、1，，2
B、
C、9，12，15
D、6，7，8
2、下列条件中不能做出唯一直角三角形的是（）
A、已知两直角边
B、已知两锐角
C、已知一直角边和一锐角
D、已知斜边和一直角边
3、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，
则∠BOC的大小为（ ）
A．140°
B．160°
C．170°
D．150°
4.一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为(
)
A.5
B.
C.5
D.5或
5、如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE=2，则△BCE的面积等于(
)
A.10
B.7
C.5
D.4
二、填空题
1、在△ABC中，AB=AC=17cm，BC=16cm，AD⊥BC于点D，则AD=
.
2、直角三角形斜边的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是
。
3、一直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为
。
4、若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足，则该
直角三角形的斜边长为
.
5、如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
EF=4，BC=10，则△EFM的周长是 ．
三、解答题
1、在△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，
AB=13
厘米，BC=10
厘米，求AD的长
2、如图，∠ABC
=∠FAC
=90°，BC长3厘米，AB
长4厘米，AF长12厘米，求正方形CDEF的面积。
3、如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，BF=DE，则AB与CD平行吗？请说明理由。
4、如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD=CE；（2）若AB=6cm，AC=10cm，求AD的长．
第2题
第3题
第4题
参考答案：
一、1、D；2、B；3、B；4、D；5、C；
二、1、15cm；2、30cm2；3、10；4、5；5、14；
三、1、AD=12
cm；2、169
cm2；
3、根据“HL”可证得：△DEC≌△BFA，∴∠ECD
=∠FAB，∴AB∥CD.
4、（1）连接BP，CP，由“HL”证得：Rt△BDP≌Rt△CEP，∴BD=CE；
（2）由“HL”证得：Rt△ADP≌Rt△AEP，∴AD=AE；
由（1）得：BD=CE；即：AB+AD=AC-AE
∴6+AD=10-AD，2AD
B
A
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F《勾股定理（二）》
一、选择题
1．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（
）
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
2．如果Rt△的两直角边长分别为n2－1，2n（n
>1），那么它的斜边长是（ ）
A、2n
B、n+1
C、n2－1
D、n2+1
3.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处
吃食,要爬行的最短路程（
取3）是（
）.
A．20cm
B.
10cm
C.
14cm
D.
无法确定
4．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是
（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
二、填空题
1、在Rt△ABC中，斜边AB=2，
则AB2＋BC2＋AC2=______．
2、一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是
.
3、在△ABC中,∠C=90°，若a+b=7,△ABC的面积等于6，
则边长c=
4、如图△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
AN=AC，BM=BC，则MN=
5、一个直角三角形的三边长的平方和为200，
则斜边长为
6、若△ABC是直角三角形，两直角边都是6，在三角形斜边上有一点P，
到两直角边的距离相等，则这个距离等于
三、解答题
1、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿∠CAB的角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
2、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与
点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的周长和面积．
参考答案：
一、1、C；2、D；3、B；4、A；
二、1、8；2、24；3、5；4、4；5、10；6、3；
三、1、解：由条件得：AB=10cm，△ACD≌△AED，AC=AE=6，CD=DE
∴BE=4，设CD=DE=x，BD=8-x，在Rt△BED中，x2+42=(8-x)2
解得：x=3，CD=3cm
2、∵BD:DC=1:2，
AB=BC=6，∴BD=2，设BE=x，在Rt△DBE中，
x2+22=(6-x)2，解得：x=，在Rt△CBE中，
EC==
3、提示：在Rt
△ABD中，求出高BD=9，在Rt
△ACD中，求出高CD=5.
