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SHUXUE八年级下
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2.6.2
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
菱形性质
边
角
对角线
对边平行
四边相等
对角相等邻角互补
对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角
想一想
根据定义得：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
A
B
C
D
∵
在□ABCD中，AB=BC
∴
□ABCD是菱形。
如果一个四边形是一个平行四边形，则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？
还有什么方法吗？
如图，用4
支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
探究
下面我们来证明这个结论.
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∵
AD
=
BC，
AB
=
DC，
∴
四边形ABCD是平行四边形.
又
AB
=
AD，
∴
四边形ABCD是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
由此得到菱形的判定定理1：
结论
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
当两根木条互相垂直时，四边形就变成菱形。
用几何语言怎样描述？
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
动脑筋
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.
从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
O
A
C
B
D
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
画两条互相垂直的线段AC
和BD，垂足是点O，取OA=OC，OB=OD.
连结AB，BC，CD，DA（如图），则四边形ABCD是菱形，
如图，由画法可知，四边形ABCD
的两条对角线AC
与BD
互相平分，因此它是平行四边形.
又已知其对角线互相垂直，
上述问题抽象出来就是：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
我们来进行证明.
又由于DB是线段AC的垂直平分线，
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.
因此，DA=DC.
从而平行四边形ABCD是菱形.
结论
由此得到菱形的判定定理2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
对角线互相
的四边形是菱形.
垂直且平分
举
例
例1.已知：如图，在四边形ABCD
中，线段BD
垂直平分AC，且相交于点O，∠1
=∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
提示：
由线段的垂直平分线，
得：BA=BC=DA=DC.
例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC
=
6，BD
=
8，AD
=
5.
求AB的长.
提示：
由勾股定理，得：△DAO是直角三角形.即：AC⊥BD
从而得：平行四边形ABCD是菱形.
∴
AB=AD=5
.
例3.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.
（1）求证：四边形AEPM为菱形.
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
解：（1）∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四边形AEPM为平行四边形.
∴四边形AEPM为菱形.
又∵
∠BAD=∠EPA，
∴
∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP.
∵
AB=AC，AD平分∠CAB，
∴
∠CAD=∠BAD，
解：（2）P为EF中点时，
N
∵四边形AEPM为菱形，
∴
AD⊥EM，∵AD⊥BC，
∴
EM∥BC.
又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形.
作EN
⊥
AB于N，
EP=
EF
1
2
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？
例4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形.并证明你的结论.
证明：连结AC，BD.
∵
PQ为△ABC的中位线，
∴
四边形PQMN为平行四边形.
在△AEC和△DEB中，AE=DE，EC=EB，
∠AEC=∠DEB=
180°-
60°
=
120°
，
∴
△AEC≌△DEB.
∴
AC=DB.
∴
PQ=PN.
∴
□PQMN为菱形.
∴PQ
AC
∥
=
2
1
同理
∴MN
PQ
MN
AC
∥
=
2
1
∥
=
1.判断下列说法是否正确？为什么？
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等
的四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为
，
面积为
。
5
24
3.菱形的面积为96，对角线AC长为16
，此菱形的边长为
。
10
4.菱形对角线的平方和等于一边平方的
（
）
A.
2倍
B.
3倍
C.4倍
D.
5倍
C
5.把两张等宽的纸条如图交叉重叠在一起，
则重叠部分ABCD的形状是（
）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.任意四边形
A
C
D
B
C
（1）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O
作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N
.求证：四边形BNDM是菱形.
6、解答题
提示：证明
△ODM≌△OBN.NB=MD.
又
MD∥BN，MN⊥BD，结论得证。
（2）如图，AD∥BC，BD垂直平分AC，四边形ABCD一定是菱形吗？若是，请说明理由。
C
D
B
A
O
┐
)
1
2
(
提示:
△AOD≌△COB
AD=BC
（3）已知：□ABCD
的对角线AC的垂直平分线与边AD
、BC分别交于E、F
求证：四边形AFCE是菱形。
分析:
（1）利用定义判定
（2）
由已知可知
OA=OC，EF⊥AC.
（3）利用四边相等，你会吗？
（4）如图，已知在□ABCD中，AD=2AB，E、F在直线AB上，且AE=AB=BF，证明：CE⊥DF.
A
B
F
N
D
M
E
C
提示：证明四边形DMNC是菱形
（5）已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P。
(1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？证明你的猜想。
（2）PO与CD有怎样的关系？
四边形PCOD是菱形。
PO⊥CD，且互相平分。
（6）如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形．
G
F
E
D
C
B
A
（7）如图，Rt△ABC中，∠ACB=900，∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于E，又点F在DE的延长线上，且AF=CE，求证：四边形ACEF是菱形。
F
E
D
C
B
A
易得：CE∥FG，再证△ACE≌
△AGE
∠B=∠ACD=∠AGE
，EG∥CF，
四边形EGFC是平行四边形，又CE=EG，
四边形EGFC为菱形．
AC=AF=EF=CE
菱形常用的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
有四条边相等的四边形是菱形.
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
对角线互相垂直且平分
作业：P70
A
3、4、5
B
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2.2.1
2、四边形的边：
。
四边形的角：
。
四边形的顶点：
。
1、什么叫四边形：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
C
B
A
D
组成四边形的各条线段。
相邻两边的夹角。
相邻两边的公共端点。
3、四边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段。
四边形共有2条对角线。
4、四边形的内角和：
，外角和：
。
360°
360°
在小学，
我们已经认识了平行四边形.
在下图中找出平行四边形，并把它们勾画出来.
做一做
两组对边分别平行
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
如图，在四边形ABCD
中，AD∥BC，
AB∥DC，
则四边形ABCD是平行四边形.
定义
四边形
平行四边形
A
D
C
B
记作：□ABCD
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
线段AC、BD就是□ABCD的两条对角线.
平行四边形相对的边称为对边,
∵
AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形。
∴AB∥CD，AD∥BC
∠ABC与∠CDA;
∠BAD与∠DCB分别是对角；
AB与CD；
BC与DA是对边；
A
D
C
B
相对的角称为对角.
定义的图形语言：
反过来：∵四边形ABCD是平行四边形
每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？
探究
∠
A=∠
C，∠
B=∠
D
AB=CD，BC=AD
通过观察和测量，我们得到下面结论：
也就是说：平行四边形的对边相等、对角相等.
∠
A与∠
C重合,
∠
B与
∠
D重合
AB与CD重合,
BC与AD重合
∠
A=∠
C，∠
B=∠
D
AB=CD，BC=AD
我们还可以作下面的图形变换：
你能证明这个性质吗？
在如图的□ABCD中，连接AC.
∴
∠1=∠2
，
∠4=∠3.
∵
四边形ABCD为平行四边形，
又
AC
=CA，
∴
AB
=
CD，BC
=
DA，∠B
=∠D.
∴
△ABC≌△CDA.(ASA)
下面我们来证明这个结论.
D
C
B
A
3
2
4
1
又∠1+∠4=∠2+∠
3.
即∠BAD=∠DCB.
∴
AB∥DC
，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.
结论
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.
D
C
B
A
几何语言：
如图，在□ABCD中，
AB∥CD，AD∥BC
AB
=
CD，BC
=
DA，
∠A=∠C.
∠B
=∠D.
例1
如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，AD
=2cm，∠A
=65°，∠E
=33°，求EF和∠BGC.
举
例
G
F
E
D
C
B
A
1
2
解：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
EF
=
BC
=
2cm
，∠2
=∠E
=
33°.
∴
在△BGC中，∠BGC
=
180°-∠1
-∠2
=
82°.
∴
AD
=
BC
=
2cm，∠1=∠A
=
65°.
∵
四边形BCEF是平行四边形，
例2、
如图，直线l1与l2平行，AB，CD是l1与l2之间的任意两条平行线段.
试问：AB与CD是否相等？为什么？
证明：因为l1∥l2，AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
解：相等。
所以AB=CD.
夹在两条平行线间的平行线段相等.
1.□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（
）
A.
60°
B.80°
C.100°
D.120°
C
2.如图,□ABCD的周长28cm，△ABC的
周长是22cm,则AC的长为(
)
A.6cm
B.12cm
C.4cm
D.8cm
A
B
D
C
D
3.如图，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则□
ABCD的周长为（
）
A.6
B.9
C.12
D.15
C
4.如图，在□ABCD中，∠B=110°,延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（
）
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
D
5.如图,在□ABCD
中，E是AD边上的
中点.若∠ABE=∠EBC，AB=2，
则□ABCD的周长是_____
12
6.
□ABCD的周长为30cm，两邻边之比为2﹕1，
则□ABCD的两邻边长分别为
．
10cm，5cm
7.如图，已知E是□ABCD的边CD上
的任意一点，□ABCD的面积为52cm2，
则△ABE的面积为
______cm2
A
B
C
E
D
若点E在CD的延长线上呢？
26
∠BAC=115o
，∠B=
65o
，∠C=115o，∠D=
65o
8、如图：在□ABCD
中，AE⊥DC
于E,AF⊥BC于F,∠EAF=650。
求□ABCD各个内角的度数。
A
D
B
C
E
F
9.已知:如图，E、F分别是□ABCD的边
AD、BC上的点，且AF//CE，求证：DE=BF
变式：若改成求证∠FAB=∠ECD呢？
E
D
A
B
F
C
可证得：四边形AFCE是平行四边形，
从而AE=FC，又AD=BC，∴DE=BF
可证得：△ABF≌△CDE.(ASA)
10.如图，ABCD是平行四边形，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E，
①求证
CD=CE，②若BE=CE，∠B=80o
求∠DAE的度数。
11.
如图，BD是□ABCD
的一条对角线，
AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F；
求证:∠DAE=∠BCF.
A
B
E
C
D
(1).可证得：∠EDC=∠DEC
(2).由（1）得：AB=BE，
∵∠B=80°，
∴∠DAB=100°
,∠BAE=50°
∴∠DAE=50°
A
B
E
C
D
F
可证得：△DAE≌△BCF.(AAS)
通过本课时的学习，需要我们掌握
1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质：对边平行
对边相等
对角相等
邻角互补。
3.解决平行四边形的有关问题经常连结对角线转化为三角形。
作业：p44练习，p49
A
1、2、3《“四边形”小结与复习（二）》
一、选择题
1、已知□ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，则□ABCD的周长是（
）
A.
10cm
B.
6cm
C.5cm
D.4cm
2、如图，在□ABCD中，∠C=108°，BE平分∠ABC，则∠AEB=(
)
A.
18°
B.
36°
C.
72°
D.
108°
3、已知四边形ABCD，有下列四个条件：①AB∥CD；
②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条中任选
两个，能判断四边形ABCD是平行四边形的选法有(
)
A.
6种
B.
5种
C.
4种
D.
3种
4、□ABCD的周长是24
㎝，对角线AC把它分成两个
周长为17
㎝的三角形，则对角线AC的长为（
）
A.
4
㎝
B.
5㎝
C.
7㎝
D.
8㎝
5、如图，
□ABCD的周长是20cm，AC、BD交于点O，
OE⊥BD交AD于点E，则 ABE的周长是(
)
A.
4cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
10cm
6、把一张长方形的纸条按图那样折叠，
若得到∠AME＝70o
，则∠EMN＝（
）
A、45°；
B、50°；
C、55°；
D、60°；
二、填空题
1、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，
那么菱形的周长是____。面积是
。
2、如图，要使矩形ABCD成为正方形需添加
的一个条件是
3、已知平行四边形ABCD中，两邻角∠A：∠B
=
3：2，则∠A
=____,
∠B=______.
4、如图， ABC中，AB=BC=12cm，F是AB边上一点，过点F作EF∥BC交AC于E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是
cm。
5、如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别是垂足，已知AB=4，BC=6，∠EAF=60°，则□ABCD的面积是
。
AF=
。
6、如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的点F处，如果
∠BAF=60°，AB=6cm，BC=10cm，那么∠DAE=
，AE=
cm.
三、解答题
1、已知：AD为△ABC的角平分线，
DE∥AB
，在AB上截取BF=AE。
求证：EF=BD
2.如图，分别以Rt ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD和
等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF
(1).试说明：AC=EF.
(2).求证：四边形ADFE是平行四边形。
3、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，
点E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的
延长线于点F，且AF=BD，连接BF，
（1）说明：BD=CD；
（2）若AB=AC，试判断AFBD的形状，并证明你的结论。
（3）在第（2）问的条件下再给△ABC添加一个条件，
使四边形AFBD为正方形。
4、如图,在矩形ABCD中，
AB=20cm，BC=4cm，
动点P从A开始沿AB边以每秒4cm的速度向B运动；
动点Q从点C开始沿CD边以每秒1cm的速度向D运动，如果P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。
(1)当t=1秒时，四边形APQD的面积是多少？
(2)当运动时间t是几秒时，四边形APQD为矩形。
参考答案：
一、1、A；2、B；3、C；4、B；5、D；6、C；
二、1、40，50；2、AB=AD或AC⊥BD；3、108°，72°；
4、24；5、12，4；6、15°，；
三、1、提示：先证得AE=DE，由BF=AE，得DE=BF，又DE∥BF
2、提示：用“HL”证明 ABC≌ EAF，得证AC=EF.再由∠DAF=∠AFE=90°得AD∥EF，且AD=EF得证结论。
3、(1).由 AEF≌ DCF，四边形ADBF是平行四边形得证。
(2).四边形AFBD是矩形。
(3).∠BAC=90°
4、（1）
当t=1秒时，AP=4，CQ=1，DQ=19，
四边形APQD是梯形，面积=46cm2.
（2）当四边形APQD为矩形，就有AP=DQ=DC-CQ
4t=20-t，∴t=4
A
E
D
C
B
E
D
C
B
A
O
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
第4题
A
B
C
D
E
F
第5题
A
B
C
D
F
E
第6题
1
2
3
A
F
E
D
C
B
C
F
E
D
B
A
F
D
C
B
A
E
D
C
B
A
P
Q(共13张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级下
本课内容
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2.7
两组对边
分别平行
有一个角是直角
有一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
由平
行四边形、矩形、菱形的关系说出它的的定义。
边
角
对角线
对称性
性
质
平行四边形
矩形
菱形
判定
平行四边形
矩形
菱形
填写表格
平
行且相等
对角相等
中心对称图形
四个角相等
相等
中心对称轴对称
四条边相等
对角相等
中心对称轴对称
互相平
分
互相垂
直平
分
平
行且相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个直角
你能给正方形下一个定义吗？
矩形
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等且有一个角是直角的平
行
四边形是正方形。
菱形
正方形
四种特殊四边形的关系如图：
矩形
菱形
平行四边形
正方
形
正方形具有平
行四边形、矩形、菱形的一切性质。
正方形的性质
边
对角线
对边
平
行
四边相等
对角线相等
互相垂直
平
分
每条对角线
平
分一组对角
四个角相等且都是直角
角
对称性
中心对称图形。
轴对称图形。
举
例
例1.如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F.
求证：DE
=
DF.
∴
AD
=
CD，
∠A
=∠DCF
=
90°.
证明∵
四边形ABCD为正方形，
∵
DF⊥DE，
∴
∠EDF
=
90°，
即∠1
+∠3
=
90°，
又
∵
∠2
+∠3
=
90°，
∴
∠1
=∠2.
∴
△AED≌△CFD
（ASA）.
∴
DE
=
DF.
说一说
有一个角是直角
一组邻边相等
一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
菱形
正方形
矩形
观察下图，说一说如何判断一个四边形是正方形？
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.
例2.如图，
已知点A′，B′，
C′，
D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，
并且AA′=
BB′
=
CC′=
DD′.求证：四边形
是正方形.
证明
∵
四边形ABCD为正方形，
∴
AB
=
BC
=
CD
=
DA.
又∵
AA′
=
BB′
=
CC′
=
DD′，
∴
D′A
=
A′B
=
B′C
=
C′D.
又∵
∠A
=∠B
=∠C
=∠D
=
90°，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′
∴
A′D′=
B′A′=
C′B′=
D′C′.
∴
四边形
是菱形.
又∵
∠1
=∠3，
∠1
+∠2
=
90°，
∴
∠2
+∠3
=
90°.
∴
∠D′A′B′=
90°.
∴
四边形
是正方形.
1.
已知正方形的一条对角线长为4cm，
求它的边长和面积.
边长为
面积为
8
cm2.
练习
2.
如果一个矩形的两条对角线互相垂直，那么这个矩形一定是正方形吗？为什么？
由两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得
此矩形的四条边都相等，即为正方形.
3.已知：正方形的一条边长为2cm，求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积。
周长8cm，面积4cm2，对角线是：
4.已知：在正方形ABCD中，E、F分别在BC、DC上，且BE=DF，AC与BC相交于O点，EF与AC相交于P点，求证：EF
⊥
AC，EF
∥
BD
提示：证明 ECF是等腰三角形
5.如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF.（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
P
F
E
O
D
C
B
A
A
B
G
F
E
D
C
(1)
△ABE≌△BCF
（SAS）.
（2）∠BAE
=∠CBF
,∠AEB
=∠BFC
∠BAE+∠AEB
=90°
∴∠CBF+∠AEB
=90°
即：∠BGE=90°
AE⊥BF
8.AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，
EF⊥AC交BC于F.
求证：EC=EF=FB
O
N
M
D
C
B
A
F
E
D
C
B
A
6.如图，正方形ABCD中，AC交BD于O，点M、N分别在AC、BD上，且OM=ON，
求证：BM=CN。
△BOM≌△CON（SAS）.
提示：证明 CEF是等腰三角形，
得：CE=EF
再证：△ABF≌△AEF（HL），得：EF=FB
∴CE=EF=FB
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
动脑筋
这节课你学到哪些知识？还有什么疑惑？
作业：P74
1、2、3
4、四种特殊四边形的关系。
2、正方形的性质：
。
3、如何判断一个四边形是正方形？
1、正方形定义：
。《菱形的性质》
一选择题
1、如图，在菱形ABCD中，不一定成立的（ ）
A.四边形ABCD是平行四边形
B.
AC⊥BD
C.△ABC是等边三角形
D.∠CAB＝∠CAD
2、已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）
A、16
B、16
C、8
D、8
3、菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ）
A．2
B．
C．1
D．
4、菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（
）
A．2
B．
C．4
D．
二、填空题
1、已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
2、菱形ABCD中∠ABC＝70°，则∠ACD＝ _____ 。
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的边长
。
4.如图2，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是
。
5.如图3，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是
。
6.如图4菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积是
，对角线BD的长是
.
三、解答题
1、如图5，已知:在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
求证:（1）△ABE≌△ADF;
（2）
∠AEF=∠AFE
2、如图6，在菱形ABCD中，CE⊥AB于E，已知∠BCE=30°，CE=3cm.求菱形ABCD的周长和面积.
3、已知如,7，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；（2）对角线AC、BD的长；（3）菱形ABCD的面积。
参考答案：
一、1、C；2、C；3、C；4、D；
二、1、3；2、55°；3、5cm；4、60°；5、16；6、8，4；
三、1、（1）由SAS易证得。（2）由（1）得：AE=AF，即△AEF是的腰三角形。
2、设BE=x，则BC=2x，由勾股定理得：BC=2；
周长=8cm；面积=BC×CE=6cm2；
3、（1）∠ABC=60°，（2）BD=1，AC=cm；（3）S=cm2；
A
B
C
D
A
B
E
C
F
2D
（2）
（3）
（4）
F
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
O
（5）
（6）
（7）课题：2.3.2中心对称和中心对称图形（二）
教学目标
1、使学生了解中心对称图形及其基本性质；掌握平行四边形是中心对称图形。
2、观察、发现，探索中心对称图形的有关概念和基本性质，积累一定的审美体验，了解中心对称图形及其基本性质，掌握平行四边形是中心对称图形。
3、通过观察发现、动手操作、大胆猜想、自主探索、合作交流体验到成功的喜悦，学习的乐趣并积累一定的审美体验。
重点：中心对称图形的定义及其性质
难点：中心对称图形与轴对称图形的区别；利用中心对称图形的有关概念和基本性质解决问题。
教学过程：
一、复习导入（出示ppt课件）
1、关于中心对称、轴对称图形：
中心对称定义：在平面内，如果一个图形绕点O
旋转180°，
与另一个图形重合，
那么称这两个图形关于点O
中心对称.
中心对称性质：成中心对称的两个图形上，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
轴对称图形：一个图形沿某一条直线对折(翻折1800)后两部分重合，这个图形叫轴对称图形。
2、图形欣赏，感受中心对称图形。
它们有什么特点？
一个图形绕某个点旋转180°后，与本身重合。
二、合作探究（出示ppt课件）
我发现将线段AB绕它的中点O旋转180°，与它自身重合。
像这样，如果一个图形绕一个点O
旋转180°，所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心.
由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.
如图，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，则OA=OC，OB=OD.
把□ABCD绕点O旋转180°，则：
（1）点A的像是
；（2）点B的像是
；
（3）边AB的像是
；（4）点C的像是
；
（5）边BC的像是
；（6）点D的像是
；
（7）边CD的像是
；（8）边DA的像是
.
从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180°
，它的像与自身重合，因此：
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？
三、知识应用（出示ppt课件）
说一说：1、正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
结论：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
下面哪个图形是中心对称图形？
规律:中心对称图形一定有偶数个顶点.
2、下面是计算机键盘上某一行的英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
字母Z，X，N可看作是中心对称图形
3、有些汉字也是中心对称图形.
日
主
王
田
问
口
回
同
十
文
中
申
4、在数字0至9中，哪些是中心对称图形？
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5、一些汽车标志、交通标志是中心对称图形
6、还有些国旗图案也是中心对称图形。
判定一个图形是不是中心对称图形的方法：
1、顶点是否是偶数个。
2、对应点的连线是否经过同一点，并被这一点平分。
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
1、中心对称图形的性质:中心对称图形的对应点的连线都经过对称中心,并被对称中心平分,即:对称中心是对应点连线的中点。
2、中心对称图形的判方法:
（1）中心对称图形上，每一对对称点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
（2）顶点是否是偶数个。
六、作业：p54练习、习题A、B
A
B
O
A
B
A
A
B
C
D
O
B
D
C(共13张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.2.4
我们学习了哪些平行四边形的判定方法？
一组对边平行且相等
平行四边形的定义
的四边形是平行四边形
两组对边分别相等
D
C
B
A
已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添上哪些条件，
能使四边形ABCD为平行四边形？
AB∥CD；
AD=BC；
∠A=∠C；
∠A+∠D=∠B+∠C.
若把已知条件换成“AD=BC”呢？
观察下图
，将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，你能画出一个平行四边形吗？
D
C
B
A
O
过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是平行四边形，如图
抽象成几何作图：
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？
由于OA=OC，OB=OD，
∠AOB=∠COD
从而
AB
=
CD
，∠ABO=∠CDO
.
于是
AB∥DC.
同理:BC∥AD
所以四边形ABCD是平行四边形.
因此△OAB≌△OCD.
(SAS)
D
C
B
A
O
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
由此得到平行四边形的判定定理3：
举
例
例1.已知：如图，在□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E，F在BD上且OE=OF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：由于四边形ABCD是平行四边形，
因此
OA=OC.
所以四边形AECF是平行四边形.
又
OE=OF，
例2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C
，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵
∠A
=∠C，
∠B
=∠D，
∠A
+∠B
+∠C
+∠D
=
360°，
∴
∴
四边形ABCD是平行四边形.
∴
BC∥AD
.
同理，AB∥DC.
从例2
可以看出，
两组对角分别相等的
四边形是平行四边形.
