2018中考数学专题突破导学练第5讲一次方程（组）及其应用试题（含答案解析）

第5讲
一次方程（组）及其应用
【知识梳理】
知识点一：等式及方程的有关概念
1．等式及其性质
(1)用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．
(2)等式的性质：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
2．方程的有关概念：(1)含有未知数的等式叫做方程；(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解也叫做根)；(3)方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．
重点：等式的理解与运用
难点：方程定义的理解
知识点二：一元一次方程
1．一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是ax＋b＝0(a≠0)．
2．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；
(5)系数化为1.
2．方程的有关概念：(1)含有未知数的等式叫做方程；(2)使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解(只含有一个未知数的方程的解也叫做根)；(3)方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程．
重点：
能够列出方程关系。
难点：结合情景找到数量关系并进行数学模型的建立
知识点三：二元一次方程组及解法
1．二元一次方程组
(1)几个二元一次方程组成一组，叫做二元一次方程组；
(2)二元一次方程的一般形式：ax＋by＋c＝0(a≠0，b≠0)．
2．二元一次方程组的解法
(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)图象法．
重点：几种解决方程的方法。
难点：利用图像法解决实际方程问题。
知识点四：列方程组解应用题
1．列方程(组)解应用题的一般步骤
(1)把握题意，搞清楚什么是条件，求什么；
(2)设未知数(直接设未知数，问什么就设什么；间接设未知数)；
(3)找出能够包含未知数的等量关系(一般情况下设几个未知数，就找几个等量关系)；
(4)列出方程(组)；
(5)求出方程(组)的解(注意排除增根)；
(6)检验(看是否符合题意)；
(7)写出答案(包括单位名称)．
2．列方程(组)解应用题的关键是：确定等量关系.
重点：准确把握解应用题的一般步骤。
难点：确定等量关系.
【考点解析】
考点一：
方程组的有关概念
【例题1】（2016·内蒙古包头·3分）若2（a+3）的值与4互为相反数，则a的值为（　　）
A．﹣1
B．﹣C．﹣5
D．
【考点】解一元一次方程；相反数．
【分析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．
【解答】解：∵2（a+3）的值与4互为相反数，
∴2（a+3）+4=0，
∴a=﹣5，
故选C．
考点二、方程组的解法
【例1】（2016·湖北武汉·8分）解方程：5x＋2＝3(x＋2)
．
【考点】解一元一次方程
【答案】x＝2
【解析】解：去括号得5x＋2＝3x＋6，
移项合并得2x＝4，
∴x＝2．
类型三方程组的应用
为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【分析】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；
（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
【解答】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得，
解得，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得：，
解得，
∴3≤a≤5，
∵x取整数，
∴x=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系．
【中考热点】
1.
某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
则10﹣x=2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：a≥5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．
2.
（2017湖北江汉）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需　48　元．
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入x+y中，即可得出结论．
【解答】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴x+y=20+28=48．
故答案为：48．
【达标检测】
1.
（2017黑龙江鹤岗）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚．经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（　　）
A．2种
B．3种
C．4种
D．5种
【考点】95：二元一次方程的应用．
【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案．
【解答】解：设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得：
6x+7y≤20，
当x=1，y=2符合题意；
当x=2，y=1符合题意；
当x=3，y=0符合题意；
故建造方案有3种．
故选：B．
2.
（2017湖北随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】99：由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．
【解答】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元，
根据题意得．
故选B．
3.
（2017山东滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（　　）
A．22x=16（27﹣x）
B．16x=22（27﹣x）
C．2×16x=22（27﹣x）
D．2×22x=16（27﹣x）
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【分析】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
【解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，
∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，
∴可得2×22x=16（27﹣x）．
故选D．
4.
（2017乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是　100　元．
【考点】8A：一元一次方程的应用．
【分析】此题的等量关系：实际售价=标价的六折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求解即可．
【解答】解：设进价是x元，则（1+20%）x=200×0.6，
解得：x=100．
则这件衬衣的进价是100元．
故答案为100．
5.
．（2017乌鲁木齐）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有35个头，从下面看有94条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
【考点】9A：二元一次方程组的应用．
【分析】设笼中鸡有x只，兔有y只，本题中的等量关系有：鸡头+兔头=35头；鸡足+兔足=94足，需要注意的是，一只鸡有一头两足，一只兔有一头四足．
【解答】解：设笼中鸡有x只，兔有y只，由题意得：
，
解得．
答：笼中鸡有23只，兔有12只．
6.
（2017 玉林）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．
（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？
（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
【考点】C9：一元一次不等式的应用；9A：二元一次方程组的应用．.
【分析】（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，
根据题意，得：，
解得：，
答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，
根据题意，得：100﹣a≥a，
解得：a≤50，
设购买总费用为W，
则W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，
∵W随a的增大而减小，
∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，
答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式及一次函数的性质，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出方程和函数解析式，熟练掌握一次函数性质是解题的关键．
7.
（2016·江西·8分）如图是一根可伸缩的鱼竿，鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成．闲置时鱼竿可收缩，完全收缩后，鱼竿长度即为第1节套管的长度（如图1所示）：使用时，可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸（如图2所示）．图3是这跟鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图．已知第1节套管长50cm，第2节套管长46cm，以此类推，每一节套管均比前一节套管少4cm．完全拉伸时，为了使相邻两节套管连接并固定，每相邻两节套管间均有相同长度的重叠，设其长度为xcm．
（1）请直接写出第5节套管的长度；
（2）当这根鱼竿完全拉伸时，其长度为311cm，求x的值．
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】（1）根据“第n节套管的长度=第1节套管的长度﹣4×（n﹣1）”，代入数据即可得出结论；
（2）同（1）的方法求出第10节套管重叠的长度，设每相邻两节套管间的长度为xcm，根据“鱼竿长度=每节套管长度相加﹣（10﹣1）×相邻两节套管间的长度”，得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）第5节套管的长度为：50﹣4×（5﹣1）=34（cm）．
（2）第10节套管的长度为：50﹣4×（10﹣1）=14（cm），
设每相邻两节套管间重叠的长度为xcm，
根据题意得：（50+46+42+…+14）﹣9x=311，
即：320﹣9x=311，
解得：x=1．
答：每相邻两节套管间重叠的长度为1cm．