科目
数学
课题
矩形的判定
学
习
目
标
1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。2.
能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算.
重点
掌握并会运用矩形的判定
难点
运用矩形的判定进行简单的推理与计算。
学法指导及使用说明：用15分钟的时间，结合课本完成一、二部分，用25分钟完成三、四部分。
一、旧知回顾1、想一想：矩形有哪些性质？在这些性质中那些是平行四边形所没有的？列表进行比较.平行四边形矩形边对边平行且相等对边平行且相等角对角相等，邻角互补四个角都是直角对角线对角线互相平分对角线相等且互相平分2、矩形对称性：二、合作探究仿照平行四边形的判定猜想，你能猜出矩形的判定有哪些吗？（分别从边、角、对角线几个方面考虑。）1、定义可以作为判定2、四个角都是直角的四边形3、对角线相等的平行四边形或对角线互相平分且相等的四边形。你能证明所写出的判定命题吗？
备注（教师复备栏及学生笔记）
三、应用例1.
如图，□
ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是正三角形，AB=4cm.(1)
求证□
ABCD是矩形.(2)
求□
ABCD的面积.2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝9
( http: / / www.21cnjy.com )0°， CD为中线，延长CD到点E，使得
DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。答案：四边形ACBE是矩形.因为CD是Rt△ACB斜边上的中线，
所以DA=DC=DB,又因为D
( http: / / www.21cnjy.com )E=CD，所以DA=DC=DB=DE,所以四边形ABCD是矩形（对角线相等且互相平分的四边形是矩形）。
( http: / / www.21cnjy.com )四、课堂检测：1．下列说法正确的是（
）A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C.对角线互相平分的四边形是矩形
D.对角互补的平行四边形是矩形2.
矩形各角平分线围成的四边形是（
）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形3.
下列判定矩形的说法是否正确
（1）有一个角是直角的四边形是矩形
（
）
（2）四个角都是直角的四边形是矩形
（
）（3）四个角都相等的四边形是矩形
（
）
（4）对角线相等的四边形是矩形
（
）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
（
）（6）对角线相等且互相平分的四边形是矩形
（
）4.
（2011江苏淮安）在四边形ABCD
( http: / / www.21cnjy.com )中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是
.(写出一种即可)五、我的收获：
六、课后作业：
备注（教师复备栏及学生笔记）
O
D
C
B
A矩形的判定
教学目标：
1．理解并掌握矩形的判定方法．
2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力。
重点、难点：
1．重点：矩形的判定．
2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．
3．难点的突破方法：
矩形是有一个角是直角的平行四边形，在判定一个四边形是不是矩形时，首先看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法（这体现了定义作用的双重性、性质和判定）．而其它判定都是以“定义”为基础推导出来的．因此本节课要从复习矩形定义下手，并指出由平行四边形得到矩形只需要添加一个独立条件，然后让学生思考讨论，如果小华做出的是一个平行四边形，再加一个什么条件可以说明它是一个矩形呢？从而导出矩形判定方法．
对于判定方法1，要着重说明这个性质包括两个条件：（1）是平行四边形；（2）两条对角线相等．对于判定2，只要求是四边形即可，因为有三个角是直角，可以推出四边形是平行四边形，而由对角线相等却推不出四边形是平行四边形．为了加深印象，我们安排了例1，在教学中可以适当地再增加一些判断的题目．
要让学生知道（1）矩形的判定方法有以下三种：①一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形．（2）而由矩形和平行四边形及四边形的从属关系将矩形的判定方法又可分为两类：①从四边形出发必须增加三个特定的独立条件；②从平行四边形出发只需再增加一个特定的独立条件．（3）特别地：①如果所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；②所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
在教学中，除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．
三、例题
( http: / / zk. / "
\o
"欢迎登陆全品中考网 )的意图分析
本节课的三个例题都是补充题，例1的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题
( http: / / zk. / "
\o
"欢迎登陆全品中考网 )目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．
四、课堂引入
1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？
2．矩形有哪些性质？
3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？
4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．
矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．
（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）
五、例习题分析
例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？
（1）有一个角是直角的四边形是矩形；
（×）
（2）有四个角是直角的四边形是矩形；
（√）
（3）四个角都相等的四边形是矩形；
（√）
（4）对角线相等的四边形是矩形；
（×）
（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（×）
（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（√）
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（×）
（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）
（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．
(√)
指出：
（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；
（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．
例2
（补充）已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4
cm，求这个平行四边形的面积．
分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．
解：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AO=AC，BO=BD
∵
AO=BO，
∴
AC=BD．
∴
ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
在Rt△ABC中，
∵
AB=4cm，AC=2AO=8cm，
∴
BC=（cm）．
例3
（补充） 已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．
