1.3.2
函数的极值与导数
一、教材分析
《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。
二、教学目标
1.
教学目标
知识技能目标：
掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
（2）过程与方法目标：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感与态度目标：
培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系.
2．教学重点和难点
重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.
难点：(1)为函数极值点与=0的逻辑关系
(2)函数的导数与函数最值的区别及联系。
3．教学方法与教学手段
师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.
利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.
4、教学过程
1.引入
情景创设
学生活动
教师活动
设计理由
利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义.
学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.
引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。
直观形象，立即抓住学生.
2函数极值的定义
掌握函数极值的定义.着重理解：“在点附近”的含义。体会：极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
教师给出函数极值的定义:一般地,设函数在点附近有定义，
如果对附近的所有的点，都有﹤,我们就说是函数的一个极大值，记作y极大值=；如果对附近的所有的点，都有﹥，我们就说是函数的一个极小值，记作y极小值=.强调：极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值.
3再观察再认识
再观察冲浪板在波峰波谷时的状态.
(冲浪板近似的理解为曲线的切线)
寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.（巩固导数与函数单调性之间的关系）
复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.
给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：(1)
如果在附近的左侧﹥0，右侧﹤0,那么,是极大值；
(左正右负为极大)(2)
如果在附近的左侧﹤0,右侧﹥0,那么,是极小值.
(右正左负为极小)
根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.
4
应用1
求函数=的极值.
教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。解:∵=x2-4,由=0解得x1=2,
x2=-2.当x变化时,、的变化情况如下表:(-∞,-2）-2（-2,2）2(2,+∞）+00+极大值极小值当x=-2时,y极大值=；当x=2时,y极小值=.
这是本节课的重点，利用导数知识求可导函数的极值.
5归纳
求可导函数的极值的步骤：(1)求导数；(2)求方程=0的根；(3)检查在方程的根左右的值的符号.如果左正右负,那么在这个根处取极大值；如果左负右正,那么在这个根处取极小值.
6练一练
练习：
学生独立完成,然后口答。思考：（1），（2）问中的极值是该函数的最值吗？体会：局部与整体的关系。
及时点评，并给出正确答案（1）（2）此函数没有极值点。
及时巩固重点内容，作到课堂上就过手。
7探索
让学生逐步归纳出为函数极值点与=0的逻辑关系.
若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可 探索:x=0是否是函数=x的极值点 （展示此函数的图形）结论：左右侧导数异号
是函数f(x)的极值点
=0
函数的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即是函数在取极值点的必要条件。
9小结
可导函数的极值与导数的关系：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大；点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.
10研究性问题
函数极值点的两种情况：
若点是可导函数f(x)的极值点，则=0，反过来不一定成立。函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：在x=0处不可导，但x=0是函数的极小值。
层层递进可留给同学们作为研究性问题，使得知识更全面.
11作业
利用极值求函数中的参数
P136习题3.8
选作：已知=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极值,且=-1.(1)求a,b,c的值;(2)判断x=1时函数取极大值还是极小值,并说明理由.
适当分层让不同的人学习不同的数学.
附
教学设计说明
本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用.
由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，大学里还将继续深入学习，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手.对于难点问题：为函数极值点与=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性.
本节教案中的研究性问题为补充例题，选取它的目的是想体现知识的完整性，教师可根据自己学生的认知能力以及课时情况适当删减.
作业采取适当分层的办法，既可以照顾大多数，又让学有余力者可以发挥.
另:板书设计
1.3.2函数的极值函数的极值的定义判断可导函数极值的方法3．应用1求函数y=的极值（板书解题过程）4．求可导函数的极值的步骤:
5．应用2求y=（x-1）+
1的极值。(学生口答,教师板书解题过程)6．可导函数的极值与导数的关系：函数的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即是函数在取极值点的必要条件。
7：利用极值求函数中的参数8．作业P136习题3.8,
选作
一堂课结束以后,黑板上应留下完整的教学基本结构,
重点内容或是易错问题应用彩色笔加以突出.