∴BC=14
∴
△ABC的周长=42．S△ABC=64
A
B
B
A
C
M
N
A
B
C
D
第3题
A
D
B
C
E
F
第2题
A
B
C
D
E
第1题课题：《直角三角形》
教学目标
1、掌握直角三角形的两个锐角互余关系；掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决简单问题；会判定一个三角形是直角三角形；会用HL及其它方法判定两个直角三角形全等；了解到角的两边的距离相等的点在角的平分线上的性质。
2、复习梳理本章的主要知识点，及应注意的问题。通过典型例题讲解和对应练习，使学生对本章知识达标。
3、主动参与、积极探索、合作交流，发挥学习中主人翁意识，感受成功的乐趣，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力和解决问题的能力。
重点：体会勾股定理及其直角三角形的判定在解决实际问题中的作用。
难点：如何判定两个直角三角形全等。
教学过程：
一、知识梳理（出示ppt课件）
1、阅读p27的三项内容。
2、根据内容填表：（直角三角形的性质和判定方法）
从角考虑
从边考虑
性质
有一角为直角(或900)两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
判定
性质的逆定理
一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。勾股定理逆定理
3、直角三角形中30°角所对的边的大小性质及逆定理。
4.直角三角形勾股定理的内容：
∵△ABC为直角三角形．∴a2＋b2＝c2
.
三角形的三边之间满足怎样数量关系时，
此三角形是直角三角形？
∵a2＋b2＝c2
.∴△ABC为直角三角形．
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
5、直角三角形全等的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL
二、概念复习（出示ppt课件）填一填
1.在直角三角形中，两个锐角_____。
2、两条直角边相等的直角三角形叫做
。它的两个底角相等，都等于
。
3.直角三角形斜边上的中线等于
_____
。
4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于
。
5.
直角三角形_________的平方和等于_______的平方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+
_____=_____。
6.如果三角形中____的平方和等于
边的平方，那么这个三角形是直角三角形，
所对的角是直角。
7.有两条边对应相等的两个
三角形全等。
三、基础训练（出示ppt课件）
1.如图,
∠ACB=90°∠A
=30°，则∠B=
___，若BC=1，则AB的长为____，AC的长为______，
CD是斜边AB的中线，则CD的长为______，CE是斜边AB的高线，则CE的长为______
2.如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=70°，则∠A=
___
，∠B=_____。
3.如图，在等边三角形ABC中，AD是中线，DE⊥AB，垂足为E。若BC=4cm，则DE的长___
cm。 ABC的面积是
cm2。
4.
若直角三角形的两锐角之差为18°，则较大一个锐角的度数是
。
四、典例分析（出示ppt课件）
1、如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，
DB⊥BC，
AC=BD，说明OD=OC成立的理由.
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
只要证明Rt BDC≌Rt ACD，
条件满足吗？
2、如图， ABC中，AB=AC，D是AB上一点，且BC=25，CD=20，BD=15，求 ABC的面积。
分析：先证明CD⊥AB，再求底边AB的长，继而求出面积。
解：∵BC=25，CD=20，BD=15，∴BC2=CD2﹢BD2
∴ BCD为直角三角形，即：CD⊥AB
在Rt ACD中，设AD=x，
则AB=x+BD=x+15
∵AB=AC
∴AC=x+15
∴由勾股定理得：(x+15)2
=x2+202，解得：x
=
∴
AB=+15=
∴
S
ABC
=×20÷2=
3、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC
上任意一点，则BD2+CD2=2AD2吗？请说明理由。
分析：如图，△ACE是将△ABD绕A点
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
∠DAE=90°，CE=BD在Rt DEC中，CE2+CD2=DE2
∴
BD2+
CD2=CE2+CD2=DE2
又∵∠DCE=90°
AE=AD，∴
在Rt ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
∴
BD2+
CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
五、课外训练（出示ppt课件）
这个环节包括填空题、选择题、计算题等等。
1、2、3题师生共同完成。4、5、6题学生课外完成。
六、作业：p28
A
1、6、7
A
B
C
a
b
c
A
B
C
D
E
第1题
第3题
A
B
C
D
第2题
A
B
C
D
E
A
B
C
D
O
A
B
C
D
A
B
C
D
E《勾股定理（四）》
1、下列数
组为三角形的边长：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中
能
构
成
直
角三
角
形
的有（
）
A．4组
B．3组
C．2组
D．1组
2．已知三角形的三边长之比为1∶1∶，则此三角形一定是（
）
A.锐角三角形 B．钝角三角形C．等边三角形
D．等腰直角三角形
3．在△ABC中，若AC＝，BC＝，AB＝4，则下列结论正确的是（
）
A．∠C＝90°
B．∠B＝90°
C．△ABC是锐角三角
D．△ABC是钝角三角形
4．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（
）
A．3
B．
C．1
D．4
5．如图，一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（≈1.732，结果保留三个有效数字）（
）
A．5.00米
B．8.66米
C．17.3米
D．5.77米
二、填空题
1、△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，则∠A=______．
2．已知两条线段的长为3cm和2cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.