分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题
( http: / / zk. / "
\o
"欢迎登陆全品中考网 )目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AD∥BC．
∴ ∠DAB＋∠ABC=180°．
又
AE平分∠DAB，BG平分∠ABC
，
∴ ∠EAB＋∠ABG=×180°=90°．
∴ ∠AFB=90°．
同理可证
∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．
∴
四边形EFGH是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
六、随堂练习
1．（选择）下列说法正确的是（
）．
（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
（C）对角线互相平分的四边形是矩形
（D）对角互补的平行四边形是矩形
2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得
DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．
七、课后练习
1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
⑴
先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；
⑵
摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是
形，根据的数学道理是：
；
⑶
将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是
形，根据的数学道理是：
；
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．(共23张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
第1课时
矩形及其性质
1
课堂讲解
2
课时流程
矩形的定义
矩形的边角性质
矩形的对角线性质
直角三角形斜边上中线的性质
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
1
知识点
矩形的定义
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
注意：
(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行
四边形不一定是矩形．
(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；
②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．
知1－讲
例1
如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分
别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四
边形ABCD是矩形吗
简述你的理由．
知1－讲
很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为
直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，
∴AD∥BC．∵l1∥l2，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
分析：
解：
总
结
知1－讲
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明
四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个
角是直角.
1
下列说法正确的是( )
A．平行四边形是矩形
B．矩形不一定是平行四边形
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．平行四边形具有的性质矩形都具有
知1－练
2
如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它
变为矩形，需要添加的条件是( )
A．AB＝CD
B．AD＝BC
C．∠AOB＝45°
D．∠ABC＝90°
知1－练
2
知识点
矩形的边角性质
知2－导
想一想
(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性
质．你能列举一些这样的性质吗？
(2)矩形是轴对称图形吗？
如果是，它有几条对称轴？
(3)你认为矩形还具有哪些
特殊的性质？与同伴交流．
矩形是轴
对称图形.
知2－导
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.
求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的
对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.
归
纳
知2－导
矩形的性质：
(1)矩形的四个角都是直角．
(2)矩形具有平行四边形的所有性质．
(3)矩形是轴对称图形，如图所示，
邻边不相等的矩形有两条对称轴．
如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是( )
A．△AOB≌△BOC
B．△BOC≌△EOD
C．△AOD≌△EOD
D．△AOD≌△BOC
知2－练
1
如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( )
A．△AFD≌△DCE
B．AF＝
AD
C．AB＝AF
D．BE＝AD－DF
知2－练
2
3
知识点
矩形的对角线性质
知3－导
任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现
已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．
求证：AC=DB．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．
∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC=DB．
于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.
证明：
矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角相等
B．对角线相等
C．对边相等
D．对角线互相平分
知3－练
1
如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( )
A．4.8
B．5
C．6
D．7.2
知3－练
2
知4－导
4
知识点
直角三角形斜边上中线的性质
议一议
如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
2、请你完成这个定理的证明.
3、总结：
(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”
是解决线段倍分问题的重要依据；
(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上
的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形
性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；
(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平
方和等于斜边平方．
知4－讲
例2 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，
OA＝OC＝
AC，OB＝OD＝
BD(矩形的对角线互相平分)．
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝
(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.