让学生有整体上的知识结构图,课后有回忆，有思索的空间.1.3.2函数的极值与导数
一、教材分析
《函数极值>>是高中数学人教版版新教材选修2-2第一章第三节，在此之前我们已经学习了导数，这为我们学习这一节起着铺垫作用。
二、教学目标
1.
教学目标
知识技能目标：
掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法及步骤；了解可导函数极值点与=0的逻辑关系；培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力.
（2）过程与方法目标：
培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。
（3）情感与态度目标：
培养学生层层深入、一丝不苟研究事物的科学精神；
体会数学中的局部与整体的辨证关系.
2．教学重点和难点
重点：掌握求可导函数的极值的一般方法.
难点：(1)为函数极值点与=0的逻辑关系
(2)函数的导数与函数最值的区别及联系。
3．教学方法与教学手段
师生互动探究式教学，遵循“教师为主导、学生为主体”的原则，结合高中学生的求知心理和已有的认知水平开展教学。由于学生对极限和导数的知识学习还十分的有限（大学里还将继续学习），因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明，教师的主导作用和学生的主体作用都必须得到充分发挥.
利用多媒体辅助教学.电脑演示动画图形，直观形象，便于学生观察.幻灯片打出重要结论，清楚明了，节约时间，提高课堂效率.
4、教学过程
1.引入
情景创设
学生活动
教师活动
设计理由
利用学生们熟悉的海边体育运动—冲浪，直观形象地引入函数极值的定义.
学生感性认识运动员的运动过程，体会函数极值的定义.
引导学生想象冲浪的过程引入极值的现象。
直观形象，立即抓住学生.
2函数极值的定义
掌握函数极值的定义.着重理解：“在点附近”的含义。体会：极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.
教师给出函数极值的定义:一般地,设函数在点附近有定义，
如果对附近的所有的点，都有﹤,我们就说是函数的一个极大值，记作y极大值=；如果对附近的所有的点，都有﹥，我们就说是函数的一个极小值，记作y极小值=.强调：极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值.
3再观察再认识
再观察冲浪板在波峰波谷时的状态.
(冲浪板近似的理解为曲线的切线)
寻找函数极值点与导数之间的关系.不难得出：(1)曲线在极值点处切线的斜率为0；(2)曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.（巩固导数与函数单调性之间的关系）
复习可导函数在定义域上的单调性与函数极值的相互关系；教师引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.
给出寻找和判断可导函数的极值点的方法：(1)
如果在附近的左侧﹥0，右侧﹤0,那么,是极大值；
(左正右负为极大)(2)
如果在附近的左侧﹤0,右侧﹥0,那么,是极小值.
(右正左负为极小)
根据大纲要求及学生的知识水平,此处突出直观性,降低理论性.
4
应用1
求函数=的极值.
教师讲解与板书解题过程,学生回答教师提出的相关问题。解:∵=x2-4,由=0解得x1=2,
x2=-2.当x变化时,、的变化情况如下表:(-∞,-2）-2（-2,2）2(2,+∞）+00+极大值极小值当x=-2时,y极大值=；当x=2时,y极小值=.
这是本节课的重点，利用导数知识求可导函数的极值.
5归纳
求可导函数的极值的步骤：(1)求导数；(2)求方程=0的根；(3)检查在方程的根左右的值的符号.如果左正右负,那么在这个根处取极大值；如果左负右正,那么在这个根处取极小值.
6练一练
练习：
学生独立完成,然后口答。思考：（1），（2）问中的极值是该函数的最值吗？体会：局部与整体的关系。
及时点评，并给出正确答案（1）（2）此函数没有极值点。
及时巩固重点内容，作到课堂上就过手。
7探索
让学生逐步归纳出为函数极值点与=0的逻辑关系.
若寻找函数极值点,可否只由=0求得即可 探索:x=0是否是函数=x的极值点 （展示此函数的图形）结论：左右侧导数异号
是函数f(x)的极值点
=0
函数的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即是函数在取极值点的必要条件。
9小结
可导函数的极值与导数的关系：函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大；点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0.
10研究性问题
函数极值点的两种情况：
若点是可导函数f(x)的极值点，则=0，反过来不一定成立。函数的不可导点也可能是函数的极值点，如：在x=0处不可导，但x=0是函数的极小值。
层层递进可留给同学们作为研究性问题，使得知识更全面.
