§1.6微积分基本定理
教学目标：
1、能说出微积分基本定理。
2、能运用微积分基本定理计算简单的定积分。
3、能掌握微积分基本定理的应用。
4、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分。
教学重点：
通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分；
教学难点：微积分基本定理的含义．
教学过程设计
（一）、复习引入，激发兴趣。
【教师引入】同学们，我们来复习一下上节课的内容，请同学们回答以下几个问题:
1. 我们如何确定曲线上一点处切线的斜率呢？
2. 如何求曲线下方的面积？
3. 用“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程是什么呢？
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法。
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
(二)、探究新知，揭示概念
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=
而。
对于一般函数，设，是否也有
（三）、分析归纳，抽象概括
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
注：1：定理
如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。
（四）、知识应用，深化理解
例1．计算下列定积分：
（1）；
（2）。
解：（1）因为，所以。
（2））因为，
所以。
练习：计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2．计算下列定积分：
。
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论。
解：因为，
所以
，
，
.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
(
l
）当对应的曲边梯形位于
x
轴上方时（图1.6一3
)
，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；
图1
.
6
一
3
(
2
）
（2）当对应的曲边梯形位于
x
轴下方时（图
1
.
6
一
4
)
，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数；
(
3）当位于
x
轴上方的曲边梯形面积等于位于
x
轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0（图
1
.
6
一
5
)
，且等于位于
x
轴上方的曲边梯形面积减去位于
x
轴下方的曲边梯形面积．
例3．汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
课堂练习
（五）、归纳小结、布置作业
1.微积分基本定理
2.基本初等函数的原函数公式
布置作业：1.6
微积分基本定理
一、选择题
1.等于（
）
A.1
B.
C.e
D.e+1
【答案】C
【解析】被积函数
2.等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】|x|＝∴＝，选C.
3．若则a的值是( )
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】D
【解析】，解得a＝2.
4.设，，，则a，b，c的大小关系是( )
A.c>a>b
B.a>b>c
C.a=b>c
D.a>c>b
【答案】B
【解析】，，，因为，所以a>b>c.
5．设f(x)是一次函数，且，，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝4x＋3
B．f(x)＝3x＋4
C．f(x)＝－4x＋2
D．f(x)＝－3x＋4
【答案】A
【解析】∵f(x)是一次函数，∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则
，
=由解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.
6.已知分段函数则等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】，，
根据定积分性质可知
.
二、填空题
7.计算定积分＝
.
【答案】
【解析】.
8.已知，若成立，则a=
.
【答案】或
【解析】取，则，，
所以，所以，所以.
即，解得或.
三、解答题
9.计算下列定积分：
(1)；(2)；(3).
【解析】(1).
(2).
(3)
.
10．已知f(x)为二次函数，且f(－1)＝2，f
′(0)＝0，＝－2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值．
【解析】(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f
′(x)＝2ax＋b.
由f(－1)＝2，f
′(0)＝0，得
即
∴f(x)＝ax2＋(2－a)．
又＝
＝[ax3＋(2－a)x]＝2－a＝－2，∴a＝6，
从而f(x)＝6x2－4.
(2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]．
∴当x＝0时，f(x)min＝－4；
当x＝±1时，f(x)max＝2.(共23张PPT)
微积分基本定理
复习：1、定积分是怎样定义？
设函数f（x）在[a，b]上连续，在[a，b]中任意插入n-1个分点：
把区间[a,b]等分成n个小区间，
则，这个常数A称为f(x)在[a，b]上的定积分(简称积分)
记作
被积函数
被积表达式
积分变量
积分上限
积分下限
积分和
1、如果函数f（x）在[a，b]上连续且f（x）≥0时，那么：
定积分
就表示以y=f（x）为曲边的曲边梯形面积。
2、定积分
的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。
复习：2、定积分的几何意义是什么？
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积的负值
说明：
定积分的简单性质
题型1：定积分的简单性质的应用
点评：运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差
题型2：定积分的几何意义的应用
8
问题1：你能求出下列格式的值吗？不妨试试。
问题2：一个作变速直线运动的物体的运动规律S＝S(t)。由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度v(t)＝S’（t)。设这个物体在时间段〔a，b〕内的位移为S，你能分别用S(t)，v(t)来表示S吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？
另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，
所以又有
由于
，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分
等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为
O
y(a)
P
D
C
探究点2
微积分基本定理
y
微积分基本定理：
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么
这个结论叫做微积分基本定理（fundamental
theorem
of
calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz
formula).
