(共32张PPT)
学习目标
1、体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，
2、形成求解优化问题的思路和方法。
3、通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养自己发散思维能力。
4、提高将实际问题转化为数学问题的能力。
复习引入
问题一：导数在研究函数中有哪些应用？
问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？
问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通
过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
新知探究
问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？
1、与几何有关的最值问题；
2、与利润及其成本有关的最值问题；
3、效率最值问题。
问题2：解决优化问题的方法有哪些？
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？
1、海报版面尺寸的设计
【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.
【规范解答】
【引申思考】
一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。答在实际问题中，由于
=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在
的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。
【一题多解】
对于本题的最值你是否还有别的解法？
【变式练习】
在边长为60
cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？
【规范解答】
【一题多解】
【反思提高】
【问题引领】
2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【背景知识】
【问题】
（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
【规范解答】
【新视角解答】
【背景知识】
3.磁盘的最大存储量问题
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于
，每比特所占用的磁道长度不得小于
。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
【问题】
【规范解答】
【例题小结】
根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.
由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
【特别提醒】
巩固练习
1
.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多
(不到100人不组团)
【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.
【规范解答】
课堂小结
1．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：
（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；
（2）与物理学有关的最值问题；
（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；
（4）效率最值问题。
2.利用导数解决优化问题的基本思路：
作业：
求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2,2]；
(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．1.4生活中的优化问题举例
1．内容和内容解析
“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高、增长率、膨胀率等。而解决方法可以多样，学生较为熟悉的是线性规划问题，二次函数最值问题，或结合函数图象解决最值。而本节内容主要是应用导数解决生活中的优化问题，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力。教材主要在效率、利润、最大容量三个方面举例说明。
从教学内容分析，教材例题与学生生活经验有一定的差距离，问题信息量大，数学建模要求高，在具体的教学中，可以设置有一定梯度和接近学生生活中的优化问题，提高学生的学习兴趣，同时告诉学生如何去思考解决这类问题的一般思路。
本节内容是导数知识的应用问题，所以数学建模，用导数求函数的单调性、最值，导数的意义是学生学习的必备知识。
2．目标和目标解析
本节课主要培养学生数学知识的应用意识，应用导数,
解决生活中的优化问题。同时教学中应突出导数的应用研究。
（1）熟练掌握生活中常遇到的“效率最高”，“容量最大”，“利润最大”的解决方案；
(2)继续培养学生数学建模的能力。
为实现以上目标，可以分以下几步进行：
（1）一般信息题的函数建模问题。
（2）设置能用二次函数，基本不等式解决优化问题的应用题。
