陕西省咸阳市2016-2017学年高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）

2016-2017学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设函数f（x）可导，则等于（　　）
A．f′（1）
B．3f′（1）
C．
D．f′（3）
2．复数=（　　）
A．2+i
B．2﹣i
C．1+2i
D．1﹣2i
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（　　）
A．
=1.5x+2
B．
=﹣1.5x+2
C．
=1.5x﹣2
D．
=﹣1.5x﹣2
4．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣x﹣1≤0
B． x∈R，x2﹣x﹣1＞0
C． x0∈R，
D． x0∈R，
5．已知双曲线的方程为﹣y2=1，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
A．y=±x
B．y=±3x
C．y=±x
D．y=±x
6．若p∧q是假命题，则（　　）
A．p是真命题，q是假命题
B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个是假命题
D．p、q至少有一个是真命题
7．已知抛物线y2=x，则它的准线方程为（　　）
A．y=﹣2
B．y=2
C．x=﹣
D．x=
8．原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．4
9．已知方程x2﹣4x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（　　）
A．双曲线、椭圆
B．椭圆、抛物线
C．双曲线、抛物线
D．无法确定
10．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（　　）
A．由a b∈R，类比得x y∈I
B．由a2≥0，类比得x2≥0
C．由（a+b）2=a2+2ab+b2，类比得（x+y）2=x2+2xy+y2
D．由a+b＞0 a＞﹣b，类比得x+y＞0 x＞﹣y
12．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=x2+8x
B．f（x）=x2﹣8x
C．f（x）=x2+2x
D．f（x）=x2﹣2x
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i（a、b∈R），则a+bi=　
　．
14．（如图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是　
　．
15．某地区气象台统计，该地区下雨的概率
( http: / / www.21cnjy.com )是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于　
　．
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为　
　．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．求下列函数的导数：
（1）f（x）=（1+sinx）（1﹣4x）；
（2）f（x）=﹣2x．
18．下面（A）（B）（C）（D）为四个平面图形：
（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整：
交点数
边数
区域数
（A）
4
5
2
（B）
5
8
（C）
12
5
（D）
15
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E、F、G，试猜想E、F、G之间的数量关系（不要求证明）．
19．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．
（1）求证：l与C必有两交点；
（2）设l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且直线OA和OB的斜率之和为1，求k的值．
20．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．
21．某学校课题组为了研究学生的数学成绩与
( http: / / www.21cnjy.com )学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．
（1）试根据上述数据完成2×2列联表；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
　
　
　
　
　
　
比较粗心
　
　
　
　
　
　
合计
　
　
　
　
　
　
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（其中n=a+b+c+d）
22．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．
　
2016-2017学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设函数f（x）可导，则等于（　　）
A．f′（1）
B．3f′（1）
C．
D．f′（3）
【考点】61：变化的快慢与变化率．
【分析】利用导数的定义即可得出．
【解答】解：
==．
故选C．
　
2．复数=（　　）
A．2+i
B．2﹣i
C．1+2i
D．1﹣2i
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则即可得出．
【解答】解：
===1+2i，
故选：C．
　
3．已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为（　　）
A．
=1.5x+2
B．
=﹣1.5x+2
C．
=1.5x﹣2
D．
=﹣1.5x﹣2
【考点】BK：线性回归方程．
【分析】根据散点图的带状分布特点判断回归方程的斜率和截距．
【解答】解：因为散点图由左上方向右下方成带状分布，故线性回归方程斜率为负数，排除A，C．
由于散点图的带状区域经过y轴的正半轴，故线性回归方程的截距为正数，排除D．
故选：B．
　
4．命题“ x0∈R，”的否定是（　　）
A． x∈R，x2﹣x﹣1≤0
B． x∈R，x2﹣x﹣1＞0
C． x0∈R，
D． x0∈R，
【考点】2J：命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，
所以命题“ x0∈R，”的否定为： x∈R，x2﹣x﹣1≤0．
故选：A
　
5．已知双曲线的方程为﹣y2=1，则该双曲线的渐近线方程是（　　）
A．y=±x
B．y=±3x
C．y=±x
D．y=±x
【考点】KB：双曲线的标准方程．
【分析】双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为=0．
【解答】解：∵双曲线的方程为﹣y2=1，
∴该双曲线的渐近线方程为﹣y2=0，
整理，得：y=x．
