江苏省盐城市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数的最小正周期为　
　．
2．已知直线l过定点（1，0），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为　
　．
3．若，则cos2α=　
　．
4．在Rt△ABC中，，AB=4，AC=3，则=　
　．
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若首项a1=﹣3，公差d=2，Sk=5，则正整数k=　
　．
6．设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是　
　．（填写所有正确命题的序号）
①若a∥b，a∥α，则b∥α；
②若a∥b，a α，b⊥β，则α⊥β；
③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．
7．已知正项等比数列{an}，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=　
　．
8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　
　．
9．已知向量是与向量=（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是　
　．
10．函数y=3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是　
　．
11．在平面直角坐标系xOy中，以点（1
( http: / / www.21cnjy.com )，0）为圆心且与直线2mx﹣y﹣4m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　
　．
12．已知数列{an}满足（k∈N
），若a1=1，则S20=　
　．
13．如图，点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点，设=x+y，则x+y的最大值为　
　．
14．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则的取值范围是　
　．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F﹣ABCD的体积．
16．已知向量和，其中，，k∈R．
（1）当k为何值时，有∥；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P
( http: / / www.21cnjy.com )是圆O：x2+y2=1与x轴正半轴的交点，半径OA在x轴的上方，现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB．设∠POA=x（0＜x＜π），．
（1）若，求点B的坐标；
（2）求函数f（x）的最小值，并求此时x的值．
18．如图，OA、OB是两条公路（近似看成
( http: / / www.21cnjy.com )两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．
（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．
19．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，S3=12．
（1）求a24与S7的值；
（2）已知m、n均为正整数，满足am=Sn．试求所有n的值构成的集合．
20．如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q（
( http: / / www.21cnjy.com )不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
　
2016-2017学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．函数的最小正周期为　π　．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】由条件利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，求得结论．
【解答】解：函数的最小正周期为=π，
故答案为：π．
　
2．已知直线l过定点（1，0），且倾斜角为，则直线l的一般式方程为　x﹣y﹣=0　．
【考点】IG：直线的一般式方程．
【分析】由直线的倾斜角求得斜率，写出直线方程的点斜式，化为一般式得答案．
【解答】解：∵直线l的倾斜角为，∴斜率k=tan=，
又直线l过点（1，0），
∴直线l的方程为y=（x﹣1），即x﹣y﹣=0
故答案为：
x﹣y﹣=0
　
3．若，则cos2α=　　．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由已知结合诱导公式求出cosα，再由二倍角公式得答案．
【解答】解：由，得cosα=．
∴cos2α=2cos2α﹣1=2×．
故答案为：．
　
4．在Rt△ABC中，，AB=4，AC=3，则=　9　．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】由题意画出图形，结合向量的加法法则化简求值．
【解答】解：如图，
∵，AB=4，AC=3，
∴．
故答案为：9．
　
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若首项a1=﹣3，公差d=2，Sk=5，则正整数k=　5　．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．
【解答】解：由a1=﹣3，公差d=2，Sk=5，
∴﹣3k+=5，化为：k2﹣4k﹣5=0，
解得正整数k=5．
故答案为：5．
　
6．设a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，则下列命题正确的是　②③　．（填写所有正确命题的序号）
①若a∥b，a∥α，则b∥α；
②若a∥b，a α，b⊥β，则α⊥β；
③若α∥β，a⊥α，则a⊥β；④若α⊥β，a⊥b，a⊥α，则b⊥β．
【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据空间线面位置关系的判定与性质进行判断．
【解答】解：对于①，若b α，则结论不成立，故①错误；
对于②，∵a∥b，b⊥β，∴a⊥β，
又a α，∴α⊥β．故②正确；
对于③，设m，n为α内的两条相交直线，
m′，n′为m，n在β内的射影，则m∥m′，n∥n′，
∵a⊥α，∴a⊥m，a⊥n，
∴a⊥m′，a⊥n′，
∴a⊥β，故③正确；
对于④，以正三棱柱ABC﹣A1B1C1为例说明，
设侧面ABB1A1为α，底面ABC为β，侧棱CC1为直线a，底面ABC内任意一条直线为b，
