第9章
9.4矩形、菱形、正方形
一、单选题（共12题；共24分）
1、下面说法中，正确的是（
）
A、有一个角是直角的四边形是矩形
B、两条对角线相等的四边形是矩形
C、两条对角线互相垂直的四边形是矩形
D、四个角都是直角的四边形是矩形
2、在 ABCD中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是（
）
A、对角线互相平分
B、AB=BC
C、∠A+∠C=180°
D、AB=
AC
3、检查一个门框是矩形的方法是（
）
A、测量两条对角线是否相等
B、测量有三个角是直角
C、测量两条对角线是否互相平分
D、测量两条对角线是否互相垂直
4、在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（
）
A、
长方形
B、
平行四边形
C、
菱形
D、
直角梯形
5、如图，矩形ABCD对角线相交于点O
，
∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的为
(
)
A、4
B、8
C、4
D、10
6、如图，菱形ABCD中，∠BAD＝120°．若△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是(
)
A、25
B、20
C、15
D、10
7、如图，以正方形ABCD的一边向形外作等边△ABE，BD与EC交于点F，则∠AFD等于(
)
A、60°
B、50°
C、45°
D、40°
8、如图，将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且都是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为(
)
A、2
B、3
C、
D、
9、如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（
）
A、30°
B、45°
C、60°
D、90°
10、如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2
，
对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（
）
A、52cm
B、40cm
C、39cm
D、26cm
11、在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4
，
则S1+2S2+2S3+S4=（
）
A、5
B、4
C、6
D、10
12、八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（
）
A、
B、y=
x+
C、
D、
二、填空题（共6题；共7分）
13、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，△AOD是正三角形，AD=4，则平行四边形ABCD的面积为________．
14、如图，两条宽度为1的带子，相交成∠α，那么重叠部分（阴影部分）的面积是________．
15、如图，BF平行于正方形ABCD的对角线AC，点E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，则∠BCF的度数为________．
16、在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，则四边形ABCD是________．
17、一组邻边相等的________是正方形，有一个角是________角的菱形是正方形．
18、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E点，若∠ADC=130°，
则∠AOE=________．
三、解答题（共5题；共25分）
19、如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC、∠ABC的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．问四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．
20、如图所示，在Rt△ABC中，CF为直角的平分线，FD⊥CA于D，FE⊥BC于E，则四边形CDFE是怎样的四边形，为什么？
21、如图所示，四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成的．
求证：四边形EFGH是正方形．
22、如图，在△ABC中，AB＝AC
，
D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作平行四边形ABDE
，
连接AD、EC
．
若BD＝CD
，
求证：四边形ADCE是矩形．
23、正方形的边长为2，建立合适的直角坐标系，写出各个顶点的坐标．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】D
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、有一个直角的平行四边形是矩形，故错误；
B、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；
C、两条对角线互相垂直的四边形可能是梯形等，故错误；
D、四个角都是直角的四边形是矩形，正确，
故选D．
【分析】利用矩形的判定定理及矩形的定义进行判断后即可确定本题的答案．
2、【答案】C
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
可得∠A+∠B=180°，∠A+∠C=180°
故∠B=∠C=90°
增加的条件是∠A+∠C=180°．
故选C．
【分析】根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．
3、【答案】B
【考点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的方法是：测量有三个角是直角．
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴检查一个门框是矩形的另一个方法是：先测得门框的两组对边是否分别相等，再测其对角线的是否相等．
故选B．
【分析】由对角线相等的平行四边形是矩形与有三个角是直角的四边形是矩形，可求得答案．
4、【答案】C
【考点】平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，直角梯形
【解析】【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
5、【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【解答】∵矩形ABCD，
∴AC=BD，AC=2OA=2OB
∵∠AOB=60度，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
则AC=2OA=8.
故选B.
【分析】矩形的对角线相等，有一个为60度的等腰三角形是等边三角形.
6、【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质，菱形的性质
【解析】【解答】在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．则∠BAC=∠BAD＝60°,
又因为AB=BC，
所以△ABC是等边三角形，
则AB=15÷3=5,
菱形ABCD的周长是4×5=20.
故选B.
【分析】根据菱形的性质可知要求周长，则只要求出一条边的长度即可；易得∠BAC=∠BAD＝60°,则△ABC是等边三角形，可求得AB的边长，从而求出菱形的周长.
7、【答案】A
【考点】等边三角形的性质，正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形．
∴AD＝CD，∠ADF＝∠CDF=45°．
∴△ADF与△CDF全等．
∴∠AFD＝∠CFD．
∵CB＝CE，∴∠BCE＝∠CEB．
∵∠CBE＝∠ABC＋∠ABE＝90°＋60°＝150°，
∴∠BCE＝15°．
∵∠CBD＝45°，
∴∠CFD＝∠CBD＋∠BCE＝60°．
∴∠AFD＝60°．
故选A.
【分析】根据正方形的性质易求得△ADF与△CDF全等，则∠AFD＝∠CFD．而∠CFD是△BCF是的外角，根据BC=BE求出∠BCE.
8、【答案】D
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF+S△BFG）×2+S四边形EFGH
，
即：3a×5a=（2a×a÷2+a×4a÷2）×2+1，
9a2=1，
a=（a＞0），
∴矩形的面积=3a×5a=．
故选D．
【分析】设小正方形的边长为a，分别表示出S△AEF
，
S△BFG
，
根据矩形ABCD面积不同的表示方法构造方程.
