2.6习题课：匀变速直线运动的规律应用导纲及答案

2.6习题课：匀变速直线运动的规律应用
[学习目标]　
进一步熟练掌握匀变速直线运动的公式及其特点并能熟练应用其解决问题.
能推导初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式.
会分析简单的追及和相遇问题．
【重难点突破】
一、初速度为零的匀加速直线运动的比例式
1．(1)初速度为0的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)，则：
①T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为：
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
②T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
③第一个T内、第二个T内、第三个T内、…、第n个T内的位移之比为：
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(2)按位移等分(设相等的位移为x)的比例式
①前x末、前2x末、前3x末…的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶.
②通过前x、前2x、前3x…前nx的位移所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶.
③通过连续相同的位移所用时间之比为：
t1′∶t2′∶t3′∶…∶tn′＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)．
练习19　飞机、火车、汽车等交通工具由静止到稳定运动的过程都可以看做从零开始的匀加速直线运动．关于这类运动，请分析下列问题：
(1)1T末、2T末、3T末瞬时速度之比；
第一个T内、第二个T内、第三个T内的位移之比
第一个x、第二个x、第三个x所用时间之比．
二、三个导出公式的应用
[技巧点拨]
1．速度与位移的关系v2－v＝2ax，如果问题的已知量和未知量都不涉及时间，利用此式往往会使问题变得简单．
2．与平均速度有关的公式有＝和＝v＝.其中＝普遍适用于各种运动，而＝v＝只适用于匀变速直线运动．利用＝和＝v＝＝可以很轻松地求出中间时刻的瞬时速度．
3．匀变速直线运动中，任意连续相等的时间间隔T内的位移差为常数，即Δx＝aT2.
练习20　一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在轨道旁边观察火车运动，发现在相邻的两个10
s内，火车从他身边分别驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8
m(相邻车厢连接处长度不计)，求：
火车加速度的大小；
这20
s内中间时刻的瞬时速度；
人刚开始观察时火车速度的大小．
三、追及相遇问题
讨论追及、相遇的问题，其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置的问题．
(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、两者距离最大或最小的临界条件，也是分析判断此类问题的切入点．
(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画草图得到．
例21　一辆汽车以3
m/s2的加速度开始启动的瞬间，另一辆以6
m/s的速度做匀速直线运动的自行车恰好从汽车的旁边通过．
汽车一定能追上自行车吗？若能追上，汽车经多长时间追上？追上时汽车的瞬时速度多大？
在汽车追上自行车前，当v汽v自时，两者间的距离如何变化？汽车追上自行车前多长时间与自行车相距最远？此时的距离是多大？
总结：
一、匀变速直线运动的五种常用解题方法
[方法总结]
1．公式法
匀变速直线运动的常用公式有：
v＝v0＋at　x＝v0t＋at2　v2－v＝2ax
使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同的为正，与正方向相反的为负．
2．平均速度法
(1)＝，此式为平均速度的定义式，适用于任何直线运动．
(2)＝v＝(v0＋v)只适用于匀变速直线运动．
3．比例法
对于初速度为零的匀加速直线运动或末速度为零的匀减速直线运动，可利用初速度为零的匀加速直线运动的推论，用比例法解题．
4．逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的反向研究问题的方法．例如，末速度为零的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为零的匀加速直线运动．
5．图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解．
二、运动图象的意义及应用
[总结提升]
通过“看”寻找规律及解题的突破口．为方便记忆，这里总结为六看：一看“轴”，二看“线”，三看“斜率”，四看“面”，五看“截距”，六看“特殊值”．
(1)“轴”：纵、横轴所表示的物理量，特别要注意纵轴是位移x，还是速度v.