（3）引导学生用导数解决一般的优化问题。
（4）总结解决优化问题的思路是:
第一步将优化问题转化为用函数表示的数学问题,
第二步是应用导数这个工具解决数学问题,
进而得到优化问题的答案。
3．教学问题诊断分析
这一节的难点之一是数学建模问题。
比如，教材例1“汽油的使用效率何时最高”问题，题目的背景不熟悉，呈现形式不是很简洁，即使学生预习，也不知所云。此题是用到“在曲线上求一点P，使得OP与曲线相切并切于点P”而解决此问题就要学生充分掌握导数几何意义。作为函数的建模题，信息加工、数据的收集、函数图象呈现、图象的分析等都是学生的策手问题。既然“导数的应用”作为本节的重点，那么在具体施教中不妨对例题作一些处理，化解难点，突出重点。
难度之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。
在掌握函数极值的判别法之后，判定可导函数的极大值与极小值并不困难，但在遇到一些实际问题时，往往会遇到障碍。这里关键是能从实际问题的不同情景出发，建立与之相对应的函数关系,
再应用求函数极值的方法最终解决问题。有了这些准备工作，学习本节才有可能。教学过程中，要引导学生联系到前面学习的内容，在复习引入环节中，可以用一二个题加以温故。
就例1而言,
对于这样一个优化问题,
关键是培养学生的解题思路。“
汽油的使用效率该如何理解”，只有准确理解了这个概念,
才能把优化问题转化为用函数表示的数学问题,
这样就建立与其相应的数学模型,
再通过研究相应函数的性质,
提出优化方案,
使问题得到解决。需要强调指出的是,
在这个过程中,
导数往往是一个有力的工具。
在教学中要逐步培养起学生的分析能力,
能够把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解。对这样的优化问题,
学生可能要有一定的时间去理解、消化。
施教过程中提供一些简单的练习题让学生去动手体会,增强学生的信心,
同时也要指导学生如何阅读信息题，对难点进行点拨,
再详细解答。
在教学中，还是要坚持“由易到难，由简到繁”的教学思路，以顺应学生的现有的知识水平和认知规律。
鉴于上述诊断，在教学过程设计中，采用了教材的例1与例3，并作适当的改动，目的是降低一些难度，并对例1进行了分解。至于教材例2“磁盘的最大存储量问题”，它是科技问题，有较强的专业性，所建数学模型是二次函数，而二次函数模型的解决一般不用导数解决，所以作为课外阅读材料布置给学生。
4．教学支持条件分析
数学建模能否成功，不仅与教学条件是否成熟有关，而且与学生生活阅历有关。用数学知识解决生活中的问题，是数学课堂教学的教学理念，是学生的数学素质的表现。它不局限于一节内容能让学生定量的收获多少，而是让更多的学生有“遇到问题，试图用知识解决生活中的实际问题”意识，从而慢慢成为学生的一种能力。
5．教学过程设计
NO.1．课题引入设计
问题：
（1）通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现学生在课堂上接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关，刚开始阶段接受哪里渐增，但时间越长注意力越低，从而接受能力开始下降.分析总结表明学生的接受能力与描述的时间有如下的经验公式：G(x)=-0.1x2+2.6x+43,x
，其中G(x)是接受能力的一种度量，x表示提出和描述所用的时间(单位：分钟).则当x=
分钟时，学生能力最强。
（2）将长为
l的铝合金制成如图1的一个窗，如何设计窗的长与宽使窗的采光面积最大？
用问题形式引入新课，一是进一步提升学生建模能力；二是让学生自行设计解决问题方案。此题可以用基本不等式，也可以利用二次函数求最值，也可以用导数求最值。解题思路广，能独立解决的可能性就大，让学生体会成功的喜悦。然后教师对导数的应用进行展开，引发学生积极的思考，导数在解决优化问题上的“万能性”。
同时也应“什么是生活中的优化问题”向学生作一个交代。根据定义,
优化问题其实质是求一些实际问题的极大值与极小值,
通过前面的学习,
我们已经掌握了用导数求函数极值的方法。
所以在解决这类问题的时候重点要放在如何把实际问题转化相应的函数关系，也就是数学建模。
NO.2．问题链设计
问题1：
（1）求曲线y=x2+2在点P(1,3)处的切线方程.
（2）若曲线y=x3上某点切线的斜率为3，求此点的坐标。
意图：两题是姊妹题，以求解问题过程，作为知识掌握程度的检测。
（1）重提导数概念的实际背景（切线的斜率，瞬时速度），导数的几何意义。
（2）唤起学生对旧知识的回忆，为导数的应用作准备。
问题2：已知点P（x,y）是函数y=2x(x>0)图象上的任一点,试求
的最小值。
意图：是上两题的引伸，直线PO的斜率k=
，问题转化为求k的最小值。由数形结合可得当直线PO与函数图象相切时，K取得最小值。而一般曲线的切线斜率就与导数的几何意义紧密相连。
同时也为了分散例1的难点，因为此问题也是下面例1的数学模型，为解决例1作好铺叠。
问题3：生活中的优化问题，如何用导数来求函数的最小(大)值？
例1
根据提供材料，探究汽油使用效率何时最高。
材料：随着我国经济高速发展，能源短缺的矛盾突现，建设节约性社会是众望所归。现实生活中，汽车作为代步工具，与我们的生活密切相关。众所周知，汽车的每小时耗油量与汽车的速度有一定的关系。如何使汽车的汽油使用效率最高（汽油使有效率最高是指每千米路程的汽油耗油量最少）呢？
通过大量统计分析，得到汽油每小时的消耗量
g(L/h)与汽车行驶的平均速度v（km/h）之间的函数关系g=f(v)
如图2，根据图象中的信息，试说出汽车的速度v