说明：
牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数
f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。
函数f(x)
导函数f′(x)
回顾：基本初等函数的导数公式
被积
函数f(x)
一个原函数F(x)
基本初等函数的原函数公式
例1
计算下列定积分
解（１）
找出f(x)的原函数是关键
练习1:
我们发现：
定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；
（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；
+
（2）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值
（3）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方的面积时，定积分的值为0．
-
-
+
定积分公式
1.微积分基本定理：
被积
函数f(x)
一个原函数F(x)
2.基本初等函数的原函数公式
归纳概括(共24张PPT)
8
引入1
你能求出下列各式的值吗？不妨试试.
引入2
一个做变速直线运动的物体的运动规律s＝s(t).由导数的概念可以知道，它在任意时刻t的速度v(t)＝s′(t).设这个物体在时间段(a，b)内的位移为s，你能分别用s(t)，v(t)来表示s吗？从中你能发现导数和定积分的内在联系吗？
1.探究变速直线运动物体的速度与位移的关系.
2.了解微积分基本定理的含义.（难点）
3.正确运用基本定理计算简单的定积分.
（重点）
从定积分角度来看：如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为
探究点1
导数和定积分的关系
另一方面，从导数角度来看：如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移为s(b)–s(a)，所以又有
由于
，即s(t)是v(t)的原函数，这就
是说，定积分
等于被积函数v(t)的原函
数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).
O
y(a)
P
D
C
探究点2
微积分基本定理
y
微积分基本定理：
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F＇(x)＝f（x)，那么
这个结论叫做微积分基本定理（fundamental
theorem
of
calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz
formula).
微积分基本定理表明：
注意:
求定积分问题转化为求原函数的问题.
函数f(x)
导函数f′(x)
回顾：基本初等函数的导数公式
被积
函数f(x)
一个原函数F(x)
基本初等函数的原函数公式
我们发现：
定积分的值可取正值也可取负值，还可能是0；
（1）当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值；
+
（2）当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值；
（3）当曲边梯形位于x轴上方的面积等于位于x轴下方
的面积时，定积分的值为0．
-
-
+
3．计算定积分
解:
1.微积分基本定理：
被积
函数f(x)
一个原函数F(x)
2.基本初等函数的原函数公式
作业：教材P55A组11.6微积分基本定理
教学目标：了解牛顿-莱布尼兹公式
教学重点：牛顿-莱布尼兹公
教学过程
一、复习：定积分的概念及计算
二、引入新课
我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)（），
则物体在时间间隔内经过的路程可用速度函数表示为。
另一方面，这段路程还可以通过位置函数S（t）在上的增量来表达，即
=，且。
对于一般函数，设，是否也有
若上式成立，我们就找到了用的原函数（即满足）的数值差来计算在上的定积分的方法。
定理
如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则
证明：因为=与都是的原函数，故
-=C（）
其中C为某一常数。
令得-=C，且==0
即有C=，故=+
=-=
令，有
为了方便起见，还常用表示，即
该式称之为微积分基本公式或牛顿—莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。
计算
解：由于是的一个原函数，所以根据牛顿—莱布尼兹公式有
===
例2
求
解
因为=
即有一个原函数为，所以=
例3
汽车以每小时32公里速度行驶，到某处需要减速停车。设汽车以等减速度=1.8米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
解:首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间。当t=0时，汽车速度=32公里/小时=米/秒8.88米/秒,刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,速度,故从解得秒
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是
=米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
小结：本节课学习了牛顿-莱布尼兹公式.
