广东省深圳市翠园中学2014-2015学年高二下学期数学选修2-1复习综合测试题（含答案）

2-1复习题
一、选择题答案：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1．设命题甲：平面内有两定点和动点P，使是定值；命题乙：点P的轨迹是椭圆，则甲是乙的
(
)
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条
2.一动圆与圆O:x2+y2=1外切，又与圆L:x2+y2-6x+8=0内切，那么动圆圆心轨迹是
(
)
A.双曲线的一支
B.椭圆
C.抛物线
D.圆
3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，则的值是
（
）
A．3
B．－3
C．12
D．－12
4.椭圆=1（a>b>0）上两点A、B与中心O的连线互相垂直，则的值为
(
)
A.
B.
C.
D.
5.椭圆的离心率e=,以右焦点为中心将椭圆逆时针旋转后所得到椭圆的一条准线为y=，则原椭圆的方程为
(
)
A＋=1
B＋=1
C＋=1
D＋=1
6.若动圆的圆心在抛物线=12y上,
且直线y+3=0相切，则此动圆恒过定点
(
)
A.
(0,2)
B.(0,
3)
C.(0,3)
D.(0,6)
7．如图，∠ACB=90°，平面ABC外有一点P，PC=4cm，点P到角的两边AC、BC的距离都等于2cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为（
）。
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
8.设F1、F2分别为双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点。若的最小值为8a，则该双贡线离心率e的取值范围是.
A.(0,2)
B.(1,3)
C.[2,3]
D.[3,+∞]
9、如图，已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线的连线过，则该椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
(D)
10．设O点是△ABC的外心，点P满足，则点P一定是△ABC的（
）
A．重心
B．垂心
C．内心
D．外心
二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
11．已知向量、的夹角为，｜｜＝2，｜｜＝1，且⊥，那么实数＝
．
12.已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p>0）的准线相切，则p=___________________..
13．在二面角的棱a上有一点A，在面内引射线AB且AB与a成45°角，AB与平面成30°的角，则二面角为_______________.
14．已知、为双曲线的焦点，M为双曲线上一点，MF1垂直于轴，且，则该双曲线的离心率为
________.
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.
（本小题满分12分）如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且∠BAO＝30°，S△ABF＝，求该双曲线的方程.
16.
（本小题满分12分设点O、A、B、C为同一平面内四点，且，，
判断的形状.
17．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥BC，AB=1，BC=，AA1=2，E是侧棱BB1的中点.
（1）求二面角A1—AE—D1的大小；
（2）直线AE与平面AC1D1所成的角；
（3）求异面直线A1E与AC1所成的角.
18．已知直三棱柱ABC—，直线与平面ABC成45°角，且，∠ABC＝90°，E为AB的中点。
（I）求证：BC⊥；
（II）求证：BC1∥平面A1EC；
（III）求二面角A—A1C—E的正切值。
19．（本小题满分12分）
已知向量且.
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点A（0，－1），当
时，求实数的取值范围.
20.（本小题满分12分）已知双曲线=1（a>0，b>0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点.
（1）求证：PF⊥l;
（2）若|PF|=3，且双曲线的离心率e=，求该双曲线方程；
（3）延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率.
2-1复习题答案
一、选择题答案：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
D
A
C
B
B
A
B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）
11．已知向量、的夹角为，｜｜＝2，｜｜＝1，且⊥，那么实数＝
．
12.已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p>0）的准线相切，则p=___2
___.
13．在二面角的棱a上有一点A，在面内引射线AB且AB与a成45°角，AB与平面成30°的角，则二面角为_______________
14．已知、为双曲线的焦点，M为双曲线上一点，MF1垂直于轴，且，则该双曲线的离心率为
___
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.如图，OA是双曲线的实半轴，OB是虚半轴，F为焦点，且∠BAO＝30°，S△ABF＝，求该双曲线的方程.