3．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．
4．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
5.一棵树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．这棵树在折断之前有__________米.
6、若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为
.
三、解答题
1、如图，AD=7，AB＝25，BC＝10，DC＝26，DB＝24，求四边形ABCD的面积.
2、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.
(1)求DC的长.
(2)求AB的长.
(3)求证:
△ABC是直角三角形.
3、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，
求BC的长．
（第1题）
（第2题）
（第3题）
参考答案：
一、1、B；2、D；3、A；4、A；5、D；
二、1、90°；2、或；3、48；4、6，8，10；5、24米；6、120cm2；
三、1、由勾股定理可证得：△ADB和△DBC都是直角三角形。
∴四边形ABCD的面积=△ADB的面积+△DBC的面积
==204；
2、（1）CD=12；（2）AD=16，∴AB=25；
（3）∵AC2+BC2=400+225=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=
AB2
即：△ABC是直角三角形.
3、在Rt△ABD中，∵∠DAB=30°，AD=12，∴BD=6，∴AB=6，
又在Rt△ABC中，设AC=BC=x，2x2=AB2=108，x=3，
即：BC=3，
第4题
第5题
A
B
C
D
A
B
C
D
C
A
B
D《角平分线的性质（一）》
一、选择题
1、如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（ ）
A、4㎝
B、6㎝
C、10㎝
D、不能确定
第1题
第2题
第3题
第4题
2．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（ ）
A、TQ＝PQ B、∠MQT＝∠MQP C、∠QTN＝90° D、∠NQT＝∠MQT
3．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3
cm，那么AE+DE等于(
)
A．2
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．5
cm
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列
①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（
）
A．①
B．②
C．①和②
D．①②③
二、填空题
1、如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且BD=DC，求证：BE=CF。
（提示：证明线段相等的常见方法有：
①
②
③
而本题只能用：
2、如图，在△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC交BC于D，BC=10cm，CD=6cm，则点D到AC的距离是：
。
3、如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，AB=5，点D是三角形内角平分线的交点，则点D到AB的距离是：
。
三、解答题
1、已知：如图点C在∠A的内部，B、D分别
是∠A两边上的点，且AB=AD，CB=CD，CE⊥AB边于
点E，CF⊥AD于点F，求证：CE=CF。
2、如图AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接EF，
EF与AD交于G，AD与EF垂直吗？
证明你的结论。
3.如图，△ABC中，∠A=90°，
BD平分∠ABC，AD=6，BC=16，DE⊥BC，求△BDC面积。
参考答案：
一、1、B；2、D；3、B；4、D；
二、1、三角形全等，角平分线性质，等腰三角形性质；三角形全等；
2、4cm；3、1cm.
三、1、∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC
即，AC是∠BAD的平分线，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF。
2、AD与EF垂直，∵AD是△ABC的角平分线，可证得：△AED≌△AFD，
∴AE=AF
，DE=DF，即，AD是EF的垂直平分线。∴AD⊥EF
3、解：∵
∠A=90°
（已知）∴
DA⊥AB（垂直的定义）
又∵
BD是∠ABC的平分线∵
DE⊥BA
DE⊥BC（已知）
∴
DE=AD=6（角平分线上的任意点到角的两边的距离相等）
S△DBC
=BC×DE=×16×6=48
D
C
A
E
B
第2题
第3题
A
B
C
D
E《直角三角形的性质与判定（一）》
一、选择题
1、在直角三角形中，有一个锐角为52°，那么另一个锐角度数 （
）
A.
52°；
B.
42°；
C.
38°；
D.
48°；
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A
-∠B
=30°，那么∠A=（
）
A.
90°；
B.
80°；
C.
70°；
D.
60°；
3、 在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，那么与∠B互余
的角的个数有（
）
A.
1个；
B.