为多少时，汽油的使用效率最高？并轭要地写明理由。
解析：设汽油的使用效率G，路程为S，共耗油W，根据“使有效率”的意义，得
，问题转化为求G的最小值。而W－S没有函数关系，那么由
就能转化为g-v关系，即
，再结合问题2，就得到结论。
意图：本例题是对教材例1的呈现作了改动，去除了原题中的干扰信息，比如“对汽油使用效率最高”的含义的理解。至于原题中“是不是汽车的速度越快，汽油的耗油量越大？”的问题，不是本节课的教学内容，所以不必出现。原题“汽油的耗油量”应指
“汽油每小时的消耗量”，所以本例题也作了明确表述。
本例题在教学时，要留给学生时间，对题意要进行充分的理解。教师把重心放在思路的分析上。
例2
根据所给材料，探求饮料瓶大小对饮料公司利润的影响。
材料:某饮料公司出售球形的饮料，每出售1ml的饮料可获利0.2分(不含瓶子的成本),而瓶子的成本是0.8
r2(0是瓶子的半径,单位是厘米)。
（1）请建立利润y与瓶子半径r的函数关系。
（2）分别求出瓶子半径多大时利润最小、最大。
（3）饮料瓶大小对饮料公司利润是如何影响的？
意图：这样的设计，使题意更明确，也降低了学生建模难度，把重点放到了对函数关系式的分析上。第（3）题，是前二个小题的深化，使学生体会到数学知识的实用性。当然也可以另辟蹊径，用计算机作出函数图象，分析图象的最低点，但要受到教学条件制约。
练习:
圆柱形金属饮料罐的表面积一定时，应怎样制作，其容积最大？
解析：设圆柱的高为h，底面半径为R，则S=2πRh+2πR2，
由V’(R)=0得
S－3πR2=0得S=6πR2，∴
6πR2=2πRh+2πR2，∴
h=2R，
即当罐的高和底面直径相等时容积最大。
意图：是例2的一个巩固。也可以说是一个“临摹”，让学生体会到成功。教学要培养学生的创新能力，但基本的技能，数学的解题思想还是要夯实。课堂教学一手抓创新，一手抓基本功，二手都要硬。
问题4:
解决优化问题的基本思路是什么？
意图：主要是使学生理清解决优化问题的基本思路（如下图）,
并能应用这样的思路解决问题。教学过程中引导学生从实际问题的不同情景出发，
建立与之相应的函数关系(模型)。一般可导函数的最值问题，都可以考虑导数应用。其中能用基本不等式求最值的都能用导数解决，其思路是用导数求函数的单调性，从而可以大至得到函数的图象。而二次函数的最值作为初等函数，求最值习惯于配方法画图象，而用导数去解决，一般不作提倡。
No.3．目标检测设计
甲、乙两地相距
千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本y(以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度
（千米/小时）的平方成正比，比例系数为
(b>0)；固定部分为
元.
（1）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
（2）如果速度不能小于
千米/小时，那么汽车又应以多大速度行驶，才使全程运输成本最小？
此题紧扣本节课的重点，也是本节内容的一种总结形式。第（1）小题的设问是检测学生建模、解模能力，方法多样，第（2）小题是体现导数的应用。灵活掌握数学知识，是解决实际优化问题的最好方法。1.4生活中的优化问题举例
1.教学目标
知识与技能
1.体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，
2.形成求解优化问题的思路和方法。
过程与方法
1.通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力。
情感、态度、价值观
培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度
2.教学重点、难点
教学重点
利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点
理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题。
3.教学用具
多媒体
4.教学过程
教学过程设计
1、复习导入
【师】
问题一：导数在研究函数中有哪些应用？
问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认为导数对于解决生活中的什么问题有什么作用呢？
问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？
【生】学生讨论回答
【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题．
2、新知学习
问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有几个方面？
（1）与几何有关的最值问题；
（2）与利润及其成本有关的最值问题；
（3）效率最值问题。
【生】学生讨论回答
问题2：解决优化问题的方法有哪些？
首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
【生】学生讨论回答
问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？
【生】学生讨论回答
典例探究
1
海报版面尺寸的设计
【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？
【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.
