分式方程的应用
自我小测
基础自测
1汽车以每小时20公里的速度从A到B，又以每小时60公里的速度从B沿原路线返回A，则来回的平均速度是( )
A．40公里/小时
B．30公里/小时
C．45公里/小时
D．35公里/小时
2有两块面积相同的小麦试验田，分别收获小麦9
000
kg和15
000
kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3
000
kg，若设第一块试验田每公顷的产量为x
kg，根据题意，可得方程( )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
3为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( )
A.－＝
B.－＝20
C.－＝
D.＝－
4A，B两地相距48公里，某人实际行走速度比原计划快，故从A到B提前2小时到达，求实际行走速度．解：设原计划每小时行走x公里，则实际每小时行走________公里，依题意可列方程：________.
5已知甲做125个，乙做95个同样零件所用时间相同，且甲每小时比乙多做6个，若设甲每小时做x个，根据题意，可得方程是______；若设乙每小时做y个，则得出的方程是________．
6太华商场买进一批运动衣用了10
000元，每件按100元卖出，假如全部卖出这批运动衣，所得的款与买进这批运动衣所用的款的差就是利润，那么这次买卖中，商场所得利润刚好是买进200件运动衣所用的款，试问这批运动衣有多少件？(只列方程)
7相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数．
能力提升
8我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军，速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度．
9已知A，B两地相距36千米，甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲距B地还有16千米，相遇后，继续前进，甲到B地比乙到A地早1.8小时，求甲、乙两人速度．
10某文化用品商店用2
000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6
300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
创新应用
11(2009重庆濠江中考)通惠新城开发某工程准备招标，指挥部现接到甲、乙两个工程队的投标书，从投标书中得知：乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍；该工程若由甲队先做6天，剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成．
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为0.67万元，乙队每天的施工费用为0.33万元，该工程预算的施工费用为19万元．为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，问：该工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需要追加预算多少万元？请说明理由．
参考答案
1答案：B
2答案：C
3答案：A
4答案：(x＋x) ＝＋2
5答案：＝ ＝
6分析：本题主要等量关系是：所得利润＝200件运动衣的进价，并不是所有的分式方程都能化为一元一次方程．
解：设买进的这批运动衣有x件．由题意得
100x－10
000＝×200
7分析：此题考查偶数的定义及比例的应用．先根据题意确定这两个偶数，再求夹在这两个偶数之间的奇数．
解：设相邻的两个偶数分别为2x和2x＋2，由题意列方程，得
＝，
解得x＝24.
经检验x＝24是原方程的根，并且符合题意．
所以2x＝48,2x＋2＝50.
所以夹在48和50之间的奇数为49.
8解：设敌人的速度为x，则我部队的速度为1.5x，
根据题意得－＝.
解得x＝5，
经检验x＝5是原方程的根．
1．5x＝1.5×5＝7.5，
答：我部队的速度为7.5千米/时．
9分析：1.掌握列分式方程解决实际问题的一般步骤，抓住题中的等量关系列出方程．
2．在列方程的过程中体会题中的数量关系，在解题过程中体会考虑问题时应注意考虑问题的全面性．(1)解决此类问题通过画线段图能帮助对题意的理解；
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(2)相遇时，甲距B地还有16千米，说明甲此时走了(36－16)千米，即20千米，乙走了16千米，从出发到相遇，两人所用时间相等；
(3)设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为16÷＝x千米/时；
(4)走完全程甲用了小时，乙用了＝小时．
解：设甲的速度为x千米/时，
则乙的速度为16÷＝x千米/时，
根据题意，得＋1.8＝.
解这个方程，得x＝5.
经检验，x＝5是原方程的根，x＝×5＝4，符合题意．
答：甲的速度为5千米/时，则乙的速度为4千米/时．
10分析：(1)相等关系是“第二批数量是第一批数量的3倍”，数量关系如下表：
总价
单价
数量
第一批
2
000
x
第二批
6
300
(2)求出这两批书包的数量，乘以售价120元，再减去购进书包所用的(2
000＋6
300)元，所得结果就是全部售出后的盈利．
解：(1)设第一批购进书包的单价是x元，
根据题意得·3＝，解得x＝80(元)．
经检验：x＝80是原方程的解．
(2)×(1＋3)×120－(2
000＋6
300)＝3
700(元)．
答：(1)第一批购进书包的单价是80元．
(2)全部售出后，商店共盈利3
700元．
11解：(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，
则乙队单独完成这项工程需要2x天．
根据题意，得＋16(＋)＝1，
解得x＝30.