2个；
C.
3个；
D.
4个；
4、如图， 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点
则图中等腰三角形的个数有（
）
A.
4个；
B.
3个；
C.
2个；
D.
1个；
二、填空题
1、如图（1）：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，
则∠BCD=_____.
2、 在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，CD=5，CE⊥AB，CE=4，
则△ABC的面积是
。
3、如图（2），在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=____
4、如图（3），AB∥CD，∠A和∠C的平分线相交于H点，△AHC是
三角形。
（1）
（2）
（3）
三、解答题：
1、已知如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
DE垂直平分AB，
∠CAE︰∠EAD=8︰5，求∠CEA的度数。
2、已知：∠ABC=∠ADC=90°，E是AC中点。
求证：（1）ED=EB
（2）∠EBD=∠EDB
（3）图中有哪些等腰三角形？
3、已知：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，M是BC的中点。如果连接DE，取DE的中点
O，那么MO
与DE有什么样的关系存在
第一题
第二题
第三题
参考答案：
一、1、C；2、D；3、B；4、C；
二、1、50°；2、20；3、130°；4、直角；
三、1、解：∵
DE垂直平分AB
∴EA=EB
∴∠EAB=∠EBA
设∠CAE=8x，则∠EAD=
∠EBA=5x
∵
∠CAB+∠CBA=90°
∴∠CAE
+∠EAD+∠CBA=90°
即：8x
+5x+5x
=90°，x=
5°
∴∠CAE
=40°
在Rt
△AEC中
，∵
∠CAE
=40°
∴∠CEA
=50°
2、（1）在Rt
△ADC中，DE=AC，又在Rt
△ABC中，BE=AC，∴DE=BE
（2）由（1）知，∵DE=BE，∴∠EBD=∠EDB
（3）等腰三角形有：△AED；△CED；△ABE；△CEB；△EDB五个；
3、提示：DM、EM分别是有公共斜边Rt
△BDC
、Rt
△CEB的斜边BC上的中线。
△DME是等腰三角形，O是ED的中点，由三线合一可得：
MO⊥ED
.
A
B
C
D
O
B
E
D
C
M
A
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E(共14张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
第一章
-----小结与复习(一)
1、阅读p27的三项内容。
2、根据内容填表：
性
质
判
定
从角考虑
从边考虑
有一角为直角(或900)
两锐角互余
斜边上的中线等于斜边的一半；
一边上的中线等于这边的一半
的三角形是直角三角形。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
（勾股定理）
性质的逆定理
勾股定理逆定理
3、直角三角形中300角所对的边的大小性质及逆定理。
三角形的三边之间满足怎样数量关系时，
此三角形是直角三角形？
C
B
A
a
c
b
∵△ABC为直角三角形．
∴a2＋b2＝c2
.
∵a2＋b2＝c2
，
∴△ABC为直角三角形．
4.直角三角形勾股定理的内容：
勾股定理逆定理也叫做直角三角形的判定定理。
5、直角三角形全等的判定方法：
SAS、ASA、AAS、SSS、HL
1.在直角三角形中，两个锐角_____。
互余
2、两条直角边相等的直角三角形叫做
。它的两个底角相等，都等于
。
等腰直角三角形
45°
3.直角三角形斜边上的中线等于
_____
。
斜边的一半
4.直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，
那么这条直角边所对的角等于
。
30°
6.如果三角形中____的平方和等于
边的平方，那么这个三角形是直角三角形，
所对的角是直角。
5.
直角三角形_________的平方和等于_______的平方。如果用字母a，b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么_____+
_____=_____。
两直角边
斜边
c2
b2
a2
两边
第三边
最大边
7.有两条边对应相等的两个
三角形全等。
直角
1.如图,
∠ACB=90°∠A
=30°，则∠B=
___
E
D
30°
C
B
A
BC=1，则AB的长为____，AC的长为______
CD是斜边AB的中线，则CD的长为______
CE是斜边AB的高线，则CE的长为______
60°
2
√3
1
√3
2
2.