16.设点O、A、B、C为同一平面内四点，且，，
判断的形状.
解：
.同理，
又，同理
，为等边三角形.
17．（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB⊥BC，AB=1，BC=，AA1=2，E是侧棱BB1的中点.
（1）求二面角A1—AE—D1的大小；
（2）直线AE与平面AC1D1所成的角；
（3）求异面直线A1E与AC1所成的角.
17．解：（1）⊥面ABB1A1，∴D1A1⊥AE.
又∵AE=A1E=
∴AE⊥面A1ED1，∴D1E⊥AE，∴∠A1ED1即为二面角A1—AE—D1的平面角.
在Rt△A1ED1中，∠D1A1E=，A1D=A1E，故二面角A1—AE—D1的平面角为……4分
（2）由已知得面ABC1D2⊥面BC1，过E和EF⊥BC于F，连接AF，则EF⊥面ABC1D1，
∴∠EAF即为直线AE与平面ABC1D1所成的角.
在R
t△AEF中，∠AFE=，AE=，EF=，
直线AE与平面ABC1D1所成的角为………………8分
（3）延长B1B到M使BM=BE，连AM，则AM//A1E
∴∠MAC1即为异面直线A1E与AC1所成的角或其补角.
在
△AMC1中，AC1=，AM=，MC1=
直线A1E与AC1所成的角为………………12分
18．已知直三棱柱ABC—，直线与平面ABC成45°角，且，∠ABC＝90°，E为AB的中点。
（I）求证：BC⊥；
（II）求证：BC1∥平面A1EC；
（III）求二面角A—A1C—E的正切值。
18．本小题满分12分）
解：（I）在直三棱柱ABC—中，AA1⊥面ABC
∴AA1⊥BC
又∵∠ABC＝90°
∴BC⊥面ABB1A1
又面ABB1A1
∴BC⊥A1E
3分
（II）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点
又∵E为AB的中点
∴EF∥BC1
5分
又EF面A1CE
∴BC1∥面A1CE
6分
（III）∵面ACA1⊥面ABC，作EO⊥AC，则EO⊥面ACA1，
作OG⊥A1C，则∠OGE为二面角A—A1C—E的平面角
8分
又∵直线A1C与面ABC成45°角
∴∠A1CA＝45°
又，E为AB的中点
∴
∴
11分
∴
∴二面角A—A1C—E的正切值为
12分
19．（本小题满分12分）
已知向量且.
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）设曲线C与直线相交于不同的两点M、N，又点A（0，－1），当
时，求实数的取值范围.
19．解：（Ⅰ）
得
点的轨迹C的方程为……………………6分
（Ⅱ）由得
由于直线与椭圆有两个交点，
①
（1）当，设P为弦MN的中点，
从而
又|AM|=|AN|，
则
即
②
把②代入①得，解得；由②得，解得，
故所求m的取值范围是（……………………10分
（2）当时，|AM|=|AN|，
故所求m的取值范围是（－1，1）.
当时，m的取值范围是，当时，m的取值范围是（－1，1）.……12分
20.（本小题满分12分）已知双曲线=1（a>0，b>0）的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点.
（1）求证：PF⊥l;
（2）若|PF|=3，且双曲线的离心率e=，求该双曲线方程；
（3）延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N，若M为PN的中点，求双曲线的离心率.
20.（1）右准线为x=，由对称性不妨设渐近线l为y=x，
则P（），又F（c，0），∴，
2分
又∵，∴kPF·kl=－=－1，
∴PF⊥l.
4分
（2）∵|PF|的长即F（c，0）到l:bx－ay=0的距离，
∴=3，即b=3，
6分
又，∴，∴a=4，
故双曲线方程为=1.
8分
（3）PF的方程为：y=－（x－c），
由得，
9分
∵M是PN的中点
∴，
10分
∵N在双曲线上，
∴，
即，
令t=e2，则t2－10t+25=0，∴t=5，即e=.
12分