经检验，x＝30是原方程的根．
则2x＝2×30＝60.
答：甲、乙两队单独完成这项工程各需要30天和60天．
(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天．
则有y(＋)＝1，解得y＝20.
需要施工费用：20×(0.67＋0.33)＝20(万元)．
因为20＞19，
所以工程预算的施工费用不够用，需追加预算1万元．分式
自我小测
基础自测
1.下列式子:①；②；③；④；⑤
.其中是分式的是(
)
A.①③④
B.①②⑤
C.③⑤
D.①④
2.当a＝－1时,分式的值
(
)
A.没有意义
B.等于零
C.等于1
D.等于－1
3.下列分式中一定有意义的是(
)
A.
B.
C.
D.
4.下列各式从左到右的变形正确的是(
)
A.
B.
&C.
D.
5.使分式有意义的x的取值范围是_____________.
6.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)；
(2).
能力提升
7.观察下面一列有规律的数:,….根据规律可知第n个数是__________(n为正整数).
8.不改变分式的值,使它的分子、分母的最高次项的系数都是正数,则_____________.
9.若分式不论x取何实数时总有意义,求m的取值范围.
创新应用
10.指出下列解题过程是否存在错误,若存在,请加以改正并求出正确的答案.
题目:当x为何值时,分式有意义？
参考答案
1答案:D
2答案:A
3答案:A
4答案:A
5答案:x≠－3
6解:(1)因为有意义,所以x+4≠0,把左边分式的分子、分母同时除以(x+4),得到右边；
(2)因为,所以2x－3≠0,把左边分式的分子、分母同时乘以(2x－3),得到右边.
7答案:
8答案:
9解:x2－2x+m＝(x－1)2+(m－1),根据题意可知(x－1)2+(m－1)≠0,由于(x－1)2≥0,
所以m－1＞0,即m＞1.
10解:,
由x－2≠0,得x≠2.
所以当x≠2时,
分式有意义.
解:在分式的分子、分母同除以(x+1)可能为零的代数式时,扩大了x的取值范围.
正解:由(x+1)(x－2)≠0,得x+1≠0,且x－2≠0,所以x≠－1且x≠2.
当x≠－1且x≠2时,分式有意义.分式方程
自我小测
基础自测
1若分式的值为零，则x的值是( )
A．0
B．1
C．－1
D．－2
2如果关于x的方程＝无解，那么m的值为( )
A．－2
B．5
C．2
D．－3
3若关于x的方程－＝不会产生增根，则m为( )
A．m≠0
B．m≠
C．m≠0且m≠－
D．m≠且m≠－
4数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do，mi，so.研究15,12,10这三个数的倒数发现：－＝－.我们称15,12,10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x,5,3(x＞5)，则x的值是__________．
5已知方程＋2＝有增根，则k＝______.
6(1)解关于x的方程＝产生增根，则常数m的值为__________；
(2)当m＝__________时，关于x的分式方程＝－1无解．
7(1)解方程：－1＝；
(2)解分式方程－＝1.
能力提升
8m为何值时关于x的方程＋＝会产生增根．
9当m为何值时，方程＋3＝会产生增根．
10在式子＝中，R≠R1，求出表示R2的式子．
11解方程＝＋.
创新应用
12当m为何值时，关于x的方程＝－的解是正数．
参考答案
1解析：分式为零的条件是分子等于零而分母不等于零；由x－1＝0，得x＝1.当x＝1时，x＋2≠0.所以，当x＝1时，分式的值为零．
答案：B
2答案：D
3解析：去分母得1－(x－1)m＝(x＋1)(1－2m)，而x≠1时，m≠；x≠－1时，m≠－.
答案：D
4解析：根据题意，调和数的前两项的倒数差等于后两项的倒数差．
因此，调和数x、5、3也满足这一规律，
所以－＝－，解这个分式方程得x＝15.
答案：15
5解析：先将分式方程转化为整式方程，分式方程若有增根，则增根为x＝±2，代入求出k的值．在解分式方程的有关增根问题时，一定要按照题目中所介绍的三个步骤进行．
原分式方程的可能增根是由4－x2＝0，解得x＝±2，
分式方程两边同时乘以(4－x2)得整式方程：1＋2(4－x2)＝－k(x＋2)，
当x＝2时，代入整式方程，得k＝－，
当x＝－2时，代入整数方程，得1＝0，这是一个矛盾等式，
所以x＝－2不可能是分式方程的增根．
综上知：k＝－.
