陕西省咸阳市2016-2017学年高一（下）期末数学试卷（解析版）

2016-2017学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．下列角中终边与330°相同的角是（　　）
A．30°
B．﹣30°
C．630°
D．﹣630°
2．下列命题中正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．两个相等向量的模相等
3．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（　　）
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．不能判定
4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
5．将两个数A=9，B=15交换使得A=15，B=9下列语句正确的一组是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在平行四边形ABCD中，
++=（　　）
A．
B．
C．
D．
7．给出的以下四个问题中，不需要用条件语句来描述其算法是（　　）
A．输入一个实数x，求它的绝对值
B．求面积为6的正方形的周长
C．求三个数a、b、c中的最大数
D．求函数f（x）=的值
8．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是（　　）
A．3π
B．
C．6π
D．
9．函数y=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（　　）
A．y=2sin（2x+）
B．y=2sin（2x﹣）
C．y=2sin（2x﹣）
D．y=2sin（2x+）
10．如图所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为（　　）
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
11．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章
( http: / / www.21cnjy.com )》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（　　）
A．164石
B．178石
C．189石
D．196石
12．已知f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知tan（﹣α﹣π）=﹣5，则tan（+α）的值为　
　．
14．一支田径队有男运动员28人，女运动员
( http: / / www.21cnjy.com )21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取　
　人．
15．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），则sinθ﹣cosθ的值为　
　．
16．某校从高一年级学生中
( http: / / www.21cnjy.com )随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为　
　．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）若∥，求实数m的值．
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示．
（1）写出甲、乙的中位数和众数；
（2）计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀．
20．脱贫是政府关注民生的重要任务，了
( http: / / www.21cnjy.com )解居民的实际收入状况就显得尤为重要．现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入xi（万元），年积蓄yi（万元），经过数据处理得．
（Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在=x+中，
=，
=﹣，其中为样本平均值．
21．已知函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．
22．田忌和齐王赛马是历史上有名的
( http: / / www.21cnjy.com )故事，设齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c．三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c．
（Ⅰ）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）为了得到更大的获胜概率，田忌
( http: / / www.21cnjy.com )预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马．那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？
　
2016-2017学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．下列角中终边与330°相同的角是（　　）
A．30°
B．﹣30°
C．630°
D．﹣630°
【考点】G2：终边相同的角．
【分析】直接利用终边相同的角判断即可．
【解答】解：因为330°的终边与﹣30°的终边相同，
所以B满足题意．
故选B．
　
2．下列命题中正确的是（　　）
A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B．模相等的两个平行向量是相等向量
C．若和都是单位向量，则
D．两个相等向量的模相等
【考点】97：相等向量与相反向量；96：平行向量与共线向量．
【分析】只要两个向量的方向相同，模长相等，这
( http: / / www.21cnjy.com )两个向量就是相等向量，模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，两个单位向量模长相等，向量相等则模长相等．
【解答】解：∵只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A不正确，
模长相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故B不正确，
两个单位向量模长相等，故C不正确，
向量相等则模长相等，故D正确，
故选D．
　
3．将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，此事件是（　　）
A．必然事件
B．不可能事件
C．随机事件
D．不能判定
【考点】C1：随机事件．
【分析】首先要了解随机事件
( http: / / www.21cnjy.com )的概念：在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，然后判断题目是可能事件非必然事件，排除即得到答案．
【解答】解：将一根长为a的铁丝随意截成三段，构成一个三角形，这个事件是可能发生的事件，但不是必然事件．
所以事件是随机事件．
故答案选择C．
　
4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
【考点】C4：互斥事件与对立事件．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
　