知4－讲
你还有其他解法吗？
1
如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是
AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE
的周长为(
)
A．14
B．16
C．17
D．18
知4－练
2
如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为( )
A．4
B．8
C．2
D．4
知4－练
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩
形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行
四边形所有性质．
2．性质归纳：
(1)边的性质：对边平行且相等．
(2)对角线性质：对角线互相平分且相
等．
(3)对称性：矩形是轴对称图形．
完成教材P13——P14，T1-T4科目
数学
课题
矩形及其性质
学
习
目
标
1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。2.
在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。
重点
矩形概念的理解；掌握并会运用矩形的性质
难点
运用矩形的性质进行简单的推理与计算。
学法指导及使用说明：用15分钟的时间，结合课本完成一、二部分，用25分钟完成三、四部分。
一、定义： 矩形的定义：(
)。由此可见，矩形是特殊的(
)，它具有(
)
的所有性质。 二、探究矩形的性质：1．2．．．三、知识延展：（1）、由矩形性质有OA=OC=AC
OB=OD=BD且AC=BD得OA=
=
=
∴矩形对角线的交点O到各顶点的距离
(
)。
备注（教师复备栏及学生笔记）
由图可知，在矩形中有(
)个直角三角形，它们分别是(
)
有(
)个等腰三角形，它们分别是(
)∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。（3）、由矩形性质有∠ABC=90度，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的(
)，则OB=(
)AC∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的
(
)
思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是(
)图形，有(
)条对称轴。对称轴是
(
)
。∴矩形既是(
)
对称图形，又是(
)对称图形，对称中心为(
)
四、应用1、例题：（P13例1，先看题目自己完成证明过程，再对照课本检查）2、课堂检测： ①.
（2014浙江温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=
60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有(
)
A．2条
B．4条
C．5条
D．6条②（2014四川绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是（
）A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
=
3
\
GB3
③（2013山东滨州）将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.五、我的收获：
六、课后作业：
备注（教师复备栏及学生笔记）(共24张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
第3课时
矩形的性质与判定
的综合应用
1
题型
利用矩形的判定和性质解和差问题
如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.
(1)求证：BD＝PE＋PF.
(2)当点P在BC的延长线
上时，其他条件不变．
如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立
吗？若不成立，请说明理由．
(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.
∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，
∴四边形BDFH是矩形．
∴BD＝HF.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠PEB＝∠PFC＝90°.
∴∠EPB＝∠FPC.
证明：
又∵∠HPB＝∠FPC，
∴∠EPB＝∠HPB.
∵PE⊥AB，PH⊥BH，
∴∠PEB＝∠PHB＝90°.
又∵PB＝PB，
∴△PEB≌△PHB.
则PE＝PH.
∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.
即BD＝PE＋PF.
(2)不成立，PE＝BD＋PF.
理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.
与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.
∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.
解：
2．如图，已知点E是 ABCD中BC边的中点，连接
AE并延长交DC的延长线于点F.
(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：
四边形ABFC为矩形；
(2)在(1)的条件下，若△AFD
是等边三角形，且边长为4，
求四边形ABFC的面积．
2
题型
利用矩形的判定和性质解面积问题
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC.
∴∠ABE＝∠ECF.
又∵点E为BC的中点，
∴BE＝CE.
又∵∠AEB＝∠FEC，
∴△ABE≌△FCE.
∴AB＝CF.
证明：
又AB∥CF，
∴四边形ABFC为平行四边形．
∴AE＝EF.
∵∠AEC为△ABE的外角，
∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.
又∵∠AEC＝2∠ABC，
∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.
∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.
∴四边形ABFC为矩形．
(2)∵四边形ABFC是矩形，
∴AC⊥DF.
又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，
∴CF＝CD＝
＝2.
∴AC＝
∴S矩形ABFC＝
解：
3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，且DE∥AC，AE∥BD.
求证：四边形AODE是矩形．
3
题型
利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形
∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD.
∴∠AOD＝90°.
∴四边形AODE是矩形．
证明：
4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别
是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，
并说明理由．
4
题型
利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系
MN⊥CD.
理由如下：
如图，连接ND，NC.
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，
∴ND＝
AB.同理可证NC＝
AB.
∴ND＝NC.
∴△NDC是等腰三角形．
在等腰三角形NDC中，
∵M是CD的中点，
∴MN⊥CD.