9、【答案】C
【考点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=2AB，∴∠BAC=60°，OA=OB，∴△OAB是正三角形，∴∠AOB的大小是60°．故选C．
【分析】本题主要根据矩形的性质进行做题．
10、【答案】A
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：
如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD=
AC BD，
∴
×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=
=13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【分析】可定四边形ABCD为菱形，连接AC、BD相交于点O，则可求得BD的长，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得AB的长，从而可求得四边形ABCD的周长．
11、【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，∵图中的四边形为正方形，
∴∠ABD=90°，AB=DB，
∴∠ABC+∠DBE=90°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠CAB=∠DBE，
∵在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AC=BE，
∵DE2+BE2=BD2
，
∴ED2+AC2=BD2
，
∵S1=AC2
，
S2=DE2
，
BD2=1，
∴S1+S2=1，
同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，
∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
故选C．
【分析】先根据正方形的性质得到∠ABD=90°，AB=DB，再根据等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，则可根据“AAS”判断△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2
，
代换后有ED2+AC2=BD2
，
根据正方形的面积公式得到S1=AC2
，
S2=DE2
，
BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．
12、【答案】B
【考点】待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质
【解析】【解答】解：直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，
∵正方形的边长为1，
∴OB=3，
∵经过P点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴三角形ABP面积是8÷2+1=5，
∴
BP AB=5，
∴AB=2.5，
∴OA=3﹣2.5=0.5，
由此可知直线l经过（0，0.5），（4，3）
设直线方程为y=kx+b，则
，
解得
．
∴直线l解析式为y=
x+
．
故选B．
【分析】直线l和八个正方形的最上面交点为P，过P作PB⊥OB于B，过P作PC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，根据待定系数法即可得到该直线l的解析式．
二、填空题
13、【答案】16
【考点】等边三角形的性质，矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：作DE⊥AC于E，
∴∠AED=90°．
∵△AOD是正三角形，
∴AD=DO=AO，AO=EO=
AO，∠ADO=∠DAO=60°，
∴∠ADE=30°．
∵AD=4，
∴AE=2．
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
DE=2
，
∴S△AOD=
×4×2
=4
．
∵四边形ABCD是平行四边，
∴S△AOD=S△DOC=S△BOC=S△AOB
，
∴平行四边形ABCD的面积=4×4
=16
．
故答案为：16
．
【分析】作DE⊥AC于E，由等边三角形的性质就可以求出△AOD的面积，在根据平行四边形的对角线分的四个三角形的面积相等就可以求出结论．
14、【答案】
【考点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形．
如图，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．
∵CE=
，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1=
．
故答案为：
．
【分析】重叠部分为菱形，运用三角函数定义先求边长CD，再求出面积．
15、【答案】105°
【考点】菱形的判定与性质，正方形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BQ⊥AC
∵BF∥AC，
∴AO∥BQ
且∠QAB=∠QBA=45°
∴AO=BQ=AQ=
AC，
∵AE=AC，
∴AO=
AE，
∴∠AEO=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CAE=∠AEO=30°，
∵BF∥AC，CF∥AE，
∴∠CFE=∠CAE=30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF=∠BCA=45°，
∴∠BCF=180°﹣∠CBF﹣∠CFE=180﹣45﹣30=105°．
故答案为：105°．
【分析】首先过点A作AO⊥FB的延长线于点O，连接BD，交AC于点Q，易得四边形AOBQ是正方形，四边形ACFE是菱形，Rt△AOE中，AE=2AO，即可求得∠AEO=30°，继而求得答案．
16、【答案】矩形
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
故答案为：矩形
【分析】根据四边形的内角和为360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，从而得出四边形ABCD是矩形．
17、【答案】矩形；直
【考点】正方形的判定
【解析】【解答】解：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形．
故答案为：矩形，直．
【分析】根据正方形的定义：一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
18、【答案】65°
【考点】菱形的性质
【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，
∴∠BAD=180°-130°=50°，
∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°-∠BAO=90°-25°=65°．
故答案为：65°．
【分析】根据菱形的特有的对角线平分一组对角为突破口.
三、解答题
19、【答案】证明：∵∠C=90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，
∴四边形DECF为矩形，
∵∠A、∠B的平分线交于点D，
∴DF=DE，
∴四边形CFDE是正方形
【考点】角平分线的性质，正方形的判定
【解析】【分析】首先利用垂直的定义证得四边形CFDE是矩形，然后利用角平分线的性质得到DE=DF，从而判定该四边形是正方形．
20、【答案】解：四边形CDFE是正方形
理由如下：
∵FD⊥AC，FE⊥BC，AC⊥BC
∴四边形CDFE是矩形
∵CF平分∠ACB
∴∠FCD=45°
∴CD=DF
∴四边形CDFE是正方形
【考点】正方形的判定
【解析】【分析】由题意知，四边形EFDC是矩形根据等角对等边得到，CD=DF，从而推出四边形CDFE是正方形．
21、【答案】证明：∵矩形的ABCD的外角都是直角，HE，EF都是外角平分线，
∴∠BAE=∠ABE=45°．
∴∠E=90°．
同理，∠F=∠G=90°．
∴四边形EFGH为矩形．
∵AD=BC，∠HAD=∠HDA=∠FBC=∠FCB=45°，
∴△ADH≌△BCF（AAS）．
∴AH=BF．
又∵∠EAB=∠EBA，
∴AE=BE．
∴AE+AH=EB+BF，即EH=EF．
∴矩形EFGH是正方形
【考点】全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定
【解析】【分析】由于四边形EFGH是由矩形ABCD的外角平分线围成，故先求出相关角的度数，再根据正方形的判定定理即可证得．
22、【答案】证明：∵AB=AC，BD＝CD
，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，
∴四边形ADCE是矩形．
【考点】矩形的判定
【解析】【分析】先证明四边形ADCE是平行四边形，再证一个角是直角，即可证得.
23、【答案】解：如图，以正方形的两边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，
则正方形ABCO的四个顶点的坐标分别为：
A（0，2），B（2，2），C（2，0），O（0，0）．（答案不唯一）
【考点】坐标与图形性质，正方形的性质
【解析】【分析】以正方形的一个顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，然后写出各顶点的坐标即可．第9章
9.3平行四边形
一、单选题（共13题；共26分）
1、四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，则下列结论中错误的是（
）
A、AB=CD
B、AD∥BC
C、∠A=∠B
D、对角线互相平分
2、下列命题中，正确命题是（
）
A、两个角是直角的四边形是直角梯形
B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C、四个角都相等的四边形是正方形
D、对角互补的梯形是等腰梯形
3、如图，在平行四边形ABCD中，∠B=60度，AB=5cm，则下面结论正确的是（
）
A、BC=5cm，∠D=60度
B、∠C=120度，CD=5cm
C、AD=5cm，∠A=60度
D、∠A=120度，AD=5cm
4、下列说法：
1）对角线互相垂直的四边形是菱形；
2）对角线相等的平行四边形是矩形；
3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
5）一组对边平行，一组对边相等的四边形是等腰梯形．
其中正确的有（
）个．
A、1
B、2
C、3
D、4
5、如图， ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请你数一数图中共有（
）个平行四边形．
A、2
B、3
C、4
D、5
6、如图，已知在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（
）
A、BE=DF
B、AF⊥BD，CE⊥BD
C、∠BAE=∠DCF
D、AF=CE
7、下列说法中，正确的是（
）
A、一组对边平行的四边形是平行四边形
B、有一个角是直角的四边形是矩形
C、四条边相等的四边形是菱形
D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8、下列说法中，不正确的是（
）
A、一组邻边相等的平行四边形是菱形
B、一组邻边相等的矩形是正方形
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D、﹣组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
9、下列说法不正确的是（
）
A、两组对角分别相等的四边形是平行四边形
B、一组邻边都相等的四边形是菱形
C、有三个角是直角的四边形是矩形
D、对角线相等的菱形是正方形
10、在下列所给出的4个图形中，对角线一定互相垂直的是（
）
A、
长方形
B、
平行四边形
C、
菱形
D、
直角梯形
11、如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是
AB、BD、BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则平行四边形ABCD的周长为(
)
A、10
B、12
C、15
D、20
12、杨伯伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH地上种小草，则这块草地的形状是(
)
A、平行四边形
B、矩形
C、正方形
D、菱形
13、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③DE=BF；④图中共有四对全等三角形.其中正确结论的个数是（
）
A、4
B、3
C、2
D、1
二、填空题（共4题；共4分）
14、□ABCD中，∠A+∠C=100°，则∠B=________．
15、已知如图： ABCD中，AD=8，AB=6，DE平分∠ADC交BC于E，则BE=________．
16、如图 ABCD中，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE//BD，EF⊥BC，EF=3，CF=1,则AB的长是________．
17、已知直线l1：y=﹣x+3与直线l2：y=x+1相交于点A．并且l1交x轴于点B，l2交x轴于点C．若平面上有一点D，构成平行四边形ABDC，请写出D点坐标________．
三、解答题（共5题；共30分）
18、如图所示，一块等腰直角三角形铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，设计一种简要的方案并给出正确的理由．
19、请按要求，只用无刻度的直尺作图（请保留画图痕迹，不写作法）
如图，已知∠AOB
，
OA＝OB
，
点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，在图中画
出∠AOB的平分线．
20、如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连结BE、CF．
(1)图中的四边形BFCE是平行四边形吗？为什么？
(2)若AB＝AC，其它条件不变，那么四边形BFCE是菱形吗？为什么？
21、如图，分别延长 ABCD的边CD,AB到E,F,使DE=BF,连接EF,分别交AD,BC于G,H，连结CG,AH.
