16.4
中心对称图形
学习目标：
1.了解中心对称图形的概念，会识别常见的中心对称图形.
2.理解中心对称的意义，掌握中心对称的性质.（难点）
3.理解并掌握中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.(重点）
学习重点：中心对称图形和两个图形成中心对称的区别与联系.
学习难点：中心对称的性质.
知识链接
观察下列图形，指出其中的轴对称图形，并画出它的对称轴.
二、新知预习
2.（1）观察下面几幅图，将它们分别绕着各图中标注的“中心点”旋转180°后，能不能与它们自身重合？
如图，已知线段AB和它的中心点O.当线段AB绕点O旋转180°后，这条线段能不能与它自身重合？
你还能举出具有上述特征的例子吗？
像这样，如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫做对应点.
根据（2）我们知道：线段是_______图形，线段的中点是________对称中心，两个端点是___________.
中心对称图形是指一个图形的中心对称性，两个图形之间往往也具有这种对应关系.
如图，△ABC和△DEF的顶点A，C，F，D在同一直线上，点O为线段CF的中点，AC=DF。BC=EF.∠ACB=∠DEF.
将△ABC绕点O旋转180°后，它能与△DEF重合吗？
答：_______________________________________________________________________.
如果能重合，那么线段AB，AC和BC分别与哪些线段重合？
答：_______________________________________________________________________.
请你再画出两个具有上述特征的图形.
像这样，如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________.
（1）如果将成中心对称的两个图形看成是一个图形，那么这个图形是不是中心对称图形？
答：_______________________________________________________________________.
我们已经学习过图形的旋转，中心对称图形和图形的旋转之间有什么关系？
答：_______________________________________________________________________.
对于图形的旋转，有基本性质：“一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.”中心对称图形具有怎样的性质？
我们可以得到：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.
自学自测
如图所示，在△ABC中，AB>AC,AD是中线.
（1）读语句画图：延长AD到点E，使DE=AD，连结BE，CE；
填空：点A与点___关于点____成中心对称，点B与点____关于点____成中心对称，线段AB与线段___关于点____成中心对称；
写出所有关于点D成中心对称的三角形；
（4）探索△ABC的边AB与AC的和与中线AD之间的关系，并说明理由.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：中心对称图形与成中心对称的图形
问题1：下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
【归纳总结】别中心对称图形的方法是根据概念，将这个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与自身重合，那么这个图形就是中心对称图形．
【针对训练】
下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
问题2：
如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，试求图中阴影部分的面积．
【归纳总结】利用中心对称的性质将阴影部分转化到一个直角三角形中来解决更简单．
【针对训练】
如图，△ABC与△成中心对称，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．AB=，AC=，BC=
C．AB∥，AC∥，BC∥
D．
探究点2：作中心对称图形
问题1：如图，已知四边形ABCD.
（1）请作出四边形关于点D中心对称的图形，写出作法并回答．
（2）点A、B、C、D关于中心的对称点是哪些点？
【归纳总结】对称中心是对称点所连线段的中点，可利用这一特性找到已知图形各点的对应点，再顺次拦截所找到的对应点，所得图形就与已知图形成中心对称.
【针对训练】
如图，已知点M的△ABC的边BC的中点，O是△ABC外一点.
画△A'B'C'，使△A'B'C'与△ABC关于点M成中心对称；
画△A''B''C''，使△A''B''C''与△ABC关于点M成中心对称.
二、课堂小结
内容
中心对称图形
如果一个图形绕某一点旋转______°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的______，其中对称的点叫做______.
成中心对称的图形
如果一个图形绕某一点旋转180°后与另一图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称.这个点叫做对称中心，其中成中心对称的点、线段和角，分别叫做_____、______和________.
成中心对称图形的性质
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，并且被对称中心______.
作中心对称图形
对称中心是对称点所连线段的中点，可利用这一特性找到已知图形各点的对应点，再顺次拦截所找到的对应点，所得图形就与已知图形成中心对称.
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A
.
角
B.
等边三角形
C
.
线段
D
.
平行四边形
2.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是(
）
A
.
平行四边形
B.
矩形
C
.
菱形
D
.
正方形
世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有
轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有_________，是中心对称图形的有_________.