例3.如图，在□ABCD中，点E、F是
对角线AC上两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
∴四边形BEDF是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD，AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
证明：连结BD，交AC于点O
例3.如图，在□ABCD中，点E、F是
对角线AC上两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
O
解法二
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，OA＝OC
（平行四边形的对角线互相平分）
∵AE＝FC，∴OE＝OF，
∠EBF=∠FDE.
∴∠EBF=∠FDE.
议一议
1.两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
2.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
能想到这个图形.
能想到这个图形.
1.如图，把△ABC的中线AD延长至E，使得DE=AD，连接EB，EC
.
求证：四边形ABEC是平行四边形.
练习
证明：由已知
BD=CD,
DE=AD.
2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，
直线MN经过点O，分别与AB
，CD交于
点M，N
，连接AN，CM.
求证：四边形AMCN是平行四边形.
证明：
∵
□ABCD，∴
OA=OC,
AB∥DC.
∴
四边形AMCN是平行四边形.
∴
∠BAC
=∠ACD.
又
∠AOM
=∠CON,
所以
△AOM≌△CON.
(ASA)
∴
AM=CN.
又
AM∥CN，
A
B
C
D
E
3.如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE=
BC
1
2
延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF
F
4.□ABCD中，AF=CH，DE=BG，
求证：
EG和HF互相平分．
证明：△AEF≌△CGH（SAS）
得：EF＝GH．
同理可证：FG=HE
∴
四边形EFGH是平行四边形
∴
EG和HF互相平分
可证：四边形ADCF和四边形DBCF都是平行四边形。
通过这节课的学习，需要我们
熟练掌握平行四边形的性质和判定并能灵活运用其解决相关的计算与证明。
两组对边分别平行
两组对边分别相等
对角线互相平分
两组对角分别相等
一组对边平行且相等
平行四边形
性质
判定
作业：p50
A
6
B
8、9、10
判定
文字语言
图形语言
符号语言
方法1
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
∵AB∥CD,
AD∥BC
∴
…是…
方法2
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD,AD=
BC
∴
…是…
方法3
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD
AB∥CD,
∴…是…
方法4
对角线互相平分的四边形是平行四边形
∵AC、BD交于点，OA=OC,
OB=OD
∴
…是…
方法5
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
∵∠A=∠C,∠B=∠D
∴…是…
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
O
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
课外作业：分别用文字语言、图形语言、符号语言
总结归纳平行四边形的判定方法。《平行四边形的性质（一）》
一、选择题
1、在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（
）．
A.对角相等；
B.对角互补；
C.邻角互补；
D.内角和是；
2、如图：在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，
EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（
）．
A.4个
B.5个
C.8个
D.9个
3.
ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为（
）
A.
60°
B.80°
C.100°
D.120°
4.如图，ABCD的周长28cm，△ABC的周长是22cm,则AC的长为(
)
A.6cm
B.12cm
C.4cm
D.8cm
5.如图，在ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，则ABCD的周长为（
）
A.6
B.9
C.12
D.15
6.如图，在ABCD中，∠B=110°,延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F的值为（
）
A.110°
B.30°
C.50°
D.70°
二、填空题
1、在ABCD中，∠A=，则∠B=
度，∠C=
度，∠D=
度．
2、如图,在□ABCD
中，E是AD边上的中点.
若∠ABE=∠EBC，AB=2，则□ABCD的周长是_____
3.
□ABCD的周长为30cm，两邻边之比为2﹕1，则□ABCD的两邻边长分别为
．
4.如图，已知E是□ABCD的边CD上
的任意一点，□ABCD的面积为52cm2，则△ABE的面积为
______cm2
三、解答题
1.已知:如图，E、F分别是□ABCD的边
AD、BC上的点，且AF//CE，求证：∠FAB=∠ECD
2、如图，ABCD是平行四边形，DE是∠ADC的
角平分线，交BC于点E，
①求证
CD=CE，②若BE=CE，∠B=80o
求∠DAE的度数。
3.
如图，BD是□ABCD
的一条对角线，
AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F；
求证:∠DAE=∠BCF.
参考答案：
一、1、B；2、D；3、C；4、D；5、C；6、D；
二、1、130°，50°，130°；2、12；3、10cm，5cm；4、26；
三、1、可证得：四边形AFCE是平行四边形，
从而AE=FC，又AD=BC，∴DE=BF
可证得：△ABF≌△CDE.(ASA)
∴∠FAB=∠ECD
2、(1).可证得：∠EDC=∠DEC
(2).由（1）得：AB=BE，∵∠B=80°，
∴∠DAB=100°
,∠BAE=50°，
∴∠DAE=50°
3、可证得：△DAE≌△BCF.(AAS)
A
B
C
D
第4题
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
第5题
第6题
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
E
D
A
B
F
C
A
B
E
C
D
A
B
E
C
D
F《中心对称和中心对称图形（二）》
一、选择题
1、等边三角形、正方形、菱形和等腰梯形这四个图形中，是中心对称图形的有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A．等边三角形；B．平行四边形；C．等腰梯形；D．菱形
3、下列图由正三角形和正方形拼成的图形中是轴对称图形而不是中心对称图形的是(
)
4、如图中,将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（
）．
A
B
C
D
5、如图中，既是中心对称又是轴对称的图案是（
）.
A
B
C
D
二、填空题
1、线段是轴对称图形，它的对称轴是______________，线段也是中心对称图形，它的对称中心是_______________．
2、欣赏图的图案，它们中间中心对称图形的个数有
个．
3、
已知A、B、O三点不共线，A、A’关于O对称，B、B’关于O对称，那么线段AB与A’B’的关系________．
4、下图中②③④⑤分别由①图顺时
针旋转180°变换而成的是____________。
5、
ΔABC和ΔA’B’C’关于直线l对称，若ΔABC的周长为12cm，ΔA’B’C’的面积为6cm2，则ΔA’B’C’的周长为___________，ΔABC的面积为_________。
三、解答题：
1.如图，等边△ABC的3个顶点都在圆上，请把这个图形补成一个中心对称图形
2.如图，AC=BD，∠A=∠B，点E、F在AB上，且DE∥CF，试说明它是中心对称图形的理由.
参考答案：
一、1、B；2、D；3、C；4、B；5、C；
二、1、垂直平分线，中点；2、2；3、相等；4、③；5、12cm，6cm2
三、1、
2、
F
A
D
C
B
E
F
A
D
C
B
E
O课题：2.5.2
矩形判定
教学目标
1．能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力；通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想。
2、经历矩形的判定的探究过程，并能有效的解决问题，培养学生的逻辑思维能力和演绎能力。
3、通过矩形判定的推导证明，培养学生热爱数学和生活中的图形，锻炼客服困难的意志，建立自信心。
重点：矩形的判定及性质的综合应用
难点：矩形的判定及性质的综合应用
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
1、矩形的定义、矩形与四边形的关系
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、矩形性质:
（1）矩形是四边形,所以它具备四边形的一切性质。
（2）矩形是平行四边形的特例，所以它具备平行四边形的一切性质。
（3）矩形的四个角都是直角。
（4）矩形的对角线相等。或者说:矩形的对角线相等且互相平分.
二、探究合作（出示ppt课件）
探究讨论矩形的判定方法：
李芳同学用这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形．
你认为她的判断对吗？说明你的理由．
已知什么？我们来证明。
已知:如图,在四边形ABCD中，
∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
分析：按定义，只要证明四边形ABCD是平行四边形。
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.又∵∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
(矩形定义)，由此，我们得到，矩形的判定定理1：
三个角是直角的四边形是矩形.
议一议：两个角是直角的四边形是矩形吗？
2、问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做成的门框是否是矩形？说说你的想法.
“矩形的对角线相等且互相平分”可以测量对角线的长度是否相等。
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？
过点O
画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，
OB
=OD=2cm.
连接AB，BC，CD，DA.
则四边形ABCD
是矩形，
且它的对角线长度为4
cm，
如图.
这样的矩形有无穷多个.
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：
对角线相等的平行四边形是矩形吗？
证明：在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
因此
△ABC≌△DCB.
(SSS)
从而
∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB
=180°，
于是
∠ABC=90°.
所以
□ABCD是矩形.
由此得到矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.
讨论：对角线相等的四边形是矩形吗？对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
总结矩形的判定方法:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
或者:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
如何检查一个四边形的画框是否为矩形
三、知识应用（出示ppt课件）
例1如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O
（1）如果□ABCD是矩形，
试问：△OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，
那么□ABCD是矩形吗？
例2、如图，O是□ABCD对角线的交点，
AB=BC，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．
求证:四边形CEDO是矩形．
例3、
如图，在△ABC中，点D在AB上，
且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、
∠ADC的平分线。四边形FDEC是矩形吗 为什么
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
矩形的判定方法:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
或者:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
六、作业：p63
A
3、4
B
7
七、课外拓展（出示ppt课件）
四边形
平行四边形
矩形
两组对边
分别平行
D
C
B
A
四边形
O
D
C
B
A
平行四边形
一个角是直角
矩形
B
O
D
A
C
②
①
③
④
D
C
B
A
2cm
2cm
F
A
C
E
B
D课题：2.4.2三角形的中位线（二）
教学目标
1、进一步使学生掌握三角形中位线的有关知识；能够利用三角形的中位线的知识解决三角形有关的问题；
2、把“三角形的中位线”和“三角形中线”进行比较，将这一知识提升为解决图形比例关系的一个“基本相似形”。
3、经历从认识发现三角形的中位线到推理的三角形的中位线的性质的过程，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心。通过观察、讨论、比较，研究三角形的中位线的图象和性质，培养学生的数形结合的思想。
重点：三角形中位线的性质和应用
难点：知识的综合运用和数形结合的思想。
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
1.三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
几何语言：
在△ABC中，D、E是边AB，AC的中点。
∴DE是△ABC的中位线。
DE∥BC，DE=BC
位置关系
数量关系
性质的特点：同一条件下有2个结论
二、思维拓展（出示ppt课件）
上节课我们是通过旋转证明三角形中位线性质，还有其它证明方法吗？
在△ABC中，E、F是边ABAC的中点。求证：EF∥BC，EF=BC
学生思考，教师指导学生广泛地交流，合作，分小组
展示讨论结果：
证法二：如图，延长EF到G，使FG=EF，连接CG
可证得：△AEF≌△CGF
∠EAF=∠GCF，CG∥AB
CG=AE=EB
∴四边形EBCG是平行四边形。EF∥BC，且EF=EG=BC
证法三：延长EF到点G，使FG=EF，
连结AG、CG、EC
证得：四边形BCFD是平行四边形,
四边形ADCF是平行四边形。
证法四：如图，过F作AB的平行线交BC于D，
过A作BC的平行线交FE于G。
证得：四边形ABDG是平行四边形,
四边形EBDF是平行四边形。
四边形AEFG是平行四边形。
△AFG≌△CFD
三、复习练习（出示ppt课件）
1.
如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，
BD的长分别为5cm，4.4cm，
E，F，H，M分别是边AB，BC，CD，DA的
中点，则□EFHM
的周长
。
2.已知△ABC的各边长度分别为3cm，3.4cm，
4cm，求连结各边中点所构成
的△DEF的周长
。
3.如图，两块相同的直角三角形完全重合在一起，
∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B
逆时针旋转到△EBD的位置，点D在AC上，
DE与AB相交于点F，则DF=
.
四、典例分析（出示ppt课件）
例1
如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=6．求△DOE的周长。
【解题思路】根据平行四边形的性质，
对角线互相平分，两组对边分别相等，
可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.
△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15
例2.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
这类题要根据题意画出图形，写出“已知，求证”
已知，如图，△ABC中，D、E、F分别
是边AB、BC、CA的中点，DF、AE交
于点O，求证：DF与AE互相平分。
分析：根据“平行四边形对角线互相平分”的性质，只要能证明四边形ADEF是平行四边形即可。
例3.如图，AD是△ABC中线，E是AD的中点，BE交AC于F，AF=AC，试说明EF=BF
【解题思路
】由条件，努力构造三角形中位线。
取FC的中点G，连接DG。这样F、G分别
是AG、CF的中点。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
1.三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
3.应用三角形中位线的性质解决有关计算或说理等问题时，根据条件，努力构造三角形中位线。
七、作业：p57
B
4、5、6
E
D
C
B
A
G
G
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
O
E
F
D
C
B
A
O
G
.
F
E
D
C
B
A(共16张PPT)
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八年级下
本课内容
本节内容
2.3.2
定
义
性
质
一个图形沿某一条直线对折(翻折1800)后两部分重合，
这个图形叫轴对称图形。
在平面内，如果一个图形绕点O
旋转180°，
与另一个图形重合，
那么称这两个图形关于点O
中心对称.
成中心对称的两个图形上，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
它们有什么特点？
一个图形绕某个点旋转180°后，与本身重合。
A
B
O
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
A
B
像这样，如果一个图形绕一个点O
旋转180°，所得到的像与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心.
由上可得：线段是中心对称图形，线段的中点是它的对称中心.
我发现将线段AB绕它的中点O旋转180°，与它自身重合
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
A
D
O
D
C
B
A
如图，平行四边形ABCD的两条对角线的交点为O，则OA=OC，OB=OD.
把□ABCD绕点O旋转180°，则：
（1）点A的像是
；
（2）点B的像是
；
（3）边AB的像是
；
（4）点C的像是
；
（5）边BC的像是
；
（6）点D的像是
；
（7）边CD的像是
；
（8）边DA的像是
.
点C
点D
边CD
点A
边DA
点B
边AB
边BC
Ｂ
Ｃ
A
D
O
D
C
B
A
平行四边形也是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
从上述结果看出，□ABCD绕点O旋转180°
，它的像与自身重合，因此：
你能利用平行四边形是中心对称图形，将其绕对称中心旋转180°，来理解平行四边形的性质吗？
说一说
正三角形是中心对称图形吗？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？……你能发现什么规律？
√
×
√
×
结论：边数为偶数的正多边形都是中心对称图形。
下面哪个图形是中心对称图形？
规律:中心对称图形一定有偶数个顶点.
说一说
下面是计算机键盘上某一行的英文字母，其中哪些字母可看作是中心对称图形？
有些汉字也是中心对称图形.
日
主
王
田
问
口
回
同
十
文
中
申
在数字0至9中，哪些是中心对称图形？
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
字母Z，X，N可看作是中心对称图形
√
√
√
√
√
√
√
√
一些汽车标志是中心对称图形
交通标志
牙买加国旗
孟加拉国旗
瑞士国旗
马其顿
以色列
1、顶点是否是偶数个。
2、对应点的连线是否经过同一点，并被这一点平分。
判定一个图形是不是中心对称图形的方法：
1、以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（
）
A
C
练习
A
B
C
D
E
2.下列图形中,既是轴对称又是中心对称的是（
）
A.等边三角形
B.平行四边形
C.等腰梯形
D.圆
D
4.仔细观察下列图案，然后回答下列问题：（填序号）
（1）是中心对称图形的有_________
（2）是轴对称图形的有______.
（3）既是轴对称又是中心对称图形的有_____.
②③④
①④
④
3.在下列图形中，是中心对称图形的是（
）
C
A
B
C
D
6.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
角
B
等边三角形
C
线段
D平行四边形
C
C
5.下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
7.下列图形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是（
）
A平行四边形
B矩形
C菱形
D正方形
A
9.下列图形中，哪些是中心对称图形？如果是,找出它们的对称中心.
（1）
（2）
（3）
●
O
●
8.已知：下列命题中真命题的个数是（
）
①关于中心对称的两个图形一定不全等
②关于中心对称的两个图形是全等形
③两个全等的图形一定关于中心对称
A.
0
B.
1
C.
2
D.
3
B
1.如图，等边△ABC的3个顶点都在圆上，请把这个图形补成一个中心对称图形.
拓展操作
2.如图，AC=BD，∠A=∠B，点E、F在AB上，且DE∥CF，试说明它是中心对称图形的理由.
F
A
D
C
B
E
O
这节课后你有什么收获？
1、中心对称图形的性质:
中心对称图形的对应点的连线都经过对称中心,并被对称中心平分,即:对称中心是对应点连线的中点。
2、中心对称图形的判方法:
（1）中心对称图形上，每一对对称点的连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。
（2）顶点是否是偶数个。
作业：p54练习、习题A、B(共17张PPT)
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本课内容
本节内容
2.5.2
两组对边
分别平行
一个角是直角
平行四边形
矩形
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
矩形的定义、矩形与四边形的关系
四边形
O
D
C
B
A
B
O
D
A
C
D
C
B
A
四边形
平行四边形
矩形
矩形性质:
2．矩形是平行四边形的特例，所以它具备平行四边形的一切性质。
3．矩形的四个角都是直角。
4．矩形的对角线相等。
或者说:矩形的对角线相等且互相平分.
1．矩形是四边形,所以它具备四边形的一切性质。
李芳同学用这样四步画出了一个四边形，她说这就是一个矩形．你认为她的判断对吗？说明你的理由．
②
①
③
④
探究
问题背景：
已知:如图,在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
D
C
B
A
已知什么？我们来证明。
分析：按定义，只要证明四边形ABCD是平行四边形。
证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,
∴AD∥BC，AB∥CD.
∠B+∠C=180°.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形.
(矩形定义)
三个角是直角的四边形是矩形.
由此，我们得到，矩形的判定定理：
三个角是直角的四边形，容易知道第四个角也是直角，
议一议
两个角是直角的四边形是矩形吗？
四边形中只有两个角是直角，我想到了下边的图形：
因此，两个角是直角的四边形不一定是矩形。
问题：怎样用带刻度的角尺检验木工做成的门框是否是矩形？说说你的想法.
动脑筋
从“矩形的对角线相等且互相平分”这一性质受到启发，你能画出对角线长度为4cm的一个矩形吗？这样的矩形有多少个？
“矩形的对角线相等且互相平分”可以测量对角线的长度是否相等。
过点O
画两条线段AC，BD，使得OA=OC=2cm，
OB
=OD=2cm.
连接AB，BC，CD，DA.
则四边形ABCD
是矩形，
且它的对角线长度为4
cm，如图.
这样的矩形有无穷多个.
2cm
2cm
如图，由画法可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，因此它是平行四边形，又已知其对角线相等，上述问题抽象出来就是：对角线相等的平行四边形是矩形吗？
我们来进行证明.
在□ABCD中，由于AB=DC，AC=DB，BC=CB，
因此
△ABC≌△DCB.
(SSS)
从而
∠ABC=∠DCB.
又∠ABC+∠DCB
=180°，
于是
∠ABC=90°.
所以
□ABCD是矩形.
你能说出这样画出的四边形一定是矩形的道理吗？
由此得到矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
讨论：对角线相等的四边形是矩形吗？
对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
或者:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
总结矩形的判定方法:
如何检查一个四边形的画框是否为矩形
例1如图，在□ABCD中，它的两条对角线相交于点O（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，其中OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？
举
例
解：（1）
∵□ABCD是矩形，
∴
AC与DB相等且互相平分.
∴
△OBC是等腰三角形.
（2）
∵
△OBC是等腰三角形，其中OB
=
OC，
∴
AC
=
2OC
=
2OB
=
BD.
∴
□ABCD是矩形.(对角线相等的平行四边形是矩形）
例2.如图，O是□ABCD对角线的交点，AB=BC，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．
求证:四边形CEDO是矩形．
证明:
∵
DE∥AC，CE∥BD，
∴DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形CEDO是平行四边形．（平行四边形定义）
∵
AB=BC，O是AC的中点,
∴
BD⊥AC，即∠COD＝
90°.
（三线合一）
∴四边形CEDO是矩形．（矩形定义）
例3
如图，在△ABC中，点D在AB上，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC、
∠ADC的平分线。四边形FDEC是矩形吗 为什么
F
A
C
E
B
D
答：四边形FDEC是矩形
证明：∵AD=CD=BD，
∴
∠A=∠ACD,
∠B=∠DCB
∴
∠ACD+∠DCB=90°
∵
DF平分∠BDC
∴
DF⊥AC
又∵
BC⊥AC
∴
DF∥CE
同理：DE∥CF
∴四边形FDEC是平行四边形
又∵∠ACB=90°
∴四边形FDEC是矩形
C
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（
）
A
.对角线相等
B.
对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
C
2、如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠
EAC、
∠
MCA、
∠
ACN、
∠
CAF的角平分线，则四边形ABCD是（
）A.
任意四边形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
不能确定
3、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm，
则它的对角线长是
cm.
5
4.判断:(1)有一个角是直角的四边形是矩形.(
)
(2)对角线相等的四边形是矩形.
(
)
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
(
)
(4)四个角都相等的四边形是矩形.
(
)
(5)对角互补的平行四边形是矩形
（
）
×
×
√
√
√
5.
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=
90°
∵∠A+∠B+∠C+∠D=
360°
∴四边形ABCD是矩形.
6.
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠AOB
=
60°，AB=
2，AC=
4，求□ABCD的面积.
解：
∵
OA=
=2，AB=
2，
∵△OAB是等腰三角形.
∴
△OAB是等边三角形.
又∠AOB
=
60°，
∴
OA=OB=2，
∴
AC=BD=4.
∴
□ABCD是矩形.
E
作OE⊥BC于点E.
在Rt
△OBE中，BO=2，OE=
=1，
∴
∴
∴
7.如图
，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、OD上的点，且AE=BF=CG=DH。四边形EFGH是矩形吗？为什么？
H
G
F
E
D
C
B
A
O
8.如图，在□
ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°,试说明四边形ABCD是矩形.
∵AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴FH=EG
∴四边形EFGH是矩形
∵AC是□
ABCD的对角线，
连接OE
∴在Rt△ACE中，
OE=
AC
2
1
又∠BED=90°,
OE=
BD
2
1
∴AC=BD，
□
ABCD是矩形。
矩形的判定方法:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.有三个角是直角的四边形是矩形.
3.对角线相等的平行四边形是矩形.
或者:对角线相等且互相平分的四边形是矩形.
作业：p63
A
3、4
B
7
F
E
A
C
O
M
N
B
M
O
A
B
C
E
F
N
已知△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证：EO=FO；
(2)
当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由.
(1)
∵CE平分∠BCA，MN∥BC，
∴
∠OEC=∠ECO
∴
OE=CO
同理：OF=CO
∴
OE=OF
(2)当点O是AC的中点时，四边形AECF是矩形。(共13张PPT)
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2.3.1
我们学了图形的轴对称，回顾一下轴对称
和轴对称图形的知识。
两个图形沿某一条直线对折(翻折1800)后重合，
叫这两个图形关于轴对称。
一个图形沿某一条直线对折(翻折1800)后两部分重合，
这个图形叫轴对称图形。
l
C
B
A
C'
如图，作出 ABC的
轴对称图形 A'B'C'
A'
B'
观察下列各组图形,你能发现什么
两个图形（或一个图形的两部分）
通过旋转（1800）后重合。
如图，在平面内，将△OAB绕点O旋转180°，所得到的像是△OCD
.
在平面内，把一个图形上的每一个点P对应到它在绕点O旋转180°下的像P′，这个变换称为关于点O的中心对称.
从这个例子我们引出下述概念：
在平面内，如果一个图形G
绕点O
旋转180°，
得到的像与另一个图形G′重合，
那么称这两个
图形关于点O
中心对称，点O
叫作对称中心.
图形G上每一个点E
与它在图形G′上的对应点F
关于点O对称，点O是线段EF的中点.
如图
，在平面内，把点E绕点O旋转180°得到点F，此时称点E和点F关于点O对称，也称点E和点F是在这个旋转下的一对对应点.
