三角函数专题
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文档简介
三角函数专题
基础知识梳理
任意角的三角函数：
弧长公式：
R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。
扇形的面积公式：
R为圆弧的半径，为弧长。
同角三角函数关系式：
①倒数关系：
②商数关系：，
③平方关系：
诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
2.两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
注：公式的逆用或者变形
（2）二倍角公式：
从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式：
，
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：
，
，
3.三角函数的图像和性质：（其中）
4.函数的图像与性质：
函数和的周期都是
五点法作的简图，关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①
将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
②
将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
函数的伸缩变换：
①
将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短，
伸长）
②
将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）
函数的对称变换：
①)
将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
③
将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
典型例题：
例题1.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
sin≥;
（2）y=；
例题2.
已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.
例题3.已知f()=;
（1）化简f();
（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.
例题4.
已知.
求值：（1）tan;
（2）sin-cos;
（3）.
例题5.已知tan=2,求下列各式的值：
（1）;
（2）
;
（3）4sin2-3sincos-5cos2.
例题6.
化简：
例题7．求函数在区间[0，2 ]上的值域．
例题8.已知函数.
(1)
求f(x)的最小正周期;
(2)
求f(x)在区间上的最大值和最小值.
例题9．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
例题10.(1.为得到函数的图象，只需将函数的图象（
）.
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
(2).
将函数的图象向左平移个单位后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
课后练习
一、选择题
1.已知角的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sin＋cos的值是
（
）
A．
B．－
C．0
D．与a的取值有关
2．（2016 浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
4.设函数，则是（
）
A.最小周期为的奇函数
B.
最小周期为的偶函数
C.
最小周期为的奇函数
D.
最小周期为的偶函数
5.函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
以上都不对
二、填空题
6.函数，则的周期____________,奇偶性______________单调区间____________
7．函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
8.
已知2cos2x+sin
2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
三、简答题
9.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
（1）cos≤.
（2）y=lg(3-4sin2x）.
10.若，求sinxcosx的值．
11.
（1）求的值；
（2）已知求的值
12.已知向量,
设函数.
(1)
求f
(x)的最小正周期.
(2)
求f
(x)
在上的最大值和最小值.
13.设,其中
(1)求函数
的值域；
(2)若在区间上为增函数,求w
的最大值.
14..（本题满分14分）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
基础知识梳理
任意角的三角函数：
弧长公式：
R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。
扇形的面积公式：
R为圆弧的半径，为弧长。
同角三角函数关系式：
①倒数关系：
②商数关系：，
③平方关系：
诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·/2+所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
2.两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
注：公式的逆用或者变形
（2）二倍角公式：
从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式：
，
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：
，
，
3.三角函数的图像和性质：（其中）
4.函数的图像与性质：
函数和的周期都是
五点法作的简图，关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①
将图像沿轴向左（右）平移个单位
（左加右减）
②
将图像沿轴向上（下）平移个单位
（上加下减）
函数的伸缩变换：
①
将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短，
伸长）
②
将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）
函数的对称变换：
①)
将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
③
将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。
（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。
典型例题：
例题1.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
sin≥;
（2）y=；
例题2.
已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.
例题3.已知f()=;
（1）化简f();
（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.
例题4.
已知.
求值：（1）tan;
（2）sin-cos;
（3）.
例题5.已知tan=2,求下列各式的值：
（1）;
（2）
;
（3）4sin2-3sincos-5cos2.
例题6.
化简：
例题7．求函数在区间[0，2 ]上的值域．
例题8.已知函数.
(1)
求f(x)的最小正周期;
(2)
求f(x)在区间上的最大值和最小值.
例题9．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．
例题10.(1.为得到函数的图象，只需将函数的图象（
）.
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位
(2).
将函数的图象向左平移个单位后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（
）
A．
B．
C．
D．
课后练习
一、选择题
1.已知角的终边过点P（4a,－3a）（a<0）,则2sin＋cos的值是
（
）
A．
B．－
C．0
D．与a的取值有关
2．（2016 浙江）函数y=sinx2的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.
设函数，则的最小正周期
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
4.设函数，则是（
）
A.最小周期为的奇函数
B.
最小周期为的偶函数
C.
最小周期为的奇函数
D.
最小周期为的偶函数
5.函数的图象向右平移（）个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
以上都不对
二、填空题
6.函数，则的周期____________,奇偶性______________单调区间____________
7．函数f（x）=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．
8.
已知2cos2x+sin
2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0)，则A=______，b=________．
三、简答题
9.在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:
（1）cos≤.
（2）y=lg(3-4sin2x）.
10.若，求sinxcosx的值．
11.
（1）求的值；
（2）已知求的值
12.已知向量,
设函数.
(1)
求f
(x)的最小正周期.
(2)
求f
(x)
在上的最大值和最小值.
13.设,其中
(1)求函数
的值域；
(2)若在区间上为增函数,求w
的最大值.
14..（本题满分14分）已知函数
（I）求的值
（II）求的最小正周期及单调递增区间.
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