求证：CG∥AH.
22、如图，在 ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC．求证：∠BAC=∠BFC．
四、综合题（共1题；共10分）
23、如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G，H分别是AF，CE的中点，连结EG，FH．
(1)四边形EHFG是不是平行四边形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；
(2)求四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】C
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴可得四边形ABCD是平行四边形，
∴A、B、D均正确，
而C选项∠A+∠B=180°，但并不一定∠A=∠B，C错．
故选C．
【分析】由题中结论可得四边形ABCD是平行四边形，再有平行四边形的性质即可得出结论．
2、【答案】D
【考点】平行四边形的判定，正方形的判定，梯形，等腰梯形的判定，命题与定理
【解析】【解答】解：A、错误，两个角是直角但不一定相邻，可以相对，故不一定是梯形；
B、错误，满足条件的也可以是等腰梯形；
C、错误，矩形的四角也都相等，但不是正方形；
D、正确．
故选D．
【分析】对各个选项进行分析从而确定最后的答案．
3、【答案】B
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】在平行四边形ABCD中，∠D=∠B=60度，CD=AB=5cm，∠C+∠B=180度，则∠C=120度.
故选Ｂ.
【分析】根据平行四边形的性质可得两组对边相等，且对角相等，邻角互补等.
4、【答案】B
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形，说法错误；（2）对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形，说法错误；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形，说法正确；（5）一组对边平行，一组对边相等的四边形是等腰梯形，说法错误；正确的有2个．故选：B．
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得（1）错误；
根据对角线相等的平行四边形是矩形可得（2）正确；
根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形可得（3）错误；
根据两组对角相等的四边形是平行四边形可得（4）正确；
根据对角线相等的梯形是等腰梯形可得（5）错误．
5、【答案】C
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴AE=CG，
∴四边形AECG是平行四边形，
同理：四边形BFDH是平行四边形，四边形OPMN是平行四边形．
故选C．
【分析】根据平行四边形的性质进行分析可得共有四对，分别是 AECG， BFDH， OPMN， ABCD．
6、【答案】D
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在 ABCD中，OA=OC，OB=OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；
A、若BE=DF，则OB﹣BE=OD﹣DF，即OE=OF，故本选项错误；
B、若AF⊥BD，CE⊥BD，则可以利用“角角边”证明△ADF和△CBE全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项错误；
C、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项错误；
D、AF=CE无法证明得到OE=OF，故本选项正确．
故选D．
【分析】连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
7、【答案】C
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：A、只有两组对边平行的四边形是平行四边形，故此选项错误；
B、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项错误；
C、四条边相等的四边形是菱形，此选项正确；
D、根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故此选项错误；
故选：C．
【分析】分别根据平行四边形以及矩形、菱形、正方形的判定分析得出即可．
8、【答案】D
【考点】平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；
D、一组对边平行且相等且有一个角是直角的四边形是矩形，故错误．
故选D．
【分析】直接利用正方形的判定定理、菱形的判定定理以及矩形的判定定理求解即可求得答案．注意掌握排除法在选择题中的应用．
9、【答案】B
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定
【解析】【解答】解：A、两组对角分别相等的四边形是平行四边，正确，不符合题意；
B、一组邻边都相等的四边形是菱形，错误，符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，正确，不符合题意；
D、对角线相等的菱形是正方形，正确，不符合题意；
故选B．
【分析】利用平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理、正方形的判定定理逐一判断后即可确定本题的答案．
10、【答案】C
【考点】平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，直角梯形
【解析】【解答】解：菱形的对角线互相垂直，而长方形、平行四边形、直角梯形的对角线不一定互相垂直．
故选：C．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直即可判断．
11、【答案】D
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】∵
点E、O、F分别是
AB、BD、BC的中点，
∴OE，OF分别△ABD和△CBD的中位线，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）=20.
故选D.
【分析】根据中位线定理分别求出AD，CD的长.
12、【答案】A
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，BD．
利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG．
∴这块草地的形状是平行四边形.
故选A.
【分析】连接AC,BD，构造三角形的中位线.
13、【答案】B
【考点】全等三角形的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】在 ABCD中，CD//AB,CD=AB,
∴∠CDF=∠ABE,
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F
∴∠CFD=∠AEB,
∴△CDF≌△ABE，
∴CF=AE，故①正确；
∵∠CFD=∠AEB,
∴CF//AE，
又∵CF=AE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，故②正确；
在 ABCD中，OD=OB，
又∵OE=OF,
∴DE=BF,故③正确；
④图中共有6对全等三角形：△AOD≌△COB，△OCD≌△OAB，△CDF≌△ABE，△AFD≌△CEB，△OCF≌△OAE，△AOF≌△COE.故④错误.
综上，①②③正确.
故选B.
【分析】证明四边形AECF是平行四边形即可解答此题.
二、填空题
14、【答案】130°
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】在□ABCD中，∠A=∠C
，
又因为∠A+∠C=100°，
所以∠A=∠C=50°，
在□ABCD中，∠A+∠B=180°，
则∠B=180°-50°=130°，
故答案为130°.
【分析】平行四边形的对角相等，邻角互补.
15、【答案】2
【考点】角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的性质
【解析】【解答】因为DE平分∠ADC交BC于E，
所以∠ADE=∠CDE.
在 ABCD中，AD//BC
,
所以∠ADE=∠CED，
则∠CED=∠CDE.
则CE=CD=AB=6，
又BC=AD=8，
则BE=BC-CE=8-6=2.
故答案为2.
【分析】由角得到边的关系证全等或证等腰三角形，则可先证明CE=CD.
16、【答案】
【考点】勾股定理，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】在 ABCD中，AB//CD,AB=CD，
又因为AE//BD，
所以四边形ABDE是平行四边形，
所以AB=DE，
则AB=CE.
在Rt△CEF中，CE=.
则AB=CE=.
【分析】易证得四边形ABDE是平行四边形，从而可推得AB=CE，由勾股定理即可求出CE.