解：
5．阅读下面材料：
在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，
我们把一个四边形ABCD
的四边中点E，F，G，
H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边
形吗？
5
题型
利用矩形、菱形的判定探究条件
小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.
点E，F分别是AB，BC的中点
EF∥GH
EF＝
AC
点G，H分别是CD，AD的中点
GH∥AC
GH＝
AC
EF∥GH
EF＝GH
四边形EFGH
是平行四边形
参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：
(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则
四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．
(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.
①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱
形？写出结论并说明理由．
②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩
形．直接写出结论．
(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：
连接AC.
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF＝
AC.
∵G，H分别是CD，AD的中点，
∴GH∥AC,
GH＝
AC.
∴EF∥GH，EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
解：
(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．
理由如下：
由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，
当AC＝BD时，FG＝
BD，EF＝
AC，
∴
FG＝EF.
∴四边形EFGH是菱形．
②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．
点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行
四边形，
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF∥AC.
∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.
∵G，F分别是CD，BC的中点，
∴FG∥BD.
∵EF⊥BD，
∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．
6．已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且
BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，
且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.
6
题型
利用矩形的性质探究动点问题
(1)如图①，当点P为线段EC的中点时，
求证：PR＋PQ＝
(2)如图②，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点
C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成
立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图③，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其
他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？
请直接写出你的猜想．
(1)连接BP，作CH⊥BD于点H.
∵BE＝BC，点P为CE的中点，
∴BP是∠EBC的平分线．
∵PR⊥BE，PQ⊥BC，
∴PR＝PQ.
在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，
BC＝4，CD＝AB＝3，
∴
证明：
由S△BCD＝
BC·CD＝
BD·CH，
得CH
＝
∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，
∴
又∵BE＝BC，
∴PR＋PQ＝
(2)(1)中结论PR＋PQ＝
仍成立．
证明：连接BP，作CH⊥BD于H.
∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，
∴
又∵BE＝BC，
∴PR＋PQ＝CH.
而CH＝
∴PR＋PQ＝
∴(1)中结论成立．
(3)猜想：PR－PQ＝
解：
解：矩形及其性质
教学目标
知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
过程与方法：
经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
情感态度与价值观
培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．
重难点、关键
重点：掌握矩形的性质，并学会应用．
难点：理解矩形的特殊性．
关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．
教学准备
教师准备：投影仪，收集有关矩形的图片，制作教具．
学生准备：复习平行四边形性质，预习矩形这节内容．
学法解析
1．认知起点：已经学习了三角形、平行四边形、菱形，积累了一定的经验的基础上学习本节课内容．
2．知识线索：情境与操作→平行四边形→矩形→矩形性质．
3．学习方式：观察、操作、感知其演变，以合作交流的学习方式突破难点．
教学过程
一、联系生活，形象感知
【显示投影片】
教师活动：将收集来的有关长方形图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念．
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．（也就是小学学习过的长方形）．
教师活动：介绍完矩形概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具．同学生一起探究下面问题：
问题1：改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？（教师提问）
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质．
问题2：既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？（教师提问）
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到：矩形的四个角都是直角．
评析：实际上，在小学学生已经学过长方形四个角都是90°，这里学生不难理解．
教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明（口述）．
学生活动：观察发现：矩形的两条对角线相等。口述证明过程是：充分利用（SAS）三角形全等来证明．
口述：∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=DC，
又∵BC为公共边，
∴△ABC≌△DCB（SAS）
∴AC=BD
教师提问：AO=_____AC，BO=______BD呢？（，）BO是Rt△ABC的什么线？由此你可以得到什么结论？
学生活动：观察、思考后发现AO=AC，BO=BD，BO是Rt△ABC的中线．由此归纳直角三角形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半（师生回忆）．
【设计意图】采用观察、操作、交流、演绎的手法来解决重点突破难点．
二、范例点击，应用所学
例1
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=4cm，求矩形对角线的长．（投影显示）
思路点拨：利用矩形对角线相等且平分得到OA=OB，由于∠AOB=60°，因此，可以发现△AOB为等边三角形，这样可求出OA=AB=4cm，∴AC=BD=2OA=8cm．
【活动方略】
教师活动：板书例1，分析例1的思路，教会学生解题分析法，然后板书解题过程.