若直角三角形的两锐角之差为18°，
则较大一个锐角的度数是
。
54°
3.如图，在Rt ABC中，CD是斜边AB上的中线，∠CDA=70°，则∠A=
___
，∠B=_____。
55°
D
C
B
A
4.如图，在等边三角形ABC中，AD是中线，DE⊥AB，垂足为E。若BC=4cm，则DE的长___
cm。 ABC的面积是
cm2。
E
D
C
B
A
√3
√3
4
35°
1、如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，
DB⊥BC，AC=BD，说明OD=OC成立的理由.
O
D
C
B
A
分析：要证OD=OC，就只要证∠1=∠2
1
2
只要证明Rt BDC≌Rt ACD，
条件满足吗？
∴
OD=OC（等角对等边）
证明:
∵
DA⊥AC
DB⊥BC
∴∠A=∠B=900
又∵
AC=BD
，CD=DC
∴
ACD≌ BDC
（HL）
∴
∠BDC=
∠ACD（全等三角形的对应角相等）
2、如图， ABC中，AB=AC，D是AB上一点，且BC=25，CD=20，BD=15，求 ABC的面积。
解：∵BC=25，CD=20，BD=15，∴BC2=CD2﹢BD2
D
C
B
A
∴
AB=
+15=
35
6
125
6
∴
S
ABC
=
×20÷2=
125
6
625
3
∴ BCD为直角三角形，即：CD⊥AB
在Rt ACD中，设AD=x，
则AB=x+BD=x+15
∵AB=AC
∴AC=x+15
∴由勾股定理得：(x+15)2
=x2+202
35
6
解得：x
=
∴
BD2+
CD2=CE2+CD2=DE2
E
D
C
B
A
解：
如图，△ACE是将△ABD绕A点
逆时针旋转90°而得，连结DE，可得：
∠DAE=90°，CE=BD
在Rt DEC中，CE2+CD2=DE2
∴
BD2+
CD2=CE2+CD2=DE2=2AD2
3、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上任意一点，则BD2+CD2=2AD2吗？请说明理由。
又∵∠DCE=90°
AE=AD，
∴
在Rt ADE中，AD2+AE2=DE2=2AD2
1、如图，已知AB=AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，则图中和C互余的角共有（
）
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
C
2、直角三角形斜边的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是
。
30
E
D
B
C
A
3、已知三角形两个外角的和是2700，则该三角形是
三角形。
直角
4、如图，AP平分∠BAC，
PB⊥AB，PC∥AB，
已知∠BAC=300，AC=30，求PB的长。
D
B
C
A
P
解：作CD⊥AB，垂足是D，
∵PB⊥AB，PC∥AB，
∴
CD=PB
在Rt△ACD中，
∵∠BAC=300，AC=30，
∴
CD=
AC=
×30=15
1
2
1
2
∴
PB=15
5、已知a、b、c是△ABC的三边长，
且满足a2c2-b2c2=a4-b4
，你能判断△ABC的形状吗？
解：∵
a2c2-b2c2=a4-b4
即：a4-a2c2+b2c2-b4
=0
∴
a4-a2c2+b2c2-b4
=(a4-b4)+(b2c2-a2c2)=0
即：(a2+b2)(a2-b2)-c2(a2-b2)=0
(a+b)(a-b)(a2+b2-c2)=0
a+b≠0
a-b=0，a=b
或：a2+b2-c2=0，
a2+b2=c2
△ABC是等腰三角形或直角三角形。
作业：p28
A
1、6、7
6、若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状。
解：∵
a2+b2+c2+50=6a+8b+10c
∴
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0
即：(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0
∴
a=3，b=4，c=5
∵
32+42=52
∴
△ABC是直角三角形。(共13张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.3.1
1、全等三角形的对应边
---------,，对应角-----------
相等
相等
2、判定三角形全等的方法有：
。
SAS、ASA、AAS、SSS
(1)若∠A=∠D，AB=DE，
则 ABC
DEF(
)
ASA
3、如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E，
≌
（2）若∠A=∠D，
，
则 ABC≌ DEF(AAS)
BC=EF
（3）若AB=DE，
，
则 ABC≌ DEF(SAS)
F
E
D
C
B
A
BC=EF
有两边和其中一边的对角对应相等的
两个三角形是否全等？
两个直角三角形呢？
想一想
A
B
C
E
在 ABC和 ABE中，
∠A=∠A，AB=AB，BC=BE，
这两个三角形全等吗？
判定两个直角三角形全等，除了可以运用一般三角形全等的判定定理外，是否还有别的判定方法呢？
如图，在Rt△ABC和
中，已知
，
，
，
那么Rt△ABC和
全等吗？
现在我们来探究下面的问题：
探究
A
B
C
A’
B’
C’
（A’）
（C’）
（B’）
因为
，可以把
经过平移、旋转或轴反射，使
的像和AC重合，并使点
的像和B落在AC的两旁.