17、【答案】（1，﹣2）
【考点】两条直线相交或平行问题，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：当y=﹣x+3=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）；
当y=x+1时，x=﹣1，
∴点C的坐标为（﹣1，0）．
联立两直线解析式成方程组，
，解得：
，
∴点A的坐标为（1，2）．
∵四边形ABDC为平行四边形，
∴线段AD、BC的中点重合，
∴点D的坐标为（3﹣1﹣1，0+0﹣2），即（1，﹣2）．
故答案为：（1，﹣2）．
【分析】将y=0分别代入直线l1、l2中求出x轴，由此即可得出点B、C的坐标，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可得出交点C的坐标，再根据平行四边形的性质即可得出线段AD、BC的中点重合，结合点A、B、C的坐标即可求出点D的坐标．
三、解答题
18、【答案】解：如图，取AC、BC的中点E、D，连接ED，沿ED切割，固定点E，△ECD旋转180°使C点与A点重合即可．
理由：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，∠B=45°，
又∵E、D分别是AC、BC的中点，
∴EC=DC
∴∠CED=∠CDE=45°
∴∠AEF=∠CED=45°
∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED=180°
∴F、E、D在一条直线上．
又∵∠EAF=∠C=90°
∴AF∥CD．
又∵AF=CD=DB，
∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B=45°
【考点】平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形
【解析】【分析】∵这是一块等腰直角三角形铁板，已经包含45°的角．∴应用到题中45°的角，利用全等进行割补，应遵循简单易行的原则．
19、【答案】如图，射线AD即为所求.
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【解析】【分析】因为OA=OB，所以只要找到AB的中点，与O连接即为所求.由平行四边形的性质可知AB与EF的对角线的交点即为AB的中点.
20、【答案】（1）是。理由如下：∵在△ABC中，D是BC边的中点，
∴BD=CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD=∠BED，
在△CFD和△BED中，
∠CFD＝∠BEDCD＝BD∠FDC＝∠EDB
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE，
∴四边形BFCE是平行四边形.
（2）是。理由如下：
∵AB=AC，D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形．
【考点】平行四边形的判定，菱形的判定
【解析】【分析】（1）证明△CFD≌△BED，再根据平行四边形的判定定理可证得；
（2）由AB=AC，可知△ABC是等腰三角形，根据“三线合一”可得四边形BECF的对角线互相垂直，即可证得.
21、【答案】证明：在 ABCD中，
AB∥CD，AD∥CB
，AD=CB，
∴∠E=∠F，∠EDG=∠DCH=∠FBH，
又
DE=BF
，
∴△EGD≌△FHB（AAS）
，
∴DG=BH，
∴AG=HC
，
又∵AD∥CB，
∴四边形AGCH为平行四边形，
∴AH∥CG.
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】方法不唯一，如：证明四边形AGCH为平行四边形，可通过证明△EGD≌△FHB，已知DE=BF，再根据 ABCD得出两组角相等即可证明△EGD≌△FHB，即可求证AH∥CG.
22、【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF，
又∵AB∥CF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴∠BAC=∠BFC．
【考点】平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，得出∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，由AAS证明△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，证出四边形ABFC是平行四边形，即可得出结论．
四、综合题
23、【答案】（1）解：四边形EHFG为平行四边形，理由为：
∵ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴DF=CF=
DC，AE=BE=
AB，
∴FC=AE，
∵FC∥AE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AF∥EC，且AF=EC，
∵G、H分别为AF、CE的中点，
∴GF=EH，
则四边形EHFG为平行四边形
（2）解：∵E、F为AB、CD的中点，
∴S四边形AECF=S△ADF+S△EBC（底乘高可算得），即S平行四边形AECF：S平行四边形ABCD=1：2，
过F做FJ⊥CE于J点，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，
又∵G、H为中点，
∴S四边形EHFG：S四边形AECF=1：2（FJ EC=FJ 2 EH），则S四边形EHFG：S四边形ABCD=1：4．
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）四边形EHFG为平行四边形，理由为：由四边形ABCD为平行四边形得到DC与AB平行且相等，而E、F分别为AB、CD的中点，得到FC与AE平行且相等，即四边形AECF为平行四边形，可得出GF与HE平行，再由G、H分别为AF与CE中点，得到GF=HE，即可得到四边形GEHF为平行四边形；（2）由E、F分别为AB、CD的中点，得到四边形AECF的面积=三角形ADF面积+三角形EBC面积=
平行四边形ABCD面积，作FJ垂直与CE，FJ为四边形EHFG及四边形AECF的高，求出四边形EHFG面积与四边形AECF面积之比，即可确定出四边形EHFG的面积与平行四边形ABCD的面积之比．第9章
9.1图形的旋转
一、单选题（共13题；共26分）
1、将如图所示的“点赞”圈案以点O为中心，顺时针旋转90°后得到的图案是（
）
A、
B、
C、
D、
2、如图，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，若AE⊥BC，∠ADC=65°，则∠ABC的度数为（
）
A、30°
B、40°
C、50°
D、60°
3、将△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则直线AB与直线A1B1的夹角（锐角）为（
）
A、130°
B、50°
C、40°
D、60°
4、如图，一块等腰直角的三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，那么旋转角度的大小为（
）
A、45°
B、90°
C、120°
D、135°
5、如图，△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°而得到，则下列结论不成立的是（
）
A、点A与点A′是对应点
B、BO=B′O
C、∠ACB=∠C′A′B′
D、AB∥A′B′
6、下列图形中，绕某个点旋转180°能与自身重合的有①正方形
②长方形
③等边三角形④线段
⑤角（
）
A、5个
B、2个
C、4个
D、3个
7、如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（
）
A、把△ABC向右平移6格
B、把△ABC向右平移4格，再向上平移1格
C、把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格
D、把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格
8、如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABO中，∠ABO=90°，OB边在x轴上，将△ABO绕点B顺时针旋转60°得到△CBD．若点A的坐标为（﹣2，2
），则点C的坐标为（
）
A、（
，1）
B、（1，
）
C、（1，2）
D、（2，1）
9、如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（
）
A、（2，5）
B、（5，2）
C、（4，
）
D、（
，4）
10、在平面直角坐标系中，把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1
，
再将点P1绕原点旋转90°得到点P2
，
则点P2的坐标是（
）
A、（3，﹣3）
B、（﹣3，3）
C、（3，3）或（﹣3，﹣3）
D、（3，﹣3）或（﹣3，3）
11、在平面直角坐标系中，将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到△A1OB1
，
若点B的坐标为（2，1），则点B的对应点B1的坐标为（
）
A、（﹣2，﹣1）
B、（2，﹣1）
C、（﹣2，1）
D、（1，2）
12、在平面直角坐标系中，把点P（﹣3，2）绕原点O顺时针旋转180°，所得到的对应点P′的坐标为（
）
A、（3，2）
B、（2，﹣3）
C、（﹣3，﹣2）
D、（3，﹣2）
13、如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系xOy中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点．现将此三角板绕点O顺时针旋转120°后点P的对应点的坐标是（
）
A、（
，1）
B、（1，﹣
）
C、（2
，﹣2）
D、（2，﹣2
）
二、填空题（共5题；共5分）
14、一个图形无论经过平移变换还是旋转变换，下列结论一定正确的是________（把所有你认为正确的序号都写上）
①对应线段平行；
②对应线段相等；
③对应角相等；
④图形的形状和大小都不变．
15、如图，可以看作是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，则每次旋转的度数是________．
16、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），若将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则点A′的坐标为________．
17、如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是________．
18、如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，则点B′的坐标为________．
三、解答题（共2题；共10分）
19、将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADF，BC的延长线交DF于点E，连接BD．已知BC=2EF．求证：△BEF≌△BED．
20、如图，四边形ABCD是正方形，E是AD上任意一点，延长BA到F，使得AF=AE，连接DF：
（1）旋转△ADF可得到哪个三角形？
（2）旋转中心是哪一点？旋转了多少度？
（3）BE与DF的数量关系、位置关系如何？为什么？
四、作图题（共1题；共5分）
21、如图，△ABC绕点C旋转后，顶点A旋转到了点A′，用尺规画出旋转后的三角形并指出一个旋转角．
五、综合题（共1题；共10分）
22、如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=60°，点B坐标为（2，0），线段OA的长为6．将△AOB绕点O逆时针旋转60°后，点A落在点C处，点B落在点D处．
(1)请在图中画出△COD；
(2)求点A旋转过程中所经过的路程（精确到0.1）．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】B