由于点E，O，F在同一条直线上，且OE=OF，因此点O是线段EF的中点.
反之，如果点O是线段EF的中点，那么点E和点F关于点O对称.
结论
由此得到下述性质：
成中心对称的两个图形上，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
O
C
B
A
A′
B′
C′
如图，
AA'，BB'，CC'
都经过点O，且被点O平分。
例.如图，已知△ABC
和点O，
求作一个
△A'B'C'
，使它与△ABC关于点O成中心对称
O
C
B
A
根据中心对称的性质，确定 ABC的对称点。
作法（1）如下图所示，连接AO
并延长AO
到A'，使OA'=
OA，于是得到点A关于点O的对应点A'.
A′
（2）用同样的方法作出点B
和C
关于点O
的对应点B'和C'
.
（3）连接A'B'，
B'C'
，
C'A'.
B′
C′
则图中△
A'B'C'
即为所求作的三角形.
思考：如果将对称中心O设为某个顶点
（或某边上）你能做图吗？
C
B
A
B′
(A′)
B′
C′
C
B
A
O
C′
A′
练习
1.
判断（对的画“√”，
错的画“×”）：
（1）线段AB的中点O是点A与点B的对称中心.
（
）
（2）等边三角形ABC的三条中线的交点是点A与
点B的对称中心.
（
）
√
×
D
2.下列说法不正确的是（
）
A.关于中心对称的两个图形中，对应线段相等.
B.中心对称的两个图形对称点的连线段中点就是对称中心.
C.平行四边形一组对边关于对角线交点对称.
D.如果两点到某点的距离相等,则它们关于这点对称.
3、如图，两块同样的三角尺，它们是否关于某点成中心对称？若是，请确定它的对称中心.
4.
画出△ABC关于点A成中心对称的图形.
·
B′
·
C′
·
A′
5.
如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′关于某点中心对称，找出它们的对称中心.
O
·
如果两图形的对应点连线都经过某一点，并且都被这一点平分，那么它们关于这一点对称.
成中心对称的两个图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等.
如何判断两个图形是否关于某点对称呢
中心对称与轴对称有什么区别 又有什么联系
轴对称
中心对称
有一条对称轴---直线
有一个对称中心---点
图形沿对称轴对折(翻折1800)后重合
图形绕对称中心旋转1800后重合
对称点的连线被对称轴垂直平分
对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分
作业：p54练习、习题A、B（部分题）课题：《四边形》小结与复习（二）
教学目标
1、掌握特殊四边形的判定及其性质；灵活运用特殊四边形的知识解实际问题。
2、经历探究四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别的过程，类比掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与常用的判别方法。
3、在回顾与思考的过程中，让学生进一步领会特殊与一般的关系，逐渐理解类比、转化等一些重要的数学思想。
重点：建立知识结构，掌握特殊四边形之间的联系与区别
难点：灵活应用所学知识解决有关问题
教学过程：
一、知识整合（出示ppt课件）
1.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义？它们之间有何关系？
2、四种特殊四边形的关系如图：
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形
分别有哪些性质？从哪几个角度概括？
(用√表示图形具有的性质）。
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
面积等于对角线乘积的一半
4.
如何判定一个四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形呢？
主要从边、角、对角线考虑。师生共同总结
5、几个注意的问题：
（1）平行四边形的性质与判定是本章的重点，注意从边、角、对角线等方面来分析平行四边形的特征.
矩形、菱形、正方形均为特殊的平行四边形，图形越特殊，它的性质就越多，注意体会一般与特殊的关系.
（2）对特殊的四边形，还要注意从对称性的角度把握其特征，并领会它们的内在联系与区别.
（3）注意体会本章中的互逆命题，如平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理等.
二、典例分析（出示ppt课件）
例1、
如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，
使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，
折痕为MN，求线段CN的长。
提示：∵四边形MFEN是由四边形AMND翻折得到，
∴
DN=EN.
又∵E是BC的中点，∴CE=BC=4
设CN=x，则DN=EN=8-x.求解。
例2、已知
平行四边形
ABCD中，直线MN
//
AC，
分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，
BC于Q。求证：PM=QN。
提示：先证明四边形AMQC是平行四边形。AM=CQ，
再证明 AMP≌ CNQ，结论得证。
例3、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，
DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证：AF=BF+EF.
提示：只要证明△ABF≌△DAE，结论得证。
例4、已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。
求证：四边形EFGH是正方形
提示：∵AD∥BC，AF、BH是角平分线
∴AF⊥BH，同理：BH⊥CH，CH⊥DF
，DF⊥AF
可证得：四边形EFGH是矩形
∵∠DAF=∠CBH，AD=BC，∠ADF=∠BCH
△AFD≌△BHC（ASA）∴AF=BH
∵∠BAF=∠ABH，∴AE=BE，∴EH=EF，∴四边形EFGH是正方形
三、巩固练习（出示ppt课件）
四、应用知识（出示ppt课件）
如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不写画法)
五、作业指导（出示ppt课件）
复习题
B组、C组题
正方形
平行四边形
一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
四边形
两组对边分别平行
矩形
菱形
平行四边形
正方形
Q
P
N
M
D
C
B
A
H
F
E
G
A
C
B
D
D
C
B
A课题：
《四边形》小结与复习（一）
教学目标
1、理解四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关概念；掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的有关性质和常用判别方法。
2、经历探究四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系与区别的过程，类比掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与常用的判别方法。
3、在回顾与思考的过程中，让学生进一步领会特殊与一般的关系，逐渐理解类比、转化等一些重要的数学思想。
重点：建立知识结构，掌握特殊四边形之间的联系与区别
难点：灵活应用所学知识解决有关问题
教学过程：
一、知识整合（出示ppt课件）
1.
n边形内角和公式是什么？这个公式是如何推导出来的？
过n边形的一个顶点能引出____条对角线.
一个多边形一共有多少条对角线？
n边形的内角和等于（n-2）·180°
.
2.
n边形外角和是多少？
任意多边形的外角和等于360°.
n
边形的外角和与边数无关。
3.
什么样的图形叫作成中心对称？什么样的图形叫作中心对称图形？
它们二者有何区别与联系？
在平面内，如果一个图形绕点O
旋转180°，
与另一个图形重合，
那么称这两个图形关于点O
中心对称.
如果一个图形绕一个点O
旋转180°，与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心.
成中心对称的图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
4.
三角形中位线定理是什么？
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
∵EF是△
ABC的中位线，∴EF=BC，EF∥BC.
利用性质解决问题：
（1）利用三角形的中位线是证明线段的平行和倍分问题的方法之一。
（2）若题中含有中点或隐含中点的条件时，常构造三角形中位线解决问题。
（2）在解决四边形的有关问题时，常常连接对角线把四边形转化为三角形解决。
二、基础训练（出示ppt课件）
1、求八边形的内角和是
。
2.一个多边形的内角和为1260°，则它是
边形。
3、正六边形的每个内角是_______
4.一个多边形每个内角的都是150°，它是______边形.
5.多边形的边数增加一条时，其内角和就增加
。
6.在下列图形线段角等腰三角形④等边三角形⑤平行四边形⑥矩形⑦菱形⑧正方形⑨圆中，轴对称图形是
。
中心对称图形是
。既是轴对称图形又是中心对称图形是
。
7.下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
三、典例分析（出示ppt课件）
例1.如图，求∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G
的度数。
解析：连接CF，七个角的和就是五边形ABCFG的
内角和。
例2、在四边形ABCD中，∠D
=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
解析：设∠A=x°，则∠B=x°+20°，∠C=2x°，再由四边形内角和可解。
例3.一个多边形所有内角加上一个外角是1350°，这个多边形的内角和是多少？
解析：设多边形的边数为n，1350°-180°<(n-2).180°<1350°，n=9
例4.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F
（1）四边形AFDE是平行四边形吗 为什么？
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
解析：（1）DE是△ABC的中位线，DE∥AF
DE=AB=AF，
∴四边形AFDE是平行四边形
（2）四边形AFDE的周长=2DE+2DF=2(AB+AC)=AB+AC
例5、已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别
是E、F、G，AD是高。求证：EF＝DG。
解析：DG是Rt
△ADC斜边上的中线。
EF是△ABC的中位线。
例6、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别
是AC﹑BD的中点
（1）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（2）若AD=a，BC=b，求EF的长。
解析：连接DF并延长交BC于G，
AFD≌ CFG。
四、说一说（出示ppt课件）
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是什么图形？
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、思维拓展（出示ppt课件）
七、作业：复习题
3、4、7、8、9、10、11
E
D
C
B
A
B
D
C
A
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
E
F
D
F
E
D
C
B
A
G2.6.1菱形的性质
教学目标：
1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．
2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．
3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．
4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图渗透集合思想．
学习重点：菱形的性质1、2．
学习难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．
学习内容：
一、忆一忆
1．什么叫做平行四边形？2、什么叫矩形？3、平行四边形和矩形之间的关系是什么？
二、探一探
1．我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看下面的演示：改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．
2.
菱形定义：
．
【强调】 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．
3.阅读教材P65页探究：
菱形是轴对称图形吗？如果是，那么它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？你能看出图中哪些线段或角相等？
4．菱形的性质1：
菱形的性质2：
菱形性质1证明：
菱形性质2证明：
5.
（阅读教材P67页上面一段内容）比较菱形的对角线和一般平行四边形的对角线你会发现什么？你能利用菱形的对角线求菱形的面积吗？如果菱形的两条对角线长分别是a和b，计算菱形的面积S。
三、练一练
1.
教材P67练习：
2.
已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
三、反馈：
1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为
．
2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm
，求菱形的周长和面积．
3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．
4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，
且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．
5．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为
8cm，求菱形的高．
6．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线AC长10cm。
求（1）对角线BD的长度；（2）菱形ABCD的面积．
四、课后反思：
A
C
B
D
A
C
B
D(共14张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级下
本课内容
本节内容
2.2.2
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
1、平行四边形有关概念：
平行四边形ABCD,
记为“□ABCD”,
读作“平行四边形ABCD”,
线段AC，BD称为对角线。
A
D
B
C
1.平行四边形的两组对边分别平行;
2.平行四边形的对边相等，
3.平行四边形的对角相等，
4.
相邻两角互补。
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC
∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=
∠ADC
2、平行四边形性质：
几何语言
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
探究
如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条对角线AC与BD相交于点O.
比较OA
，OC
，OB
，OD
的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？
量一量
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O
钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
我们发现：
OA=OC，
OB=OD.
猜测点O
是每条对角线的中点.即：对角线互相平分。
你能证明它吗
∴AB=CD，且AB∥CD.
A
4
3
2
1
B
C
D
O
证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
∠1=∠2，∠3=∠4.
∴
△OAB≌△OCD.(ASA)
∴
OA=OC，OB=OD.
由此得到平行四边形的性质定理：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC
OB=OD
例1
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.
试求△COD的周长.
又∵
CD
=
4.8，
∴
△COD的周长为3
+
5
+
4.8
=
12.8.
解：∵
AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
举
例
∴OC=
AC=3，OD=
BD=5
2
1
2
1
例2、
如图，在□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.
证明：∵
AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，
∴
OA
=
OC
.
∵
AD∥BC，
∴
∠MAO
=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴
△AOM≌△CON.
∴
OM=
ON.
∴
点O是线段MN的中点.
答：相等.
例3、平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线
的距离相等吗？为什么？
M
N
证明：
∵
AC，BD为□ABCD的对角线，∴
OB
=
OD
又
∠AOD=∠COB，
∴
Rt△DOM≌Rt△BON(AAS).
∴
DM
=
BN.
p44练习2
已知
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BN⊥AC于点N，DM⊥AC于点M，
求证：DM=BN
又
∵
DM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N
.
∴∠DMO=∠BNO=90°，
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
M
S△AOD=
S△AOB=
S△BOC=
S△COD
老人分地是合理的。
1.如图，在□ABCD
中，BC=10cm,
AC=8cm,
BD=14cm,
△BOC的周长是
cm。△ABC的周长与△DBC的周长相差
cm.
21
6
2.如图，在□ABCD
中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD=8，则AD的取值范围是
.
1＜AD＜9
3.如图，在□ABCD
中,
对角线AC﹑BD相交于点O，且AC+BD=20，
△AOB的周长等于15，则CD=______.
5
A
B
D
C
O
1题图
O
D
B
A
C
2题图
O
D
B
A
C
3题图
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
2cm或8cm
O
D
B
A
C
4题图
5.在□ABCD
中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的
周长是
．
50
6.如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，
AC+BD=14cm，则△OBC的周
长是
cm．
E
O
D
C
B
A
11
7.如图，在□
ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF.
求证：∠BAE=∠CDF.
可证明：△ABE≌△DCF
8.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD
的面积.
B
C
D
A
O
10
8
S□ABCD
=48
A
B
C
D
E
F
BC=AD=8
CD=AB=10
AC=6
OA=3
□ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点
O与
AB
、CD分别相交于E
、F,试探究OE与OF的大小关系？并说明理由。
A
B
C
D
O
E
F
●
3
4
1
2
●
O
D
C
B
A
E
F
(2)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
变式1.在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然成立？试说明理由。
变式2、若将直线EF绕点O旋转至与BA、DC两边延长线相交（如图3）,上述结论是否仍然成立？
OE=OF
本节课，你有什么收获？
图形
名称
文字语言
图形语言
符号语言
平行四边形
定义
性质
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
O
作业：p44练习，p49
A
4
B
7
两组对边分别平行的四边形
∵AB∥CD,AD∥BC
∴
…是平行四边形
平行四边形的
对边平行;
对边相等;
对角相等;
对角线
互相平分.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD,AD∥BC
AB=CD,AD=
BC
∠A=∠C,∠B=∠D
OA=OC,OB=OD课题：2.2.1平行四边形的性质（一）
教学目标
1、使学生理解并掌握平行四边形的定义；能根据定义探究平行四边形的性质；了解平行四边形在生活中的实例，由平行四边形的性质解决简单的实际问题。
2、发展学生的抽象思维和形象思维，进行简单的计算与证明，通过观察、实验、归纳、证明，合乎逻辑地进行讨论与质疑，培养学生的推理能力与演绎能力。
3、在应用平行四边形的性质中培养独立思考的习惯，在数学学习活动中获得成功的体验。用平行四边形的性质的应用，进一步认识数学与生活的密切联系。
重点：平行四边形的定义，对角、对边相等的性质，以及性质的应用
难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、什么叫四边形：在平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形.
2、四边形的边：
。
四边形的角：
。
四边形的顶点：
。
3、四边形的对角线：连接不相邻两个顶点的线段。
四边形共有2条对角线。
4、四边形的内角和：
，外角和：
。
二、新知学习（出示ppt课件）
我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？
平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)表示方法：平行四边形用符号“”来表示．
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
线段AC、BD就是□ABCD的两条对角线.
平行四边形相对的边称为对边,
相对的角称为对角.
AB与CD；
BC与DA是对边；∠ABC与∠CDA;
∠BAD与∠DCB分别是角；
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“
ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．
三、探究交流（出示ppt课件）
平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．
1、做一做：每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形四条边的长度、四个角的大小，由此你能做出什么猜测？
通过观察和测量，我们得到下面结论：∠
A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，BC=AD
也就是说：平行四边形的对边相等、对角相等.
2、下面我们来证明这个结论.
在如图的□ABCD中，连接AC.
∵
四边形ABCD为平行四边形，
∴
AB∥DC
，BC∥AD（平行四边形的两组对边分别平行）.
∴
∠1=∠2
，
∠4=∠3.
又
AC
=CA，
∴
△ABC≌△CDA.(ASA)
∴
AB
=
CD，BC
=
DA，∠B
=∠D.
又∠1+∠4=∠2+∠
3.
即∠BAD=∠DCB.
由此得到平行四边形的性质定理：平行四边形对边相等，对角相等.
几何语言：如图，在□ABCD中，AB∥CD，AD∥BC
AB
=
CD，BC
=
DA，∠A=∠C.
∠B
=∠D.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形，
AD=2cm，∠A=65°，∠E=33°，求EF和∠BGC。
解：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD
=
BC
=
2cm，∠1=∠A
=
65°.
∵
四边形BCEF是平行四边形，
∴
EF
=
BC
=
2cm
，∠2
=∠E
=
33°.
∴
在△BGC中，∠BGC
=
180°-∠1
-∠2
=
82°.
例2、如图，直线l1与l2平行，AB、CD是l1与l2之间的任意两条平行线段。试问：AB与CD是否相等？为什么？
解：相等。
证明：因为l1∥l2，AB∥CD，
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以AB=CD
归纳：夹在两平行线间的平行线段相等。、
问：上题中若AB、CD
都垂直于l1与l2，则可得到什么结论？
归纳：1、线段AB、CD叫做l1与l2的公垂线段。
2、两平行线的所有公垂线段相等。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质定理及其应用。
3、两条平行线的距离。
4、学法指导：在条件中有“平行四边形”你应该想到什么？
七、作业：p44练习，p49
A
1、2、3
A
B
C
D
A
B
C
D
1
2
3
4
A
B
C
D
C
A
D
B
E
F
G
A
B
C
D
l1
l2(共15张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.4.1
怎样将一张三角形纸片剪成两部分，
使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
1.剪一个三角形，记为△ABC
2.分别取AB、AC的中点D、E，连接DE
3.沿DE将△ABC剪成两部分，并将△ADE绕点E旋转180°得四边形DBCF.
A
B
C
F
D
·
E
·
想一想
四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
做一做
A
B
C
D
E
F
四边形DBCF是平行四边形。
读一读
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
图中线段DE
是连接△ABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线。
E
D
C
B
A
思考：1.三角形有几条中位线？
2.三角形中位线与中线有什么区别？
A
B
C
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
问题1.三角形的中位线和中线区别：
理解三角形的中位线定义的两层含义:
②
∵
DE为△ABC的中位线
①
∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
∴
D、E分别为AB、AC的中点
一个三角形共有三条中位线。
讨论交流
D
E
F
三角形的一条中线，将三角形分成面积相等的两个三角形。
问题2.三角形中位线有什么性质？
三角形的中位线有什么性质？
探究
如图，EF是△ABC的一条中位线.
数量关系：量一量，EF，BC的长
各是多少？你有什么猜想？
G
三角形中位线平行第三边，且等于第三边的一半。
位置关系：你能从图中猜想
EF∥BC吗？
数量关系？位置关系？
我猜测EF∥BC，
EF=
BC.
2
1
这些猜想正确吗？
我们来证明：
如图，将△AEF绕点F旋转180°，
至△CGF的位置。
设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，
F，G在一条直线上.
由旋转不变性得：
CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.
则
AE∥CG.
(内错角相等，两直线平行)
即
BE∥CG.
又
BE=CG，
所以四边形BEGC是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
所以EG=BC，EG∥BC.
(平行四边形的对边平行且相等)
又因为EF=GF，
所以
EF
=
EG
=
BC，EF∥BC.
1
2
1
2
结论
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半
几何表示：
∵EF是△
ABC的中位线
∴EF=
BC，EF∥BC.
2
1
解：连结AC.
由于EF是△ABC的一条中位线，
由于MH是△
DAC的一条中位线，
于是EF∥MH，且EF=MH.
所以四边形EFHM是平行四边形.
举
例
例1
如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E，F，H，M，得到的四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？
顺次连结四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
因此MH∥AC，且MH=
AC
2
1
因此EF∥AC，且EF=
AC.
2
1
例2
.□ABCD的对角线相交于点O.点
E、F、
P分别为OB、OC、AD的中点，且AC=2AB.
求证：EP=EF.
证明：连接AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AC=2OA=2OC.
∵AC=2AB，∴OA=AB.
∵E为OB中点，∴AE⊥BD
∴∠AED=90°.
即： AED是直角三角形。
1
2
∴EF=
BC.
∴EP=EF．
A
B
C
D
O
E
F
P
∵P为AD中点
∴EP=
AD.
2
1
∵
BC=AD，∴
EP=
BC.
1
2
∵点E、F分别是OB、OC的中点，EF是 OBC的中位线。
60°
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠CDE=60°，则∠B=
，
（2）若BC=8cm，则DE=
cm，
4
图1
A
B
C
D
E
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别是各边中点AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，则△DEF的周长=
cm
图2
B
A
C
D
E
F
12
3、已知三角形的3条中位线分别是3，4，6
则这个三角形的周是
。
26
做完2、3题后，你有何体会
？
等腰
（为什么？）
D
C
B
A
P
N
M
图3
4.如图3，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是边DC的中
点，N
是边AB
的中点，则△MPN
是
三角形？
5.已知：
如图，DE，EF是 ABC的两条中位线.
求证:四边形BFED是平行四边形.
D
B
C
F
E
A
MP=NP=
AD
1
2
DE∥BF，
DE=
BC=BF.
1
2
6.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F.
（1）四边形AFDE是平行四边形吗？为什么？
可证：DE=AF，DF=AE.
∴四边形AFDE是平行四边形.
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
DE+AF+DE+AE=
AB+
AB+
AC+
AC
1
2
1
2
1
2
1
2
=AB+AC
7.如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD=AC，CE⊥AD垂足为E，点F是AB的中点。
求证：EF∥BC
E
A
B
C
D
F
如果已知AC=10，BC=14，求EF的长。
8.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，
求证：DE=FE
A
N
M
F
E
D
C
B
证得△ABN≌△ACM，
从而得MC=BN，再证得DE=FE。
提示：连接MC，BN
由条件得：点E是AD的中点。EF是
△ABD的中位线，结论得证。
EF=2
为了测量这个池塘的宽AB，在池塘一侧的平地上选一点C，再分别找出线段AC，BC的中点D、E，若测出DE的长，就能求出池塘AB的长，你知道为什么吗？
A
B
D
E
C
仅给一把有刻度的卷尺，能否测出一个池塘的宽AB？(注意﹕不能直接测量)
DE是△ABC的中位线。
AB=2DE
本节课学习了三角形的中位线的概念及其性质.
定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质：三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
2、若题中含有中点或隐含中点的条件时，常构造三角形中位线解决问题。
1、利用三角形的中位线是证明线段的平行和倍分问题的方法之一。
3、在解决四边形的有关问题时，常常连接对角线把四边形转化为三角形解决。
利用性质解决问题：
作业：p57
A
1、2、3(共17张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级下
本课内容
本节内容
2.5.1
平行四边形有哪些性质？
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
O
D
C
B
A
如图：
□ABCD中，对角线AC、
BD交于O点。
AD
BC，AB
DC
∥
∥
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
∠ABC+∠BCD=1800
...
...
OA=OC，OB=OD
四边形具有不稳定性。
观察
在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
细心观察平行四边形内角的变化
把平行四边形的角变成直角。
900
有一个角是直角
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也称为长方形.
矩形
平行四边形
注意：矩形定义在平行四边形的基础上。
探究
由矩形定义讨论：
矩形是平行四边形吗？它具有平行四边形的性质吗？
四边形、平行四边形、矩形的关系如图：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
四边形
平行四边形
矩形
矩形是特殊的平行四边形
对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形。
我们发现矩形对边平行且相等，因此，它是平行四边形.具有平行四边形的性质：
平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？
它还有特殊性质：
矩形的四个角都是直角.
你能证明吗？
综合起来：由于矩形是平行四边形，
因此，可得矩形的边、角性质：
矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分；矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什么关系？
O
D
C
A
B
已知：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.求证：AC=BD
证明一：
∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,
∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB
，∴AC=BD
证明二：
∵四边形ABCD是矩形，∴
∠ABC=∠DCB=90°，
AB=CD
∴
AC2=BC2+AB2
BD2=BC2+CD2
∴AC=BD
矩形的对角线相等.