4.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合
当堂检测参考答案：
C
A
①②③
①③
（1）
（2）有四条对称轴，至少旋转90°可以与自身重合.
自主学习
合作探究
当堂检测16.3
角的平分线
学习目标：
1.理解并掌握角平分线的性质定理及其逆定理.（难点）
2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论并应用.(重点）
3.能利用尺规作出一个已知角的角平分线.
学习重点：角平分线的性质定理及其逆定理.
学习难点：角平分线的性质定理及其逆定理的应用.
知识链接
角是轴对称图形吗？你能确定角的对称轴吗？试着在下图中画出∠ABC的对称轴.
二、新知预习
2.在一张半透明的纸上画出一个角（∠AOB），将纸对折，使得这个角的两边重合，从中你能得什么结论？
答：________________________________________________________________________.
按照下图所示的过程，将你画出的∠AOB，依照上述方法对折后；设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线n，直线n与边OA，OB分别交于点D，E，与折线OC交于点P；将纸展开平铺后，猜想线段PD与线段PE，线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由.
猜想：_____________________________________________.
得出结论：__________________________________________________.
下面我们就来证明折纸过程中发现的结论：
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：在△______和△______中，
∵__________________________________________________,
∴△______≌△______.
∴____________________________.
于是我们得到角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离______.
我们已经学习过线段垂直平分线的性质的逆命题是一个真命题（定理）.角平分线的性质定理的逆命题呢？
（1）角平分线的性质定理的逆命题：
________________________________________________________________.
根据这个逆命题的内容，画出图形；
解题图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想；
猜想：_____________________________________________.
设法验证你的猜想；
已知：如图，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E且PD=PE.
求证：OC是∠AOB的平分线
证明：在△______和△______中，
∵__________________________________________________,
∴△______≌△______.
∴____________________________.
于是我们得到角平分线性质定理的逆命题是一个_____命题.
即_____________________________________________________________________.
自学自测
1.如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是________．
2.如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F．则∠FAC=_______．
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：角平分线的性质定理
问题1：如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF.证明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
【归纳总结】角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条“垂线段”相等．
【针对训练】
如图所示，D是△ABC外角∠ACG的平分线上的一点．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分别为E，F.求证：CE＝CF.
问题2：如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．6
B．5
C．4
D．3
【归纳总结】利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【针对训练】
如图，OP是∠MON的角平分线，点A是ON上一点，作线段OA的垂直平分线交OM于点B，过点A作CA⊥ON交OP于点C，连结BC，AB=10
cm，CA=4
cm，则△OBC的面积为
________cm2．
探究点2：角平分线的性质定理的逆定理
问题1：
如图，BE＝CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．
【归纳总结】证明一条射线是角平分线的方法有两种：一是利用三角形全等证明两角相等；二是角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上．
【针对训练】
如图，已知：△ABC的∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点D.求证：AD是∠BAC的平分线．
（提示：作辅助线如图所示）
问题2：如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，①AD平分∠EDF；②AE＝AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等；④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等．其中正确的结论有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【归纳总结】运用角平分线的性质或判定时，可以省去证明三角形全等的过程，可以直接得到线段或角相等．
【针对训练】
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB；⑤A，D两点一定在线段EC的垂直平分线上，其中正确的有（ ）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
探究点3：用尺规作已知角的角平分线
问题：如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度数．
【归纳总结】通过本题要掌握角平分线的作图步骤，根据作图明确AM是∠BAC的角平分线是解题的关键．
【针对训练】
如图，有一块三角形的闲地，其三边长分别为30
m，40
m，50
m，现要把它分成面积比为3:4:5的三部分，分别种植不同的花.请你设计一种方案，保留作图痕迹.
二、课堂小结
内容
角平分线的性质定理
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝________．
角平分线性质定理的逆定理
角的内部到角的两边距离________的点在角的平分线上．
如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上.
角平分线的作法
(1)作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧相交在∠AOB的内部于点C；③画射线OC，射线OC即为所求．(2)上述作角平分线的理论依据是________．
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
_______度，BE=________
.
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是______.
3.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（
）
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
4.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
5.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，\
求证：点F在∠DAE的平分线上．
当堂检测参考答案：
1.60
BF
2.3
A
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
5.过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.∴点F在∠DAE的平分线上.
.