显然b与平面β的关系不确定，故④错误；
故答案为：②③．
　
7．已知正项等比数列{an}，且a1a5+2a3a5+a3a7=25，则a3+a5=　5　．
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】由题意可得
a32+2a3a5+a52=25，即（a3+a5）2=25，可得a3+a5
=5．
【解答】解：在正项等比数列{an}
中，a1a5+2a3a5+a3a7=25，即a32+2a3a5+a52=25，
∴（a3+a5）2=25，
故a3+a5
=5，
故答案为：5
　
8．若圆锥的侧面展开图是半径为5、圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　12π　．
【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据侧面展开图特征计算底面半径，得出圆锥的高，代入体积公式计算体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，
则=，∴r=3，
∴圆锥的高h==4，
∴圆锥的体积V===12π．
故答案为：12π．
　
9．已知向量是与向量=（﹣3，4）同向的单位向量，则向量的坐标是　　．
【考点】95：单位向量．
【分析】利用=即可得出．
【解答】解：
==．
故答案为：．
　
10．函数y=3cos（2x+φ）是奇函数，则|φ|的最小值是　　．
【考点】H8：余弦函数的奇偶性．
【分析】根据三角函数的图象和性质，即可得到结论．
【解答】解：∵y=3cos（2x+φ）是奇函数，
∴φ=+kπ，k∈Z，
当k=0，
∴当k=0时，|φ|的最小值是．
故答案为：
　
11．在平面直角坐标系xOy中，以点（
( http: / / www.21cnjy.com )1，0）为圆心且与直线2mx﹣y﹣4m+1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　（x﹣1）2+y2=2　．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：直线2mx﹣y﹣4m+1=0化为2m（x﹣2）+1﹣y=0，可得其过定点（2，1），
圆心（1，0）到直线mx﹣y﹣2m﹣1=0的距离d的最大值为，
∴圆的半径最大为，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故答案为：（x﹣1）2+y2=2．
　
12．已知数列{an}满足（k∈N
），若a1=1，则S20=　2056　．
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由题意可得数列{an}的奇
( http: / / www.21cnjy.com )数项成首项为1，公比为2的等比数列，其偶数项比其前一项多1，运用分组求和和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：数列{an}满足（k∈N
），a1=1，
可得a2=a1+1=2，a3=2a2﹣2=2，a4=a3+1=3，a5=2a4﹣2=4，…，
可得数列{an}的奇数项成首项为1，公比为2的等比数列，
其偶数项比其前一项多1，
则S20=（1+2+…+29）+（2+3+…+29+1）=+10+
=211+8=2056．
故答案为：2056．
　
13．如图，点P是边长为1的正六边形ABCDEF的边上的一个动点，设=x+y，则x+y的最大值为　2　．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】设六边形边长为1，把向量，和向量，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴距离坐标系，得到的坐标，分析x+y取最大值时P的位置．
【解答】解：六边形边长为1，把向量和向量，沿着AD方向和垂直于AD两个方向分解．
设AD方向为x轴，垂直于AD方向为y轴如图：
那么==（﹣，），
=（﹣，﹣1﹣），
=（﹣x﹣y，
x﹣（1+）y），
所以，当的横坐标最小的时候，x+y最大．
那么，当P与D重合时，满足这一条件．
此时AP=2，x+y=2；最大值为2；
故答案为：2．
　
14．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2=b2+bc，则的取值范围是　（，2）　．
【考点】HR：余弦定理．
【分析】由已知及余弦定理可得c=b（1+2cosA），从而可求=，由A的范围，利用余弦函数的图象和性质可求的范围．
【解答】解：∵△ABC中，a2=b2+bc，
又∵由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+bc=b2+c2﹣2bccosA，整理可得：c=b（1+2cosA），
∴a2=b2+b2（1+2cosA）=b2（2+2cosA），
∴=，
∵在锐角△ABC中，A∈（0，），cosA∈（0，1），可得：2+2cosA∈（2，4），
∴=∈（，2）．
故答案为：（，2）．
　
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知如图：平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．
（1）求证：GH∥平面CDE；
（2）若CD=2，DB=4，求四棱锥F﹣ABCD的体积．
【考点】LS：直线与平面平行的判定；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）证明GH∥平面CDE，利用线面平行的判定定理，只需证明HG∥CD；
（2）证明FA⊥平面ABCD，求出SABCD，即可求得四棱锥F﹣ABCD的体积．
【解答】（1）证明：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC且EF=AD=BC
∴四边形EFBC是平行四边形，∴H为FC的中点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
又∵G是FD的中点
∴HG∥CD﹣﹣﹣
∵HG 平面CDE，CD 平面CDE
∴GH∥平面CDE﹣﹣﹣﹣﹣
（2）解：∵平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD
且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD．﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵BC=6，∴FA=6
又∵CD=2，DB=4，CD2+DB2=BC2
∴BD⊥CD﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴SABCD=CD×BD=8