作业：1.6微积分基本定理
一、教材分析
1、地位与作用
“微积分基本定理”是高中人教版选修2-2第一章第6节的内容。这节课的主要内容是：微积分基本定理的形成，以及用它求定积分。
在本节课之前教材已经引入导数和定积分的概念，并研究了其性质。该定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法。本节内容不仅是本书一个非常重要的内容，也是整个数学学习中的一块重要知识，该定理为下一节定积分的应用的学习奠定了基础，同时也为学生深入研究数学作了一个知识储备。
2、教学目标
根据以上的教材分析，确定本节课的教学目标如下：
知识与技能：
（1）了解微积分基本定理，学会应用微积分基本定理求定积分；
（2）通过对本课学习，培养应用微积分思想解决实际问题的能力。
过程与方法：
（1）通过自主探究速度与位移的关系对图像的研究，巩固数形结合的方法，；
（2）通过设问，探究速度与位移的关系，培养化整为零，以直代曲的思想。
情感态度与价值观：
（1）感知寻求计算定积分新方法的必要性，激发求知欲；
（2）通过对定理的应用，体会微积分基本定理的优越性；
（3）帮助建立微观与宏观的联系桥梁。
3、教学重点
根据教材分析，及教学目标我对本节课确定了以下重点：通过探究变速直线运动中的速度和位移的关系导出出微积分基本定理，以及对微积分基本定理的应用。
二、学情分析
1、已有的知识与能力
学生是在高二时学习该定理，因此学生具备了以下知识和能力储备
（1）学生在学习本节内容之前，变速直线运动中的位移、速度、时间三者的关系已经很熟悉；
（2）已经熟练掌握高中导数的知识，并能应用这些知识解决问题；
（3）理解了定积分的定义及其几何意义，并能按定积分的定义求解定积分；
（4）相对高一而言具有更好地抽象思维能力和计算、化简能力。
2、学生可能遇到的困难
（1）学生在本学期才开始接触微分和逐步逼近的思想，所以大部分学生微积分基本定理的形成还是比较困难的，因此只要求学生通过实例了解微积分基本定理；
（2）在用微积分基本定理计算定积分时，部分学生对该定理的条件的理解和找满足的还是存在困难，但在高中对此要求不高，故提醒学生不必深究。
3、教学难点
针对以上的学情分析，以及教学目标和重点的制定，我确定了本课的难点：微积分基本定理的导出。
三、教法与学法
1、教学方法：教法以老师讲授为主，引导学生探究为辅。
2、学习方法：课前预习探究发现例题理解练习巩固课后复习。
3、教学手段：黑板教学与多媒体教学相结合。
四、教学过程
总体设计：复习旧知、设题引入、探究归纳、定理导出与应用、定理延伸、课堂小结与布置作业
1、复习旧知(10分钟)
1.1老师和学生一起复习定积分的定义：
如果函数在区间连续，用分点
将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式
当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作，即
，
这里，与分别叫做积分下限和积分上限，函数叫做被积函数，叫做积分变量。
1.2复习完定义，引入例题：
例1.