故选：D．
　
6．若p∧q是假命题，则（　　）
A．p是真命题，q是假命题
B．p、q均为假命题
C．p、q至少有一个是假命题
D．p、q至少有一个是真命题
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】根据p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题，即可判断．
【解答】解：根据复合命题与简单命题真假之间的关系可知，
若p∧q是假命题，则可知p，q至少有一个为假命题．
故选C．
　
7．已知抛物线y2=x，则它的准线方程为（　　）
A．y=﹣2
B．y=2
C．x=﹣
D．x=
【考点】K7：抛物线的标准方程．
【分析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣．
【解答】解：抛物线y2=x，
它的准线方程为x=﹣．
故选：C．
　
8．原命题：“设a，b，c∈R，若a＞b，则ac2＞bc2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）
A．0
B．1
C．2
D．4
【考点】21：四种命题．
【分析】先写出原命题的逆命题，否命题，再判
( http: / / www.21cnjy.com )断真假即可，这里注意c2的取值．在判断逆否命题的真假时，根据原命题和它的逆否命题具有相同的真假性判断原命题的真假即可．
【解答】解：逆命题：设a，b，c∈R，若ac2＞bc2，则a＞b；∵由ac2＞bc2可得c2＞0，∴能得到a＞b，所以该命题为真命题；
否命题：设a，b，c∈R，若a≤b，则ac2≤bc2；∵c2≥0，∴由a≤b可以得到ac2≤bc2，所以该命题为真命题；
因为原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以只需判断原命题的真假即可；
∵c2=0时，ac2=bc2，所以由a＞b得到ac2≥bc2，所以原命题为假命题，即它的逆否命题为假命题；
∴为真命题的有2个．
故选C．
　
9．已知方程x2﹣4x+1=0的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（　　）
A．双曲线、椭圆
B．椭圆、抛物线
C．双曲线、抛物线
D．无法确定
【考点】KF：圆锥曲线的共同特征．
【分析】求得二次方程的两根，由椭圆、双曲线和抛物线的离心率的范围，即可得到所求结论．
【解答】解：方程x2﹣4x+1=0的两根为x1=2﹣∈（0，1），
x2=2+＞1，
由两根是两圆锥曲线的离心率，
可得分别为椭圆和双曲线的离心率，
故选：A．
　
10．函数y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f'（x）的图象可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】根据据f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f′（x）≤0时，f（x）单调递减，根据图形可得f′（x）＜0，即可判断答案．
【解答】解：由函数图象可知函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，
所以函数的导数值f′（x）＜0，因此D正确，
故选：D
　
11．记I为虚数集，设a，b∈R，x，y∈I．则下列类比所得的结论正确的是（　　）
A．由a b∈R，类比得x y∈I
B．由a2≥0，类比得x2≥0
C．由（a+b）2=a2+2ab+b2，类比得（x+y）2=x2+2xy+y2
D．由a+b＞0 a＞﹣b，类比得x+y＞0 x＞﹣y
【考点】F3：类比推理．
【分析】在数集的扩展过程中
( http: / / www.21cnjy.com )，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．
【解答】解：A：由a b∈R，不能类比得x y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1 I，故A不正确；
B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x=i，则x2＜0，故B不正确；
C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故C正确；
D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞0，但x，y
是两个虚数，不能比较大小．故D错误
故4个结论中，C是正确的．
故选C．
　
12．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2+2xf′（2），则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）=x2+8x
B．f（x）=x2﹣8x
C．f（x）=x2+2x
D．f（x）=x2﹣2x
【考点】63：导数的运算．
【分析】先对函数f（x）求导，然后将x=2代入可得答案．
【解答】解：∵f（x）=x2+2xf′（2），
∴f′（x）=2x+2f′（2）
∴f′（2）=2×2+2f′（2），解得：f′（2）=﹣4
∴f（x）=x2﹣8x，
故选：B．
　
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．设i为虚数单位，若2+ai=b﹣3i（a、b∈R），则a+bi=　﹣3+2i　．
【考点】A3：复数相等的充要条件．
【分析】直接由2+ai=b﹣3i（a、b∈R），求出a，b的值得答案．
【解答】解：由2+ai=b﹣3i（a、b∈R），
得a=﹣3，b=2．
则a+bi=﹣3+2i．
故答案为：﹣3+2i．
　
14．（如图所示）程序框图能判断任意输入的正整数x是奇数或是偶数．其中判断框内的条件是　m=0？　．
【考点】EF：程序框图．
【分析】根据偶数的定义“整数中，能够被2整除的数，叫做偶数偶数”即除以2后的余数为0的数，从而得到判断框中所填．
【解答】解：根据判断框正确的一支是输出偶数
以及偶数的定义可知，一个数除以2整除的余数为0是偶数‘
则判定框中应填m=0？
故答案为：m=0？
　
15．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（B|A）等于　　．
【考点】CM：条件概率与独立事件．
【分析】代入条件概率公式计算．
【解答】解：由题意可知p（AB）=，P（A）=，
∴P（B|A）==．
故答案为：．
　
16．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，
甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；
乙说：我没去过C城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为　A　．
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．