学生活动：参与教师讲例，总结几何分析思路．
【问题探究】（投影显示）
如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD是△ABC的高，E是AB的中点，求证：DE=1/2AC．
思路点拨：本题可从E是AB的中点切入，考虑应用三角形中位线定理．应用三角形中位线必需找到另一个中点．分析可知：可以取BC中点F，也可以取AC的中点G为尝试．
【活动方略】
教师活动：操作投影仪，引导、启发学生的分析思路，教会学生如何书写辅助线．
学生活动：分四人小组，合作探索，想出几种不同的证法
证法一：取BC的中点F，连结EF、DF，如图（1）
∵E为AB中点，∴EFAC，∴∠FEB=∠A，
∵∠A=2∠B，∴∠FEB=2∠B．DF=BC=BF，∴∠1=∠B，∴∠FEB=2∠B=2∠1=∠1+∠2，
∴∠1=∠2，∴DE=EF=AC．
证法二：取AC的中点G，连结DG、EG，∵CD是△ABC的高，
∴在Rt△ADC中，DG=AC=AG，
∵E是AB的中点，∴GE∥BC，∴∠1=∠B．
∴∠GDA=∠A=2∠B=2∠1，
又∠GDA=∠1+∠2，∴∠1+∠2=2∠1，
∴∠2=∠1，∴DE=DG=AC．
【设计意图】
补充这道演练题
( http: / / zk. / "
\o
"欢迎登陆全品中考网 )是训练学生的应用能力，提高一题多解的意识，形成几何思路．
三、随堂练习，巩固深化
【探研时空】
已知：如图，从矩形ABCD的顶点C作对角线BD的垂线与∠BAD的平分线相交于点E．求证：AC=CE．
思路点拨：要证AC=CE，可以考虑∠E=∠CAE，AE平分∠BAD，所以∠DAE=∠BAE，因此，从中发现∠CAE=∠DAE-∠DAC．
另外一个条件是CE⊥BD，这样过A作AF⊥BD于F，则AF∥CE，可以将∠E转化为∠FAE，∠FAE=∠BAE-∠FAE．现在只要证明∠BAF=∠DAC即可，而实际上，∠BAF=∠BDA=∠DAC，问题迎刃而解．
四、课堂总结，发展潜能
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．
2．性质归纳：
（1）边的性质：对边平行且相等．
（2）角的性质：四个角都是直角．
（3）对角线性质：对角线互相平分且相等．
（4）对称性：矩形是轴对称图形．(共16张PPT)
第一章
特殊平行四边形
1.2
矩形的性质与判定
第2课时
矩形的判定
1
课堂讲解
由对角线关系判定矩形
由直角的个数判定矩形
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
做一做
如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．
(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？
(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此
你能得到一个怎样的猜想？
1
知识点
由对角线关系判定矩形
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
请完成该定理的证明：
知1－讲
知识点
知1－讲
例1 如图，在
ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB＝4，求
ABCD是矩形.
知识点
知1－讲
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.
∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.
∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.
∴
ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
解：
1
如图，在 ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．
知1－练
2
下列关于矩形的说法中正确的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
知1－练
3
已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是( )
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
知1－练
2
知识点
由直角的个数判定矩形
知2－导
想一想
我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．
知2－讲
例2
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分
线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD=
∠BAC，∠CAN＝
∠CAM.
∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝
(∠BAC＋∠CAM)
＝
×180°＝90°
在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.
∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．
1
数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否
为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，
其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量三个角是否都为直角
知2－练
2
下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内；
②有一个角是直角的四边形是矩形；
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
④两边及一角对应相等的两个三角形全等；
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知2－练
3
议一议
你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是
不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检
查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．
知2－练
1.矩形的判定方法：
（1）矩形的判定与性质是互逆定理；
（2）判定矩形的常见思路如下：
平行四边形
四边形
矩形
对角线
互相平分
有三个角是直角
有一个角是直角
对角线相等
完成教材P16T1-T3