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：“点赞”圈案以点O为中心，顺时针旋转90°后得到的图案是
，
故选：B．
【分析】根据大拇指顺时针绕O旋转90°的位置可得答案．
2、【答案】B
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴AD=AC，∠BAE=∠CAD，
∵AD=AC，
∴∠ACD=∠ADC=65°，
∴∠CAD=180°﹣65°﹣65°=50°，
∴∠BAE=50°，
∵AE⊥BC，
∴∠ABC=90°﹣∠BAE=40°．
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC的度数．
3、【答案】B
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，△ABC绕O点顺时针旋转50°得△A1B1C1（A、B分别对应A1、B1），则∠A1OA=50°，OA=OA1
，
OB=OB1
，
AB=A1B1
．
设直线AB与直线A1B1交于点M．
由SSS易得△OAB≌△OA1B1
，
∴∠OAB=∠OA1B1
，
∴∠OAM=∠OA1M，
设A1M与OA交于点D，
在△OA1D与△MAD中，
∵∠DAM=∠DA1O，∠ODA1=∠MDA，
∴∠M=∠A1OD=50°．
故选B．
【分析】先根据题意画出图形，利用旋转的性质得出OA=OA1
，
OB=OB1
，
AB=A1B1
，
那么根据SSS证明长△OAB≌△OA1B1
，
得到∠OAB=∠OA1B1
，
由等角的补角相等得出∠OAM=∠OA1M．设A1M与OA交于点D，在△OA1D与△MAD中，根据三角形内角和定理即可求出∠M=∠A1OD=50°．
4、【答案】D
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵三角板ABC为等腰三角形，
∴∠ACB=45°，
∵在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A′B′C的位置，使A、C、B′三点共线，
∴∠A′CB′=∠ACB=45°，∠ACA′等于旋转角，
∵点A、C、B′三点共线，
∴∠ACB′=180°，
∴∠ACA′=180°﹣∠A′CB′=135°，
即旋转角为135°．
故选D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠ACB=45°，再根据旋转的性质得∠A′CB′=∠ACB=45°，∠ACA′等于旋转角，由于点A、C、B′三点共线，则∠ACB′=180°，于是∠ACA′=180°﹣∠A′CB′=135°．
5、【答案】C
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，△ABC由△A′B′C′绕O点旋转180°，
∠ACB的对应角是∠A′C′B′，因此C不正确．
故选C．
【分析】根据旋转的性质，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变；依次分析可得答案．
6、【答案】D
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：所有的平行四边形绕对角线的交点旋转180°后都能与原图形重合，所以①②正确；
线段绕中点旋转180°能与原图形重合，④正确．
∴绕某个点旋转180°后，能与自身重合的有①正方形②长方形④线段共3个．
故选D．
【分析】依据中心对称图形的定义即可求解．
7、【答案】D
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：根据图象，△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转与△DEF形状相同，向右平移6格就可以与△DEF重合．
故选：D．
【分析】观察图象可知，先把△ABC绕着点A逆时针方向90°旋转，然后再向右平移即可得到．
8、【答案】B
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：作CH⊥x轴于H，如图，
∵点A的坐标为（﹣2，2
），AB⊥x轴于点B，∴tan∠BAC=
=
，
∴∠A=30°，
∵△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD，
∴BC=BA=2
，OB=2，∠CBH=30°，
在Rt△CBH中，CH=
BC=
，
BH=
CH=3，
OH=BH﹣OB=3﹣2=1，
∴C（1，
）．
故选：B．
【分析】作CH⊥x轴于H，如图，再利用旋转的性质得BC=BA=2
，∠ABC=60°，则∠CBH=30°，然后在Rt△CBH中，利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出CH=
BC=
，BH=
CH=3，所以OH=BH﹣OB=3﹣2=1，于是可写出C点坐标．
9、【答案】B
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，
∴△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，
∴AO=A′O．
作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，
∴∠ACO=∠A′C′O=90°．
∵∠COC′=90°，
∴∠AOA′﹣∠COA′=∠COC′﹣∠COA′，
∴∠AOC=∠A′OC′．
在△ACO和△A′C′O中，
，
∴△ACO≌△A′C′O（AAS），
∴AC=A′C′，CO=C′O．
∵A（﹣2，5），
∴AC=2，CO=5，
∴A′C′=2，OC′=5，
∴A′（5，2）．
故选B．
【分析】由线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′可以得出△ABO≌△A′B′O′，∠AOA′=90°，作AC⊥y轴于C，A′C′⊥x轴于C′，就可以得出△ACO≌△A′C′O，就可以得出AC=A′C′，CO=C′O，由A的坐标就可以求出结论．
10、【答案】D
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1
，
∴点P1的坐标为：（3，3），
如图所示：将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2
，
则其坐标为：（﹣3，3），
将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3
，
则其坐标为：（3，﹣3），
故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）．
故选：D．
【分析】首先利用平移的性质得出点P1的坐标，再利用旋转的性质得出符合题意的答案．
11、【答案】A
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△A1OB1是将△AOB绕原点O顺时针旋转180°后得到图形，
∴点B和点B1关于原点对称，
∵点B的坐标为（2，1），
∴B1的坐标为（﹣2，﹣1）．
故选：A．
【分析】根据题意可得，点B和点B的对应点B1关于原点对称，据此求出B1的坐标即可．
12、【答案】D
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据题意得，点P关于原点的对称点是点P′，
∵P点坐标为（﹣3，2），
∴点P′的坐标（3，﹣2）．
故选：D．
【分析】将点P绕原点O顺时针旋转180°，实际上是求点P关于原点的对称点的坐标．
13、【答案】B
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，
∴∠POQ=120°，
∵AP=OP，
∴∠BAO=∠POA=30°，
∴∠MOQ=30°，
在Rt△OMQ中，OQ=OP=2，
∴MQ=1，OM=
，
则P的对应点Q的坐标为（1，﹣
），
故选B
【分析】根据题意画出△AOB绕着O点顺时针旋转120°得到的△COD，连接OP，OQ，过Q作QM⊥y轴，由旋转的性质得到∠POQ=120°，根据AP=BP=OP=2，得到∠AOP度数，进而求出∠MOQ度数为30°，在直角三角形OMQ中求出OM与MQ的长，即可确定出Q的坐标．
二、填空题
14、【答案】②③④
【考点】平移的性质，图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：∵平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化；
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化；
∴结论一定正确的是②③④；
故答案为：②③④．
【分析】根据平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行，即可得出答案．
15、【答案】45°
【考点】图形的旋转，旋转的性质，利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：∵一个周角是360度，等腰直角三角形的一个锐角是45度，
∴如图，是一个基础图形绕着中心旋转7次而生成的，
∴每次旋转的度数是：
=45°．
故答案为：45°．
16、【答案】（1，﹣4）
【考点】图形的旋转
【解析】【解答】解：作AC⊥x轴于C，
∵点A、B的坐标分别为（3，2）、（﹣1，0），
∴AC=2，BC=3+1=4，
把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=2，
∴点A′的坐标为（1，﹣4）．
故答案为（1，﹣4）．
【分析】作AC⊥x轴于C，利用点A、B的坐标得到AC=2，BC=4，根据旋转的定义，可把Rt△BAC绕点B顺时针旋转90°得到△BA′C′，如图，利用旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=2，于是可得到点A′的坐标．
17、【答案】（﹣2，0）或（2，10）
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB=BC=5，BD=5﹣3=2；
①若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′=2，
所以D′（﹣2，0）；
②若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故答案为：（﹣2，0）或（2，10）．
【分析】根据题意，分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，求出点D′到x轴、y轴的距离，即可判断出旋转后点D的对应点D′的坐标是多少即可．
18、【答案】（4，2）
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【解答】解：AB旋转后位置如图所示．
B′（4，2）．
【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．
三、解答题
19、【答案】证明：∵BC=2EF，
∴E为DF中点．
∵在直角△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，
又∵∠ABC=∠ADF，
∴∠ACB+∠ADF=90°．
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECD+∠ADF=90°，
∴∠CED=90°，
∴BE⊥DF，
∴EF=ED，
∴△BEF≌△BDE．
【考点】图形的旋转
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余，以及对顶角相等，旋转的性质，即可证得BE是DF的垂直平分线，据此即可证得．
20、【答案】解：（1）旋转△ADF可得△ABE，
理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠DAF=90°，
在△ADF和△ABE中，
，
∴△ADF≌△ABE，
∴旋转△ADF可得△ABE；
