2018中考数学专题突破导学练第3讲分式试题（含答案解析）

第3讲　分式
【考点归纳】
1.分式
（1）分式：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母（B≠0）。
（2）分式与分数：分式的结构类似于小学学过的分数，也由分子、分母和分数线组成，但分数的分子、分母都是具体数字，而分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母。
注意：判断分式，只重“形式”
在判断式子是否是分式时，我们“只重形式，不重结果”，否则就容易出现错误。比如：符合分式意义，属于分式，而不能因为约分之后结果为2，就认为不是分式。
（3）常见的考点：
①分式的值为0:分子等于0而分母不等于0；
②分式有意义：分母不等于0。
2.分式的基本性质
（1）性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
字母表示：==（M≠0，B≠0）其中A、B、M都是整式。
（2）利用性质变号：当分式的分子、分母的系数是负数时，可以利用分式的基本性质，把负号提到前面，变为比较简单的形式。
分式的变号法则：
3.约分
（1）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。
（2）确定公因式的方法：
①当分子与分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的乘积就是公因式；
②当分子与分母是多项式时，先把多项式因式分解，再按照①中的方法确定公因式
（3）最简分式：约分后，分式的分子与分母不再有公因式，我们称这样的分式为最简分式。
（4）约分的步骤：
①分：把分子与分母分解因式；
②找：找出分子与分母的公因式；
③约：约去分子与分母中的公因式，化成最简分式。
注意：
①约分的依据是分式的基本性质,所以约分是恒等变形,约分前后分式的值不变；
②约分一定要彻底,直到将分式化为最简分式或整式为止。
4.通分
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程叫做通分。
注意：通分的结果通常是选择各个分式分母的最简公分母作为通分后各个分式的分母。
（2）确定最简公分母的方法：
①取各个分母系数的最小公倍数；
②凡是单独出现的字母连同它的指数为最简公分母的一个因式；
③同底数幂取次数最高的为最简公分母的一个因式
（3）通分的步骤：
①分：把分子、分母分解因式；
②定：确定最简公分母；
③乘：利用分式的基本性质，将各分式分别乘以适当的数（或式子）使各分式的分母化为最简公分母。
（4）通分的技巧：
①分母是单项式：各个系数的最小公倍数、相同字母的最高次幂、不同字母及指数的乘积；
②分母是多项式：先分解因式，把每一个因式看做一个整体，再按照①从系数、相同因式、不同因式三方面确定。
5.分式的乘除法
（1）分式的乘法：分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，用分母的积作为积的分母。
用式子表示为：
（2）分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母调换位置后，与被除式相乘。
用式子表示为：
注意：
分式与分式相乘，若分子分母是单项式，可先将分子分母相乘，然后约去公因式，化为最简分式；若分子分母是多项式，可将分子分母分别分解因式，看能否约分，然后再相乘；
当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作分子，分母不变；
分式的除法运算可以转化为分式的乘法运算；
分式乘除运算的结果，要通过约分，化为最简分式或整式的形式。
6.分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用式子表示为：（n为正整数，b≠0）
注意：
①分式乘方时，一定要把分式加上括号；
②分式本身的符号也要同时乘方。
7.分式加减法
（1）分式的加减法法则：
①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用式子表示为：
②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再相加减。
用式子表示为：
（2）异分母分式加减运算的一般步骤：
①通分：将异分母分式化为同分母分式；
②写成“分母不变，把分子相加减”的形式；
③分子化简：分子去括号、合并同类项。
（3）分式的混合运算
①分式混合运算的顺序为：应先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，如果有括号，先算括号内的。
②分式的混合运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式。
【考点解析】
1.
分式有意义、无意义、值等于零的条件
【例题】（2015·黑龙江绥化）若代数式的值等于0
，则x=_________.
【答案】x=2
【分析】根据分式值为零的条件：分子为0且分母不为0即可得。
【解析】当时，代数式的值等于0，解得:x=2.
【点评】分式为零的条件中特别注意的是分母不能为0.
【变式】（2016·四川内江）在函数y＝中，自变量x的取值范围是(
)
A．x＞3
B．x≥3
C．x＞4
D．x≥3且x≠4
【答案】D
【解答】欲使根式有意义，则需x－3≥0；欲使分式有意义，则需x－4≠0．
∴x的取值范围是解得x≥3且x≠4．故选D．
2.
分式的约分
【例题】（2015 宁德
第18题
4分）化简：=　　．
【解析】
约分．.将分母分解因式，然后再约分、化简．
【解答】解：原式==．
【变式】.化简分式
的结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】原式=-
=-=．故选C．
3.分式的加减运算
【例题】(2015河北保定定州中考三模）计算：=
．
【答案】2
【分析】利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解析】原式=．
【点评】本题考查了分式加减法，要熟记分式加减法的运算法则。
【变式】（2015，广西钦州，16，3分）当m=2105时，计算：=
．
【解析】考查分式的化简求值．原式利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式===m﹣2，
当m=2015时，原式=2015﹣2=2013．
故答案为：2013
【点评】
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4.