由此得到矩形对角线的性质：
例1.如图，矩形ABCD的两条对角线AC
，BD相交于点O，AC
=
4
cm，
∠AOB
=
60°.
求BC的长.
举例
∴
△AOB是等边三角形.
∴
AB=OA=2cm.
又∠AOB
=
60°，
∵
∠ABC
=
90°，
∴
在Rt△ABC中，
解：∵
□ABCD是矩形，
从而
OA=OB=
AC=2cm
2
1
在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来，怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折叠方法有几种？
做一做
由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC
，
AD相交于点E，F.
O
由于
，
由于AD∥BC，因此EF⊥AD.
同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称图形，点E、F分别是AD、BC的中点，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
O
B
C
D
A
O
F
E
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
M
N
由此得到矩形的轴对称性：
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
例2.如图，四边形ABCD
为矩形，试利用矩形的性质，
说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
证明
∵
四边形ABCD是矩形，
又
AC=BD，(矩形的对角线相等.)
（矩形的对角线互相平分.）
从而OA=OC=
AC
，
OB=OD=
BD.
2
1
2
1
∴
OB=OA=OC=
AC
2
1
3.矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm则它的对角线长是
。
A
5cm
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（
）
A.对角线相等
B.四个角相等
C.是轴对称图形
D.对角线互相垂直
D
4.矩形ABCD的对角线的长为2，∠BDC=300,
则矩形ABCD的面积为______.
练习
√
3
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A、对角线相等
B、对边相等
C、对角相等
D、对角线互相平分
5.矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为3.6cm，则对角线的长为_____cm.
7.2
6.矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
16
7.在Rt△ABC中，斜边AC上的中线和高分别是6cm和5cm，则Rt△ABC的面积是
。
30cm2
8.已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的各边长是
.
1cm和
cm
√
3
9.已知:
如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O,
AB=
4cm
，∠AOB=60°。求矩形对角线的长。
B
O
D
C
A
变式：若BD=8cm，∠AOD=120°，求边AB的长。
AC=8cm
10.如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED=5cm，EC=3cm，求矩形的周长。
A
D
C
B
E
A
B
C
D
E
注:解决矩形的有关问题时,常根据性质转化为直角三角形的有关问题进行解答.
CD=4=AB
又AE平分∠BAD
∴BE=AB
BC=7
矩形的周长=2(4+7)=22
11.矩形ABCD中，AB=2BC，
AE=AB，求∠EBC的度数。
∵AE=AB，
AB=2BC，
AD=BC
∴AE=2AD，
△ADE是直角三角形
∴∠AED=30°=∠EAB
，
∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE
，
∴∠EBC=15°
1.如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
∠1=45
°,∠2=15
°
A
B
G
F
E
D
C
1
2
2.如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．求证：
（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．
提示：（1）由AAS得证结论。
（2）由（1）得AB=DE=DC，DF=DF
Rt△DEF≌Rt△CDF；∠FDE=∠FDC
边
角
对角线
对称性
平行四
边形
矩形
对边平行
且相等
对角相等
邻角互补
对角线互
相平分
中心对称图形
对边平行
且相等
四个角
为直角
对角线互相
平分且相等
中心对称图形
轴对称图形
在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质
进行解题。
知识归纳类比
思想方法交流
作业：p63
A
1
B
6《“四边形”小结与复习（一）》
一、选择题
1.一个正多边形的一个内角是120°，这个多边形的边数是（
）
A.
9
B.
8
C.
6
D.
4
2.一个多边形内角和是外角和的2倍，它的边数是（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
3.一个多边形对角线条数恰好是边数的3倍，它是（
）
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
4.小张想买一种大小一样，形状相同的瓷砖铺设客厅地面，要求无缝、不重叠铺设，那么他不能用的瓷砖形状是（
）
A.
正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
5.已知一个三角形的周长是1，它的三条中位线组成第二个三角形，第二个三角形的中位线组成第三个三角形,以此类推，第2000个三角形的周长是（
）
A.
；
B.
；
C.
；
D.
；
6.小明从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了( )
A．60米
B．90米
C．100米
D．120米
二、填空题
1、△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BC=10cm，则DE=______.
2、
△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED=_____.
3、如图：如果AE=AB，AD=AC，DE=2cm，那么BC=
cm。
第3题
第4题
第5题
4、如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，
那么OE=
cm。
5、在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、
BD、
AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是
。
三、解答题
1、已知△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，
BD，AC的中点，EG=EF，AD+EF=9cm，求 ABC的面积。
2、已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长
线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于
点F、G，连接AC交BD于O，连结OF.
求证:
AB=
2
OF
3、如图，在 ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，
点E是BC的中点，求证：(1).
DE∥AB
(2).
DE=(AB-AC)
4、如图，已知在Rt ABC中，∠BAC=90°，
D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，AD，EF交于O点．
（1）求证：AD=EF；
（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形
参考答案：
一、1、C；2、C；3、D；4、C；5、C；6、B；
二、1、5；2、60°；3、8；4、5；5、11；
三、1、提示：由中位线性质，求出BC、AD，继而求出面积。
2、提示:证明△ABF≌
△ECF,得BF=CF,再证OF是△AEC的中位线.
3、提示：延长CD交AB于F.证明 ADC≌ ADF，从而得出D是CF的中点，即DE是中位线。
4、提示：(1)由直角三角形斜边上的中线和中位线性质证得。
(2)由AD=EF，可得AD=BD，且∠AOE=∠ADB=600得证。
A
B
D
C
E
F
G
H
A
B
D
C
E
O
A
B
D
C
E
H
G
D
C
B
A
G
F
E
A
D
B
C
E
G
F
O
D
C
B
A
F
O
F
E
D
C
B
A《三角形中位线（一）》
一、选择题
1、如图△ABC中，D、E分别是AB、
AC的中点，则△ABC的中位线是（
）
A.
CD；
B.
DE；
C.
BD；
D.
CE；
2、三角形的三边长分别是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是（
）
A.
14cm；
B.
10cm；
C.
7cm；
D.
5cm；
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为（
）．
A.
6；
B.
6.5；
C.
7cm；
D.
7.5；
4、如图，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的
中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（
）
A．10
B．20
C．30
D．40
二、填空题
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线
（1）若∠CDE=60°，则∠B=
，
（2）若BC=8cm，则DE=
cm，
2、已知三角形的3条中位线分别是3，4，6
则这个三角形的周是
。
3、如图，A、B两处被池塘隔开，为了测量A、B两处的距离，
在AB外选一适当的点C，连接AC、BC，并分别取线段AC、
BC的中点E、F，测得EF=20m，则AB=__________m．
4.如图，在四边形ABCD中，AD=BC，P是
对角线BD的中点，M是边DC的中点，N
是
边AB
的中点，则△MPN是
三角形？
三、解答题
1.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F.
（1）四边形AFDE是平行四边形吗？为什么？
（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
2.如图，在△ABC中，点D在BC上，且CD=AC，CE⊥AD垂足为E，点F是AB的中点。
求证：EF∥BC
3.已知：如图，△ABC是锐角三角形。分别以AB，AC为边向外侧作等边△ABM和等边△CAN，D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE，
求证：DE=FE
参考答案：
一、1、B；2、C；3、B；4、B；
二、1、60°，4；2、26；3、40m
；4、等腰；
三、1、（1）可证：DE=AF，DF=AE.
∴四边形AFDE是平行四边形.
（2）DE+AF+DE+AE=AB+AB+AC+AC=AB+AC
2、由条件得：点E是AD的中点。EF是△ABD的中位线，结论得证。
3、提示：连接MC，BN，证得△ABN≌△ACM，
从而得MC=BN，再证得DE=FE。
A
B
C
D
E
D
C
B
A
P
N
M
E
A
B
C
D
F
A
N
M
F
E
D
C
B
第1题
第2题
第3题《三角形的中位线（二）》
一、选择题
1．若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（
）
A．4.5cm
B．18cm
C．9cm
D．36cm
2．如图所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分
别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，
那么下列结论成立的是（
）
A．线段EF的长逐渐增大
B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变
D．线段EF的长不能确定
3．已知△ABC的周长为1，连结△ABC的三边中点构成
第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，
依此类推，第2010个三角形的周长是（
）
A．；
B．；
C．；
D．；
4、如图，D、E分别是AB、AC的中点，
则S△ADE︰S△ABC=（
）
A．
1∶2
B．1∶3
C．1∶4
D．
2∶3
二、填空题
已知：
D、E、F分别为△ABC的边AB、AC、BC的中点。
1、已知DE=5，DF=4，EF=6，
则BC=
，AC=
，
AB=
，
△DEF的周长=
，△ABC的周长=
，
△ABC的周长是△DEF
周长的
,
2、图中有
个平行四边形。
3、连结AF，则AF是△ABC的
，
AF与DE
的关系是
。
4、若△ABC的面积是
20，则△DEF的面积是
，
△DEF的面积是△ABC的面积的
。
三、解答题
1.已知，如图，在△ABC中，AE=EC，AD⊥BC，EF⊥BC，BE=2EF，问AD与BE相等吗？为什么？
2.已知：如图，AD是△ABC的高，M、N和E分别为AB、AC、BC的中点。
求证：EM=DN
3.如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB，E为AB的中点。求证：DE=AC
参考答案：
一、1、B；2、C；3、D；4、C；
二、1、10，8，12，15，30，2倍；2、3；3、中线，互相平分；4、5，；
三、1、AD=BE=2EF
2、提示：ME是△ABC的中位线，ME=AC.
N是Rt△ADC斜边AC的中点，DN是中线，DN=AC.
3、取BC的中点F，连接EF、DF
EF是△ABC的中位线，EF=AC，
∠A=∠FEB
=2∠B，
∠FDE
=∠B，
∠FDE
=∠DFE，DE=EF
A
B
C
D
E
F
A
E
D
C
B
F
N
M
E
D
C
B
A
第1题
第2题
E
D
A
C
B
F
第3题《矩形的性质》
一、选择题
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（
）
A、对角线相等
B、对边相等
C、对角相等
D、对角线互相平分
2.下面性质中，矩形不一定具有的是（
）
A.对角线相等
B.四个角相等
C.是轴对称图形
D.对角线互相垂直
3、下列叙述错误的是（ ）
A.平行四边形的对角线互相平分。 B.平行四边形的四个内角相等。
C.矩形的对角线相等。
D.有一个角时90 的平行四边形是矩形
4、矩形ABCD的对角线相交于点O，如果的周长比的周长大10cm，则AD的长是（
）
A、5cm
B、7.5cm
C、10cm
D、12.5cm
二、填空题
1、矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm则它的对角线长是
。
2、矩形ABCD的对角线的长为2，∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______.
3、矩形两条对角线所夹的锐角为60°，较短的边长为3.6cm，则对角线的长为_____cm.
4、矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
5、在Rt△ABC中，斜边AC上的中线和高分别是6cm和5cm，则Rt△ABC的面积是
。
6、已知矩形的一条对角线的长度为2cm，两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的各边长是
.
三、解答题
1、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，ED=5cm，EC=3cm，求矩形的周长。
2矩形ABCD中，AB=2BC，AE=AB，求∠EBC的度数。
3如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同，把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别求∠1、∠2的度数。
4如图，已知矩形ABCD中，F是BC上一点，
且AF=BC，DE⊥AF，垂足是E，连接DF．
求证：（1）△ABF≌△DEA；
（2）DF是∠EDC的平分线．
参考答案：
一、1、A；2、D；3、B；4、C；
二、1、5cm；2、；3、7.2cm；4、16,；5、30cm2；6、1cm和cm；
三、1、CD=4=AB，又AE平分∠BAD
∴BE=AB，BC=7
矩形的周长=2(4+7)=22；
2、∵AE=AB，
AB=2BC，
AD=BC，∴AE=2AD，
△ADE是直角三角形，
∴∠AED=30°=∠EAB
，
∵AE=AB，∴∠AEB=75°=∠ABE
，
∴∠EBC=15°；
3、∠1=45
°,∠2=15
°；
4、提示：（1）由AAS得证结论。
（2）由（1）得AB=DE=DC，DF=DF，Rt△DEF≌Rt△CDF；∠FDE=∠FDC
A
D
C
B
E
A
B
C
D
E
A
B
G
F
E
D
C
1
2
第1题
第2题
第3题
第4题课题：2.6.1菱形性质
教学目标
1、理解并掌握菱形的定义及性质定理；会用这些定理进行有关的论证和计算；
2、根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想。培养学生的观察能力、动手能力、自学能力、计算能力、逻辑思维能力；
3、经历探索菱形的性质和基本概念的过程，在操作、观察、分析过程中发展学生思维意识，体会几何说理的基本方法。
4、培养学生主动探究的习惯和严密的思维意识、审判观、价值观。并在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
重点：菱形的性质定理
难点：定理的证明方法及运用
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
1、矩形是如何由平行四边形得到的？
把平行四边形的一个角变成直角，得到矩形。
2、矩形性质:
（1）矩形是平行四边形的特例，所以它具备平行四边形的一切性质。
（2）矩形的四个角都是直角。对角线相等且互相平分.（特殊性）
二、观察导入（出示ppt课件）
下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？
特点：它们的邻边相等.
我们又知道了一类特殊的平行四边形-------菱形
三、探究学习（出示ppt课件）
1、菱形的形成和定义：
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，
仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
菱形也是特殊的平行四边形。
2、菱形性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故菱形的性质：
（1）菱形的四条边都相等。对角相等。对角线互相平分。
（2）菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB
相交于点O.
对角线AC、DB
的位置关系怎样？你的理由是什么？
∵
四边形ABCD是菱形，∴
DA=DC.
∴
点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点，
∴
直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴
AC⊥DB，∠ADB=∠
CDB
即：BD平分∠ADC和∠
ABC
同理：AC平分∠DAB和∠
DCB
菱形的性质：（3）菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
由上述定理可以得出：菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
3、利用对角线
计算菱形的面积吗
∵△ABD≌△BCD
，
∴S菱形=2S ABD
∴S菱形=2S ABD=
菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1
、如图，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的
长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长.
例2.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠BAC=30°，BD=6。求菱形的边长和对角线AC的长.
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，
对角线长BD=10cm，求
（1）对角线AC的长
（2）菱形ABCD的面积
例4.已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，
AF⊥CD，垂足为E，F.
求证：AE=AF.
做完后，师生总结解题方法：
【思想方法】有关菱形的计算、证明，
要抓住菱形中等腰三角形、直角三角形和
全等三角形来解决问题。
五、随堂练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
用列表形式小结出菱形的性质
菱形
边
角
对角线
对称性
面积
性质
七、作业：p70
A
1、2
B
6、7
两组对边
分别平行
D
C
B
A
四边形
O
D
C
B
A
平行四边形
一个角是直角
矩形
B
O
D
A
C
平行四边形
邻边相等
菱形
A
B
C
D
AB=BC
□ABCD
四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
a
b
A
B
C
D
O
F
E
D
C
B
A(共16张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.6.1
回顾：矩形是如何由平行四边形得到的？
两组对边分别平行
一个角是直角
平行四边形
矩形
四边形
O
D
C
B
A
B
O
D
A
C
D
C
B
A
把平行四边形的一个角变成直角，得到矩形。
矩形性质:
1．矩形是平行四边形的特例，所以它具备平行四边形的一切性质。
2．矩形的四个角都是直角。对角线相等且互相平分.
（特殊性）
观察
下列图案(或物体)中包含的平行四边形有什么特点？
我们又知道了一类特殊的平行四边形
-------菱形
它们的邻边相等.
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
平行四边形
邻边相等
菱形
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
AB=BC
四边形ABCD是菱形
ABCD
D
C
B
A
平行四边形
菱形
一组邻边相等
菱形也是特殊的平行四边形。
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：
A
B
D
C
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
探究性质，尝试证明
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=DA
探究
菱形的性质：
菱形的四条边都相等。对角相等。对角线互相平分。
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB
相交于点O.
对角线AC、DB
的位置关系怎样？你的理由是什么？
∵
四边形ABCD是菱形，
∴
DA=DC.
∴
点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点，
∴
直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线，
∴
AC⊥DB.
∠ADB=∠
CDB
即：BD平分∠ADC和∠
ABC
同理：AC平分∠DAB和∠
DCB
菱形的两条对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角。
于是得到菱形的性质：
由上述定理可以得出：菱形是轴对称图形,它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴.
已知四边形ABCD是菱形，对角线交于点O.
相等的线段：
.
相等的角：
.
等腰三角形有：
。
直角三角形有：
。
全等三角形有：
。
A
B
C
D
O
a
b
能利用对角线
计算菱形的面积吗
A
B
C
D
O
a
b
动脑筋
∴S菱形=2S ABD
菱形的面积
等于两条对角线
长度乘积的一半.
S菱形=2S ABD=2×
a×
b=
ab
1
2
1
2
1
2
∵△ABD≌△BCD
例1
如图，菱形ABCD的两条对角线AC，
BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD的面积和周长.
举
例
解：菱形ABCD的面积为：
在Rt ABO中，OA=2cm，OB=1.5cm，
AD2=OA2+OD2=6.25
AD=2.5cm
因此，菱形ABCD的周长为：
4×2.5=10(cm).
例2.在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=30°，BD=6。求菱形的边长和对角线AC的长.
∴AB=BD=6
解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD
∠BAD=2∠BAC=60°
∴ ABD是等边三角形.
由勾股定理，得：AO=3
√
3
AC=2AO=6
√
3
A
B
C
D
O
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对角线长BD=10cm，求
（1）对角线AC的长
（2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
又BD=10，∴
OD=5，
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
∴
F
E
D
C
B
A
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
例4.已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E，F.
求证：AE=AF.
证明：连接AD，
∴∠BAD=∠CAD
又∵
∠B=∠C，
AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠BAE=∠CAF
∴∠EAD=∠FAD
AD=AD
∴ ADE≌ ADF
∴AE=AF
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是____.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝______.
3cm
5cm
60°
60°
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长
。
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是
。
A
B
E
C
F
D
16
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么菱形ABCD的周长是
。
√
3
8
cm2
√
3
4
cm
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积是
，对角线BD的长是
.
7.已知:在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE=DF.
求证:（1）△ABE≌△ADF;
（2）
∠AEF=∠AFE
F
E
D
C
B
A
（1）由SAS易证得。
（2）由（1）得：AE=AF，即△AEF是的腰三角形。
8.在菱形ABCD中，CE⊥AB于E，已知∠BCE=30°，CE=3cm.求菱形ABCD的周长和面积.
E
D
C
B
A
设BE=x，则BC=2x，由勾股定理得：BC=
√
3
2
cm
√
3
8
cm
周长=
面积=BC×CE=
√
3
6
cm2
9.如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠BAD＝1200。对角线AC、BD相交于点O，求这个菱形的对角线长和面积。
10.已知如图，菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=1。
求（1）∠ABC的度数；
（2）对角线AC、BD的长；
（3）菱形ABCD的面积。
A
B
C
D
E
O
A
B
C
D
O
AC=4cm
√
3
4
cm
BD=
√
3
8
cm2
S=
∠ABC=60°
BD=1
√
3
cm
AC=
cm2
S=
√
3
2
菱形
边
角
对角线
对称性
面积
性
质
对边
平行
四条边都相等
中心对称图形
轴对称图形
对角相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
每一条对角线平分一组对角
用列表形式小结出菱形的性质
你会用类比的学习方法学习特殊四边形知识吗？
作业：p70
A
1、2
B
6、72.6.2菱形的判定
教学目标：
1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；
2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．
教学重点：菱形的两个判定方法．
教学难点：判定方法的证明方法及运用．
教学过程：
一、忆一忆
（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1
菱形的四条边都相等；
性质2
菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）
二、探一探：要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？
通过演示，容易得到：
菱形判定方法1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．
通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：
菱形判定方法2
四边都相等的四边形是菱形．
例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AE∥FC．
∴
∠1=∠2．
又
∠AOE=∠COF，AO=CO，
∴
△AOE≌△COF．
∴
EO=FO．
∴
四边形AFCE是平行四边形．
又
EF⊥AC，
∴
AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．
三、练一练
1．填空：
（1）对角线互相平分的四边形是
；
（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；
（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；
（4）两组对边分别平行，且对角线
的四边形是菱形．
2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．
3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED是菱形。
四、反馈
1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是
（
）．
（A）两条对角线相等
（B）两条对角线互相垂直
（C）两条对角线相等且互相垂直
（D）两条对角线互相垂直平分
2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形．
3．做一做：
设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15
cm，宽为4
cm，由有一条对角线在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个。
五、教学反思：《中心对称和中心对称图形（一）》
1．判断正误:
（1）关于中心对称的两个图形是全等图形．(
)
（2）两个全等的图形一定关于中心对称．(
)
（3）线段AB的中点O是点A与点B的对称中心.
（
）
（4）等边三角形ABC的三条中线的交点是点A与点B的对称中心.
（
）
2.下列说法不正确的是（
）
A.关于中心对称的两个图形中，对应线段相等.
B.中心对称的两个图形对称点的连线段中点就是对称中心.
C.平行四边形一组对边关于对角线交点对称.
D.如果两点到某点的距离相等,则它们关于这点对称.
如图与是成中心对称，点是对称中心，
点的对称点为点___
，点的对称点为点___
，
点的对称点为点____
；B、A、D三点的
位置关系是_________,线段AB、AD长度的大小关系是___________．
4、如图，△ABC沿着PQ方向平移到△A′B′C′的位置，则AA′∥______∥_______；AA′=_______=_________；
第4题
第5题
5、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的位置，则旋转中心是点________，旋转了__________度，BD=__________；
6、关于某一点成中心对称的两个图形，对称点所连的线段被________平分，对应线段平行且_____；
7、如图，已知△ABC和点O，画出△DEF和△ABC关于点P成中心对称。
8、如图所示的两个图形成中心对称，你能找到对称中心吗？
9、画出三角形ABC绕点O逆时针旋转90°后的三角形。
第7题
第8题
第9题
参考答案：
1、（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；2、D；3、D、E、A，在一直线上；AB=AD；
4、BB′，CC′；AA′=BB′=CC′；5、A，60°，CE；6、对称中心，相等；
7、8、9（略）
A
B
C
D
E第2章
四边形
小结与复习
教学目标;
1．利用基本图形结构使本章内容系统化．
2．对比掌握各种特殊四边形的概念，性质和判定方法．
3．总结常用添加辅助线的方法．
4．总结本章常用的数学思想方法，提高逻辑思维能力．
教学难点：平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法．
教学过程：
全章知识线索
说明：
（1）图4-107（c）中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系；
（2）图4-107（d）中要求平行线等分线段定理的内容，会任意等分一条已知线段；
（3）图4-107（e）中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定；
全章基本方法
1.基本方法.
(1)利用基本图形结构使知识系统化；
(2)证明两条线段相等及和差关系的方法，也可类比总结证明两角相等，角的和差、倍、分问题，直线垂直、平行关系的方法；
(3)利用变换思想添加辅助线的方法；
(4)探求解题思路时的分析、综合法.
2.基本思想及观点：
(1)“特殊——一般——特殊”认识事物的方法；
(2)集合、方程、分类讨论及化归的思想；
(3)用类比、运动的思维方法推广命题.
探究一、
1.已知：如图4-117，Rt△ABC中，ㄥACB的平分线交对边于E，交斜边上的高AD于G，过G作FGCB交AB于F.求证：AE=BF.