（2）由旋转的定义可知：旋转中心为A，因为AD=AB，所以AD和AB之间的夹角为旋转角即90°；
（3）BE=DF且BE⊥BE．理由如下：
延长BE交F于H点，如图，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵△ABE按逆时针方向旋转90°△ADF，
∴BE=DF，∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠DHB=∠BAE=90°，
∴BE⊥DF．
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【分析】（1）旋转△ADF可得△ABE，通过证明△ADF≌△ABE即可说明问题；
（2）旋转的定义和旋转角的定义解答即可；
（3）根据旋转的性质得BE=DF，∠1=∠2，再根据三角形内角定理得到∠DHB=∠BAE=90°，所以BE⊥DF．
四、作图题
21、【答案】解：如图所示：△A′B′C即为所求，旋转角为∠ACA′（或∠BC
B′）．
【考点】图形的旋转
【解析】【分析】利用旋转的性质，结合旋转角定义得出答案．
五、综合题
22、【答案】（1）解：如图，△COD为所作；
（2）解：点A旋转过程中所经过的路程长=
=2π≈6.3．
【考点】图形的旋转，旋转的性质
【解析】【分析】（1）作点A关于x的对称点C，在OA上截取OD=OB，则△OCD满足条件；（2）由于点A旋转的路径为以O为圆心，OA为半径，圆心角为60度所对的弧，则根据弧长公式可计算出点A旋转过程中所经过的路程长．第9章
9.2中心对称与中心对称图形
一、单选题（共10题；共20分）
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A、平行四边形
B、等腰三角形
C、等边三角形
D、菱形
2、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A、角
B、等边三角形
C、平行四边形
D、圆
3、下列图形：正三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、直角梯形、圆，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的共有（ ）
A、3个
B、4个
C、5个
D、6个
4、既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A、平行四边形
B、正五边形
C、菱形
D、等腰梯形
5、下列欧洲足球俱乐部标志中，是中心对称图形的是（
）
A、
B、
C、
D、
6、下列四张扑克牌中，属于中心对称的图形是（
）
A、红桃7
B、方块4
C、梅花6
D、黑桃5
7、如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形．若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为（
）
A、①②
B、②③
C、①③
D、①②③
8、在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（
）
A、
B、
C、
D、
9、如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是（
）
A、把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格
B、把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格
C、把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°
D、把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°
10、下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A、
B、
C、
D、
二、填空题（共9题；共9分）
11、已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b=________ ．
12、若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab=________ ．
13、若将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，OB=2，则点A关于原点对称的点的坐标为________ ．
14、在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1的顶点都在格点上，△MNP与△M1N1P1是关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为________ ．
15、写出一个既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形，这个图形可以是________ ．
16、在等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、正五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有________ 个．
17、平面直角坐标系中，一点P（﹣2，3）关于原点的对称点P′的坐标是________ ．
18、已知点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（a，b），则a+b=________ ．
19、矩形是中心对称图形，对矩形ABCD而言，点A的对称点是点________．
三、解答题（共5题；共30分）
20、找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．
21、已知|2﹣m|+（n+3）2=0，点P1、P2分别是点P（m，n）关于y轴和原点的对称点，求点P1、P2的坐标．
22、直角坐标系第二象限内的点P（x2+2x，3）与另一点Q（x+2，y）关于原点对称，试求x+2y的值．
23、如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，连接AE、BD．
（1）线段AE、BD具有怎样的位置关系和大小关系？说明你的理由．
（2）如果△ABC的面积为5cm2
，
求四边形ABDE的面积．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABDE为矩形？说明你的理由．
24、作图题：如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△AOB的三个顶点A，O，B都在格点上．
(1)画出△AOB关于点O成中心对称的三角形；
(2)画出△AOB绕点O逆时针旋转90 后得到的三角形．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】D
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、只是中心对称图形；
B、C都只是轴对称图形；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选D．
【分析】根据轴对称图形的概念与中心对称图形的概念可作答．
2、【答案】D
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、平行四边形不轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、圆既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项正确；
故选D．
【分析】根据轴对称及中心对称的定义，结合选项所给图形的特点即可作出判断．
3、【答案】B
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①是轴对称图形，不是中心对称图形；
②是中心对称图形，不是轴对称图形；
③矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
④菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；
⑤正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
⑥是轴对称图形，不是中心对称图形；
⑦既不是轴对称也不是中心对称；
⑧既是轴对称也是中心对称；
故③④⑤⑧符合题意．
故选B．
【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，绕一个点旋转180度后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形．
4、【答案】C
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选C．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
5、【答案】D
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形．故错误；
B、不是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故错误；
D、是中心对称图形．故正确．
故选D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
6、【答案】B
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：红桃7不是中心对称的图形；
方块4是中心对称的图形；
梅花6不是中心对称的图形；
黑桃5不是中心对称的图形，
故选：B．
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．
7、【答案】A
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图1，
，
设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，
则l=2（a+2b+c），
根据图示，可得
·（1）﹣（2），可得：a﹣b=b﹣c，
∴2b=a+c，
∴l=2（a+2b+c）=2×2（a+c）=4（a+c），或l=2（a+2b+c）=2×4b=8b，
∴2（a+c）=
，4b=
，
∵图形①的周长是2（a+c），图形②的周长是4b，
的值一定，
∴图形①②的周长是定值，不用测量就能知道，图形③的周长不用测量无法知道．
∴分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为①②．
故选：A．
【分析】首先设图形①的长和宽分别是a、c，图形②的边长是b，图形③的边长是d，原来大长方形的周长是l，判断出l=2（a+2b+c），a=b+d，b=c+d；然后分别判断出图形①、图形②的周长都等于原来大长方形的周长的
，所以它们的周长不用测量就能知道，而图形③的周长不用测量无法知道，据此解答即可．
8、【答案】C
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别分析求解．
9、【答案】B
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据图象，△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可与△DEF重合．
故选：B．
【分析】观察图象可知，先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格即可得到．
10、【答案】B
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故A项错误；
B.是轴对称图形，也是中心对称图形，故B项正确；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故C项错误；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故D项错误；
故选B.