5．将两个数A=9，B=15交换使得A=15，B=9下列语句正确的一组是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】EB：赋值语句．
【分析】要实现两个变量A，B值的交换，需要借助中间量C，先把B的值赋给中间变量C，再把A的值赋给变量B，把C的值赋给变量A．
【解答】解：先把B的值赋给中间变量C，这样C=15，
再把A的值赋给变量B，这样B=9，
把C的值赋给变量A，这样A=15
故选：D．
　
6．在平行四边形ABCD中，
++=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】98：向量的加法及其几何意义．
【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用平面向量的加法运算法则进行运算即可．
【解答】解：画出图形，如图所示；
++=（+）+
=+
=+
=．
故选：D．
　
7．给出的以下四个问题中，不需要用条件语句来描述其算法是（　　）
A．输入一个实数x，求它的绝对值
B．求面积为6的正方形的周长
C．求三个数a、b、c中的最大数
D．求函数f（x）=的值
【考点】ED：条件语句．
【分析】根据条件语句适用
( http: / / www.21cnjy.com )于：不同前提条件下不同处理方式的问题，可依次对四个问题进行分析找出具有不同前提条件下不同处理方式这一特征的问题，即可得到正确选项．
【解答】解：对于A，输入一个实数x，求它的绝对值，自变量取不同值时，求对应的函数值时，需要代入相应的解析式，需要用条件语句描述．
对于B，求面积为6的正三角形的周长用顺序结构即可，故不需要用条件语句描述；
对于C，求三个数a、b、c中的最大数，由于要作出判断，找出最大数，故本问题的解决要用到条件语句描述；
对于D，因为函数f（x）=是一个分段函数，即自变量取不同值时，求对应的函数值时，需要代入相应的解析式，需要用条件语句描述．
故选：B．
　
8．已知一扇形的圆心角是60°，弧长是π，则这个扇形的面积是（　　）
A．3π
B．
C．6π
D．
【考点】G8：扇形面积公式．
【分析】根据弧长公式l=变形，求出半径R，即可求出扇形的面积．
【解答】解：∵l=，
∴R==3，
∴S==，
故选B．
　
9．函数y=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（　　）
A．y=2sin（2x+）
B．y=2sin（2x﹣）
C．y=2sin（2x﹣）
D．y=2sin（2x+）
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数y=Asin（2x+φ）（A＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象，
可得A=2，
=﹣（﹣），∴ω=2，
再结合五点法作图可得2 （﹣）+φ=，∴φ=，
∴y=2sin（2x+），
故选：D．
　
10．如图所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为（　　）
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
【考点】E6：选择结构．
【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析
( http: / / www.21cnjy.com )程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断输入的年份是否为闰年，其判断的条件：能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除．
【解答】解：由流程图可知：
要判断输入的代表年份的Y是否为闰年
则要判断Y能否被4整除但不能被100整除，或者能被400整除．
在A、B、C、D四个答案中，只有1996满足条件
故选A．
　
11．我国南宋数学家秦九韶所著《数学九
( http: / / www.21cnjy.com )章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（　　）
A．164石
B．178石
C．189石
D．196石
【考点】B2：简单随机抽样．
【分析】根据216粒内夹谷27粒，可得比例，即可得出结论．
【解答】解：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为=，
则由此估计总体中谷的含量约为1512×=189石．
故选：C．
　
12．已知f（x）=2sin（2x
( http: / / www.21cnjy.com )+），若将它的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）图象的一条对称轴的方程为（　　）
A．x=
B．x=
C．x=
D．x=
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．
【解答】解：f（x）=2sin（2x+），若将它的图象向右平移个单位，
得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+）]=2sin（2x﹣）的图象，
令2x﹣=kπ+，k∈z，求得x=+，故函数的图象的一条对称轴的方程为x=，
故选：C．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知tan（﹣α﹣π）=﹣5，则tan（+α）的值为　5　．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得要求式子的值．
【解答】解：∵tan（﹣α﹣π）=tan（﹣α﹣）=﹣tan（+α）=﹣5，则tan（+α）=5，
故答案为：5．
　
14．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取　8　人．
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】有男运动员28人，女运动员21人
( http: / / www.21cnjy.com )，知总体个数是20+10，从全体队员中抽出一个容量为14人的样本，得到每个个体被抽到的概率是，得到男运动员应抽的人数是用概率乘以男运动员人数．
【解答】解：∵有男运动员28人，女运动员21人，
∴总体个数是29+21=49，
∵从全体队员中抽出一个容量为14人的样本
∴每个个体被抽到的概率是=
∴男运动员应抽=8；
故答案为：8．
　
15．已知sinθ+cosθ=（0＜θ＜），则sinθ﹣cosθ的值为　﹣　．
【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平
( http: / / www.21cnjy.com )方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinθcosθ的值，判断出sinθ﹣cosθ小于0，再利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，开方即可求出sinθ﹣cosθ的值．
【解答】解：∵sinθ+cosθ=＞0，0＜θ＜，
∴（sinθ+cosθ）2=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=，sinθ﹣cosθ＜0，
∴2sinθcosθ=，
∴（sinθ﹣cosθ）2=sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ=1﹣2sinθcosθ=，
则sinθ﹣cosθ=﹣．
故答案为：﹣．
　
16．某校从高一年级学生中随机抽取部分
