1.5
定积分的概念
一、选择题
1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间
(i＝1,2，…，n)上的值可以用
( )近似代替
A.
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】f(x)＝x2在区间上的值可以用区间上每一点对应的函数值近似代替，故选C.
2．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间[1，]，[，]，…，，…，[，2]，所以第i个区间为(i＝1，2，…，n)．
3．已知，则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0的图象围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0的图象围成的曲边梯形和由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0的图象围成的曲边梯形．∴，故选D.
4．定积分与的大小关系是( )
A.
＝
B．>
C.
<
D．无法确定
【答案】C
【解析】在同一坐标系中画出y＝与y＝x的图象如图，由图可见，当x∈[0,1]时，y＝的图象在y＝x的图象上方，由定积分的几何意义知，<.
5．下列等式不成立的是( )
A.
＝m＋n
B.
＝＋b－a
C.
＝
D.
＝
【答案】C
【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C不成立．
例如，，，.故选C.
6．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则
B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则
D．若f(x)在[a，b)上连续且，则f(x)在[a，b)上恒正
【答案】D
【解析】对于A，因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确；对于B，因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确；C显然正确；对于D，f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
二、填空题
7．已知，，则＝________.
【答案】
【解析】∵＝＋＝，，
∴＝＋.
8．由直线x＝0、x＝1、y＝0和曲线y＝x2＋2x围成的图形的面积为__________．
【答案】
【解析】将区间[0,1]n等分，每个区间长度为，
区间右端点函数值为.
＝n(n＋1)(2n＋1)＋
＝＋＝，
∴所求面积S＝.
三、解答题
9．已知，，，.求：
(1)；(2)；(3).
【解析】(1).
(2)＝＋＝＋＝e2－1＋8＝e2＋7.
(3)＝＋＝e2－e＋ln2.
10.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx(k为常数，x是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b所做的功.
【解析】将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所做的功为W=F·x.
(1)分割：
在区间[0，b]上等间隔地插入个点，将区间[0，b]等分成n个小区间：
，，…，，
记第i个区间为，
其长度为.
把在分段，，…，上所做的功分别记作ΔW1，ΔW2，…，ΔWn.
(2)近似代替：
由条件知，.
(3)求和：
(4)取极限：
.
所以得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.1.5定积分的概念
一、教材分析
课程定位：定积分是一节重要的基础理论课。通过本节课的学习，使学生获得够用的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法，为学习后续课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。
地位作用：本节课选自人教A版选秀2-2第一章第5节，定积分的概念是高中数学的重点，也是高等数学中最主要的经典理论。这节课上承导数、不定积分，下接定积分在几何、物理等其他学科中的应用。
教学内容：本节内容为定积分概念，主要包括三方面内容：两个引例――曲边梯形的面积和变速直线运动的路程；定积分的定义及几何意义；定积分的性质。
教学目标：知识目标――通过探求曲边梯形的面积，使学生了解“分割、近似、求和、取极限”的思想方法；能力目标――通过类比“割圆术”，引导学生萌发“以直代曲”的想法，逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力；情感目标――从实践中创设情境，渗透“化整为零零积整”的辨证唯物观，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神。
二、教学方法
学情分析：学生具备一定初等数学基础知识，但学生的基础不扎实。
教学方法：数学课程对于高中学生来说，往往难度很大，教学时力求从学生已有知识和实际学习情况出发引入新课，启发、诱导学生参与教学活动，提出问题、分析问题、解决问题，适当采用自学辅导法（阅读教材）、通过以上方法的运用，让学生掌握重点知识，突破难点，提高应用知识的能力。教师特别要做到：（1）在介绍数学概念的时候，力争以实例引入，使概念尽可能不以严格“定义”的形式出现。（2）在介绍基本定理的时候，尽可能地在通俗易懂的叙述中渐入主题，让学生有一种“水到渠成”之感。（3）在讲解运算规则和规律时，用一些精简易记的文字语言解读数学公式，加强学生对数学公式涵义的理解。
三、设计理念
以问题为教学主线，本节课的教学终始以问题的解决为线索。这节课属于概念教学，遵循概念教学的五流程：体验概念、提炼概念、形成概念、巩固概念和应用概念。分四个阶段来实施：感知阶段、理性认识阶段、概况阶段和应用阶段。
设计这节课时，笔者重视学生的自主参与能力，重视学生探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思维，大胆思考，动手实践。定积分的思想体现了量变到质变的观点，以及数形结合等思想方法。教学中，要根据专业需要调整教学内容，让学生感觉到数学有用，并力争开发、运用多媒体教学，形象展示数学的魅力，激发学生学数学的兴趣，提高学生“用数学”的能力。
四、教学设计
总体设计：定积分的概念，以案例1“曲边梯形的面积”为例引入课题，通过探究思考，跟学生一起解决问题并对结论归纳总结。对于案例2“变速直线运动的路程”，由学生类比案例1独立完成。