【分析】要所轴对称图形和中心对称图形的定义去判断.
二、填空题
11、【答案】8
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，
∴a﹣2b=6，2a+b=2，
∴a=2，b=﹣2，
∴3a﹣b=8，
故答案为：8．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a﹣2b=6，2a+b=2，再解方程即可．
12、【答案】
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，
∴b=﹣1，a=2，
∴ab=2﹣1=．
故答案为：．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
13、【答案】（﹣1，﹣1）
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵△AOB是等腰直角三角形，OB=2，
∴OD=AD=1，
∴A（1，1），
∴点A关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣1）．
故答案为（﹣1，﹣1）．
【分析】过点A作AD⊥OB于点D，根据等腰直角三角形的性质求出OD及AD的长，故可得出A点坐标，再由关于原点对称的点的坐标特点即可得出结论．
14、【答案】（2，1）
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点P（1，1），N（2，0），
∴由图形可知M（3，0），M1（1，2），N1（2，2），P1（3，1），
∵关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，
∴对称中心的坐标为（2，1），
故答案为：（2，1）．
【分析】根据中心对称的性质，知道点P（1，1），N（2，0），并细心观察坐标轴就可以得到答案．
15、【答案】圆
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的几何图形为圆．
故答案为：圆．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
16、【答案】2
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：既是轴对称图形又是中心对称图形的图形为：矩形、正方形，共2个．
故答案为：2．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
17、【答案】（2，﹣3）
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，﹣3）关于原点对称点P′的坐标是（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），从而可得出答案．
18、【答案】﹣1
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点的对称点为M（2，﹣3），
则a=2，b=﹣3，
a+b=﹣1，
故答案为：﹣1．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值．
19、【答案】C
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，点A的对称点是点C，
故答案为：C．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心可得答案．
三、解答题
20、【答案】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，因此，它是一个中心对称图形．
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据旋转中心、旋转角及旋转对称图形的定义结合图形特点，可知图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，再利用中心对称图形的定义即可求解．
21、【答案】解：由|2﹣m|+（n+3）2=0，得
m=2，n=﹣3．
P（2，﹣3），
点P1（﹣2，3）点P（m，n）关于y轴的对称点，
点P2（﹣2，3）是点P（m，n）关于原点的对称点．
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得P1点坐标，根据关于原点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．
22、【答案】解：根据题意，得
（x2+2x）+（x+2）=0，y=﹣3．∴x1=﹣1，x2=﹣2（不符合题意，舍）．
∴x=﹣1，y=﹣3
∴x+2y=﹣7．
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得x、y的值，根据有理数的运算，可得答案．
23、【答案】解：（1）∵△ABC与△DEC关于点C成中心对称，
∴AC=CD，BC=CE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE与BD平行且相等；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形，
∴S△ABC=S△BCD=S△CDE=S△ACE
，
∵△ABC的面积为5cm2
，
∴四边形ABDE的面积=4×5=20cm2；
（3）∠ACB=60°时，四边形ABDE为矩形．
理由如下：∵AB=AC，∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AD=2AC，BE=2BC，
∴AD=BE，
∴四边形ABDE为矩形．
【考点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的性质可得AC=CD，BC=CE，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形ABDE是平行四边形，再根据平行四边形的对边互相平行且相等解答；
（2）根据平行四边形的性质，对角线把四边形分成面积相等的四个部分解答；
（3）∠ACB=60°．先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AC=BC，然后求出AD=BE，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．
24、【答案】（1）解：如图
（2）解：如图
【考点】图形的旋转，中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）将点A，B分别绕O点旋转180度，然后连线即可；
（2）将点A，B分别绕O点旋转90度，然后连线即可.第9章
9.5三角形的中位线
一、单选题（共12题；共24分）
1、如图，在 ABCD中，AD=8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF等于（
）
A、2
B、3
C、4
D、5
2、如图，锐角三角形ABC中（AB＞AC），AH⊥BC，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，则四边形EDHF是（
）
A、梯形
B、等腰梯形
C、直角梯形
D、矩形
3、如图所示，△ABC中，AH⊥BC于H，E，D，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形EDHF是（
）
A、一般梯形
B、等腰梯形
C、直角梯形
D、直角等腰梯形
4、如图梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠C=90°，AB=6，CD=8，M，N，P分别为AD、BC、BD的中点，则MN的长为（
）
A、4
B、5
C、6
D、7
5、如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，点E、O、F分别是
AB、BD、BC的中点，且OE＝3，OF＝2，则平行四边形ABCD的周长为(
)
A、10
B、12
C、15
D、20
6、杨伯伯家小院子的四棵小树E、F、G、H刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，若在四边形EFGH地上种小草，则这块草地的形状是(
)
A、平行四边形
B、矩形
C、正方形
D、菱形
7、（2013 宁波）如果三角形的两条边分别为4和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数据中的（
）
A、6
B、8
C、10
D、12
8、（2014 台州）如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD=50cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为（
）
A、25cm
B、50cm
C、75cm
D、100cm
9、（2011 茂名）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE=5，则BC=（
）
A、6
B、8
C、10
D、12
10、（2014 北海）如图△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，已知DE=5，则BC的长为（
）
A、8
B、9
C、10
D、11
11、如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（
）
A、3.5
B、4
C、7
D、14
12、（2014 来宾）顺次连接菱形各边的中点所形成的四边形是（
）
A、等腰梯形
B、矩形
C、菱形
D、正方形
二、填空题（共9题；共10分）
13、在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，AC=4cm，BC=6cm，那么四边形CEDF为________，它的边长分别为________．
14、将一块直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，展开后平铺在桌面上(如图所示)．
若∠C＝90°，BC＝8cm，则折痕DE的长度是________cm．
15、如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，△ABD的周长为16cm，则△DOE的周长是________ cm．
16、如图平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，AE⊥BD，CF⊥BD，且，E，F恰好是BD的三等分点，又M、N分别是AB，CD的中点，那么四边形MENF的面积是________．
17、（2015 衢州）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF为0.6米，E是AB的中点，那么小聪能将小慧翘起的最大高度BC等于________米．
18、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是________．
19、在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是________．
20、如图，AB、CD相交于点O，OC=2，OD=3，AC∥BD，EF是△ODB的中位线，且EF=2，则AC的长为________．
21、等边三角形的一边上的高线长为
，那么这个等边三角形的中位线长为________．
三、解答题（共1题；共5分）
22、（2014 崇左）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形．
四、综合题（共1题；共10分）
23、（2016 钦州）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE到F，使EF=DE，连接BF
(1)求证：BF=DC；
(2)求证：四边形ABFD是平行四边形．
答案解析部分
一、单选题
1、【答案】C
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=
BC=
×8=4．
故选C．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
2、【答案】B
【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：∵E、D、F分别是各边的中点．∴ED∥AC，ED=
AC=FC，EF∥BC，EF=
BC=DC．
∴四边形EFCD是平行四边形．
∴DE=CF．
∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点．
∴HF=
AC=CF．
∴HF=DE．
∵DH∥EF．
∴四边形EDHF是等腰梯形．
故选B．
【分析】已知E、D、F分别是各边的中点，根据三角形中位线定理可得到四边形EFCD是平行四边形，再根据直角三角形的性质可推出HF=CF，从而不难推出四边形EDHF是等腰梯形．
3、【答案】B
【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，∴EF=
BC，∴EF∥BC，又∵E，D分别是AB，BC的中点，∴ED=
AC，
∵AH⊥BC，F是AC的中点，∴HF=
AC，
∴ED=HF，
∵EF∥DH，ED=HF且ED不平行HF，
∴四边形EDHF是等腰梯形，
故选B．
【分析】根据三角形中位线定理及直角三角形中斜边上的中线为斜边的一半即可证明；
4、【答案】B
【考点】三角形中位线定理，梯形
【解析】【解答】解：∵M，N，P分别为AD、BC、BD的中点，
∴MP∥AB，PN∥CD，MP=
AB=3，PN=
CD=4．
∴∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C．
又∠ABC+∠C=90°，∠DPN=∠PBN+∠PNB，
∴∠MPN=90°．
∴MN=
=5．
故选B．
【分析】根据三角形的中位线定理，得MP∥AB，PN∥CD，MP=
AB=3，PN=
CD=4；再根据平行线的性质，得∠MPD=∠ABD，∠PNB=∠C；根据三角形的外角的性质和已知∠ABC+∠C=90°，得∠MPN=90°，进而根据勾股定理求解．
5、【答案】D
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】∵
点E、O、F分别是
AB、BD、BC的中点，
∴OE，OF分别△ABD和△CBD的中位线，
∴AD=2OE=6，CD=2OF=4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）=20.