2.如图4-118，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E，F和G分别为OB，CD，OA中点，
ㄥAOD=60°.求证：△EFG是等边三角形.
3.已知：如图4-119，梯形ABCD中，DCAB，ㄥA+AB=90°，M，N分别为CD，AB点.求证：MN=12(AB-CD).
名称
定义
性质
判定
面积
平行四边形
两组对边平行的四边形叫平行四边形。
①对边平行
②对边相等
③对角相等
④对角线互相平分
⑤邻角互补
⑥是中心对称图形
①定义；②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形；④两组对角分别相等的四边形；⑤对角线互相平分的四边形。
S＝ah（a是一边的长，h是这边上的高）
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
除具有平行四边形的性质外，还有①四个角都是直角
②对角线相等
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③定义。
S＝ab（a是一边的长，b是这边上的高）
菱形
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
除具有平行四边形的性质外，还有①四条边都相等②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形；
②对角线垂直的平行四边形是菱形；
③定义
①S＝ah（a是一边的长，h是这边上的高）
②S＝bc（b、c为两条对角线的长）
正方形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形形。
除具有平行四边形、矩形、菱形的性质外，还有①四个角都是直角，四条边都相等
②对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形；
②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义
①S＝（a是边长）
②S＝（b为对角线的长）《平行四边形的判定（一）》
一、选择题：
1.四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（
）
A.88°108°88°
B.
88°104°108°
C.
88°92°92°
D.
88°92°88°
2.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添上下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠A=∠C；⑤∠B=∠C；⑥∠A+∠D=∠B+∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的有(
)
A.①②③④
B.①③④⑤
C.①④⑤⑥
D.①③④⑥
二、填空题
1.如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成
的平面图形，则图中的平行四边形共有
个.
2.如图，四边形ABCD,
⑴若AB∥CD，＿＿＿,则得到□ABCD；
⑵若AB＝CD，＿＿＿,则得到□ABCD.
3、已知点E、H、F、G分别为平行四边形
ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
ED与AH、GC分别交于点A’，D’，BF与
AH，GC分别交于点B’，C’，
图中有
个平行四边形。
三、解答题
1.
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，
E，F
分别是边BC，AD的中点.
找出图中所有
的平行四边形，并且说出理由.
2.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上
两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
求证：（1）△AFD≌
△
CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形.
3.已知：
□ABCD中，E，F分别是边AD，
BC的中点.求证：BE=FD.
4.如图，
□ABCD中，∠ABC=60°，
E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，求EF的长。
5.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD和等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.
（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
参考答案：
一、1、D；2、D；
二、1、21；2、（1）AB=CD；（2）AB∥CD；
三、1、解：□ABCD：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
□ABEF
和□
FECD
：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2、（1）由DF∥BE.
得：∠DFE=∠BEF
，
∴∠AFD=∠BEC
又AF=CE，DF=BE，结论得证。
（2）可证得：AD=BC，AB=DC
3、提示：ED∥BF.
ED=BF.
∴四边形EBFD是平行四边形.
∴BE=FD
4、可证得四边形ABDE是平行四边形，AB=DE=CD，
△CEF是直角三角形。∴CE=2DF=4
∠ECF=∠ABC=60°∴CF=DF=2
∴EF=2
5、（1）可证△ACB≌△EFA(AAS)，
（2）由(1)得：AD＝EF，
∠DAF=60°＋30°=90°=∠EFA.∴AD∥EF
A
B
C
D
第5题
A
B
C
D
E
F
第4题
F
E
D
C
B
A
第3题课题：2.2.2平行四边形的性质（二）
教学目标
1、掌握平行四边形对角线互相平分的性质；能运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题；培养学生的推理论证和逻辑思维能力。
2、经历探索平行四边形的性质的过程，发展学生的探究意识和合情推理的能力。
3、培养严谨的推理能力，和合作交流的习惯，体会平行四边形的实际应用价值。
重点：平行四边形对角线的性质定理
难点：能综合运用、有关计算问题和简单的证明题。
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、平行四边形有关概念：
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。
平行四边形ABCD,
记为“□ABCD”,
读作“平行四边形ABCD”,
线段AC，BD称为对角线。
2、平行四边形性质：
（1）平行四边形的两组对边分别平行;
（2）平行四边形的对边相等，
（3）平行四边形的对角相等，（4）相邻两角互补。
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC，∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=
∠ADC。
二、情境问题（出示ppt课件）
一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，
到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，
由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，
他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
三、探究交流（出示ppt课件）
如图，四边形ABCD是平行四边形，它的两条
对角线AC与BD相交于点O.
比较OA
，OC
，
OB
，OD
的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？
（1）在AC与BD画好后，细心观察，鼓励学生应用多种方式探索平行四边形的性质，可用三角板量一量，也可采用其他的方法。
（2）把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O
钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
发现：OA=OC，OB=OD，点O
是每条对角线的中点，即：对角线互相平分。
（3）证明猜测的正确性：
如上图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，且AB∥CD.∴
∠1=∠2，∠3=∠4.
∴
△OAB≌△OCD.(ASA)
∴
OA=OC，OB=OD.
由此得到平行四边形的性质定理：平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：∵
四边形ABCD是平行四边形
∴
OA=OC
OB=OD
四、知识应用（出示ppt课件）
例1
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=6，BD=10，CD=4.8.
试求△COD的周长.
解：∵
AC，BD为平行四边形ABCD的对角线，
∴OC=AC=3，OD=BD=5
又∵
CD
=
4.8，
∴
△COD的周长为3
+
5
+
4.8
=
12.8.
例2、
如图，在□ABCD中，对角线AC
与BD相交于点O，过点O的直线MN分别交AD，BC于点M，N.求证：点O是线段MN的中点.
证明：∵
AC，BD为□ABCD的对角线，且相交于点O，
∴
OA
=
OC
∵
AD∥BC，∴
∠MAO
=∠NCO.
又∠AOM=∠CON，
∴
△AOM≌△CON.
∴
OM=
ON.
∴
点O是线段MN的中点.
例3、平行四边形一条对角线的两个端点到另一条
对角线的距离相等吗？为什么？
答：相等.
已知
如图，在□ABCD中，对角线AC与BD
相交于点O，BN⊥AC于点N，DM⊥AC
于点M，
求证：DM=BN
证明：
∵
AC，BD为□ABCD的对角线，∴
OB
=
OD
又
∵
DM⊥AC于点M，DN⊥AC于点N
.
∴∠DMO=∠BNO=90°，又
∠AOD=∠COB，
∴
Rt△DOM≌Rt△BON(AAS).
∴
DM
=
BN.
回到情境问题：作AE⊥BD，
S△AOD=
S△AOB=
S△BOC=
S△COD
老人分地是合理的。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）结合平行四边形的定义和三个性质进行叙述：
七、作业：p44练习，p49
A
4
B
7
A
D
B
C
老大
老二
老三
老四
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
1
2
3
4
M
N
老大
老二
老三
老四
A
B
C
D
E
O《多边形的内角和》
一、填空题
1、如图，多边形应记作
边形
，AB边的
邻边是
、
，顶点E处的内角为
，
过顶点A画出这个多边形的对角线，共有
条，
它们把多边形分成
个三角形.
2、四边形有
条对角线．
五边形有
条对角线.
3、正多边形的
相等，
相等
4、八边形的内角和等于
度.
5、一个多边形的内角和等于1260°
，
这个多边形是
边形.
6、正五边形的内角是:
;正六边形的内角是：
；正八边形的内角是：
7、一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是
边形.
二、解答题
1、如图，在△ABC中，∠A=50°，点D、E分别在AB、AC上，
求∠1+∠2的度数。
2、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内
角和为2008°的多边形图案多有意义，
小明的想法能实现吗？为什么？
参考答案：
一、1、五、ABCDE、AE、BC、∠AED、2、3；2、2、5；
3、边、角；4、1080；5、九；6、108°、120°、135°；7、正八边形；
二、1、∵∠A=50°，∴
∠B
+∠C=130°
，∴∠1+∠2=360°-130°=230°。
2、，解得：n≈13.16
n不是整数，所以小明的想法不能实现。
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
1
2(共13张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.4.2
1.三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半。
E
D
C
B
A
几何语言：
在△ABC中，D、E是边AB，AC的中点。
DE∥BC，DE=
BC
1
2
∴DE是△ABC的中位线。
性质的特点：同一条件下有2个结论
位置关系
数量关系
上节课我们是通过旋转证明三角形中位线性质，还有其它证明方法吗？
证法二：如图，延长EF到G，使FG=EF，连接CG
在△ABC中，E、F是边ABAC的中点。
求证：EF∥BC，EF=
BC
1
2
可证得：△AEF≌△CGF
∠EAF=∠GCF
CG∥AB
CG=AE=EB
∴四边形EBCG是平行四边形。
EF∥BC
且EF=
EG=
BC
1
2
1
2
证法四：如图，过F作AB的平行线交BC于D，
过A作BC的平行线交FE于G。
G
D
证法三：延长EF到点G，使FG=EF，
连结AG、CG、EC
证得：四边形BCFD是平行四边形,
四边形ADCF是平行四边形。
G
证得：四边形ABDG是平行四边形,
四边形EBDF是平行四边形。
四边形AEFG是平行四边形。
△AFG≌△CFD
1.
如图，设四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别为5cm，4.4cm，
E，F，H，M分别是边AB，BC，CD，DA的中点，则□EFHM
的周长
。
9.4
cm
2.已知△ABC的各边长度分别为3cm，3.4cm，4cm，求连结各边中
点所构成的△DEF的周长
。
5.2
cm
3.如图，两块相同的直角三角形完全重合在一起，
∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B
逆时针旋转到△EBD的位置，点D在AC上，
DE与AB相交于点F，则DF=
.
2.5
A
B
C
D
E
F
在Rt△ABC中，∠A=30°，AC=10，
∴BC=5
∠C=60°，BC=BD，
∠ABD=30°，
∴
△BCD是等边三角形，△BCD是等腰三角形。
∴BC=BD=CD=AD，D是AC的中点。
∠C=∠EDB=60°，
∴∠ADF=60°
DF是△ABC的中位线，
DF=
BC=2.5
1
2
例1
如图，□ABCD的周长为36．对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点．BO=6．求△DOE的周长。
【解题思路】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，两组对边分别相等，可以分别求出OD、OE+DE的长，即可求解.
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=6+9=15
A
B
C
D
E
O
解：∵□ABCD的周长为36，
∴BC+CD=18，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O是BD的中点，
∴OD=6,
又∵E是CD的中点，∴OE是△BCD的中位线，
∴OE+DE=9，
例2.求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知，如图，△ABC中，D、E、F分别
是边AB、BC、CA的中点，DF、AE交
于点O，求证：DF与AE互相平分。
E
F
D
C
B
A
O
分析：根据“平行四边形对角线互相平分”的性质，只要能证明四边形ADEF是平行四边形即可。
又∵
DE、AE分别□ADEF的对角线。
∴
DF与AE互相平分。
证明：连接DE、EF
∵D、EF分别是AB、BC、AC中点
∴
DE∥AF，FE∥AD
∴
四边形ADEF是平行四边形。
G
.
F
E
D
C
B
A
【解题思路
】由条件，努力构造三角形中位线。取FC的中点G，连接DG。这样F、G分别是AG、CF的中点。
例3.如图，AD是△ABC中线，E是AD的中点，BE交AC于F，AF=
AC，试说明EF=
BF
1
3
1
4
证明：取FC的中点G，连接DG
∵
AF=
AC，
1
3
∴F、G是AC的三等分点。
又∵E是AD的中点，∴
EF=
DG，
1
2
又∵D是BC的中点，∴
DG=
BF，
1
2
1
4
∴
EF=
DG=
×
BF=
BF
1
2
1
2
1
2
A
B
C
D
E
F
1.已知：
D、E、F分别为△ABC的边AB、AC、BC的中点。
(1)、已知DE=5，DF=4，EF=6，
则BC=
，AC=
，
AB=
，
△
DEF的周长=
，
△
ABC的周长=
，
△
ABC的周长是△DEF
周长的
,
10
8
12
15
30
2倍
(2)、图中有
个平行四边形。
3
(3)连结AF，则AF是△ABC的
，AF与DE
的关系是
。
（4）若△ABC的面积是
20，
则△DEF的面积是
，
△DEF的面积是△ABC的面积的
。
中线
互相平分
5
1
4
结论:（1）三角形三条中位线围成的三角形周长是原
三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
（2）三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
A
B
C
D
E
F
2.已知，如图，在△ABC中，AE=EC，AD⊥BC，EF⊥BC，BE=2EF，问AD与BE相等吗？为什么？
A
E
D
C
B
F
AD=BE=2EF
3.已知：如图，AD是△ABC的高，M、N和E分别为AB、AC、BC的中点。
求证：EM=DN
N
M
E
D
C
B
A
提示：ME是△ABC的中位线，ME=
AC.
1
2
N是Rt△ADC斜边AC的中点，DN是中线，DN=
AC.
1
2
E
D
A
C
B
.
4.如图，在△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB，E为AB的中点。求证：DE=
AC
1
2
·
F
取BC的中点F，连接EF、DF
EF是△ABC的中位线，EF=
AC，
1
2
∠A=∠FEB
=2∠B，
∠FDE
=∠B，
∠FDE
=∠DFE，DE=EF
作业：p57
B
4、5、6
1.三角形中位线的概念：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
2.三角形中位线的性质：
三角形的中位线平行与第三边，
并且等于它的一半。
E
D
C
B
A
3.应用三角形中位线的性质解决有关计算或
说理等问题时，根据条件，努力构造三角形中位线。课题：2.7正方形
教学目标
1．说出正方形的定义和性质；运用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算。
2．经历探究正方形性质的过程，进一步发展学生的合理论证能力；通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系；探索并掌握正方形的性质。
3．在探究正方形性质的过程中，发现正方形的结构美和应用美，激发学生学习数学的热情；进一步加深对“特殊与一般”的认识。
重点：正方形的定义和性质及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、由平行四边形、矩形、菱形的关系说出它的的定义。
2、几种特殊四边形的性质及判定方法：
边
角
对角线
对称性
性质
平行四边形
矩形
菱形
判定
平行四边形
矩形
菱形
二、探究交流（出示ppt课件）
1、正方形定义：
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形。
有一组邻边相等且有一个角是
直角的平行四边形是正方形。
2、四种特殊四边形的关系如图：
3、正方形的性质
我们知道，正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形，
因此，正方形具有平
行四边形、矩形、菱形的一切性质。
根据下列表格，填写正方形的性质：
正方形性质
边
角
对角线
对称性
图形语言
文字语言
符号语言
4、正方形的判定：
可以先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等.
也可以先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角是直角.
三、典例分析（出示ppt课件）
例1.如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作
DF⊥DE交BC的延长线于点F.
求证：DE
=
DF.
证明∵
四边形ABCD为正方形，
∴
AD
=
CD，
∠A
=∠DCF
=
90°.
∵
DF⊥DE，
∴
∠EDF
=
90°，
即∠1
+∠3
=
90°，
又
∵
∠2
+∠3
=
90°，
∴
∠1
=∠2.
∴
△AED≌△CFD
（ASA），∴
DE
=
DF.
例2、如图，
已知点A′，B′，
C′，
D′分别是正方形ABCD
四条边上的点，
并且AA′=
BB′
=
CC′=
DD′.
求证：四边形A′B′C′D′是正方形.
证明：∵
四边形ABCD为正方形，
∴
AB
=
BC
=
CD
=
DA.
∴
D′A
=
A′B
=
B′C
=
C′D.
又∵
AA′
=
BB′
=
CC′
=
DD′，
又∵
∠A
=∠B
=∠C
=∠D
=
90°，
∴△AA′D′≌△BB′A′≌△CC′B′≌△DD′C′
∴
A′D′=
B′A′=
C′B′=
D′C′.
∴
四边形A′B′C′D′是菱形.
又∵
∠1
=∠3，
∠1
+∠2
=
90°，∴
∠2
+∠3
=
90°.
∴
∠D′A′B′=
90°.
∴
四边形A′B′C′D′是正方形.
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、课外思考（出示ppt课件）
如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
七、作业：P74
1、2、3
四边形
两组对边平行
平行四边形
一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
一个角是直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
矩形
菱形
平行四边形
正方形(共18张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.
n边形外角和是多少？
1.
n边形内角和公式是什么？这个公式是如何推导出来的？
n边形的内角和等于（n-2）·180°
.
一个多边形一共有多少条对角线？
过n边形的一个顶点能引出____条对角线.
(n-3)
n(n-3)
2
任意多边形的外角和等于360°.
n
边形的外角和与边数无关。
3.
什么样的图形叫作成中心对称？什么样的图形叫作中
心对称图形？
它们二者有何区别与联系？
在平面内，如果一个图形绕点O
旋转180°，
与另一个图形重合，
那么称这两个图形关于点O
中心对称.
成中心对称的图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
如果一个图形绕一个点O
旋转180°，与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点O叫作它的对称中心.
4.
三角形中位线定理是什么？
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
E
D
C
B
A
∵EF是△
ABC的中位线
∴EF=
BC，EF∥BC.
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
2、若题中含有中点或隐含中点的条件时，常构造三角形中位线解决问题。
1、利用三角形的中位线是证明线段的平行和倍分问题的方法之一。
3、在解决四边形的有关问题时，常常连接对角线把四边形转化为三角形解决。
利用性质解决问题：
做一做
2.一个多边形的内角和为1260°，则它是
边形。
5.多边形的边数增加一条时，其内角和就增加
。
3、正六边形的每个内角是_______
120°
1、求八边形的内角和是
。
4.一个多边形每个内角的都是150°，它是______边形.
12
180°
9
1080°
6.在下列图形 线段 角 等腰三角形④等边三角形
⑤平行四边形⑥矩形⑦菱形⑧正方形⑨圆中，
轴对称图形是
。
中心对称图形是
。
既是轴对称图形又是中心对称图形是
。
7.下列表示天气符号的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（
）
晴
A
冰雹
B
雷阵雨
C
大雪
D
A
④⑥⑦⑧⑨
⑤⑥⑦⑧⑨
⑥⑦⑧⑨
例1.如图，求∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G
的度数。
A
B
C
D
E
F
G
连接CF，七个角的和就是
五边形ABCFG的内角和。
例2、在四边形ABCD中，∠D
=60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小。
设∠A=x°，则∠B=x°+20°，∠C=2x°，
再由四边形内角和可解。
小明想：2014
年国庆期间，设计一个内角和为2014°
的多边形图案，小明的想法能实现吗？为什么？
思考
例3.一个多边形所有内角加上一个外角是1350°，这个多边形的内角和是多少？
设多边形的边数为n
1350°-180°<(n-2).180°<1350°
n=9
(n-2).180°=2014°
180°n=2374°
n不是正整数，因此，小明的想法不能实现。
4.如图，△ABC的边BC，CA，AB的中点分别是D，E，F（1）四边形AFDE是平行四边形吗 为什么？（2）四边形AFDE的周长等于AB+AC吗？为什么？
A
B
C
E
F
D
（1）DE是△ABC的中位线，DE∥AF
DE=
AB=AF
2
1
四边形AFDE是平行四边形
（2）四边形AFDE的周长=2DE+2DF=2(
AB+
AC)=AB+AC
2
1
2
1
5.已知如图：在△ABC中，AB、BC、CA的中点分别是E、F、G，AD是高。
求
证：EF＝DG。
6.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E﹑F分别
是AC﹑BD的中点
（1）EF与AD﹑BC的关系如何？为什么？
（2）若AD=a，BC=b，求EF的长。
F
E
D
C
B
A
G
连接DF并延长交BC于G，
AFD≌ CFG。
DG是Rt
△ADC斜边上的中线。
EF是△ABC的中位线。
2.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是_________。
3.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是___。
4.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是____。
菱形
矩形
平行四边形
5.顺次连结正方形各边中点所得的四边形是________。
正方形
1.顺次连结任意四边形各边中点所得的四边形是_________。
平行四边形
思考
顺次连结四边形各边中点所得的四边形是菱形，原四边形要有什么要求？
考虑对角线。
对角线相等
如果所得的四边形是矩形，
正方形呢？
对角线垂直
对角线相等且垂直
说一说
1.一个正多边形的一个内角是120°，这个多边形的边数是（
）
A.
9
B.
8
C.
6
D.
4
2.一个多边形内角和是外角和的2倍，它的边数是（
）
A.
4
B.
5
C.
6
D.
7
4.小张想买一种大小一样，形状相同的瓷砖铺设客厅地面，要求无缝、不重叠铺设，那么他不能用的瓷砖形状是（
）
A.
正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
3.一个多边形对角线条数恰好是边数的3倍，它是（
）
A.六边形
B.七边形
C.八边形
D.九边形
C
C
D
C
5.有四种瓷砖，它们的形状是：正三角形、正方形、
正六边形、正八边形，边长都相等。要同时选
其中两种密铺地面，选择的方式有（
）
A.
2种
B.
3种
C.
4种
D.
5种
B
6.已知一个三角形的周长是1，它的三条中位线组
成第二个三角形，第二个三角形的中位线组成第三个三角形,以此类推，第2000个三角形的周长是（
）
A.
B.
C.
D.
1
21997
1
21998
1
21999
1
22000
C
7.小明从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了( )
A．60米
B．90米
C．100米
D．120米
B
8.△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，
BC=10cm，则DE=______.
5
9.
△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，∠A=50°,
∠B=70°,则∠AED=_____.
60°
10.如图：如果AE=
AB，AD=
AC，DE=2cm，那么BC=
cm。
1
4
1
4
8
A
B
D
C
E
H
G
5
11.如图，E是平行四边形ABCD的AB边上的中点，且AD=10cm，那么OE=
cm。
A
B
D
C
E
O
12.在△ABC中，E、F、G、H分别为AC、CD、
BD、
AB的中点，若AD=3，BC=8，则四边形EFGH的周长是
。
A
B
D
C
E
F
G
H
11
13.已知△ABC中，AD⊥BC于D，E，F，G分别是AB，BD，AC的中点，EG=
EF，AD+EF=9cm，求 ABC的面积。
3
2
D
C
B
A
G
F
E
提示：由中位线性质，
求出BC、AD，继而求出面积。
14.已知□ABCD中，AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的中点。
求
证：∠HEF=∠FGH。
提示:证明四边形EFGH
是平行四边形。
15.已知:E为平行四边形ABCD中DC边的延长
线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC、BD于
点F、G，连接AC交BD于O，连结OF.
求证:
AB=
2
OF
A
D
B
C
E
G
F
O
提示:证明△ABF≌
△ECF,
得BF=CF,再证OF是△AEC的中位线.
16.如图，在 ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，点E是BC的中点，求证：(1).
DE∥AB
(2).