11作业
利用极值求函数中的参数
P136习题3.8
选作：已知=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=1处取得极值,且=-1.(1)求a,b,c的值;(2)判断x=1时函数取极大值还是极小值,并说明理由.
适当分层让不同的人学习不同的数学.
附
教学设计说明
本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。其后还有利用导数求函数的最值问题，因此本节课还要起到承上启下的作用.
由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，大学里还将继续深入学习，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明.让学生掌握的重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手.对于难点问题：为函数极值点与=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性.
本节教案中的研究性问题为补充例题，选取它的目的是想体现知识的完整性，教师可根据自己学生的认知能力以及课时情况适当删减.
作业采取适当分层的办法，既可以照顾大多数，又让学有余力者可以发挥.
另:板书设计
1.3.2函数的极值函数的极值的定义判断可导函数极值的方法3．应用1求函数y=的极值（板书解题过程）4．求可导函数的极值的步骤:
5．应用2求y=（x-1）+
1的极值。(学生口答,教师板书解题过程)6．可导函数的极值与导数的关系：函数的极值点处导数为0，但导数为零的点不一定是极值点。即是函数在取极值点的必要条件。
7：利用极值求函数中的参数8．作业P136习题3.8,
选作
一堂课结束以后,黑板上应留下完整的教学基本结构,
重点内容或是易错问题应用彩色笔加以突出.
让学生有整体上的知识结构图,课后有回忆，有思索的空间.1.3.2
函数的极值与导数
一、选择题
1．已知函数y＝x－ln(1＋x2)，则函数y的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
【答案】 D
【解析】 ∵y′＝1－(x2＋1)′＝1－＝
令y′＝0得x＝1，当x>1时，y′>0，
当x<1时，y′>0，
∴函数无极值，故应选D.
2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 只有这一点导数值为0，且两侧导数值异号才是充要条件．
3．函数f(x)＝x＋的极值情况是( )
A．当x＝1时，极小值为2，但无极大值
B．当x＝－1时，极大值为－2，但无极小值
C．当x＝－1时，极小值为－2；当x＝1时，极大值为2
D．当x＝－1时，极大值为－2；当x＝1时，极小值为2
【答案】 D
【解析】 f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝±1，
函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,0)和(0,1)上单调递减，
∴当x＝－1时，取极大值－2，当x＝1时，取极小值2.
4．下列函数中，x＝0是极值点的是( )
A．y＝－x3
B．y＝cos2x
C．y＝tanx－x
D．y＝
【答案】 B
【解析】 y＝cos2x＝，y′＝－sin2x，
x＝0是y′＝0的根且在x＝0附近，y′左正右负，
∴x＝0是函数的极大值点．
5．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】 A
【解析】 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．
6．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是( )
A．极大值为，极小值为0
B．极大值为0，极小值为
C．极大值为0，极小值为－
D．极大值为－，极小值为0
【答案】 A
【解析】 由题意得，f(1)＝0，∴p＋q＝1①
f′(1)＝0，∴2p＋q＝3②
由①②得p＝2，q＝－1.
∴f(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，极大值f＝，极小值f(1)＝0.
二、填空题
7．已知函数y＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝______，b＝________.
【答案】 －3
－9
【解析】 y′＝3x2＋2ax＋b，方程y′＝0有根－1及3，由韦达定理应有
8．已知函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点，则a的取值范围是________．
【答案】 (－2,2)
【解析】 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，
可得极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2，
y＝f(x)的大致图象如图
观察图象得－2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有试写出极值．
【解析】 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
增
极大值f(－1)
减
极小值f(3)
增
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值为f(3)＝－16.
10．已知函数f(x)＝ax3＋bx2－3x在x＝±1处取得极值．
(1)讨论f(1)和f(－1)是函数f(x)的极大值还是极小值；
(2)过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．
【解析】 (1)f′(x)＝3ax2＋2bx－3，依题意，
f′(1)＝f′(－1)＝0，即
解得a＝1，b＝0.
∴f(x)＝x3－3x，
f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)．
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.