故选D.
【分析】根据中位线定理分别求出AD，CD的长.
6、【答案】A
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【解析】【解答】解：连接AC，BD．
利用三角形的中位线定理可得EH∥FG，EH=FG．
∴这块草地的形状是平行四边形.
故选A.
【分析】连接AC,BD，构造三角形的中位线.
7、【答案】B
【考点】三角形三边关系，三角形中位线定理
【解析】【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选B．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2小于10，原三角形的周长大于12小于20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6而小于10，看哪个符合就可以了．
8、【答案】D
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵O是AB的中点，OD垂直于地面，AC垂直于地面，
∴OD是△ABC的中位线，
∴AC=2OD=2×50=100cm．
故选：D．
【分析】判断出OD是△ABC的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得AC=2OD．
9、【答案】C
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE=
BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故选C．
【分析】利用三角形的中位线定理求得BC即可．
10、【答案】C
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×5=10．
故选：C．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE．
11、【答案】A
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB=28÷4=7，OB=OD，
∵H为AD边中点，
∴OH是△ABD的中位线，
∴OH=
AB=
×7=3.5．
故选：A．
【分析】根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=
AB．
12、【答案】B
【考点】三角形中位线定理，菱形的性质，正方形的判定
【解析】【解答】解：∵E，F是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
故选：B．
【分析】根据三角形的中位线定理以及菱形的性质即可证得．
二、填空题
13、【答案】矩形；2cm，3cm，2cm，3cm
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
∵D、E、F分别为AB、BC、AC边上的中点，且∠C=90°，
∴可得四边形CEDF是矩形，
∴DE=
AC=2cm，
DF=
BC=3cm，
∴四边形CEDF的边长分别为DE=2cm，DF=3cm，FC=2cm，CE=3cm．
【分析】可依据题意先作出简单的图形，由题中条件不难得出四边形CEDF是矩形，进而利用中位线定理可求解各边长．
14、【答案】4
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】由对称可行A与C关于DE对称，则AE=CE，且AC⊥BC，
又∠C＝90°，
则DE//BC，
∴DE是三角形ABC的中位线，
∴DE==BC=4cm.
故答案为4.
【分析】证明DE是三角形ABC的中位线.
15、【答案】8
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，△ABD≌△CDB，
又∵E是CD中点，
∴OE是△BCD的中位线，
∴OE=
BC，
即△DOE的周长=
△BCD的周长，
∴△DOE的周长=
△DAB的周长．
∴△DOE的周长=
×16=8cm．
故答案为：8．
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，BC=AD，DC=AB，DO=BO，E点是CD的中点，可得OE是△DCB的中位线，可得OE=
BC．从而得到结果是8cm．
16、【答案】
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵E，F为BD的三等分点，
∴BF=EF．又AM=BM，
∴MF是△ABE的中位线．
．
又
，
∴
，
∴
．
【分析】由已知条件可得MF与EF的长，进而可得Rt△MEF的面积，即可求解四边形MENF的面积．
17、【答案】1.2
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF⊥AC，BC⊥AC，
∴EF∥BC，
∵E是AB的中点，
∴F为AC的中点，
∴BC=2EF，
∵EF=0.6米，
∴BC=1.2米，
故答案为：1.2．
【分析】先求出F为AC的中点，根据三角形的中位线求出BC=2EF，代入求出即可．
18、【答案】或
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE=
BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，
∴四边形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴
=
，
∴
=
，
∴DO′=
．
当∠MON=90°时，
∵△DOE∽△EFM，
∴
=
，
∵EM=
=13，
∴DO=
，
故答案为
或
．
【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据
=
计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得
=
计算即可．
19、【答案】
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，
∴DE∥BC．DE=
BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
=（
）2=
，
故答案为
．
【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以
=（
）2
，
由此即可证明．
20、【答案】
【考点】三角形中位线定理
【解析】【解答】解：∵EF是△ODB的中位线，
∴DB=2EF=2×2=4，
∵AC∥BD，
∴△AOC∽△BOD，
∴
，
即
=
，
解得AC=
．
故答案为：
．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DB，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
21、【答案】2cm
【考点】等边三角形的性质，三角形中位线定理
【解析】【解答】解：如图．
在Rt△ABD中，∠B=60°，
设BD=x，则AB=2x，AD=2
cm，
∴x=2，AB=4．
∴BC=4cm，EF=2cm．
故答案为：2cm．
【分析】根据题意画出图形，由等边三角形每个内角是60°，结合已知条件，运用勾股定理求边长，再根据中位线定理求中位线的长．
三、解答题
22、【答案】证明：∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF=
AC，GH=
AC，
∴EF=GH，同理EH=FG
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC、BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形
【考点】三角形中位线定理，中点四边形
【解析】【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形EFGH为平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
四、综合题
23、【答案】（1）证明：连接DB，CF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴CE=BE，
∵EF=ED，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∴CD=BF
（2）证明：∵四边形CDBF是平行四边形，
∴CD∥FB，
∴AD∥BF，
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴DF∥AB，
∴四边形ABFD是平行四边形
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）连接DB，CF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形CDBF是平行四边形，进而可得CD=BF；（2）由（1）可得CD∥FB，再利用三角形中位线定理可得DF∥AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论．