【解答】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，
但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，
再由丙说：我们三人去过同一城市，
则由此可判断乙去过的城市为A．
故答案为：A．
　
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．求下列函数的导数：
（1）f（x）=（1+sinx）（1﹣4x）；
（2）f（x）=﹣2x．
【考点】64：导数的加法与减法法则．
【分析】根据导数的运算法则求导即可
【解答】解：（1）f′（x）=（1+s
( http: / / www.21cnjy.com )inx）′（1﹣4x）+（1+sinx）（1﹣4x）′=cosx（1﹣4x）﹣4（1+sinx）=cosx﹣4xcosx﹣4﹣4sinx
（2）f（x）=﹣2x=1﹣﹣2x，
则f′（x）=﹣2xln2
　
18．下面（A）（B）（C）（D）为四个平面图形：
（1）数出每个平面图形的交点数、边数、区域数，并将下表补充完整：
交点数
边数
区域数
（A）
4
5
2
（B）
5
8
（C）
12
5
（D）
15
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E、F、G，试猜想E、F、G之间的数量关系（不要求证明）．
【考点】F1：归纳推理．
【分析】（1）本题给出平面图形的交点数、边数、区域数，只要用数出结果填入表格即可．
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E，F，G，即可猜想E，F，G之间的等量关系．
【解答】解：（1）
交点数
边数
区域数
（A）
4
5
2
（B）
5
8
4
（C）
8
12
5
（D）
10
15
6
（2）观察表格，若记一个平面图形的交点数、边数、区域数分别为E，F，G，
猜想E，F，G之间的等量关系E+G﹣F=1．
　
19．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．
（1）求证：l与C必有两交点；
（2）设l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且直线OA和OB的斜率之和为1，求k的值．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】（1）联立，得2x2﹣kx﹣1=0，利用根的判别式能证明l与C必有两交点．
（2）联立，得2x2﹣kx﹣1=
( http: / / www.21cnjy.com )0，设l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，利用韦达定理、直线的斜率，结合已知条件能求出k的值．
【解答】证明：（1）抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点，
联立，得2x2﹣kx﹣1=0，
△=（﹣k）2+8=k2+8＞0，
∴l与C必有两交点．
解：（2）联立，得2x2﹣kx﹣1=0，
△=（﹣k）2+8=k2+8＞0，
设l与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
则，x1x2=﹣，
∵直线OA和OB的斜率之和为1，
∴kOA+kOB==
=
=
==1，
解得k=1．
　
20．已知函数f（x）=ax2﹣lnx﹣2．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若a＞0，求函数f（x）的单调区间．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）先求出函数的导数，根据x的范围解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx﹣2，
f′（x）=x﹣，
∴f′（1）=0，f（1）=﹣，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=﹣；
（2）∵f′（x）=（x＞0），
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，
∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增．
　
21．某学校课题组为了研究学生的数
( http: / / www.21cnjy.com )学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究．研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另30人比较粗心．
（1）试根据上述数据完成2×2列联表；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
　45　
　10　
　55　
比较粗心
　15　
　30　
　45　
合计
　60　
　40　
　100　
（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
参考数据：独立检验随机变量K2的临界值参考表：
P（K2≥k0）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（其中n=a+b+c+d）
【考点】BO：独立性检验的应用．
【分析】（1）根据题意填写2×2列联表即可；
（2）根据2×2列联表求得K2的观测值，
对照临界值表即可得出结论．
【解答】解：（1）填写2×2列联表如下；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
45
10
55
比较粗心
15
30
45
合计
60
40
100
（2）根据2×2列联表可以求得K2的观测值
=；
所以能在范错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
　
22．已知椭圆C的两个焦点是F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆C经过点A（0，）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F1（﹣2，0）且斜率为1的直线l与椭圆C交于P、Q两点，求线段PQ的长（提示：|PQ|=|x1﹣x2|）．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】（1）利用待定系数法求出椭圆方程；
（2）联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式计算弦长．
【解答】解：（1）由题意可知椭圆焦点在x轴上，设椭圆方程为（a＞b＞0），
由题意可知，∴a=3，b=．
∴椭圆的标准方程为=1．
（2）直线l的方程为y=x+2，
联立方程组，得14x2+36x﹣9=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=﹣，
∴|PQ|=|x1﹣x2|===．
　
2017年7月28日