DE=
(AB-AC)
1
2
D
C
B
A
F
提示：延长CD交AB于F.证明 ADC≌ ADF，从而得出D是CF的中点，即DE是中位线。
17.如图，已知在Rt ABC中，∠BAC=90°，D，E，F分别是BC，CA，AB的中点，AD，EF交于O点．
（1）求证：AD=EF；
（2）若∠DOF=2∠AOF，求证：△ABD是等边三角形
O
F
E
D
C
B
A
提示：(1)由直角三角形斜边上的中线和中位线性质证得。
(2)由AD=EF，可得AD=BD，且∠AOE=∠ADB=600得证。
如图，四边形ABCD中，AD∥BC，F是CD的中点，连结AF并延长交BC延长线于点E。
(1)哪两个三角形可以通过怎样的旋转而相互得到？
(2)四边形ABCD的面积与图中哪个三角形的面积相等？
(3)若AB=AD＋BC，∠B=70°，试求∠DAF的度数。
F
E
D
C
B
A
（1） ADF绕点F旋转1800得到 ECF
（2）S四边形ABCD=S ABE
(3).∵AD=CE，∴AB=AD+BC=CE+BC=BE
又∵∠B=70°，∴∠BAE=55°
又∵AD∥BC，∠B=70°，
∴∠BAD=110°
∴∠DAF=∠BAD-∠BAE=55°《
矩形判定》
一、判断题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
1、有一个角是直角的四边形是矩形；
（
）
2、四个角都相等的四边形是矩形；
（
）
3、对角线相等的四边形是矩形；
（
）
4、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（
）
5、对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （
）
6、一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（
）
二、选择题
1、能够判断一个四边形是矩形的条件是（
）
A
.对角线相等
B.
对角线垂直
C.对角线互相平分且相等
D.对角线垂直且相等
2、如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，
AB、CB、CD、AD分别是∠
EAC、
∠
MCA、
∠
ACN、
∠
CAF的角平分线，则四边形ABCD是（
）
A.
任意四边形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
不能确定
3、矩形是面积的60，一边长为5，则它的一条对角线长等于（
）
A.
13；
B.
12；
C.
10；
D.
8；
4、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是（
）
A.
64；
B.
60；
C.
48；
D.
40；
三、解答题
1、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，
求证：四边形ABCD是矩形.
2、如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∠AOB
=
60°，AB=
2，AC=
4，求□ABCD的面积.
3、如图
，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、OD上的点，且AE=BF=CG=DH。四边形EFGH是矩形吗？为什么？
4、如图，在□
ABCD中，以AC为斜边作Rt△ACE，又∠BED=90°,试说明四边形ABCD是矩形.
参考答案：
一、1、×；2、√；3、×；4、×；5、×；6、√；
二、1、C；2、C；3、A；4、C；
三、1、∵∠A+∠B+∠C+∠D=
360°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=
90°
∴四边形ABCD是矩形.
2、解：
∵
OA=AC
=2，AB=
2，∵△OAB是等腰三角形，又∠AOB
=
60°，
∴
△OAB是等边三角形.
∴
OA=OB=2，
∴
AC=BD=4.
∴
□ABCD是矩形.
作OE⊥BC于点E.
在Rt
△OBE中，BO=2，OE=AB=1，
3、∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH，∴FH=EG
∴四边形EFGH是矩形
4、连接OE，∵AC是□
ABCD的对角线，
∴在Rt△ACE中，OE=AC，又∠BED=90°,
OE=BD
∴AC=BD，∴□
ABCD是矩形。
E
H
G
F
E
D
C
B
A
O
第2题
第3题
第4题课题：2.4.1三角形的中位线（一）
教学目标
1、掌握三角形的中位线的性质，能够利用三角形的中位线的知识解决三角形相关问题；掌握三角形的中位线的性质和应用。
2、学好“三角形的中位线”这一知识，为解决图形比例关系，形成三角形相似问题奠定基础。
3、经历从认识发现三角形的中位线到推理的三角形的中位线的性质的过程，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心。通过观察、讨论、比较，研究三角形的中位线的图象和性质，培养学生的数形结合的思想。
重点：三角形中位线的性质和应用
难点：正确的理解题意，发现“中点+中点->中位线”的条件，把复杂图形转
化为基本图形，使学生的数形结合的思想。
教学过程：
一、情境导入（出示ppt课件）
提出问题：怎样将一张三角形纸片剪成两部分，
使分成的两部分能拼成一个平行四边形？
做一做：（1）剪一个三角形，记为△ABC
（2）分别取AB、AC的中点D、E，连接DE
（3）沿DE将△ABC剪成两部分，并将
△ADE绕点E旋转180°得四边形DBCF.
想一想：四边形DBCF是什么特殊的四边形？为什么？
四边形DBCF是平行四边形。
二、合作交流（出示ppt课件）
1、三角形中位线
操作：作△ABC，分别取AB、AC中点D、E、，
在图中，连结DE（稍等片刻，让学生完成操作）
提问：线DE段是什么点间的连线？(中点)
这条线段称为△ABC的中位线．你能否根据刚才的画图，写出三角形中位线的定义呢？（学生交流、讨论）图中线段DE
是连接△ABC两边的中点D、E所得的线段，称此线段DE为△ABC的中位线。
归纳：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
思考：（1）三角形有几条中位线？
（2）三角形中位线与中线有什么区别？
三角形的中位线和中线区别：（1）定义不同：
理解三角形的中位线定义的两层含义:
①
∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线
②
∵
DE为△ABC的中位线，
∴
D、E分别为AB、AC的中点
2、三角形中位线有什么性质？
如图，EF是△ABC的一条中位线，我们来探究EF与BC
的数量关系？位置关系？
数量关系：量一量，EF，BC的长各是多少？你有什么猜想？
位置关系：你能从图中猜想EF∥BC吗？
我猜测：EF∥BC，
EF=BC.
即：三角形中位线平行第三边，且等于第三边的一半。
这些猜想正确吗？
我们来证明：
如图，将△AEF绕点F旋转180°，至△CGF的位置。
设点E的像为点G，易知点A的像是点C，点F的像还是点F，且E，
F，G在一条直线上.
由旋转不变性得：CG=AE=BE，GF=EF，∠G=∠AEF.
则
AE∥CG.
(内错角相等，两直线平行)
即
BE∥CG.
又
BE=CG，
所以四边形BEGC是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
所以EG=BC，EG∥BC.(平行四边形的对边平行且相等)
又因为EF=GF，所以
EF
=EG
=BC，EF∥BC.
几何表示：∵EF是△
ABC的中位线，∴EF=BC，EF∥BC.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
如图，顺次连结四边形ABCD各边中点E，F，H，M，得到的四边形EFHM是平行四边形吗？为什么？
解：连结AC.由于EF是△ABC的一条中位线，
因此EF∥AC，且EF=AC.
由于MH是△
DAC的一条中位线，
因此MH∥AC，且MH=
AC
于是EF∥MH，且EF=MH.，所以四边形EFHM是平行四边形.
顺次连结四边形各边中点得到的四边形是平行四边形。
例2
.□ABCD的对角线相交于点O.点
E、F、
P分别为OB、OC、AD的中点，且AC=2AB.
求证：EP=EF.
证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AC=2OA=2OC.
∵AC=2AB，∴OA=AB.
∵E为OB中点，∴AE⊥BD
∴∠AED=90°.
即： AED是直角三角形。
∵P为AD中点
∴EP=AD.
∵
BC=AD，∴
EP=
BC.
∵点E、F分别是OB、OC的中点，EF是 OBC的中位线。
∴EF=BC.
∴EP=EF．
四、随堂练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：p57
A
1、2、3
A
B
C
D
E
F
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
O
E
F
P课题：2.5.1矩形性质
教学目标
1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；
2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题。
3、经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；掌握几何思维方法。并 渗透运动联系、从量变到质变的观点。
4、培养严谨的推理能力，以及自主合的精神，体会逻辑推理的思维价值。
重点：矩形的性质
难点：矩形的性质的灵活应用
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
平行四边形有哪些性质？
边：
。角：
。
对角线：
。对称性：
。
如图：
□ABCD中，对角线AC、BD交于O点。AD
BC，AB
DC
∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠BCD=1800
...
...
OA=OC，OB=OD
四边形具有不稳定性。
二、新知引入（出示ppt课件）
在小学，我们初步认识了长方形，观察图中的长方形，它是什么平行四边形吗？它有什么特点呢？
细心观察平行四边形内角
的变化
把平行四边形的角变成直角。
三、合作探究（出示ppt课件）
1、矩形定义：
有一个角是直角的
平行四边形叫做矩形，
也称为长方形.
注意：矩形定义在平行四边形的基础上。
2、矩形性质：
由矩形定义讨论：矩形是平行四边形吗？
它具有平行四边形的性质吗？
四边形、平行四边形、矩形的关系如图：
我们发现矩形对边平行且相等，因此，它是平行四边形.具有平行四边形的性质：
对边平行且相等；对角相等；对角线互相平分；是中心对称图形。
矩形是特殊的平行四边形，它还有特殊性质：
平行四边形变成矩形时，图形的内角有何特征？矩形的四个角都是直角.
综合起来：由于矩形是平行四边形，因此，可得矩形的边、角性质：
（1）矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分；矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
平行四边形变成矩形时，两条对角线的长度有什么关系？
已知：矩形ABCD中，对角线AC和BD相交
于点O.求证：AC=BD
证明一：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,
∠ABC=∠DCB，∴△ABC≌△DCB
，∴AC=BD
证明二：∵四边形ABCD是矩形，∴
∠ABC=∠DCB=90°，
AB=CD
∴
AC2=BC2+AB2
BD2=BC2+CD2
∴AC=BD
（2）由此得到矩形对角线的性质：矩形的对角线相等.
（3）如图，矩形的对称性：
矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，
在纸上画一个矩形ABCD(如图)，把它剪下来，
怎样折叠能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？
满足这个要求的折叠方法有几种？
由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？你的猜测正确吗？
①过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC
，AD相交于点E，F.
点E、F分别是AD、BC的中点，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
②类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，DC的中点，直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
矩形又是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、如图，矩形ABCD的两条对角线AC
，BD相交于点O，
AC
=
4
cm，
∠AOB
=
60°.
求BC的长.
解：∵
□ABCD是矩形，
从而
OA=OB=AC=2cm，又∠AOB
=
60°，
∴
△AOB是等边三角形.
∴
AB=OA=2cm.
∵
∠ABC
=
90°，∴
在Rt△ABC中，
例2、如图，四边形ABCD
为矩形，试利用矩形的性质，
说明：直角三角形ABC斜边AC上的中线BO等于斜边的一半.
证明
∵
四边形ABCD是矩形，
从而OA=OC=AC
，OB=OD=BD.
（矩形的对角线互相平分.）
又
AC=BD，(矩形的对角线相等.)
∴
OB=OA=OC=AC
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、思维拓展（出示ppt课件）
七、课堂小结（出示ppt课件）
思想方法交流：在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用直角三角形或等腰三角形的有关性质
进行解题。
八、作业：p63
A
1
B
6
O
D
C
B
A
∥
=
∥
=
900
有一个角是直角
矩形
平行四边形
四边形
平行四边形
矩形
O
D
C
A
B
B
C
D
A
O
F
E
M
N课题：2.2.3平行四边形的判定（一）
教学目标
1、经历探究平行四边形判定方法的过程，掌握平行四边形的判定方法；会判定一个四边形是不是平行四边形。
2、经历 “观察—猜想—验证—说理—建模” 探索过程和思维过程，丰富学生从事数学活动的经历，感受数学思考过程的条理性及解决问题策略的多样性。
3、在观察分析探究问题过程中发展主动探索、独立思考的习惯。
重点：探索平行四边形的两种判别方法
难点：平行四边形的判别方法的理解和应用
教学过程：
一、复习导入（出示ppt课件）
1．平行四边形定义是什么？如何表示？
2．平行四边形性质是什么？如何概括？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC，
∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=∠ADC，OA=OC，OB=OD
3、问题：具有什么条件的四边形是平行四边形？
二、合作交流（出示ppt课件）
1、定义法：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
如图∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形
跟踪训练：如图，在□ABCD中，AE与CF平行并分别
交BC、AD于点E、点F，
试说明四边形AECF是平行四边形
证明：在□ABCD中，∵AD∥BC，即：AF∥CE，
又∵AE∥CF，∴四边形ABCD是平行四边形
还有其他的方法判定四边形是平行四边形吗？
2、从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB
出发，画出一个平行四边形呢？
如图，
把线段AB
平移到某一位置，得到线段DC，
则可知AB∥DC
，且AB=DC.
由于点A，B的
对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移
的性质:
两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC.
由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.
把上述问题抽象出来就是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，已知AB∥DC
，
且AB=DC
，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.
可证明：△ABC≌△CDA(SAS)
∴∠3=∠4∴AD∥BC，又AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
由此得到平行四边形的判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
已知：如图，在□ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得，.
连结BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
证明：由于四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥
BC，AD=
BC，又∵，
∴
BE=FD.
又
BE∥FD，
所以四边形BEDF是平行四边形.(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)
如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔
能摆成一个平行四边形的形状吗？
问题抽象出来是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
已知，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形。
证明：连接AC.
∵
AB=CD，BC=DA，AC=CA
，
∴
△ABC≌△CDA.
∴
∠1=∠2.
则
AD∥BC.
∴
四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
由此得到平行四边形的判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
例2、如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
∵
△ABC≌△CDA
，∴
AB=DC
，AD=BC
.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
例3.如图，四边形ABCD中，CF⊥BC交BD于点F，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，
且AE=CF.
求证:(1)四边形ABCD是平行四边形．
(2)
AF=EC.
证明：(1)
∵
AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又CF⊥BC
，AE⊥AD
∴∠EAD=∠FCB=90°，AE=CF
∴△AED≌△CFB(AAS)
∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)∵△
AED≌△CFB，∴∠AED=∠CFB
∴
AE
∥
FC
，
∵
AE=FC,
∴四边形AECF是平行四边形．
∴
AF=EC.
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
思考：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？
2.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
六、作业：p46练习
p49
A
4、5
性质
边：对边平行且相等。“”
角：对角相等，邻角互补。
对角线：对角线互相平分。
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
D
C
A
B
1
2
B
A
C
D
E
F
O《多边形的外角和》
一、选择题
1、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（
）
A.
10
B.9
C.8
D.6
2、某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（
）
A.
5
B.6
C.7
D.8
3.如果多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形的边数是（
）。
A.
3
B.4
C.5
D.6
4.
一个多边形的每一个外角都等于45°，则它的内角和是（
）
A.1260°
B.
1200°
C.
1080°
D.
900°
二、填空题
1.多边形的边数增加一条时，其内角和就增加
。
2.一个多边形的内角和为1260°，则它是
边形。
3、一个多边形的每一个外角都是45°，这个多边形是____边形。
4、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是______。
5、一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原多边形的边数是____。
三、解答题
1、一个多边形的每个内角与外角的比都是7：2，求这个多边形的边数。
2、如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°的角,
因交点不在板上,
不便测量，质检员测得∠BAE=122°，
∠DCF=155°.
如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
3、如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，
再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，
他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米．
参考答案：
一、1、B；2、D；3、B；4、C；
二、1、180°；2、9；3、8；4、11；5、15；
三、1、一个多边形的每个内角与相邻的外角之和是180°.
∴每个外角是180°×=40°.
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9.
2、∵五边形内角和为540°，
∴∠G=
83°≠80°因此这个模板不合格。
3、小亮走过的路线构成一个正十二边形，一共走了120米．
30°
30°
30°
30°
30°(共21张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
1.
平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义？它们之间有何关系？
两组对边
分别平行
有一个角
是直角
有一组邻
边相等
四边形
平行四
边形
矩形
菱形
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
四种特殊四边形
的关系如图：
矩形
菱形
平行四边形
正方形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
四边都相等
对角相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分
一组对角
面积等于对角线乘积的一半
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形分别有哪些性质？从哪几个角度概括？(用√表示图形具有的性质）。
1.平行四边形的性质与判定是本章的重点，注意从边、
角、对角线等方面来分析平行四边形的特征.
矩形、菱形、正方形均为特殊的平行四边形，图形越特殊，它的性质就越多，注意体会一般与特殊的关系.
3.
注意体会本章中的互逆命题，如平行四边形、矩形、菱形的性质和判定定理等.
2.
对特殊的四边形，还要注意从对称性的角度把握
其特征，并领会它们的内在联系与区别.
3.
如何判定一个四边形为平行四边形、矩形、菱形、正方形呢？
主要从边、角、对角线考虑。自己总结
例1.
如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，求线段CN的长。
解得x=3
解：∵四边形MFEN是由四边形AMND翻折得到，
∴
DN=EN.
又∵E是BC的中点，∴
设CN=x，则DN=EN=8-x.
在Rt△ECN中，
由勾股定理得：EN2=CN2+CE2，
即(8-x)2=x2+42，
即：CN=3cm
例2.已知
平行四边形
ABCD中，直线MN
//
AC，分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P，BC于Q。
求证：PM=QN。
Q
P
N
M
D
C
B
A
提示：先证明四边形AMQC是
平行四边形。AM=CQ，
再证明 AMP≌ CNQ，结论得证。
例3.如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，DE⊥AG于E，BF∥DE，交AG于F.
求证：AF=BF+EF.
提示：只要证明△ABF≌△DAE，
结论得证。
例4.已知：如图，在矩形ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是各内角平分线，AF和BH交于E，CH和DF交于G。
求证：四边形EFGH是正方形
证明：∵AD∥BC，AF、BH是角平分线
∴AF⊥BH
同理
BH⊥CH
CH⊥DF
DF⊥AF
∴∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°
∴四边形EFGH是矩形
H
F
E
G
A
C
B
D
∵AF平分∠BAD
∴∠ADF=∠DAF=45°
同理∠BCH=∠CBH=45°
∵∠DAF=∠CBH
AD=BC
∠ADF=∠BCH
△AFD≌△BHC（ASA）
∴AF=BH
∵∠BAF=∠ABH
∴AE=BE
∴EH=EF
∴四边形EFGH是正方形
A
1.已知□ABCD中，AD=3cm，AB=2cm，则□ABCD的周长是（
）
A.
10cm
B.
6cm
C.5cm
D.4cm
A
一、选择题
2.如图，在□ABCD
中，AC与BD相交于点O，点E是边长BC的中点，AB=4，则OE的长是（
）
A.
2
B.
C.
1
D.
E
O
D
C
B
A
1
2
2
√
B
3.如图，在□ABCD中，∠C=108°，
BE平分∠ABC，则∠AEB=(
)
A.
18°
B.
36°
C.
72°
D.
108°
A
E
D
C
B
B
4.在□ABCD中，∠A比∠B大30°，则∠C的度数是（
）
A.
170°
B.
105°
C.
100°
D.
75°
C
5.已知四边形ABCD，有下列四个条件：①AB∥CD；
②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD.从这四个条中任选两个，能判断四边形ABCD是平行四边形的选法有(
)
A.
6种
B.
5种
C.
4种
D.
3种
6.在□ABCD中，AB=6
㎝，BC=8
㎝，∠B=30°，
则□ABCD的面积为（
）
A.
48
㎝2
B.
14
㎝2
C.
24
㎝2
D.
12
㎝2
C
7.
□ABCD的周长是24
㎝，对角线AC把它分成两个周长为17
㎝的三角形，则对角线AC的长为（
）
A.
4
㎝
B.
5
㎝
C.
7
㎝
D.
8
㎝
B
C
8.如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∠B=60°BE=2，DF=3.则□ABCD的周长为（
）
A.
20
B.
12
C.
20
D.
12
A
B
C
D
E
F
3
√
3
√
B
E
D
C
A
B
9.如图，在□ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于(
)
A.
1cm
B.
2cm
C.
3cm
D.
4cm
10.如图，
□ABCD的周长是20cm，AC、BD交于点O，OE⊥BD交AD于点E，则 ABE的周长是(
)
A.
4cm
B.
6cm
C.
8cm
D.
10cm
E
D
C
B
A
O
D
C
B
E
F
E
D
C
B
A
11.如图，□ABCD中，∠ABC=60°，E，F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，则EF的长为(
)
A.
2
B.
2
C.
4
D.4
3
√
3
√
12.如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BF⊥AD于E，且四边形ABCD的面积为8，则BE等于(
)
A.
2
B.
3
C.
2
D.
2
E
D
C
B
A
3
√
2
√
13.把一张长方形的纸条按图那样折叠，若得到∠AME＝70o
，则∠EMN＝（
）
A、45o
B、50o
C、55o
D、60o
C
14.如图，以定点A、B为其中两个顶点作为正方形，一共可以作（
）
A、4个
B、3个
C、2个
D、1个
A
B
B
B
15.如图，在□ABCD中，对角线AC、BD交于O，
EF是AC上的两不同点，当EF两点满足
下列哪个条件时，四边形DEBF不一定
是平行四边形（
）
A.
AE=CE
B.
DE=BF
C.
∠ADE=∠CBF
D.
∠AED=∠CFB
O
F
E
A
B
C
D
16.矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是(
)
A、对角相等
B、对边相等
C、对角线相等
D、对角线互相平分
C
1.已知菱形的两条对角线长分别是6cm、8cm，则菱形的周长
=____cm，面积
=_______cm2
。
2.已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB
=
600
，AB
=
4cm，则矩形的对角线AC
=_______cm，
面积=_______cm2
。
20
24
8
3.若平行四边形一边长为8cm，一条对角线长为6cm，
则另一条对角线长x的取值范围是_____________。
10
二、填空题：
√
3
16
4.已知矩形的周长是24，相邻两边之比是1：2，那么这个矩形的面积是_____
32
5.菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10，那么菱形的周长是____。面积是
。
40
√
3
50
6.要使矩形ABCD成为正方形需添加的一个条件是
。
D
C
B
A
AB=AD
或AC⊥BD
1080
720
7.已知平行四边形ABCD中，两邻角∠A：∠B
=
3：2，则∠A
=____,
∠B=______.
24
8.如图， ABC中，AB=BC=12cm，F是AB边上一点，过点F作EF∥BC交AC于E，过点E作ED∥AB交BC于点D，则四边形BDEF的周长是
cm。
F
E
D
C
B
A
9.如图，在□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
E、F分别是垂足，已知AB=4，BC=6，∠EAF=60°，则□ABCD的面积是
。
AF=
。
A
B
C
D
E
F
√
3
12
√
3
3
10.如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的点F处，如果∠BAF=60°，AB=6cm，BC=10cm，那么∠DAE=
，AE=
cm.
15°
A
B
C
D
F
E
√
10
10
3
三、解答题
1.如图，分别以Rt ABC的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACD和等边△ABE，已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF
(1).试说明：AC=EF.
(2).求证：四边形ADFE是平行四边形。
C
F
E
D
B
A
提示：用“HL”证明 ABC≌ EAF，
得证AC=EF.再由∠DAF=∠AFE=90°得AD∥EF，
且AD=EF得证结论。
2.已知：AD为△ABC的角平分线，DE∥AB
，在AB上截取BF=AE。
求证：EF=BD
1
2
3
A
F
E
D
C
B
提示：先证得AE=DE，由BF=AE，
得DE=BF，又DE∥BF
3.矩形ABCD的对角线相交于点O，DE//AC，CE//DB，CE、DE交于点E，
问：DC与EO有什么关系？请说明理由。
提示：可证得四边形DOCE为平行四边形∵OC=OD
∴四边形DOCE为菱形∴DC、EO互相垂直平分
O
D
C
B
A
E
4.矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将
矩形沿对角线AC折叠，点D落在E处，求重叠部分△AFC的面积
提示：先证明 AFC是等腰三角形，
即AF=CF，在Rt CFB中，设BF=x，
则AF=CF=8-x，则x2+42=(8-x)2
x=3
AFC的面积是10.