分式的乘除运算
【例题】（2016·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x﹣15=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式=
=
∵x﹣15=0，
∴x=15，
∴原式=．
【变式】(2015内蒙古）计算：=
．
【答案】
【分析】提公因式并分解因式，约分即可得到结果。
【解析】原式=（2x+1）（2x-1）÷[（2x-1）（2x+1）]=．
【点评】本题考查的是分式的乘除法，将除法转化为乘法，然后将分子分母进行因式分解，约去公因式即可.
5.
分式的混合运算
【例题】（2016·黑龙江齐齐哈尔·5分）先化简，再求值：（1﹣）÷﹣，其中x2+2x﹣15=0．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后算减法，根据x2+2x﹣15=0得出x2+2x=15，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式= ﹣
=﹣
=，
∵x2+2x﹣15=0，
∴x2+2x=15，
∴原式=．
【变式】化简：．
【答案】
【解析】原式=．
6.
分式的化简求值
【例题】（2015·辽宁丹东）先化简，再求值：
，其中，3.
【答案】化简结果为，值为.
【分析】先把括号里的式子通分相减，然后把除数的分子分解因式，再把除数分子分母颠倒后与前面的结果相乘，最后约成最简分式或整式；求值时把a值代入化简的式子算出结果.
【解析】原式=×==；当a=3时，==.
【点评】本题考查的是综合运用知识进行因式分解的能力.
【变式】（2016·湖北黄石·6分）先化简，再求值：÷ ，其中a=2016．
【分析】先算除法，再算乘法，把分式化为最简形式，最后把a=2016代入进行计算即可．
【解答】解：原式=
=（a﹣1）
=a+1，
当a=2016时，原式=2017．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
【典例解析】
【例题1】（2016·重庆市A卷·5分）（+x﹣1）÷．
【分析】根据分式的混合运算法则进行计算．
【解答】解：（+x﹣1）÷
=×
=×
=．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【例题2】（2016·重庆市B卷·5分）÷（2x﹣）
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式混合运算法则进行计算．
【解答】解：
÷（2x﹣）
=×
=．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【例题3】26.（2016·贵州安顺·10分）先化简，再求值：），从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=
=，
当x=3时，原式==3．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【中考热点】
1.
（2016·四川眉山）先化简，再求值：，其中a=3．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[﹣]÷
= （a﹣2）
=﹣．
当a=3时，原式=﹣4．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意把分式化为最简形式，再代入求值．
2.
（2016·青海西宁·7分）化简：，然后在不等式x≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用分式的混合运算法则将原式化简，然后解不等式，选择使得分式有意义的值代入求解即可求得答案．
【解答】解：原式=
=
=
=
∵不等式x≤2的非负整数解是0，1，2
∵（x+1）（x﹣1）≠0，x+2≠0，
∴x≠±1，x≠﹣2，
∴把x=0代入．
3.
17．（2016·山东省滨州市·4分）先化简，再求值：÷（﹣），其中a=．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先括号内通分化简，然后把乘除化为乘法，最后代入计算即可．
【解答】解：原式=÷[﹣]
=÷
=
=（a﹣2）2，
∵a=，
∴原式=（﹣2）2=6﹣4
【点评】本题考查分式的混合运算化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键，通分时学会确定最简公分母，能先约分的先约分化简，属于中考常考题型．
4.（2016·山东省东营市·4分）化简，再求值：（a＋1－）÷（－），其中a＝2＋．
【思路分析】先确定分式的运算顺序：先算小括号内的，再进行除法运算．将原式括号中两项分别通分，化为同分母分式，利用同分母分式的加减法则计算，然后将各分式的分子和分母分解因式，最后将除法改成乘法进行约分计算，最后再代入a的值计算，即可得到结果．
【解答】原式＝÷
＝

＝
＝a(a－2)
＝a2－2a.
当a＝2＋时，
原式＝(2＋)2－2(2＋)＝3＋2.
【方法总结】此题考查了分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
【达标检测】
一、选择题
1.化简分式的结果是（
）
A.xy
B.﹣xy
C.x2﹣y2
D.y2﹣x2
2．（2015 黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．
x＞1
B．
x≠1
C．
x＜1
D．
一切实数
3．（2016·湖北荆门·3分）化简的结果是（　　）
A．
B．
C．x+1
D．x﹣1
4.若，则w=(
)
A.
B.
C.
D.
5.要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A.
B.
C.
D.
6.（2016·内蒙古包头·3分）化简（） ab，其结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
7.若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　）
　
A．﹣5
B．
﹣
C．
D．
5
8.
（2016·四川眉山·3分）已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　）
A．3
B．2
C．
D．
二、填空题
9．若分式有意义，则a的取值范围是
．
10．（2016·四川内江）化简：(＋)÷＝______．
11.化简（1+）÷的结果为
.
12.