若x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则f′(x)＞0，故
f(x)在(－∞，－1)上是增函数，
f(x)在(1，＋∞)上是增函数．
若x∈(－1,1)，则f′(x)＜0，故
f(x)在(－1,1)上是减函数．
∴f(－1)＝2是极大值；f(1)＝－2是极小值．
(2)曲线方程为y＝x3－3x.点A(0,16)不在曲线上．
设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x－3x0.
∵f′(x0)＝3(x－1)，故切线的方程为
y－y0＝3(x－1)(x－x0)．
注意到点A(0,16)在切线上，有
16－(x－3x0)＝3(x－1)(0－x0)．
化简得x＝－8，解得x0＝－2.
∴切点为M(－2，－2)，
切线方程为9x－y＋16＝0.(共21张PPT)
1.
结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2.
理解极值的概念，会用导数求函数的极大值和极小值．
3.
会已知可导函数极值求参数的值．
1.函数的导数与函数的单调性有什么关系？
复习提问
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y′>0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y′<0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数.
2.用导数求函数单调区间的步骤是什么？
（1）
求函数的定义域.
（2）求出函数的导函数f′(x).
（3）求解不等式f′(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间.
求解不等式f′
(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间.
注：单调区间不
以“并集”出现.
问题：如图表示高台跳水运动员的高度
随时间
变化的函数
的图象
单调递增
单调递减
归纳:
函数
在点
处
,在
的附近,
当
时,函数h(t)单调递增，
;
当
时,函数h(t)单调递减,
。
观察图象探究一：1.可导函数y=f(x)在点a和点b处的函数值与它们附近点的函数值有什么的大小关系？2.
y=f(x)在点a和点b处的导数值是多少？3.在点a和点b附近，y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系？
极大值f(b)
点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值.
极小值f(a)
注：1.极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.
2.以上是可导函数极值的定义，一般函数的以后学习.
极值点处导数值为0.
探究二：1.函数y=f(x)在极值点的导数值为多少
2.
极值点两侧导数符号有何规律
极值点左右附近的导数值符号相反.
观察函数y=f(x)的图象
探究三：1.极大（小）值是最大（小）值吗？
2.
图中有哪些极值点？极值点唯一吗？
3.极大值一定比极小值大吗？
4.极值可以在区间端点取得吗？
C
（1）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。
（2）函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不可能成为极值点。
探究四:1.导数值为0的点一定是函数的极值点吗？
若是，请说明理由;若不是，你能举一反例吗？
不一定，如函数
.
2.可导函数在某点取得极值的必要条件和充要条件分别是什么？
必要条件：该点处导数为零；
充要条件：该点处导数为零，且两侧导数符号相反.
1.如图是函数y=f(x)
的图象,试找出函数y=f(x)
的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
2.下图是导函数
的图象,
试找出函数
的极值点,
并指出哪些是极大值点,
哪些是极小值点.
a
b
x
y
x1
O
x2
x3
x4
x5
x6
因为
所以
解:
令
解得
或
当
,
即
,
或
;
当
,
即
.
当
x
变化时,
f
(x)
的变化情况如下表:
x
(–∞,
–2)
–2
(–2,
2)
2
(
2,
+∞)
0
0
f
(x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
所以,
当
x
=
–2
时,
f
(x)有极大值
28
/
3
;
当
x
=
2
时,
f
(x)有极小值
–
4
/
3
.
例1
求函数
的极值.
求解函数极值的一般步骤:
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大.
(1)确定函数的定义域，求导数f
(x)
.
(2)求方程f
(x)=0的根.
(3)用方程f
(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.
(4)检查f
(x)=0在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.
2.(2010安徽理）设
为实数，函数
求
的单调区间与极值.
1.（2011广东）函数
在
______取得极小值.
2
-1
2
9
一、基本知识
1、极值的定义
2、判定极值的方法
3、求极值的步骤
二、基本思想
1.转化与化归
2.数形结合
3.函数与方程
问题1：函数的单调性与其导函数正负有什么关系？
问题2：我们在探究函数单调性与导数的关系时，
用了哪些思想方法？
问题3：怎样利用导数求函数的单调区间，需要注意什么？