5.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过点A作AF//BC交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF，
（1）说明：BD=CD；
（2）若AB=AC，试判断AFBD的形状，并证明你的结论。
（3）在第（2）问的条件下再给△ABC添加一个条件，使四边形AFBD为正方形。
F
D
C
B
A
E
(1).由 AEF≌ DCF，
四边形ADBF是平行四边形得证。
(2).四边形AFBD是矩形。
(3).∠BAC=90°
D
C
B
A
P
Q
P
Q
6.如图,在矩形ABCD中，
AB=20cm，BC=4cm，动点P从A开始沿AB边以每秒4cm的速度向B运动；动点Q从点C开始沿CD边以每秒1cm的速度向D运动，如果P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。
(1)当t=1秒时，四边形APQD的面积是多少？
(2)当运动时间t是几秒时，四边形APQD为矩形。
（1）
当t=1秒时，AP=4，CQ=1
DQ=19，
四边形APQD是梯形，面积=46cm2.
（2）当四边形APQD为矩形，就有AP=DQ=DC-CQ
4t=20-t
∴t=4
7.如图①，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，
回答下列问题：
(1)图①中△OAF变化到△OBE的位置通过哪一种变换
(2)猜想AF与BE之间的关系并说明猜想的正确性．
(3)如图②，点E、F分别在OC、OB的延长线上且OE=OF，第（2）题中的结论还成立吗？说明理由．
O
F
E
D
C
B
A
①
O
F
E
D
C
B
A
②
（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度．
M
∴AF=BE，AF⊥BE．
（2）△AOF≌△BOE（SAS）
N
（3）△ABF≌△BCE，
∴AF=BE，AF⊥BE．
8.如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由(画图要保留痕迹，不写画法)
D
C
B
A课题：2.1.2多边形的外角和
教学目标
1、.了解多边形的外角定义，并能准确找出多边形的外角；掌握多边形的外角和公式，利用内角和与外角和公式解决实际问题。
2、.经历探索多边形的外角和公式的过程.进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；探索并了解多边形的外角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3、经历多边形外角和的探索过程，培养学生主动探索的习惯，通过对内角、外交之间的关系，体会知识之间的内在联系。
重点：多边形的外角和公式及其应用
难点：多边形的外角和公式的应用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1、多边形的有关概念；
2、多边形的内角和公式；n边形的内角和等于（n-2）·180°
.
3、关于特殊的多边形----正多边形：正n边形的每一个内角：
4、三角形的外角，外角和的知识。
三角形有6个外角。每个顶点上取一个外角的和叫三角形外角和。
三角形的外角和是360°
5、做一做：
（1）、八边形的内角和是
。
（2）、一个多边形的内角和为1260°，则它是
边形。
（3）、正六边形的每个内角是_______.
（4）、一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是______.
（5）、一个九边形的八个内角都是140°，那么，它的第九个内角为_______．
（6）、多边形的边数增加一条时，其内角和就增加
。
二、探究交流（出示ppt课件）
类比探究多边形的外角性质：
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形
的一个外角.
如图，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.
在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作
这个多边形的外角和.
我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形
的外角和为多少度呢？
如图，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∵
∠1
+∠DAB
=
180°，
∠2
+∠ABC
=
180°，
∠3
+∠BCD
=
180°，
∠4
+∠ADC
=
180°，
又
∠DAB
+∠ABC
+∠BCD
+∠ADC
=
360°，
∴
∠1
+∠2
+∠3
+∠4
=
4
×
180°
-
360°
=
360°.
∴
四边形的外角和为360°.
三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？
类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°.
因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·
180°，将这个总和减去n边形的内角和（n-2)×180°所得的差即为n边形的外角和.
如图，在多边形A1A2A3A4…An中，每个外角
与相邻的内角分别构成n个平角，则其外角和为：
n·
180°-（n-2
)×180°=［n-（n-2
)］·
180°=
2×180°
=
360°
.
由此得出：任意多边形的外角和等于360°.
n
边形的外角和与边数没有关系.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1
一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，它是几边形？
解
设多边形的边数为n，则它的内角和等于(n-2)·
180°.
由题意得：
(n-2)·
180°=5×360°，解得：
n=12.
因此这个多边形是十二边形.
例2、清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
五边形的一个内角。
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
五边形的内角和540°。
（3）在图中，你能求出1+2+3+4+5吗？
你是怎样得到的？
五边形的外角和360°。
四、四边形不稳定性（出示ppt课件）
我们知道，三角形具有稳定性，如栅栏
两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了稳定.
四边形有稳定性吗？观察、实验用
4
根木条钉成如图的木框，随意扭转
四边形的边，它的形状会发生变化吗？
我们发现，四边形的边长不变，
但它的形状改变了，
这说明：四边形具有不稳定性
如：电动门，升降机等。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
1、n边形的内角和等于(n-2)×1800；
2、多边形的外角和是360°；
3、会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题；
七、作业：p39
A
2、3、4
B
5、6、7
A
B
C
D
E
F
A3
A2
A1
A4
A5
A6
An
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5《平行四边形的判定（二）》
一、选择题
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）
A．两条对角线互相垂直
B．两条对角线互相垂直且相等
C．两条对角线相等且交角为60°
D．两条对角线互相平分
2．下列说法属于平行四边形判定方法的有（ ）
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②平行四边形的对角线互相平分
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④平行四边形的每组对边平行且相等⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
3．下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD=BC
B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC
D．AB=AD，CB=CD
4．已知平行四边形的一组邻边分别为a、b，且a边上的高为h，那么b边上的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，AC、BD是□ABCD的对角线，AC和BD
相交于点O，AC=4，BD=5，BC=3，则△BOC的周长是（ ）
A．7.5
B．12
C．8.5
D．9
二、填空题
1．在□ABCD中，已知AB+BC=20，且AD=8，则BC= ，CD= ．
2．用20cm长的铁丝围成一个平行四边形，使长边比短边长2cm，则它的长边长为 ，短边长为 ．
3．如图，□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，
那么图中的全等三角形共有 对．
4．□ABCD中，∠A的2倍与∠B的补角互为余角，那么∠A= ．
5．在□ABCD中，已知∠B+∠D=280°，则它的各角度数是 ．
三、解答题
1.如图，□ABCD的对角线相交于点O，
直线MN经过点O，分别与AB
，CD交于
点M，N
，连接AN，CM.
求证：四边形AMCN是平行四边形.
2.如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，
求证：DE∥BC且DE=BC
4.□ABCD中，AF=CH，DE=BG，
求证：
EG和HF互相平分．
参考答案：
一、1．D 2．C 3．C4．A 5．A
二、1．8，12；2．6cm，4cm；3．4；4．30°；5．∠A=∠C=40°，∠B=∠D=140°
三、1、证明：
∵
□ABCD，∴
OA=OC,
AB∥DC.
∴
∠BAC
=∠ACD.
又
∠AOM
=∠CON,
所以
△AOM≌△CON.
(ASA)
∴
AM=CN.
又
AM∥CN，
∴
四边形AMCN是平行四边形.
2、提示：延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF
可证：四边形ADCF和四边形DBCF都是平行四边形。
3、提示：证明：△AEF≌△CGH（SAS）
得：EF＝GH．同理可证：FG=HE
∴
四边形EFGH是平行四边形
∴
EG和HF互相平分
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
F(共15张PPT)
湘教版SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.1.2
----多边形的外角和
一、多边形的有关概念；
二、多边形的内角和公式；
n边形的内角和等于（n-2）·180°
.
三、关于特殊的多边形----正多边形
正n边形的每一个内角：
（n-2）·180°
n
四、三角形的外角，外角和的知识。
F
E
D
C
B
A
三角形有6个外角。
每个顶点上取一个外角的和叫三角形外角和。
三角形的外角和是360°
怎么思考计算的？
做一做
2.一个多边形的内角和为1260°，则它
是
边形。
3、正六边形的每个内角是_______.
120°
1、八边形的内角和是
。
4.一个多边形每个内角的度数是150°，则这个多边形的边数是______.
12
180°
9
1080°
5.一个九边形的八个内角都是140°，那么，它的第九个内角为_______．
140°
6.多边形的边数增加一条时，其内角和就增加
。
如图，∠EDF是五边形ABCDE的一个外角.在多边形的每个顶点处取一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
多边形的内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫作这个多边形的一个外角.
探究
类比探究多边形的外角性质：
我们已经知道三角形的外角和为360°，那么四边形的外角和为多少度呢？
如图，在四边形ABCD的每一个顶点处取一个外角，如∠1，∠2，∠3，∠4.
∵
∠1
+∠DAB
=
180°，
∠2
+∠ABC
=
180°，
∠3
+∠BCD
=
180°，
∠4
+∠ADC
=
180°，
又
∠DAB
+∠ABC
+∠BCD
+∠ADC
=
360°，
∴
∠1
+∠2
+∠3
+∠4
=
4
×
180°
-
360°
=
360°.
∴
四边形的外角和为360°.
三角形的外角和是360°，四边形的外角和是360°，n边形（n为不小于3的任意整数）的外角和都是360°吗？n边形的外角和与边数有关系吗？
探究
类似于求四边形外角和的思路，在n边形的每一个顶点处取一个外角，其中每一个外角与它相邻的内角之和为180°.
因此，这n个外角与跟它相邻的内角之和加起来是n·
180°，将这个总和减去n边形的内角和
（n-2)×180°所得的差即为n边形的外角和.
n·
180°-（n-2
)×180°
=［n-（n-2
)］·
180°
=
2×180°
=
360°
.
n
边形的外角
和与边数没有关系.
结论
由此得出：
任意多边形的外角和等于360°.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
An
如图，在多边形A1A2A3A4…An中，每个外角与相邻的内角分别构成n个平角，则其外角和为：
例1
一个多边形的内角和等于它外角和
的5倍，它是几边形？
解
设多边形的边数为n，
则它的内角和等于(n-2)·
180°.
由题意得：
(n-2)·
180°=5×360°，
解得：
n=12.
因此这个多边形是十二边形.
举
例
例2、清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
（1）小明每从一条街道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个角？
（2）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？
（3）在图中，你能求出 1+ 2+ 3+
4+ 5吗？你是怎样得到的？
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
五边形的一个内角。
五边形的内角和540°。
五边形的外角和360°。
观察
四边形有稳定性吗？用4
根木条钉成如图的木框，随意扭转四边形的边，它的形状会发生变化吗？
三角形具有稳定性。
如图中的栅栏两横梁之间加钉斜木条，构成三角形，这是为了稳定.
我们发现，四边形的边长不变，但它的形状改变了，
这说明：四边形具有不稳定性
1.
一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？
八边形，每个内角是135°.
练习
2.
如图，求图中x的值.
3.如果多边形的内角和等于外角和，那么这个多边形是几边形。
四边形
x=60°
120°
150°
2x°
x°
x°
140°
x°
x=65°
x=60°
1、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是
（
）
A.
10
B.9
C.8
D.6
B
2、某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是
（
）
A.
5
B.6
C.7
D.8
D
3、一个多边形的每一个外角都是45°，这个多边形是____边形。
4、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是______。
8
11
5、一个多边形截去一个角后，变成16边形，
那么原多边形的边数是____。
6、一个多边形的每个内角与外角的比都是7：2，
求这个多边形的边数。
15
正九边形
∵一个多边形的每个内角与相邻的外角之和是180°.
又内角与外角的比都是7：2，
∴每个外角是180°×
=40°.
9
2
∴这个多边形的边数是360°÷40°=9.
1、如图所示的模板,按规定AB,CD的延长线相交成80°的角,
因交点不在板上,
不便测量，质检员测得∠BAE=122°，∠DCF=155°.
如果你是质检员,如何知道模板是否合格 为什么
分析：∵五边形内角和为540°，
∴∠G=
83°≠80°因此这个模板不合格。
学以致用
2、如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了多少米．
30°
30°
30°
120米
小亮走过的路线构成一个正十二边形
1、n边形的内角和等于(n-2)×1800；
2、多边形的外角和是360°；
3、会运用多边形的内角和与外角和解决有关问题；
这节课结束时，谈谈你的收获
思考两个问题：
1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
作业：p39
A
2、3、4
B
5、6、7课题：2.2.4平行四边形的判定（二）
教学目标
1、使学生掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算；理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理，会用这些定理进行有关的论证和计算。
2、经历观察、归纳等教学活动过程，培养学生的合作精神和有条理的思考和探究的能力。
3、通过生动有趣的数学活动，让学生主动探索、敢于表达、乐于合作交流，进一步体验数学在生活中的应用，体验因学习而带来的快乐。
重点：理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形，两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理
难点：判定定理的证明方法及运用
教学过程：
一、知识复习（出示ppt课件）
我们学习了哪些平行四边形的判定方法？
平行四边形的定义
一组对边平行且相等
的四边形是平行四边形
两组对边分别相等
已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添上哪些条件，能使四边形ABCD为平行四边形？
AB∥CD；AD=BC；∠A=∠C；∠A+∠D=∠B+∠C.
若把已知条件换成“AD=BC”呢？
二、探究新知（出示ppt课件）
观察下图
，将两根细木条的中点重叠，用小钉钉在一起，
从“平行四边形的对角线互相平分”这一性质受到启发，
你能画出一个平行四边形吗？
抽象成几何作图：
过点O画两条线段AC，BD，使得OA=OC，
OB=OD.连结AB，BC，CD，DA，
则四边形ABCD是平行四边形，如图
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是平行四边形的道理吗？
由于OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD
因此△OAB≌△OCD.
(SAS)
从而
AB
=
CD
，∠ABO=∠CDO
.
于是
AB∥DC.
同理:BC∥AD
所以四边形ABCD是平行四边形.
由此得到平行四边形的判定定理3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1.已知：如图，在□ABCD的对角线AC和BD相交于点O，点E，F在BD上且OE=OF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：由于四边形ABCD是平行四边形，
因此
OA=OC.
又
OE=OF，
所以四边形AECF是平行四边形.
例2.已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C
，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵
∠A
=∠C，
∠B
=∠D，∠A
+∠B
+∠C
+∠D
=
360°，
∴
∴
BC∥AD
.
同理，AB∥DC.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
从例2
可以看出，
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
例3.如图，在□ABCD中，点E、F是对角线
AC上两点，且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
解法一
；证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD，AB=CD,
∴∠BAE=∠DCF,
∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=∠DFE,
∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形。
解法二：证明：连结BD，交AC于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）
∵AE＝FC，∴OE＝OF，
∴四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
思考：本例把结论改成“求证：∠EBF=∠FDE.
”怎么证明？
议一议：1.两组邻边分别相等的四边形一定是平行四边形吗？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
2.一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？
如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.
四、巩固练习（出示ppt课件）
五、归纳小结（出示ppt课件）
1、通过这节课的学习，需要我们熟练掌握
平行四边形的性质和判定并能灵活运用其解决相关的计算与证明。
2、课外请同学们：分别用文字语言、图形语言、符号语言总结归纳平行四边形的判定方法。（列表）（见ppt课件）
六、作业：p50
A
6
B
8、9、10
A
B
C
D
D
C
B
A
O
O
两组对边分别平行。
两组对边分别相等。
两组对角分别相等。
一组对边分别平行且相等。
对角线互相平分。
平行四边形
性质
判定第2章 四边形
填空题(30分)
1.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
2、如图在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＤＢ＝ＤＣ，∠Ｃ＝７０°，ＡＥ⊥ＢＤ于Ｅ，则∠ＤＡＥ＝ 度。
第2题
第4题
3、在四边形ABCD中，若已知AB∥CD，则再增加条件
即可使四边形ABCD成为平行四边形。若再补充条件__________,则四边形ABCD为菱形
4、如图，ＢＤ是平行四边形ＡＢＣＤ的对角线，度Ｅ、Ｆ在ＢＤ上，要使四边形ＡＥＣＦ是平行四边形，还需要增加的一个条件是 （填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有可能情形）。
5.已知O是ABCD的对角线的交点，AC=38
mm,BD=
24
mm,AD=14
mm,那么△OBC的周长等于_________
6．ABCD中，∠B=30°，AB=4
cm，BC=8
cm，则四边形ABCD的面积是_________.
7．.若正方形的面积为2cm2，则正方形对角线长为__________cm。
8．若菱形的周长为16
cm，一个内角为60°，则菱形的面积为______cm2。
9、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=120°，AC=12cm，则AB的长____
10.如图，在直角梯形中，底AD=6
cm，BC=11
cm
，腰CD=12
cm，则这个直角梯形的周长为______cm。
二、选择题(30分)
11．能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（
）．
（A）AB∥CD，AD=BC;
（B）∠A=∠B，∠C=∠D;
（C）AB=CD，AD=BC;
（D）AB=AD，CB=CD
12．在□ABCD中，∠A、∠B的度数之比为5∶4，则∠C等于（
）
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
13、下列命题中是真命题的是（ ）
（Ａ）对角线互相平分的四边形是菱形 （Ｂ）对角线互相平分且相等的四边形是菱形
（Ｃ）对角线互相垂直的四边形是菱形 （Ｃ）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
14．下面性质中菱形有而矩形没有的是（
）
（A）邻角互补（B）内角和为360°（C）对角线相等
（D）对角线互相垂直
15．下列命题中，正确的命题的是（
）
A、有两边相等的平行四边形是菱形
B、有一个角是直角的四边形是直角梯形
C、四个角相等的菱形是正方形
D、两条对角线相等的四边形是矩形
16、下列命题中，不成立的是（
）．
A
等腰梯形的两条对角线相等
B
顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
C
菱形的对角线平分一组对角
D
两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
17、四边形ABCD中，从：①AB∥CD；②AB=CD；③BC∥AD；④BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有（
）
A、3种
B、4种
C、5种
D、6种
18、平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长度可以是（
）
A、8和12
B、8和10
C、20和30
D、8和6
19、等腰梯形的腰长为13cm，两底差为10cm，则等腰梯形高为
（
）
A、12cm
B、cm
C、69cm
D、144cm
20．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（
）
A．AB=BC=CD=DA。
B。AC⊥BD，AC=BD
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D。∠A=∠B=∠C=∠D
三、解答题
21.(6分)、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（１）先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图（１），使ＡＢ＝ＣＤ，ＥＦ＝ＧＨ；
（２）摆成如图（２）的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是
（３）将直角尺靠紧窗框的一个角，如图（３），调整窗框的边框，点直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图（４），说明窗框合格，这时窗框是 ，根据的数学道理是 。
（1）
（2）
（3）
（4）
22．.
（6分）、如图，在ABCD中，O是对角线AC和BD的交点，OE⊥AD于E，OF⊥BC于求证：OE=OF.
23．等腰梯形
ABCD,
它的上,下底分别是5cm,11cm
,高为4cm
,计算它的周长和面积
24．(7分)如图，菱形的对角线BD，AC的长分别是6和8，求菱形的周长和面积
25．(8分已知 如图，Ｄ是⊿ＡＢＣ的边ＢＣ的中点，ＤＥ⊥ＡＣ、ＤＦ⊥ＡＢ，垂足分别是Ｅ、Ｆ，且ＢＦ＝ＣＥ，
求证：（１） ⊿ＡＢＣ是等腰三角形 （２） 当∠Ａ＝９０°时，试判断四边形ＡＦＤＥ是怎样的四边形，证明你的判断结论。
26、(6分)如图，已知
ABCD，试用多种方法，将平行四边形ABCD分成面积相等的4个部分，（至少用三种不同方法，并画出图形）
(1)
(2)
(3)
9．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，将梯形对折，使点D、C分别
落在AB上的点、，折痕为EF，若CD=3cm，EF=4cm，则
+为（
）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
10.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为
（
）
A、36o
B、9o
C、27o
D、18o
填空题（每题3分，共计21分）
11．平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____
cm。
12．平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝
cm。
13．若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为
cm2。
14．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____
cm，面积为______
cm2．
15．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB=_______cm．
16．等腰梯形两底之差为12cm，高为6cm，则其锐角底角为
度．20．(本题12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是48cm．求：
（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
21．(本题13分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
E
_
s
_
4
A
B
C
D
E
O
A
D
B
C
B
A
D
C
D
F
H
G
C
E
B
A
A
B
F
C
D
E
O
A
B
C
D
O
B
D
C
E
F
A
D
D
C
C
D
C
B
B
B
A
A
A
A
A．
B．
C．
D．课题：2.1.1多边形的内角和
教学目标
1、理解多边形及正多边形的定义；掌握多边形的内角和公式。
2、经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3、经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系。
重点：
多边形的内角和
难点：探索多边形的内角和公式过程
教学过程：
一、情景导入（出示ppt课件）
1、引导学生回忆已经学过哪些图形？感受多边形的存在。
二、动脑筋：（出示ppt课件）
1、我们已经知道什么叫三角形。
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫三角形。
2、你能根据三角形的定义，说出什么叫四边形吗？
由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的
平面图形，叫四边形。记为：四边形ABCD.
三、探究学习（出示ppt课件）
1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.
在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.
多边形有凸多边形和凹多边形之分，
我们探讨的一般都是凸多边形.
2、多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和
的含义与三角形相同。多边形通常以边数命名，
多边形有n条边就叫做n边形.三角形、
四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示。
3、关于多边形的对角线
从一个顶点出发，三角形能引出__条对角线;
四边形能引出__条对角线;
五边形能引出__条对角线;
六边形能引出__条对角线;
七边形能引出__条对角线;
n边形能引出
条对角线，一个多边形一共有多少条对角线？
4、关于特殊的多边形----正多边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.
如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等
.
5、多边形内角和
（1）先讨论特殊多边形的内角和。
（2）n边形的内角和：从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n－3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形。得出结论：n边形的内角和等于(n-2)
·180°.
还有其他方法探究n边形的内角和公式吗？
6、正多边形内角：
四、知识应用（出示ppt课件）
例1、
(1)十边形的内角和是多少度？
(2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？
例2、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D
=
1∶2∶3∶4，
求各个角的大小。
例3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个
三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
例4、已知一个多边形，它的内角和
等于五边形的内角和的2倍，
求这个多边形的边数．
解：设边数为n，则可列方程为：
(n-2)×180°=(5-2)×180°×2，解得
n=8
例5、已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，
可得方程：(n-2)×180°=150×n，得：n=12
例6、一个多边形去掉一个内角后，其余各内角之和为2210°，
求这个多边形的边数．
解：设边数为n,根据题意得:
2210°＜(n-2)
×180°＜2210°+180°，
n为整数，∴
n=15
例7、如图，求∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G
的度数。
分析：连接CF，设CD，EF的交点为O，
∠D+∠E=
∠DOF=
∠OCF
+
∠OFC
∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G
就是五边形ABCFG的内角和。
五、巩固练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
七、作业：p36
练习、p38
A
1
B
A
C
D
A
B
C
D
E
F
G
O(共16张PPT)
湘教版
SHUXUE
八年级下
本课内容
本节内容
2.1.1
----多边形的内角和
看一看
在下列图案中你能发现哪些几何图形呢？
动脑筋
四边形
A
D
B
C
记为：四边形ABCD.
我们已经知道什么叫三角形。
你能根据三角形的定义，
说出什么叫四边形吗？
由四条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫四边形。
由三条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，叫三角形。
A
E
D
C
B
什么是多边形？
在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫作多边形。
如：上图叫五边形、六边形、……n边形。
右图所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范围内。
凹多边形
凸多边形
看一看，下列图形有什么不同？
观察
所有边在某一条边所在直线的同旁。
所有边在某一条边所在直线的两侧。
顶点
内角
边
对角线
关于多边形的几个概念
边：组成多边形的各条线段。
顶点：相邻两条边的公共端点
内角（角）：相邻两边组成的角
对角线：连接不相邻的两个顶点的线段
关于多边形的边、角
n边形有
条边，
角，
外角。
n
n
2n
外角：一边和相邻一边的延长线所组成的角
外角
探究
关于多边形的对角线
从一个顶点出发，三角形能引出__条对角线;
五边形能引出__条对角线;
六边形能引出__条对角线;
n边形能引出
条对角线.