（2016·湖北荆州·3分）当a=﹣1时，代数式的值是　　．
13.观察下列等式：
第1个等式：x1＝；第2个等式：x2＝；
第3个等式：x3＝；第4个等式：x4＝；
则xl＋x2＋x3＋…＋x10＝
．
三、解答题
14.化简：．
15.（2016·陕西）化简：（x﹣5+）÷．
16.（2016·四川宜宾）化简：÷（1﹣）
17.
18.
先化简，再求值：，其中．
19.先化简，再求值：，其中．
20.先化简，再求值：，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
21.先化简，再求值：，请选取一个适当的x的数值代入求值．
22．（2016河南）先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
答案部分
【达标检测答案】
一、选择题
1.化简分式的结果是（
）
A.xy
B.﹣xy
C.x2﹣y2
D.y2﹣x2
【答案】B.
【解答】分子提取公因式xy后与分母约分即可，即原式=,故答案选B.
2．（2015 黔西南州）（第2题）分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．
x＞1
B．
x≠1
C．
x＜1
D．
一切实数
考点：
分式有意义的条件．
分析：
分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．
解答：
解：由分式有意义，得
x﹣1≠0．
解得x≠1，
故选：B．
3．（2016·湖北荆门·3分）化简的结果是（　　）
A．
B．
C．x+1
D．x﹣1
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=÷= =，
故选A
4.若，则w=(
)
A.
B.
C.
D.
【答案】D.
【解析】∵，
∴w=.故选D.
5.要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】A.
【解析】根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须.故选A.
考点：分式有意义的条件.
6.（2016·内蒙古包头·3分）化简（） ab，其结果是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的混合运算．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式= ab=，
故选B
7.若x：y=1：3，2y=3z，则的值是（　　）
　
A．﹣5
B．
﹣
C．
D．
5
【答案】A
【解析】∵x：y=1：3，∴设x=k，y=3k，∵2y=3z，∴z=2k，∴．故选A．
8.
（2016·四川眉山·3分）已知x2﹣3x﹣4=0，则代数式的值是（　　）
A．3
B．2
C．
D．
【分析】已知等式变形求出x﹣=3，原式变形后代入计算即可求出值．
【解答】解：已知等式整理得：x﹣=3，
则原式===，
故选D
二、填空题
9．若分式有意义，则a的取值范围是
．
【答案】a≠﹣1
【解答】考查了分式有意义的条件，∵分式有意义，∴a+1≠0，解得a≠﹣1．
10.计算：=
．
【答案】2
【解析】利用同分母的分式相加减的运算法则可得原式=．
11．（2016·四川内江）化简：(＋)÷＝______．
【答案】a．
【解析】先算小括号，再算除法．
原式＝(－)÷＝÷＝(a＋3)·＝a．
故答案为：a．
12.化简（1+）÷的结果为
.
【答案】1.
【解析】原式==1．
12.
（2016·湖北荆州·3分）当a=﹣1时，代数式的值是　　．
【分析】根据已知条件先求出a+b和a﹣b的值，再把要求的式子进行化简，然后代值计算即可．
【解答】解：∵a=﹣1，
∴a+b=+1+﹣1=2，a﹣b=+1﹣+1=2，
∴===；
故答案为：．
14.观察下列等式：
第1个等式：x1＝；第2个等式：x2＝；
第3个等式：x3＝；第4个等式：x4＝；
则xl＋x2＋x3＋…＋x10＝
．
【答案】．
【解析】原式=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）=．
三、解答题
14.化简：．
【答案】x．
【解析】
试题分析：各因式因式分解，利用除法法则变形，约分即可得到结果．
试题解析：.
考点：分式的混合运算．
15.（2016·陕西）化简：（x﹣5+）÷．
【考点】分式的混合运算．
【分析】根据分式的除法，可得答案．
【解答】解：原式=
=（x﹣1）（x﹣3）
=x2﹣4x+3．
16.（2016·四川宜宾）化简：÷（1﹣）
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
解：原式=÷= =．
17.
【答案】.
【解析】先计算括号里的，然后再乘以除式的倒数，进行约分化简即可求出结果.
试题解析：原式=
18.
先化简，再求值：，其中．
【答案】.
【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简计算即可求出值．
试题解析：.
当时，原式=
.
19.先化简，再求值：，其中．
【答案】，﹣1．
【解析】用分式混合运算法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．
原式==，
当时，原式=﹣3+2=﹣1．
20.先化简，再求值：，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入．
【答案】，3．
【解析】根据分式混合运算的法则进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可．
试题解析：原式==，
当x=3时，原式==3．
22.先化简，再求值：，请选取一个适当的x的数值代入求值．
【答案】，当x=2时，原式=4．
【解析】
试题分析：先化简分式，再取x=2代入求值．
试题解析：原式===．
当x=2时，原式=4．
考点：分式的化简求值．
22．（2016河南）先化简，再求值：
（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．
【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．
【解答】解：原式=
=﹣
=，
解不等式组得，﹣1≤x＜，
当x=2时，原式==﹣2．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．