对于案例1，为了突出重点，突破难点，达到教学目标，笔者准备从学生熟悉的求平面几何的面积引入。之后给出一些不规则图形，如湖泊的水面、小区的花坛等，让学生考虑如何求面积，以此引出曲边梯形的概念，这些不规则图形的面积都可以看做两个曲边梯形面积之差。由于学生熟悉的曲边图形只有圆，所以从割圆术考虑。通过动画演示，使学生体会以曲代直的思想方法。对于如何求曲边梯形的面积，要考虑以下几个问题：能否直接求出面积的准确值？用什么图形的面积来代替曲边梯形的面积呢？三角形、矩形、梯形？……鼓励学生大胆设想，使用什么方法，可使误差越来越小，直到为零。等学生考虑之后，利用多媒体演示用一个、两个、四个、无数个矩形的面积，来近似代替曲边梯形的面积，让学生感受以曲代直、无限逼近的渐变过程。通过这样的动态演示，将区间的无限划分这一抽象的极限思想具体化，学生也能够更好地理解接受。
对于案例2“变速直线运动的路程”，由学生根据案例1的思想方法类比完成。之后共同分析两个案例，抛去它们的实际意义从数学的角度研究，二者都是特殊的和式极限，并都能写出模型。从思想方法上讲，都是化整为零细划分，不变代变得微分，积零为整微分和，无限累加得积分。从几何的角度来看定积分的定义，给出它的几何意义。注意说明代数和的含义及原因。再通过例题加深对几何意义的理解。
利用几何意义的直观性介绍定积分的六条性质，使抽象的理论具体化。再利用定积分定义在黑板上加以证明，体现数学的严谨性，符合学生的思维和认识规律，有利于学生按节奏思考问题。之后提问学生，这些性质与不定积分的性质相比有何异同点。这样让新旧知识有机结合，使学生掌握的知识更加系统化。1.5定积分的概念
教学目标：
1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
2、借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
3、理解掌握定积分的几何意义；
教学重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．
教学过程：
一．创设情景
复习：
1．
回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：分割→以直代曲→求和→取极限（逼近
2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．
二．新课讲授
1．定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
（3）曲边图形面积：；变速运动路程；
变力做功
2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。
考察和式
不妨设
于是和式即为
阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1
性质2
（其中k是不为0的常数）
（定积分的线性性质）
性质3
（定积分的线性性质）
性质4
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广：
②推广:
③性质解释：
三．典例分析
例1．计算定积分
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为。
即：
思考：若改为计算定积分呢？
改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）
四．课堂练习
计算下列定积分
1．
2．
五．回顾总结
1．定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义．
六．布置作业
性质4
性质1
1
2
y
x
o(共28张PPT)
举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图所示，上端一段是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧，建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就
需要尽可能准确地计算出它
的断面面积.该断面最上面抛
物线所围的那一块面积怎样
计算呢
变式训练1、估计直线x＝0，x＝1，y＝0与曲线y＝x3所围成的曲边梯形的面积.
【解析】将区间[0，1]等分5份，
如图(1)，所有小矩形的面积之和(记为S1)，显然为过剩估计值，S＝(0.23
＋0.43
＋0.63
＋0.83
＋13)×0.2＝0.36.
如图(2)，所有小矩形的面积之和(记为s1)，显然为不足估计值，s＝(03
＋0.23
＋0.43
＋0.63
＋0.83)×0.2＝0.16，
所以该曲边梯形的面积介于0.16与0.36之间.
2.变速运动路程的计算
例2、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t的速度为v(t)＝10t2(单位:km/h).试估计这辆汽车在0≤t≤2(单位:h)这段时间内行驶的路程.
【方法指导】将变速直线运动的路程问题转化为匀速直线运动的路程问题，通过求矩形的面积即可解决.
【解析】将区间[0，2]等分10份，
则过剩估计值为S＝10(0.22
＋0.42
＋…
＋1.82
＋22)×0.2＝30.8，
不足估计值为s＝10(02
＋0.22
＋…
＋1.82)×0.2＝22.8.
所以估计这辆汽车在这段时间内行驶的路程介于22.8
km与30.8
km之间.
变式训练2、某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t的速度为v(t)＝7－t2，试估计这个物体在0≤t≤1这段时间内行驶的路程.
【解析】将区间[0，1]等分5份，
则过剩估计值为S＝(7－02
＋7－0.22
＋7－0.42
＋7－0.62
＋7－0.82)×0.2＝6.76，
不足估计值为s＝(7－0.22
＋7－0.42
＋7－0.62
＋7－0.82
＋7－12)×0.2＝6.56，
所以估计该物体在这段时间内行驶的路程介于6.56与6.76之间.
(3)性质3对于有限个函数(两个以上)也成立.性质4对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立.
对于定积分的性质4可以用如图所示图形直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB＝S曲边梯形AMPC
＋S曲线梯形CPNB.
利用定积分求曲边梯形的面积的
实质是“化整为零、积零为整”的
过程.
已知甲、乙两车从同一起点同时
出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲、乙两车的速度曲线分别为v甲、v乙(如图所示).则对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是( ).
A.在t1时刻，甲车在乙车前面
B.t1时刻后，甲车在乙车后面
C.在t0时刻，两车的位置相同
D.t0时刻后，乙车在甲车前面
【解析】在t0时刻，两车的速度相等且之前甲车速度一直大于乙车速度，故甲车在乙车前面.由于路程关于时间的函数是速度关于时间的函数的积分，由积分的几何意义，知速度曲线与t轴及t＝t1所围成的
面积即为t1时刻车子走过的路
程，由图可知甲围成的面积较
大，所以t1时刻甲车在乙车的
前面.
【答案】A
作业：教材P50A组4