1
2
3
(n-3)
七边形能引出__条对角线;
4
四边形能引出__条对角线;
0
想一想
一个多边形一共有多少条对角线？
n(n-3)
2
关于特殊的多边形----正多边形
如果多边形各边都相等，各个角也都相等，那么这样的多边形就叫做正多边形.
如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等
.
多边形内角和
探究
多边形边数
3
4
5
６
n
从一个顶点引对角线的条数
分成的三角形个数
多边形的内角和
n-2
3
2
1
0
1
n-3
1800
3600
5400
7200
(n-2)·1800
你能得到什么结论？
n边形的内角和等于(n-2)
·180°.
2
3
4
还有其他方法探究n边形的内角和公式吗？
说一说
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
An
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
An
o
360°
o
如图，在n边形内任取一点O，与多边形各顶点连接，把n边形分成n个三角形，用n个三角形的内角和n·180°减去中心的周角360°，得n边形的内角和为（n-2）·180°.
这些不同方法的共性是什么？
作辅助线构造三角形，将多边形的内角和转化为三角形的内角和，这体现了化未知为已知的转化思想。
体现了多边形与三角形的关系。
例1、
(1)十边形的内角和是多少度？
解：
(1)十边形的内角和是
(10-2)
×180°=1440°.
(2)一个多边形的内角和等于1980°，它是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，则
例2、四边形ABCD的内角∠A∶∠B∶∠C∶∠D
=
1∶2∶3∶4，求各个角的大小。
举
例
(n-2)
×180°=1980°,
解得
n=13.
所以这是一个十三边形.
解：∵
∠A+∠B+∠C+∠D
=
360°
∠A=
×360°=
36°
10
1
∠B=72°
∠C=108°
∠D=144°
例3、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
解：设多边形的边数为n，
则：n-2=5
∴n=7
它的内角和是：5×180°=900°
例4、已知一个多边形，它的内角和
等于五边形
的内角和的2倍，求这个多边形的边数．
解：设边数为n，则可列方程为：
解得
n=8
(n-2)×180°=(5-2)×180°×2
例5、已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，
可得方程：(n-2)×180°=150×n
得：n=12
例6、一个多边形去掉一个内角后，其余各内角之和为2210°，求这个多边形的边数．
2210°＜(n-2)
×180°＜2210°+180°
例7、如图，求∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G
的度数。
A
B
C
D
E
F
G
解：设边数为n,根据题意得:
n为整数，∴
n=15
14
18
5
18
5
分析：连接CF，设CD，EF的交点为O，
O
∠D+∠E=
∠DOF=
∠OCF
+
∠OFC
∠A+∠B
+
∠C
+
∠D
+
∠
E
+
∠F
+
∠G就是五边形ABCFG的内角和。
练习
五
ABCDE
AE
BC
∠AED
2
3
2
5
边
角
1、如图，多边形应记作
边形
，
AB边的邻边是
、
，顶点E处的内角为
，
过顶点A画出这个多边形的对角线，共有
条，
它们把多边形分成
个三角形.
2、四边形有
条对角线．
五边形有
条对角线.
E
D
C
B
A
4、八边形的内角和等于
度.
1080
3、正多边形的
相等，
相等
5、一个多边形的内角和等于1260°
，
这个多边形是
边形.
九
6、一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是
边形.
正八
7、如图，在△ABC中，∠A=50°，
点D、E分别在AB、AC上，
则∠1+∠2=
。
A
B
C
D
E
1
2
230°
∵∠A=50°
∴
∠B
+∠C=130°
∴∠1+∠2=360°-130°=230°
小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008°的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？为什么？
思考
本节课你学到了哪些知识？
（2）已知内角和如何求边数.
三、多边形的内角和公式的应用；
二、多边形的内角和公式；
（1）已知边数如何求内角和；
多边形内角和
三角形内角和
转化
n边形的内角和等于（n-2）·180°
.
一、多边形的有关概念；
作业：p36
练习、p38
A
1(共15张PPT)
湘教版
SHUXUE八年级下
本课内容
本节内容
2.2.3
边
对角线
角
平行四边形的对边平行；对边相等
平行四边形的对角相等；邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
定义：两组对边分别平行的四边形叫做
平行四边形。
性
质
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
AB∥CD；AD∥BC
AB=CD；AD=BC
∠BAC=
∠BCD;
∠ABC=∠ADC
OA=OC，OB=OD
A
D
B
C
O
问题：具有什么条件的四边形是平行四边形？
有两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
定义法
B
D
A
C
∵AB∥CD，AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
如图，在□ABCD中，AE与CF平行并分别交BC、AD于点E、点F，试说明四边形AECF是平行四边形
A
B
C
D
E
F
还有其他的方法判定四边形
是平行四边形吗？
动脑筋
从平移把直线变成与它平行的直线受到启发，你能不能从一条线段AB
出发，画出一个平行四边形呢？
D
C
B
A
如图，
把线段AB
平移到某一位置，得到线段DC，
则可知AB∥DC
，且AB=DC.
由于点A，B的对应点分别是点D，C，连接AD，BC，由平移的性质:
两组对应点的连线平行且相等，即AD∥BC.
由平行四边形的定义可知四边形ABCD是平行四边形.
实际上，上述问题抽象出来就是：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
如图，已知AB∥DC
，
且AB=DC
，如果连接AC，也可证明四边形ABCD是平行四边形，请你完成这个证明过程.
可证明：△ABC≌△CDA(SAS)
∴∠3=∠4
∴AD∥BC
又AB∥DC
∴四边形ABCD是平行四边形
由此得到平行四边形的判定定理1：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
例1
已知：如图，在□ABCD的边BC，AD上分别取一个点E，F，使得
，
.
连结BF，DE.
求证：四边形BEDF是平行四边形.
举例
F
E
D
C
B
A
证明：由于四边形ABCD是平行四边形，
∴
BE=FD.
又
BE∥FD，
所以四边形BEDF是平行四边形.
(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.)
∴
AD
BC，
∥
＝
“
”读作“平行且等于。
∥
＝
又∵BE=
BC，
FD=
AD
3
1
3
1
动脑筋
如图，用两支同样长的铅笔和两支同样长的钢笔能摆成一个平行四边形的形状吗？
问题抽象出来是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形吗？
已知，在四边形ABCD中，AB=DC，
AD=BC
求证：四边形ABCD是平行四边形。
D
C
A
B
1
2
证明：连接AC.
∵
AB=CD，BC=DA，AC=CA
，
∴
△ABC≌△CDA.
∴
∠1=∠2.
则
AD∥BC.
∴
四边形ABCD是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
由此得到平行四边形的判定定理2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
例2、如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△CDA.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∴
四边形ABCD是平行四边形.
∴
AB=DC
，AD=BC
.
证明：
∵
△ABC≌△CDA
，
例3.如图，四边形ABCD中，CF⊥BC交BD于点F，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，
且AE=CF.
求证:(1)四边形ABCD是平行四边形．
(2)
AF=EC.
证明：(1)
∵
AD∥BC，
(2)∵△
AED≌△CFB，
∴∠AED=∠CFB
∴
AE
∥
FC
，
∵
AE=FC,
∴四边形AECF是平行四边形．
∴
AF=EC.
B
A
C
D
E
F
O
∴AD=BC，∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴△AED≌△CFB(AAS)
∴∠ADE=∠CBF
又CF⊥BC
，AE⊥AD
∴∠EAD=∠FCB=90°，AE=CF
1.如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有
个.
21
两个正三角形所组成的平行四边形有6+6+1=13个；
四个正三角形所组成的平行四边形有6个，
六个正三角形所组成的平行四边形有2个；
AB=CD
AB∥CD
2.如图，四边形ABCD,
⑴若AB∥CD，＿＿＿,则得到□ABCD；
⑵若AB＝CD，＿＿＿,则得到□ABCD.
A
B
C
D
一、基础题
3.四边形的三个内角的度数依次如下选项，
其中是平行四边形的是（
）
88°108°88°
B.
88°104°108°
C.
88°92°92°
D.
88°92°88°
D
4.已知：四边形ABCD中，AD∥BC，分别添上下列条件：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；
④∠A=∠C；⑤∠B=∠C；
⑥∠A+∠D=∠B+∠C.能使四边形ABCD为平行四边形的有(
)
A.①②③④
B.①③④⑤
C.①④⑤⑥
D.①③④⑥
D
1.如图，在□ABCD中，AE=
CF.
求证：四边形EBFD是平行四边形.
2.
如图，在四边形ABCD中，AB=DC，BC=AD，E，F
分别是边BC，AD的中点.
找出图中所有的平行四边形，并且说出理由.
解：□ABCD：两组对边分别相等的
四边形是平行四边形.
□ABEF
和□
FECD
：一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形.
二、解答题
BE
DF.
∥
＝
3.如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE.
求证：（1）△AFD≌
△
CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形.
4.已知：
□ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点.求证：四边形EBFD是平行四边形.
F
E
D
C
B
A
如果把结论换成“求证：BE=FD”，你会证吗？
（1）由DF∥BE.
得：∠DFE=∠BEF
，
∴∠AFD=∠BEC
又AF=CE，DF=BE，结论得证。
（2）可证得：AD=BC，AB=DC
ED
BF.
∥
＝
5.如图，
□ABCD中，∠ABC=60°，
E、F分别在CD、BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，DF=2，求EF的长。
6.如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD和等边△ABE.已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.
（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
可证得四边形ABDE是平行四边形，
AB=DE=CD，
△CEF是直角三角形。
∴CE=2DF=4
∠ECF=∠ABC=60°
∴CF=DF=2
∴EF=2
√
3
（1）可证△ACB≌△EFA(AAS)，
（2）由(1)得：AD＝EF，
∠DAF=60°＋30°=90°=∠EFA.∴AD∥EF
本节课学行四边形的判定方法:
一组对边平行且相等
平行四边形的定义
的四边形是平行四边形
要求：1.会利用一组对边的关系判定一个四边形是不是平行四边形.
2.会综合运用平行四边形的判定定理和性质来解决问题.
两组对边分别相等
思考：1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形吗？
2.一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
作业：p46练习
p49
A
4、5课题：2.6.2菱形的判定
教学目标
1、利用菱形的定义探究菱形其他判定方法的过程，培养学生的动手实验、
观察推理意识，发展学生的形象思维和逻辑推理能力；
2、根据菱形的判定定理进行简单的证明，培养学生的逻辑推理能力和演绎能力。
3、尝试从不同角度寻求菱形的判定方法，并能有效的解决问题，尝试评价
不同判定方法之间的差异，通过对菱形判定过程的反思，获得灵活判定四边
形是菱形的经验。
4、在探究菱形的判定方法的活动中获得成功的体验，通过运用菱形的判定和性质，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
重点：菱形判定方法的探究
难点：菱形判定方法的探究及灵活运用
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2.菱形的性质：
边：对边平行，四边相等。角：对角相等邻角互补。
对角线：对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角。
对称性：既是中心对称图形，也是轴对称图形。
二、探究学习（出示ppt课件）
探究菱形的判定方法：
定义法：如果一个四边形是一个平行四边形，
则只要再有什么条件就可以判定它是一个菱形？根据什么？
根据定义得：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
∵
在□ABCD中，AB=BC∴
□ABCD是菱形。
2、判定定理1、
如图，用4
支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形
是菱形吗？下面我们来证明这个结论.
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∵
AD
=
BC，
AB
=
DC，
∴
四边形ABCD是平行四边形.又
AB
=
AD，
∴
四边形ABCD是菱形.
由此得到菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
3、判定定理2、
用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这个四边形什么时候变成菱形
当两根木条互相垂直时，四边形就变成菱形。
用几何语言怎样描述？对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分.
从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图，由画法可知，四边形ABCD
的两条对角线
AC
与BD
互相平分，因此它是平行四边形.
又已知其对角线互相垂直，
我们来进行证明.
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.
又由于DB是线段AC的垂直平分线，
因此，DA=DC.
从而平行四边形ABCD是菱形.
由此得到菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
思考：对角线互相
的四边形是菱形.
三、知识应用（出示ppt课件）
例1.已知：如图，在四边形ABCD
中，线段BD
垂直平分AC，且相交于点O，∠1
=∠2.
求证：四边形ABCD是菱形.
提示：
由线段的垂直平分线，得：BA=BC=DA=DC
例2.如图，在平行四边形ABCD中，AC
=
6，BD
=
8，
AD
=
5.
求AB的长.
提示：
由勾股定理，得：△DAO是直角三角形.即：AC⊥BD
从而得：平行四边形ABCD是菱形.
∴
AB=AD=5
.
例3.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分
∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点
P(A点除外)，过P点作EF∥AB，分别交AC、
BC于E、F点，作PM∥AC，交AB于M点，连结ME.
（1）求证：四边形AEPM为菱形.
（2）当P点在何处时，菱形AEPM的面积为
四边形EFBM面积的一半？
提示：（1）证得：四边形AEPM为平行四边形.
再证明，∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP.
∴四边形AEPM为菱形.
（2）P为EF中点时，，作EN
⊥
AB于N，
例4.如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
试判断四边形PQMN为怎样的四边形.
并证明你的结论.
提示：连结AC，BD.
证得：四边形PQMN为平行四边形.
再证明
△AEC≌△DEB.
∴
AC=DB.
∴
PQ=PN.
∴
□PQMN为菱形.
四、随堂练习（出示ppt课件）
五、课堂小结（出示ppt课件）
六、作业：P70
A
3、4、5
B
8
A
B
C
D《平行四边形的性质（二）》
一、选择题
1、在口ABCD中，AC和BD交于点O，AB=4，△AOB的周长为16，则AC+BD的长度是（
）。
A.
28；
B.
26；
C.24；
D.22
2、已知O是口ABCD两条对角线的交点，AC=24cm，BC=38cm，OD=28cm，则△OBC的周长为（
）。
A.
78；
B.
80；
C.82；
D.84
3、如图，口ABCD的对角线AC，BD相交于点O。
已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长
相差3cm，则AD的长为（
）。
A.4；
B.
3；
C.3.5；
D.2
4、口ABCD的周长为40cm，△ABC的周长为25cm，
则对角线AC长为（
）
A、15cm；
B、5cm；
C、16cm；
D、6cm；
二、填空题
1.如图，在□ABCD
中，BC=10cm,
AC=8cm,
BD=14cm,
△BOC的周长是
2.如图，在□ABCD
中，对角线AC，BD交于点O，AC＝10，BD=8，则AD的取值范围是
.
3.如图，在□ABCD
中,
对角线AC﹑BD相交于点O，且AC+BD=20，
△AOB的周长等于15，则CD=______.
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O。已知AB=5cm，△AOB的周长和△BOC的周长相差3cm，则AD的长为__________
5.在□ABCD
中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是
．
三、解答题
1.如图，□ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则求△OBC的周长。
2.如图，在□
ABCD中，点E在边BC上，
点F在BC的延长线上，且BE=CF.求证：∠BAE=∠CDF.
3.如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，
AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD
的面积.
参考答案：
一、1、C；2、A；3、D；4、B；
二、1、21，6；2、1三、1、11cm；
2、可证明：△ABE≌△DCF；
3、BC=AD=8，CD=AB=10，AC=6，OA=3，
S□ABCD
=48
A
B
D
C
O
1题图
O
D
B
A
C
2题图
O
A
C
B
D
3、4题图
E
O
D
C
B
A
A
B
C
D
E
F
2题图
3题图
B
C
D
A
O《菱形的判定》
一、选择题
1、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A、等腰梯形
B、正方形
C、矩形
D、菱形
2、下列说法中正确的是（ ）
A、有两边相等的平行四边形是菱形；B、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；C、两条对角线相等且互相平分的四边形是菱形；D、四个角相等的四边形是菱形
3、下列说法错误的是（
）
A.对角线互相垂直的四边形是菱形；
B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
C.对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
D.两条邻边相等且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
4.菱形对角线的平方和等于一边平方的
（
）
A.
2倍
B.
3倍
C.4倍
D.
5倍
5.把两张等宽的纸条如图交叉重叠在一起，则重叠部分ABCD的形状是（
）
A.平行四边形；
B.矩形；
C.菱形；
D.任意四边形；
二、填空题
1、菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ．
2.菱形两条对角线长为6和8，菱形的边长为
，面积为
。
3.菱形的面积为96，对角线AC长为16
，此菱形的边长为
。
4、已知：菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为
边长的正方形ACEF的周长为 ______ ．
5、已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，
则菱形的面积为 _________ cm2．
三、解答题
1、如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证四边形AFCE是菱形．
2、如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.
3、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线交CD于E，交BC于F，FG⊥AB于G．求证：四边形EGFC为菱形．
4、已知：如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD、PC相交于点P。(1)猜想：四边形PCOD是什么特殊的四边形？证明你的猜想。
（2）PO与CD有怎样的关系？
参考答案：
一、1、D；2、B；3、A；4、C；5、C；
二、1、2；2、5，24；3、10；4、16；5、8；
三、1、∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AE∥FC，∴
∠1＝∠2．
∵
EF平分AC，∴
AO＝OC．又∵
∠AOE＝∠COF＝90°，
∴
△AOE≌△COF（ASA），∴
EO＝FO，
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵EF⊥AC，
∴
四边形AFCE是菱形
2、∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形．
又AD是角平分线，∴∠EAD＝∠FAD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝∠FDA，
∴∠FAD＝∠FDA，∴
AF＝DF，∴平行四边形AEDF是菱形．
3、易得：CE∥FG，再证△ACE≌
△AGE，∠B=∠ACD=∠AGE
，EG∥CF，
四边形EGFC是平行四边形，又CE=EG，
四边形EGFC为菱形．
4、四边形PCOD是菱形。PO⊥CD，且互相平分。
A
C
D
B
A
B
C
D
E
F
G
F
E
D
C
B
A
B
A
C
D
E
F
O
1
2课题：2.3.1中心对称和中心对称图形（一）
教学目标
1、了解中心对称、对称中心和对称点的概念；理解中心对称的性质；掌握运用中心对称的性质作图的方法。
2、通过对中心对称的性质的探究及运用，初步学会从正反两方面去思考问题的数学思考方法．以及类比思想的应用。
3、通过一系列探索活动，培养学生严谨的科学态度和探索的精神；经历数学知识融于生活实际的学习过程，体验数学学习的快乐。
重点：中心对称的概念；中心对称的性质，利用中心对称的性质进行作图
难点：中心对称与轴对称的区别与联系，利用中心对称的性质准确作图．
教学过程：
一、知识回顾（出示ppt课件）
我们学了图形的轴对称，回顾一下轴对称和轴对称图形的知识。
两个图形沿某一条直线对折(翻折180°)后重合，
叫这两个图形关于轴对称。
一个图形沿某一条直线对折(翻折180°)后两部分重合，
这个图形叫轴对称图形。
如图，作出 ABC的轴对称图形 A'B'C'
二、情境导入（出示ppt课件）
观察下列各组图形,你能发现什么
两个图形（或一个图形的两部分）通过旋转（180°）后重合。
三、合作探究（出示ppt课件）
如图，在平面内，将△OAB绕点O旋转180°，所得到的像是△OCD
.
从这个例子我们引出下述概念：
1、在平面内，把一个图形上的每一个点P对应到
它在绕点O旋转180°下的像P′，这个
变换称为关于点O的中心对称.
2、在平面内，如果一个图形G
绕点O
旋转180°，
得到的像与另一个图形G′重合，
那么称这两个图形关于点O
中心对称，点O
叫作对称中心.
引导学生理解这一概念的含义并指导学生在教材中的相关位置做出重点的记号。
①有两个图形，能够完全重合，即形状、大小完全相同．
②方式有限制：将其中一个图形绕某点旋转后能够与另一个图形重合．
3、如图
，在平面内，把点E绕点O旋转180°得
到点F，此时称点E和点F关于点O对称，也称点
E和点F是在这个旋转下的一对对应点.
由于点E，
O，F在同一条直线上，且OE=OF，因此点O是
线段EF的中点.
反之，如果点O是线段EF的中点，那么点E和点F关于点O对称.
图形G上每一个点E
与它在图形G′上的对应点F
关于点O对称，点O是线段EF的中点.
由此得到下述性质：成中心对称的两个图形上，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.
如图，
AA'，BB'，CC'
都经过点O，且被点O平分。
四、知识应用（出示ppt课件）
例.如图，已知△ABC
和点O，
求作一个
△A'B'C'
，使它与△ABC关于点O成中心对称
根据中心对称的性质，确定 ABC的对称点。
作法（1）如下图所示，连接AO
并延长AO
到A'，使OA'=
OA，于是得到点A关于点O的对应点A'.
（2）用同样的方法作出点B
和C
关于点O
的对应点B'和C'
.
（3）连接A'B'，
B'C'
，
C'A'.
则图中△
A'B'C'
即为所求作的三角形.
思考：如果将对称中心O设为某个顶点
（或某边上）你能做图吗？
五、课堂练习（出示ppt课件）
六、课堂小结（出示ppt课件）
中心对称与轴对称有什么区别 又有什么联系
中心对称
轴对称
1
有一个对称中心-----点
有一条对称轴----直线
2
图形绕中心旋转
图形沿轴对折，即翻折
3
旋转后与另一个图形重合
折叠后与另一个图形重合
4
平面内旋转变化
空间内旋转变化
…
七、作业：p54练习、习题A、B（部分题）
l
C
B
A
O
C
B
A
A′
B′
C′
O
C
B
A
A′
B′
C′
B′
C
B
A
O
C′
A′
C
B
A
B′
(A′)
C′《正方形》
一、选择题
1．在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD＝BC，AB＝BC，∠B＝90°，则四边形ABCD的形状是(
)
A．平行四边形；
B．矩形；
C．菱形；
D．正方形
2．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，则∠CBO等于(
)
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
3．正方形是轴对称图形，它的对称轴共有(
)
A．1条；
B．2条；
C．3条；
D．4条
4．如图，四边形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别
在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H.
若AB＝4，AE＝1，则BH的长为(
)
A．1
B．2
C．3
D．3
5．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，
即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(
)
A．∠D＝90°
；B．AB＝CD；
C．AD＝BC
；D．
BC＝CD
二、填空题
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别
是AB、AC、BC的中点，连接DE、DF、CD，
如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．
2．正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是
。
3．已知正方形ABCD的对角线AC＝，
则正方形ABCD的周长为________
4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，
则∠BCE的度数是________．
三、解答题
1、如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，
且AE⊥BF，垂足为点G.求证：AE＝BF.
2、如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，
连接BP，DP，延长BC到E，使PB＝PE.
求证：∠PDC＝∠PEC.
3、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，
连接BE，CE.
(1)求证：BE＝CE；
(2)求∠BEC的度数．
参考答案：
一、1、D；2、B；3、D；4、C；5、D；
二、1、正方形；2、8；3、4；4、22.5°；
三、1、.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°.
∵AE⊥BF，∴∠ABG＋∠BAE＝90°.又∵∠ABG＋∠CBF＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA)．∴AE＝BF.
2、证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCP＝∠DCP.
在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP(SAS)．
∴∠PDC＝∠PBC.∵PB＝PE，∴∠PBC＝∠PEC.∴∠PDC＝∠PEC.
3、(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°.∵三角形ADE为正三角形，
∴AE＝AD＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°.∴∠BAE＝∠CDE＝150°.
在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)．
∴BE＝CE.
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE.∴∠ABE＝∠AEB.
又∵∠BAE＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝15°.同理：∠CED＝15°.
∴∠BEC＝60°－15°×2＝30°.