( http: / / www.21cnjy.com )学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为　480　．
【考点】B8：频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图求出该模块测试成绩不少于60分的频率，由此能求出该模块测试成绩不少于60分的学生人数．
【解答】解：由频率分布直方图得该模块测试成绩不少于60分的频率为：
1﹣（0.005+0.015）×10=0.8，
∴该模块测试成绩不少于60分的学生人数为：0.8×600=480．
故答案为：480．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知四点A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0）、D（3m2，m+4）．
（Ⅰ）求证：⊥；
（Ⅱ）若∥，求实数m的值．
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】分别根据向量的坐标运算和向量的平行和垂直的条件即可解答．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（﹣3，1）、B（﹣1，﹣2）、C（2，0），
∴=（2，﹣3），=（3，2），
∴ =2×3﹣3×2=0，
∴⊥；
（Ⅱ）∵A（﹣3，1）、D（3m2，m+4），
∴=（3m2+3，m+3），
∵∥，
∴2（3m2+3）=3（m+3），
解得m=﹣或m=1．
　
18．已知，．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】（1）由角的范围及同角三角函数基本关系式的应用可求cosα的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值．
（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求，利用（1）的结论即可计算求值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴，…
∴；…
（2）原式==，…
=…
　
19．甲、乙两名技工在相同的条件下生产某种零件，连续6天中，他们日加工的合格零件数的统计数据的茎叶图，如图所示．
（1）写出甲、乙的中位数和众数；
（2）计算甲、乙的平均数与方差，并依此说明甲、乙两名技工哪名更为优秀．
【考点】BA：茎叶图．
【分析】（1）根据茎叶图中的数据，计算甲、乙的中位数和众数即可；
（2）计算甲、乙的平均数和方差，比较即可得出结论．
【解答】解：（1）根据茎叶图知，
甲的中位数为，众数为20；
乙的中位数为，众数为23；
（2）计算甲的平均数为，
方差为，
乙的平均数是，
方差是，
由于，且，
所以甲更为优秀．
　
20．脱贫是政府关注民生的重要
( http: / / www.21cnjy.com )任务，了解居民的实际收入状况就显得尤为重要．现从某地区随机抽取100个农户，考察每个农户的年收入与年积蓄的情况进行分析，设第i个农户的年收入xi（万元），年积蓄yi（万元），经过数据处理得．
（Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求线性回归方程；
（Ⅱ）若该地区的农户年积蓄在5万以上，即称该农户已达小康生活，请预测农户达到小康生活的最低年收入应为多少万元？
附：在=x+中，
=，
=﹣，其中为样本平均值．
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】（Ⅰ）已知家庭的年结余y对年收入x具有线性相关关系，求出回归系数，即可求线性回归方程；
（Ⅱ）令得x≥15即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知，，
所以线性回归方程为；
（Ⅱ）令得x≥15，
由此可预测该农户的年收入最低为15万元．
　
21．已知函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，求实数m的取值范围．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）化简函数f（x）为正弦型函数，求出它的最小正周期和值域；
（2）对任意x∈[0，]，[f（x）
( http: / / www.21cnjy.com )+]﹣2m=0成立，等价于sin（2x+）=m；求出x∈[0，]时sin（2x+）的值域即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=2cos（x+）[sin（x+）﹣cos（x+）]
=2cos（x+）sin（x+）﹣2cos2（x+）
=sin（2x+）﹣2
=sin（2x+）﹣cos（2x+）﹣
=2sin[（2x+）﹣]﹣
=2sin（2x+）﹣，
∴函数f（x）的最小正周期为T===π；
又﹣1≤sin（2x+）≤1，
∴﹣2﹣≤2sin（2x+）﹣≤2﹣，
即f（x）的值域为[﹣2﹣，2﹣]；
（2）对任意x∈[0，]，[f（x）+]﹣2m=0成立，
∴[2sin（2x+）﹣+]﹣2m=0，
即sin（2x+）=m；
由x∈[0，]，得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[，1]，
∴实数m的取值范围是m∈[，1]．
　
22．田忌和齐王赛马是历史上有名的故事，设
( http: / / www.21cnjy.com )齐王的三匹马分别为A、B、C，田忌的三匹马分别为a、b、c．三匹马各比赛一次，胜两场者为获胜．若这六匹马比赛的优劣程度可以用以下不等式表示：A＞a＞B＞b＞C＞c．
（Ⅰ）如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
（Ⅱ）为了得到更大的获胜概率
( http: / / www.21cnjy.com )，田忌预先派出探子到齐王处打探实情，得知齐王第一场必出上等马．那么，田忌应怎样安排出马的顺序，才能使自己获胜的概率最大？
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）列出齐王与田忌赛马的所有情况，从而求概率；
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马A，若田
( http: / / www.21cnjy.com )忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，从而安排后两场，求概率．
【解答】解：记A与a比赛为（A，a），其它同理．
（Ⅰ）齐王与田忌赛马，有如下六种情况：
（A，a）、（B，b）、（C，c）；（A，a）、（B，c）、（C，b）；
（A，b）、（B，c）、（C，a）：（A，b）、（B，a）、（C，c）；
（A，c）、（B，a）、（C，b）；（A，c），（B，b），（C，a）；
其中田忌获胜的只有一种：（A，c）、（B，a）、（C，b），故田忌获胜的概率为，
（Ⅱ）已知齐王第一场必出上等马A，若田
( http: / / www.21cnjy.com )忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，田忌至少输一场，这时田忌必败．为了使自己获胜的概率最大，田忌第一场应出下等马c，后两场有两种情形：
①若齐王第二场派出中等马B，可能的对阵为：（B，a）、（C，b）或（B，b）、（C，a）．
田忌获胜的概率为，
②若齐王第二场派出下等马C，可能的对阵为：（C，a）、（B，b）或（C，b）、．（B，a）．
田忌获胜的概率也为．
所以，田忌按c、a、b或c、b、a的顺序出马，才能使自己获胜的概率达到最大．
　
2017年7月28日