自主学习
合作探究
当堂检测16.5
利用图形的平移、旋转和轴对称设计图案
学习目标：
1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.（重点）
2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.
3.灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计.（难点）
学习重点：利用旋转、轴对称或平移进行图案设计理.
学习难点：运用平移与旋转组合的方式进行图案设计.
知识链接
观察下列图片中的图案，想想它们是如何设计出来的.
二、新知预习
2.如图，请将这个图形沿着箭头所示的方向和距离平移三次（保留作图痕迹）.
3.如图，将这个三角形绕两条虚线的交点，先旋转90°，再将整个图形旋转180°，画出旋转后的图形（保留作图痕迹）.
4.观察下图中的图案，请你分别说出图案的变化过程.
图案设计与日常生活息息相关，它通常是利用基本图形的变换来进行图案设计，图形之间的基本关系有_______、_______、_______这三种基本形式，但较多的形式都是经过组合变化而成的.
自学自测
旦前，市园林部门准备在文化广场摆设直径均为4米的八个圆形花坛，在坛内放置面积相同的两种颜色的盆栽花草，要求各个花坛内两种花草的摆设不能相同，如图所示的（1）（2），请你再设计出至少四种方案.
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
要点探究
探究点：利用平移、旋转和轴对称设计图案
问题1：分析左边的树形图案，经过怎样的图形变换就可能得到右边的树形图案．
【归纳总结】形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案，希望同学们认真分析，精心设计一定也能设计出漂亮的图案来．
【针对训练】
如图，若要将图①变成图②，经过的变换过程可能是（
）
A.旋转、平移
B.轴对称、旋转
C.平移、旋转
D.轴对称、平移
问题2：用四块如图(1)所示的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
【归纳总结】求解时只要符合题意即可，另外，在平时的学习生活中一定要留意身边的各种形状的图案，这样才能在具体求解问题时如鱼得水，一蹴而就．
【针对训练】
如图是某地板厂生产的一种地面砖，有一下四种样式：
请你选其中的几种用来铺设地面，并组成一个优美的图案，要求构成这个图案的基本图形既是轴对称图形又是中心对称图形.
二、课堂小结
内容
分析图形之间的基本变换
根据平移、旋转、轴对称的特点，不断把复杂图形细分至一个简单图形；在倒过来用简洁的文字语言描述这个行程过程.
利用平移、旋转和轴对称设计图案
图案的组合一般有以下几种形式：①先平移后旋转；②先旋转后平移；③先平移后轴对称；④先作轴对称后平移；⑤先旋转后作轴对称；⑥先作轴对称后旋转.
1.如图所示，该图案可以看做是一个菱形通过_______次旋转得到的，每次旋转______度.
2.如图，把边长为3的正方形，按下图①~④的方式进行变换后拼成图⑤，则图⑤的面积等于______.
3.用直尺,圆规,三角尺再设计一个新颖的(课堂上未见过的)美丽图案.
当堂检测参考答案：
1.6
60
2.36
3.图略
自主学习
合作探究
当堂检测16.1
轴对称
学习目标：
1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形.
2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图.（难点）
3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.(重点）
学习重点：轴对称的性质.
学习难点：利用轴对称的性质作图.
知识链接
观察、讨论、交流，尝试用自己的语言描述这些实物、图片的共同特征.
答：_______________________________________________________________________.
二、新知预习
2.轴对称图形
（1）做一做
把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），想一想,展开后会是一个什么样的图形？位于折痕两侧图案有什么关系？
（2）想一想
日常生活中常见的动物图片如：蝴蝶、蜻蜓、对称简笔画等,能发现它们有什么共同特征？
（3）轴对称图形定义：
如果一个图形沿一条
折叠，直线两旁的部分能够
这个图形就叫做轴对称图形。
就是它的对称轴。
3．轴对称
（1）、做一做
折纸印墨迹
问题1：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？
问题2：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？
（2）、轴对称定义
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与
重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是
，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做
。
4．轴对称与轴对称图形的联系与区别．
轴对称图形
轴对称
区别
联系
如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．
三、自学自测
1.下面的十个英文字母A,E,F,G,H,K,M,N,O,R中是轴对称图形的是
.
2.汉字中“品,土,日”等都是轴对称图形,请写出三个这样的汉字
.