(2)“线”：从线反映运动性质，如x－t图象为倾斜直线表示匀速运动，v－t图象为倾斜直线表示匀变速运动．
(3)“斜率”：“斜率”往往代表一个物理量．x－t图象斜率表示速度；v－t图象斜率表示加速度．
(4)“面”即“面积
”：主要看纵、横轴物理量的乘积有无意义．如x－t图象面积无意义，v－t
图象与t轴所围面积表示位移．
(5)“截距”：初始条件、初始位置x0或初速度v0.
(6)“特殊值”：主要看图线交点．如x－t图象交点表示相遇，v－t图象交点表示速度相等．
三、研究匀变速直线运动实验中数据处理的方法
[方法提升]
研究匀变速直线运动实验，主要研究两个方向：
(1)利用纸带求某点的瞬时速度：vn＝.
(2)利用纸带求物体的加速度，方法有以下两个：
①逐差法
如图3所示，纸带上有六个连续相等的时间T内的位移x1、x2、x3、x4、x5、x6.
由Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2
x5－x2＝(x5－x4)＋(x4－x3)＋(x3－x2)＝3aT2
x6－x3＝(x6－x5)＋(x5－x4)＋(x4－x3)＝3aT2
所以a＝
＝
由此可以看出，各段位移都用上了，有效地减小了偶然误差，所以利用纸带计算加速度时，可采用逐差法．
②v－t图象法
先求出各时刻的瞬时速度v1、v2、v3、…、vn，然后作v－t图象，求出该v－t图线的斜率k，则k＝a.
这种方法的优点是可以舍掉一些偶然误差较大的测量值，因此求得值的偶然误差较小．
2.6习题课：匀变速直线运动的规律应用答案
19解析　(1)由于这类运动的初速度为0，即v0＝0，所以速度公式为v＝at,1T末、2T末、3T末的瞬时速度可分别表示为v1＝aT，v2＝2aT，v3＝3aT.故v1：v2：v3＝1∶2∶3.
(2)速度公式为x＝at2，故第一个T内的位移xⅠ＝aT2
第二个T内的位移xⅡ＝a(2T)2－aT2＝a·3T2
第三个T内的位移xⅢ＝a(3T)2－a(2T)2＝a·5T2
故xⅠ：xⅡ：xⅢ＝1∶3∶5.
(3)由x＝at，得第一个x所用时间tⅠ＝
.前2x所用时间t2＝
故第二个x所用时间为tⅡ＝t2－tⅠ＝(－1)
同理第三个x所用时间tⅢ＝(－)
所以有tⅠ∶tⅡ∶tⅢ＝1∶(－1)∶(－)．
答案　(1)1∶2∶3　(2)1∶3∶5　(3)1∶(－1)∶(－)
20.解析　(1)由题知，火车做匀减速运动，设火车加速度大小为a，车厢长L＝8
m，则
由Δx＝aT2，得8L－6L＝a×102，
解得a＝＝
m/s2＝0.16
m/s2.
(2)v＝＝＝
m/s＝5.6
m/s.
(3)设人开始观察时火车速度大小为v0，由v2－v＝2·(－a)·8L得v0＝
＝7.2
m/s.
[还可以：由v＝v0－aT得v0＝v＋aT＝(5.6＋0.16×10)
m/s＝7.2
m/s]
答案　(1)0.16
m/s2　(2)5.6
m/s　(3)7.2
m/s
21.解析　(1)因为汽车做加速运动，故汽车一定能追上自行车．汽车追上自行车时，两者位移相等，x汽＝x自，即at2＝v自t，
得：t＝＝
s＝4
s
v汽＝at＝3×4
m/s＝12
m/s.
(2)开始阶段，v汽v自，两者间的距离又逐渐减小．所以汽车追上自行车前，当v汽＝v自时，两者距离最大．
设经过时间t1，汽车速度等于自行车速度，则
at1＝v自，代入得t1＝2
s
此时x自＝v自t1＝6×2
m＝12
m
x汽＝at＝×3×22
m＝6
m
最大距离Δx＝x自－x汽＝6
m.