【规范解答】设版心的高为xdm，则版心的宽为此时四周空白面积为
因此，x=16是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。
答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。
【引申思考】
在本题解法中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？
【生】学生讨论回答
【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值。在实际问题中，由于常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。
【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？
【探究解答】
由解法一可得：
【规范解答】
解法一：
设箱底边长为xcm，则箱高得箱子容积
由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16
000是最大值
答：当x=1000px时，箱子容积最大，最大容积是16
000cm3
解法二：
设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积
（后面同解法一，略）
由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．
【反思提高】
事实上，可导函数
在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值
饮料瓶大小对饮料公司利润的影响
【问题引领】
（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？
（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？
【例题2】
【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1
mL的饮料，制造商可获利
0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm
【问题】
（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？
【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.
【规范解答】
由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
（1）半径为2cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
（2）半径为6cm时，利润最大
【新视角解答】
我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：.
图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？
【合作探究】
当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm
时，利润最小；
当时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。
特别的，当r=3时， 即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，r>3时，利润才为正值．
当r=2时，f(2)<0，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。
磁盘的最大存储量问题
【例题3】
【背景知识】
计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。
为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。
【问题】
现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．
（1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？
（2）
r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？
【规范解答】
【规范解答】
由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。
设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达
所以，磁盘总存储量
【思考】根据以上三个例题，总结用导数求解优化问题的基本步骤.
【例题总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式并确定函数的定义区间；
（2）求得出所有实数根；
（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，
根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。
【提别提醒】
由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
课堂练习
1
.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多
(不到100人不组团)
【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.
【规范解答】
设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y
则依题意有
所以当参加人数为150人时，旅游团的收费最高，可达112500元。
2.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省
【变式练习】
当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？
5.课堂小结
6.课后习题
课本37页A组1,2；B组第1题
7.板书1.4
生活中的优化问题举例
一、选择题
1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．R
B．2R
C.R
D.R
【答案】 C
【解析】 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(R－h)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2
∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3
V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R.
当00；当因此当h＝R时，圆锥体积最大．故应选C.
2．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2?1，则该长方体的最大体积为( )
A．2m3
B．3m3
C．4m3
D．5m3
【答案】 B
【解析】 设长方体的宽为x(m)，则长为2x(m)，高为h＝＝4.5－3x(m)
故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)
令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)
当00；当1故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值
从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m2)．
3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
【答案】 C
【解析】 本题考查了导数的应用及求导运算．
∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，
令y′＝0，解得x＝9，所以x∈(0,9)时，y′>0，
x∈(9，＋∞)时，y′<0，y先增后减．
∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
4．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为( )
A.cm
B.cm
C.cm
D.cm
【答案】 D
【解析】 设圆锥的高为x，则底面半径为，其体积为V＝πx(202－x2)(0V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x1＝，x2＝－舍去．
当00；当5．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )
A.
B.r
C.r
D．r
【答案】 D
【解析】 如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，
∴S＝·rsinθ＝r2sinθ(1＋cosθ)
∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)
令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝.
即当cosθ＝时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.故应选D.
6．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )
A．25件
B．20件
C．15件
D．30件
【答案】 A
【解析】 设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题知k＝250000，则a2x＝250000，所以a＝.
总利润y＝500－x3－1200(x>0)，
y′＝－x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
二、填空题
7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
【答案】
【解析】|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln
x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.
8．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab
的最大值等于________．
【答案】9
【解析】函数的导数为f′(x)＝12x2－2ax－2b，由函数f(x)在x＝1处有极值，可知函数f(x)在x＝1处的导数值为零，12－2a－2b＝0，所以a＋b＝6，由题意知a，b都是正实数，所以ab≤2＝2＝9，当且仅当a＝b＝3时取到等号．
三、解答题
9、如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，求此矩形的面积的最大值．
【解析】设CD＝x，则点C坐标为(，0)，点B坐标为(，1－()2)，
∴矩形ABCD的面积S＝f(x)＝x·[1－()2]＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，得x1＝－(舍去)，x2＝，
∴x∈(0，)时，f′(x)＞0，f(x)是递增的；
x∈(，2)时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，
∴当x＝时，f(x)取最大值.
∴此矩形的面积的最大值为.
10、现有一批货物从海上由A地运往B地，已知货船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
【解析】(1)依题意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知，y′＝－＋300，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