3.下图是从视力表中挑出的几对图形,选项的右边图形与左边图形成轴对称的序号是
.
4.这些汽车的标志你认识吗 其中是轴对称图形的有(
)
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：轴对称图形与轴对称的概念
问题：
下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( )
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【归纳总结】要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【针对训练】
下列四种图形中，一定是轴对称图形的有（
）
①
等腰三角形
②
等边三角形
③
直角三角形
④
等腰直角三角形
A.
1种
B.
2种
C.
3种
D.
4种
探究点2：轴对称图形的对称轴
问题：下列轴对称图形中，恰好有两条对称轴的是( )
A．正方形
B．等腰三角形
C．长方形
D．圆
【归纳总结】判断轴对称的条数，仍然是根据定义进行判断，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，注意不要遗漏．
【针对训练】
我国国旗上的每一个五角星的对称轴有
条.
探究点3：轴对称图形和轴对称的性质
问题：如图，一种滑翔伞的形状是左右成轴对称的四边形ABCD，其中∠BAD＝150°，∠B＝40°，则∠BCD的度数是( )
A．130°
B．150°
C．40°
D．65°
【归纳总结】轴对称其实就是一种全等变换，所以轴对称往往和三角形的内角和、外角的性质综合考查．
【针对训练】
.如图，△ABC与△关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是（ ）
A．AP=
B．MN垂直平分AA′，CC′
C．△ABC与△面积相等
D．直线AB、的交点不一定在MN上
二、课堂小结
相关概念
性质
轴对称图形
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够____________，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做__________．
轴对称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形________，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做__________，折叠后重叠的点是对应点，叫做对称点.
区别与联系
区别：①前者是一个图形，后者是两个图形；②后者对称轴只有一条，前者的对称轴可能有多条(如等边三角形有三条对称轴、长方形有两条对称轴等)．(2)联系：①都能沿某条直线翻折后互相重叠，即两者的对应线段________，对应角________；②若把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它也是一个轴对称图形；若把轴对称图形分成两部分，那么这两部分也可看成关于这条直线成轴对称.
1.你能找出这些图形的对称轴吗
2.找出下列各图形中的对称轴，并说明哪一个图形的对称轴最多.
3.（1）整个图形是轴对称图形吗？对称轴是什么？
（2）图形可以看作某两个图形成轴对称吗？
4.请你利用一个等腰三角形、两个长方形、三个圆，设计一些具有轴对称特征的图案,
并用简练的文字说明你的创意.
当堂检测参考答案：
1.
2.
（1）是，如图所示；
（2）可以.
4.略.
自主学习
合作探究
当堂检测16.2
线段的垂直平分线
第2课时
线段垂直平分线的逆定理及尺规作图
学习目标：
1.理解并掌握线段垂直平分线的逆定理并学会运用.（难点）
2.根据能够运用尺规作线段的垂直平分线.
3.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题．（难点）
学习重点：线段垂直平分线的逆定理.
学习难点：线段垂直平分线的逆定理的运用.
知识链接
写出线段垂直平分线的性质定理，再根据其写出其逆命题.
答：__________________________________________________________________.
新知预习
结合下图，写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题.
已知：如图，点P为线段AB外一点且_____________.
求证：点P在线段AB的垂直平分线上.
证明：设线段AB的中点为O，连接PO并延长.
在△_______和△________中，
∵___________________________________________,
∴△_______≌△________.
∴_______________________.
∵_______________________.
∴_______________________.
∵_______________________.
∴_______________________.
于是我们得到线段垂直平分线性质定理的逆定理：
到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上．
三、自学自测
1在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC（
）
A．三条角平分线的交点
B．三条中线的交点
C．三条高的交点
D．三边垂直平分线的交点
2、如图1，四边形ABCD，AB=AD，BC=DC，
则AC与BD的位置关系是
，
点A在线段BD的
上，
点C在线段BD的
上.
3、如图2，AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE，
则△ABC为
三角形。
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质定理的逆定理
问题1：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD和∠BCD，连接BD，则AC与BD交于点E.求证：直线AC垂直平分线段BD.
【归纳总结】到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
【针对训练】
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点且OB=OC.求证AO⊥BC.