用定义法求定积分
（1）
（2）
1.3在求解（2）时无法得到确切的结果，这时继续引发学生思考被积函数为、该如何求解？
设计意图：复习定积分的定义是为了加深学生对定积分的印象，设置例1.（1）是为了引导学生回顾按定义法求定积分的步骤：分割、近似替代、逼近求和，这可以帮助学生更好地理解微积分基本定理的形成过程。设置例1.（2）是让学生体会按照定义求定积分的复杂性，从而引发学生思考，激发学生的求知欲。同时也为微积分基本定理的导出做好铺垫。
2、设题引入（5分钟）
引例：如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是，由导数的概念可知，它在任意时刻的速度是。设这个物体在时间段内的位移为，你能分别用表示吗
2.1引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
（1）画出函数的图像，通过观察的
图像或根据位移的定义探索发现并得出;
——基本定理的右端雏形
（2）当时间差距很小时，物体运动是否可以近似看
做在内做运速运动
注：
定义导数时就是用了在无限小段时间内变速运动近似与匀速运动的方法去探究的。
（3）变速直线运动的物体在时间区间上的位移与点速度之间有什么样的关系？
设计意图：从物理的位移与速度之间的关系引入微积分基本定理基于两方面考虑:（1）学生对于位移、速度、时间三者的关系已经相当的熟悉，并且在学习定积分的概念时学生已经按定义求解过具体速度时的位移，这有助于学生对该公式的形成。（2）当初牛顿也是从研究位移与速度发现微积分基本定理，逻辑性比较强。同时，在探究过程中可以培养学生自主探究的能力以及化整为零和一直带曲思想。
3、探究归纳（5分钟）
经过学生对上述三个问题的探究教师可以归纳出在每个小区间位移为：
由微分求和可以得出在的位移为：
由定积分定义可以得出：
——基本定理左端雏形
综上可得到：
——基本定理雏形
4、定理的导出与应用（20分钟）
4.1由定理导出得到定理雏形可以直接归纳一般连续函数在区间的积分与其导数的关系，即微积分基本定理：
如果是区间连续函数，若
该公式也称作牛顿——莱布尼茨公式
4.2可以简要介绍一下牛顿和莱布尼茨。
4.3
活学活用
例2.利用微积分基本定理解决前面的问题
（1）
（2）
（3）
解：（1）令，取，则
由微积分基本定理得
同理，可以解出（2）（3），同时也可以解出
练习：课本A组1.（2）、（4）、（6）
例3.汽车以36km/h的速度行使，到某处需要减速停车，设汽车以加速度
刹车，试问这辆车从开始刹车到停车走了多少距离？
5、定理延伸
5.1让同学课后思考:微积分基本定理与定积分几何意义的联系
例4.计算下列定积分并给出定积分的几何意义
（1）
（2）
通过求解得：（1），（2）
其几何意义如下图:
（1）
（2）
归纳总结：微积分基本定理求的是整个区间的定积分，若要求曲线与轴围成的面积则需将轴上下部分分开求解。
设计意图：4.2简单介绍牛顿和莱布尼兹的个人背景资料以丰富课堂内容。4.3学生和上一节例题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分简单，给出规范格式，初步展示微积分基本定理的优越性。练习和例3是为了让学生巩固强化对微积分基本定理的应用。4.4让学生课后探究微积分基本定理与定积分几何意义的联系，为下节课定积分的应用做好铺垫，同时也指出易错点：求曲线面积时，学生没有考虑图像的分布就直接应用微积分基本定理求解。
6、课堂小结与布置作业（5分钟）
6.1以问答形式引导学生回顾并总结本节内容，强调重、难点。
问：本节课我们学了什么？
答：微积分基本定理
问：我们是怎么形成这个定理的？
答：先微分，在近似替代，然后求和，最后取极限逼近
问：还有什么问题吗？
6.2布置作业：
1.（1）、（3）、（5），2.
设计意图：5.1以问答形式可以提高学生的归纳、整理能力，对所学知识形成清晰的知识网络，同时也可以了解到学生对本堂课的掌握程度。5.2根据学生掌握情况布置作业可以帮助学生巩固已掌握的知识，同时也可以帮助他们发现和解决存在的问题。
五、板书设计
微积分基本定理
1、复习旧知2、微积分基本定理3、定理与几何意义的联系
定理形成引导与例题
ppt展示
六、教学效果预估
15%的学生通过老师引导自己形成定理雏形；50%的学生通过老师的讲解能理解微积分基本定理的形成过程；80%的学生了解微积分基本定理形成过程并能对定理进行熟练应用；90%经过课后复习后能够用微积分基本定理解题。
七、教学评价
对本堂课我从四个方面评价
（1）时间安排：根据本次课每个环节的所花时间评价时间安排的合理性；
（2）学生的反应：在上课时关注学生的反应，了解学生对知识的理解程度，评价教师教学技能；
（3）提问与解答：通过学生对设置问题的解答情况了解学生对知识的掌握程度，评价问题设计；
（4）习题完成情况：通过学生对例题和习题的完成情况，掌握学生动态评价例题与习题设计。