∴VF﹣ABCD=×SABCD×FA=××6=16﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
　
16．已知向量和，其中，，k∈R．
（1）当k为何值时，有∥；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】（1）根据题意，设，则有，结合向量、的坐标，可得t﹣k=2+t=0，解可得k的值，即可得答案；
（2）根据题意，若向量与的夹角为钝角，则有＜0，由数量积的计算公式可得，结合向量不共线分析可得答案．
【解答】解：（1）由，设，
所以，即，
又，，得与不共线，
所以t﹣k=2+t=0，解得k=﹣2，
（2）因向量与的夹角为钝角，
所以，
又，，得，
所以，即k＜8，
又向量与不共线，由（1）知k≠﹣2，
所以k＜8且k≠﹣2．
　
17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是
( http: / / www.21cnjy.com )圆O：x2+y2=1与x轴正半轴的交点，半径OA在x轴的上方，现将半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB．设∠POA=x（0＜x＜π），．
（1）若，求点B的坐标；
（2）求函数f（x）的最小值，并求此时x的值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）根据三角函数的定义求解即可．
（2），求出f（x）的解析式，化简，利用三角函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意，因点P是圆O：x2+y2=1与x轴正半轴的交点，又，
且半径OA绕原点O逆时针旋转得到半径OB，
∴．
由三角函数的定义，得，，
解得，．
∴．
（2）依题意，，，，
由，
∴，
∴，
∵0＜x＜π，
则，
∴当时，即，
函数f（x）取最小值为．
　
18．如图，OA、OB是两
( http: / / www.21cnjy.com )条公路（近似看成两条直线），，在∠AOB内有一纪念塔P（大小忽略不计），已知P到直线OA、OB的距离分别为PD、PE，PD=6千米，PE=12千米．现经过纪念塔P修建一条直线型小路，与两条公路OA、OB分别交于点M、N．
（1）求纪念塔P到两条公路交点O处的距离；
（2）若纪念塔P为小路MN的中点，求小路MN的长．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】（1）设∠POA=α，分别在△OPD和△OPE中用α表示出OP，解方程即可得出α，从而求出OP的长；
（2）设∠PMO=θ，分别表示出PM，PN，解方程得出θ，从而得出MN的长．
【解答】解：（1）设∠POA=α，则，
∵PD=6，PE=12，
∴，
∴，化简得，
又sin2α+cos2α=1，∴，
∴．
∴纪念塔P到两条公路交点O处的距离为4千米．
（2）设∠PMO=θ，则∠PNO=﹣θ，
∵P为MN的中点，即PM=PN，
∴，
即，解得，
∴．
∴小路MN的长为24千米．
　
19．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，S3=12．
（1）求a24与S7的值；
（2）已知m、n均为正整数，满足am=Sn．试求所有n的值构成的集合．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】（1）因数列{an}是等差数列，可得S3=3a2=12，可得a2，又a1=1，可得公差d，即可得出an与Sn．
（2）由（1）知am=3m﹣2，由am=Sn，得，化简即可得出．
【解答】解：（1）因数列{an}是等差数列，
所以S3=3a2=12，所以a2=4，…
又a1=1，所以公差d=3，
所以an=1+3（n﹣1）=3n﹣2，，…
所以a24=70，．…
（2）由（1）知am=3m﹣2，
由am=Sn，得，…
所以，…
因n2+n=n（n+1）为正偶数，为正整数，…
所以只需为整数即可，即3整除n﹣1，…
所以A={n|n=3k+1，k∈N}．…
　
20．如图，已知动直线l过点，且与圆O：x2+y2=1交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为，求△OAB的面积；
（2）若直线l的斜率为0，点C是圆O上任意一点，求CA2+CB2的取值范围；
（3）是否存在一个定点Q
( http: / / www.21cnjy.com )（不同于点P），对于任意不与y轴重合的直线l，都有PQ平分∠AQB，若存在，求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】J9：直线与圆的位置关系．
【分析】（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，利用弦长、半径、弦心距的关系，求得弦长及△OAB的高，即可求出面积．
（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，设点C（x，y），则x2+y2=1，又=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
即可得CA2+CB2的取值范围．
（3）法一：若存在，则根据对称性可知，
( http: / / www.21cnjy.com )定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），因直线l不与y轴重合，设直线l，代入圆O得，所以（
）
由AQ与BQ的斜率互为相反数，可得，即求得t；
解法二：若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，化简可得，同时求得t．
【解答】解：（1）因为直线l的斜率为，所以直线l，
则点O到直线l的距离，…
所以弦AB的长度，
所以．…
（2）因为直线l的斜率为0，所以可知、，…
设点C（x，y），则x2+y2=1，
又，…
所以CA2+CB2=4﹣2y，又y∈[﹣1，1]，
所以CA2+CB2的取值范围是[2，6]．…
（3）法一：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直线l不与y轴重合，设直线l，…
代入圆O得，
所以（
）
…
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的定义，AQ与BQ的斜率互为相反数
有，又，，
化简可得，…
代入（
）式得，因为直线l任意，故，
即t=2，即Q（0，2）…
解法二：若存在，则根据对称性可知，定点Q在y轴上，设Q（0，t）、又设A（x1，y1）、B（x2，y2），
因直线l不与y轴重合，设直线l，…
代入圆O得，
所以（
）
…
若PQ平分∠AQB，则根据角平分线的几何意义，点A到y轴的距离d1，点B到y轴的距离d2满足，即，
化简可得，…
代入（
）式得，因为直线l任意，故，
即t=2，即Q（0，2）…
　
2017年7月28日