探究点2：用尺规作垂线或线段的垂直平分线
问题1：如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？(注：作一对对应点的对称轴就是作线段AB的垂直平分线)
【归纳总结】要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
问题2：如图，已知△ABC，用尺规求作△ACB的中线CD.
【归纳总结】要熟练掌握线段垂直平分线的作法，作出的图形中的作图痕迹要保留．
【针对训练】
已知△ABC中，试画出三边的垂直平分线.
二、课堂小结
内容
线段的垂直平分线性质的逆定理
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____________上．直线l是线段AB的垂直平分线，P为l上一点，则PA＝PB；反过来，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
用尺规作垂线或线段的垂直平分线
A，B两点关于某直线对称，则连接AB，分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于E、F两点，作直线EF，则EF就是其垂直平分线.
1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（ ）
A．AB垂直平分CD；
B
．CD垂直平分AB
；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠
ACB
．
已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有________种.
3.如图，点D在△ABC的边BC上且BC=BD+AD，则点D在线段_______垂直平分线上.
4.如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
当堂检测参考答案：
A
无数
AC
4.
.
自主学习
A
B
C
D
图1
A
B
C
D
E
图2
合作探究
当堂检测16.2
线段的垂直平分线
第1课时
线段垂直平分线的性质定理
学习目标：
1.掌握线段垂直平分线的性质定理的证明和简单应用.（重点）
2.会用尺规作已知线段的垂直平分线及过已知点作已知直线的垂线过程.（难点）
学习重点：线段垂直平分线的性质定理.
学习难点：线段垂直平分线的性质定理的运用.
知识链接
如图，下列哪些图形是轴对称图形？请把轴对称图形的对称轴画出来.
新知预习
如图，已知线段AB和它的中垂线l，O为垂足.在直线l上取一点P，连接PA，PB.线段PA和线段PB有怎样的数量关系？
猜想：_____________________________________________________.
证明如下：
已知：如图，线段AB和它的垂直平分线l，垂足为O，点P为直线l上任意一点，连接PA，PB.
求证：______________________.
证明：在△_______和△________中，
∵___________________________________________,
∴△_______≌△________.
∴_______________________.
于是我们得到线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离______.
三、自学自测
1.如图1，EF是△ABC中BC边上的垂直平分线，若FC=5，则BF=
2.如图2，
AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
（1）如果△EBC的周长是24cm，那么BC=
（2）如果BC=8cm，那么△EBC的周长是
（3）如果∠A=28度，那么∠EBC是
图1
图2
图3
3.如图3，△ABC中AC>BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是（
）
A．9
B．8
C．7
D．6
四、我的疑惑
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
要点探究
探究点1：线段垂直平分线的性质定理
问题1：如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
【归纳总结】利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
【针对训练】
1.撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB,AC和DB,DC，始终有AB=AC，DB=DC，则伞杆AD与B,C的连线BC的位置关系为
_________.
2.如图所示，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC，交BC于D,E，若∠DAE=50°，则∠BAC=
_____度，若△ADE的周长为19
cm，则BC=__________cm．
探究点2：线段垂直平分线的性质定理的运用
问题1：如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
【归纳总结】对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
【针对训练】
如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（ ）
二、课堂小结
内容
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点，与这条线段两个端点的距离________.
解题策略
三角形中与线段垂直平分线结合求周长：一般先根据线段垂直平分线的性质进行线段间的转化，把三角形的周长转化成两条线段的和甚至是一条线段的长．如：如图，已知DE垂直平分BC，则有C△ABE＝AB＋BE＋AE＝AB＋(CE＋AE)＝AB＋________.
1.如图，BD是AC的垂直平分线，若AD=1.6cm，BC=2.3cm，则四边形ABCD的周长是
(
)
A.3.9cm
B.7.8cm
C.4cm
D.4.6cm
2.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是△ABC
(
)
A.三条角平分线的交点
B.三条中线的交点
C.三条高的交点
D.三边垂直平分线的交点
3.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是_______
cm.
4.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，点A、B到河边的距离分别为AC、BD且AC=BD，点A、B到CD的中点的距离均为500m.牧童从A出把牛牵到河边饮水后再回家，请你设计出最短路线.
当堂检测参考答案：
B
D
16
自主学习
B
A
C
D
E
A
B
C
E
F
合作探究
当堂检测