答案：－
6解析：(1)先把分式方程化为整式方程，再把增根(即使分式方程的最简公分母为0的未知数的值)代入这个整式方程，即可求得m的值．即x－3＝m，当x＝1(原方程的增根)时，m＝－2.(2)分式方程＝－1的增根是x＝3，把分式方程化为整式方程2x＋m＝－x＋3，即3x＝3－m，把x＝3代入得，m＝－6，也就是当m＝－6时，关于x的分式方程＝－1无解．
答案：(1)－2 (2)－6
7解：(1)方程两边同乘以x2－4，得
(x－2)2－(x2－4)＝3.
解这个整式方程，得－4x＝－5，x＝.
检验：x＝时，x2－4≠0.
所以x＝是原方程的解．
(2)方程两边同乘(2x－3)(2x＋3)，得
2x(2x＋3)－(2x－3)＝(2x－3)(2x＋3)．
化简，得4x＝－12，解得x＝－3.
检验：x＝－3时，(2x－3)(2x＋3)≠0，
所以x＝－3是原分式方程的解．
8解：方程两边同时乘以x2－4，得2x＋4＋mx＝3x－6，
因为方程若产生增根，则x＝±2，
所以当x＝2时，2×2＋4＋2m＝6－6，m＝－4；
当x＝－2时，2×(－2)＋4－2m＝3×(－2)－6，m＝6.
所以当m＝－4或6时，原方程会产生增根．
9解：解关于m的方程＋3＝，得m＝－2x＋5.
若原方程有增根，则增根只能是x＝2，
所以m＝－2×2＋5＝1，即当m＝1时方程＋3＝会产生增根．
10解：去分母，得R1R2＝(R1＋R2)R，
解这个整式方程，R1R2＝R1R＋RR2，
R1R2－RR2＝RR1，
所以(R1－R)R2＝RR1.[
因为R≠R1，所以R2＝.
11解：去分母得5x－7＝2(x－2)＋3(x－1)，
化简整理得0x＝0，
∴x为一切有理数．
当x＝1，x＝2时，最简公分母(x－1)(x－2)＝0，
∴原方程的解为x≠1，x≠2的有理数．
12分析：“方程的解是正数”是指分式方程有解且为正数，所以分式方程化为整式方程后的解使最简公分母不能为零．解这类问题的方法是，先求出方程的根，再根据题意列出不等式，解不等式，将解集中使最简公分母为零的值去掉，即可求得．
解：将方程两边都乘以(x2－x－2)，得m＝x(x－2)－(x－1)(x＋1)．
解这个方程，得x＝，
因为原方程有增根时只能是x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，＝－1，解得m＝3；
当x＝2时，＝2，解得m＝－3.
所以当m≠±3时，x＝才是原方程的根．
因为x＞0，所以＞0，即1－m＞0.
所以m＜1.
综上，即当m＜1，且m≠－3时，原方程有正根．分式的加减
自我小测
基础自测
1.分式HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"、HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网"、HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网"的最简公分母是(
)
A.(a2－b2)(a+b)(b－a)
B.(a2－b2)(a+b)
C.(a2－b2)(b－a)
D.a2－b2[
2.计算HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"的结果是(
)
A.HYPERLINK
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B.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
C.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
D.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
3.计算HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"的结果为(
)
A.HYPERLINK
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B.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
C.HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
D.HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"
4.甲从A地到B地要走m小时,乙从B地到A地要走n小时,若甲、乙二人同时从A、B两地出发,相遇需(
)
A.m+n小时
B.HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"小时[
C.HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"小时
D.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"小时
5.计算HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"的结果是____________.
6.已知HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",则M＝___________.
7.请你先对HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"进行化简,再选取一个使原式有意义,而你又喜爱的数代入求值.
能力提升
8.有这样一道题:“先化简,再求值:HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网",其中x＝－3.5.”小玲做题时把“x＝－3.5”错抄成了“x＝3.5”,但她的计算结果也是正确的,请你解释这是怎么回事？
9.请你阅读下列计算过程,再回答所提出的问题:
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A
HYPERLINK
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B
＝x－3－3(x+1)
C
＝－2x－6.