1、你能把这两个三角形通过平移、旋转或轴反射等变换拼接成一个等腰三角形吗？
2、从上面的操作中，你能猜测这两个直角三角形全等吗？
证明：因为∠ACB
=
90°.
由于
，
∠B
=
∠B’
，
，
所以∠BCB′=∠ACB+∠ACB′=180°.
故B，C，(C′)，B′在同一条直线上.
因为
AB=A′B′=AB′，
所以
∠B=∠B’
.
(等边对等角)
在Rt△ABC和
中，
3、请用推理的方法说明你猜想的正确性。
所以
Rt△ABC≌
.
(AAS)
直角三角形全等的判定定理：
斜边、直角边定理
有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
结论
4、你能用语言概括上面发现的结论吗？
这个定理的条件，实际就是已知两边和其中一边的对角对应相等，在前面已经探究过，具备这样条件的两个一般三角形并不一定全等.
小提示
举
例
例1、如图，BD、CE分别是 ABC的高，
且BE=CD。求证：Rt BEC≌Rt CDB
E
D
C
B
A
证明：∵
BD、CE分别是 ABC的高，
∴
∠BEC=∠CDB=90°
在Rt BEC和Rt CDB中
∵
BC=CB
BE=CD
∴Rt BEC≌Rt CDB(HL)
本题还能证明出其他的结论吗？与同学讨论交流。
已知线段a、c(a，一直角边CB=a，斜边AB=c.
a
c
画法：1.画∠MCN=90
°.
3.以B为圆心，c为半径画弧，交射线CN于点A.
4.连结AB
.
△ABC就是所要画的直角三角形.
M
N
a
B
c
A
2.在射线CM上取CB=a.
从上面画直角三角形中，你发现了什么？
剪下这个三角形，和其他同学所作的三角形进行比较，它们能重合吗？
例2、已知一直角边和斜边，求作直角三角形。
C
1.下面说法是否正确？为什么？
答：不对.
（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；
（2）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
答：对，可根据“SAS”证明这两个三角形全等.
(3)斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
练习
答：对，可根据“AAS”证明这两个三角形全等.
判定三角形全等的条件至少要一条边。
(4)有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等。
(5)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.
斜
边
答：对，可根据“AAS或ASA”证明这两个三角形全等.
答：对，
2.
如图，AC=AD，∠C=∠D=900
，
你能说明∠ABC与∠
ABD相等吗？
D
C
A
B
△ACB≌△ADB
3、如图，∠B=∠E=900，AB=AE，∠1=∠2，则∠3=∠4
，请说明理由。
4、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC，AP⊥PC，则△ABP≌△PDC，请说明理由。
1
2
A
B
C
D
E
4
3
∠1=∠2
AC=AD
△ABC≌△ADE
∠3=∠4
A
B
C
D
P
AB⊥BD
CD⊥BD
∠ABP=∠PDC=900
AP⊥PC
∠APB=∠PCD
AP=PC
△ABP≌△PDC(AAS)
直角三角形全等的判定定理:
SAS,AAS,ASA,SSS,HL
在使用“HL”时,同学们应注意什么
“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.
注意对应相等.
因为”HL”仅适用直角三角形,
书写格式应为:
∵在Rt△
ABC
与Rt△
DEF中
∴Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL)
AB=DE
AC=DF
作业：P21
A
1、2
注意：两边及其中一边的对角对应相等的两个一般三角形不一定全等.
“HL”定理实际就是已知两边和其中一边的对角对应相等
的两个直角三角形全等.