D
(1)上述计算过程中,从哪一步开始出现错误:_______________________；
(2)从B到C是否正确？______.若不正确,错误的原因是_______________；
(3)请你正确解答.
10.已知:HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",Q＝(x+y)2－2y(x+y),小敏、小聪两人在x＝2,y＝－1的条件下分别计算了P和Q的值,小敏说P的值比Q大,小聪说Q的值比P大.请你判断谁的结论正确,并说明理由.
创新应用
11.甲、乙二人一个月里两次同时到一家粮油商店买大米,两次大米的价格有变化,但他们两人购买的方式不一样,其中甲每次总是购买相同重量的大米,乙每次只能拿出相同数量的钱来买米,而不管能买多少,问这两种买米方式哪一种更合算？请说明理由.
参考答案
1答案:D
2答案:B
3答案:A
4解析:由题意可知,甲每小时行全程的HYPERLINK
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网",乙每小时行全程的HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",则两人相遇所需的时间为HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"小时，即HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"小时
答案:D
5答案:HYPERLINK
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6答案:x2
7解:HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
HYPERLINK
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＝x－1＋x＝2x－1.
令x＝2,原式＝2×2－1＝3.等等.
8解:HYPERLINK
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因为x＝3.5或x＝－3.5时,x2的值均为12.25,原式的计算结果都为16.25.
所以把“x＝－3.5”错抄成“x＝3.5”,计算结果也是正确的.
9解:(1)A(2)不正确
把两个分式的分母丢掉了
(3)原式HYPERLINK
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10解:因为HYPERLINK
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所以当x＝2,y＝－1时,P＝2－1＝1.
又因为Q＝(x+y)2－2y(x+y)＝x2－y2,
所以当x＝2,y＝－1时,Q＝22－(－1)2＝4－1＝3.
因为P＜Q,所以小聪的结论正确.
11解:设两次大米的单价分别为x元/千克、y元/千克(x＞0,y＞0,x≠y),则甲平均每千克花了HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"元,乙平均每千克花了HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"元.而HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",所以乙的购买方式合算.分式的乘除
自我小测
基础自测
1.计算HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"的结果为(
)
A.HYPERLINK
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B.x2y
C.－x2y
D.－xy
2.计算HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"等于(
)
A.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
B.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
C.HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"
D.xy2
3.计算HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网"等于(
)
A.a2
B.HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网"
C.HYPERLINK
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D.其他结果
4.计算:HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"_______________.
5.化简HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"的结果是___________.
6.计算HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"的结果为_______________.
7.计算:(1)HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"；(2)HYPERLINK
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8.先化简,然后请你选择一个合适的x的值代入求值:HYPERLINK
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9.先化简再求值:HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",其中a满足a2－a＝0.
能力提升
10.已知m米布料能做n件上衣,2m米布料能做3n条裤子,则一件上衣用料是一条裤子用料的多少倍
创新应用
A玉米试验田是边长为a米的正方形减去边长为1米的正方形蓄水池后余下部分；B玉米试验田是边长为(a－1)米的正方形,两块试验田的玉米都收获了500千克.
(1)哪种玉米田的单位面积产量高？
(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
参考答案
1答案:C
2答案:C
3解析:先将算式中的除式的分子、分母颠倒位置或理解成除以一个数等于乘以这个数的倒数,统一成乘法,再计算结果,即
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答案:B
4解析：HYPERLINK
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答案:HYPERLINK
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5答案:－x－1
6解析:HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网".
答案:－a
7解:(1)HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
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HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网"
(2)HYPERLINK
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8解:HYPERLINK
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当x＝1时,原式HYPERLINK
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9解:原式HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网",
由a2－a＝0得原式＝0－2＝－2.
10解:由题意得HYPERLINK
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答:一件上衣用料是一条裤子用料的HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"倍.
11解:(1)A玉米试验田面积是(a2－1)米2,单位面积产量是HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"千克／米2；
B玉米试验田面积是(a－1)2米2,单位面积产量是HYPERLINK
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"欢迎登陆21世纪教育网"千克／米2,
因为a2－1－(a－1)2＝2(a－1),a－1＞0,
所以0＜(a－1)2＜a2－1.
所以HYPERLINK
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所以B玉米的单位面积产量高.
(2)HYPERLINK
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所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的HYPERLINK
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