第二章 相交线与平行线
余角和补角
《两条直线的位置关系》共分三课时，
( http: / / www.21cnjy.com )第一课时，主要内容是探索两条直线的位置关系，了解对顶角、邻补角的定义及其性质；第二课时，主要内容是余角和补角的定义及其性质；第三课时，主要内容是垂直的定义、表示方法、性质及其简单应用.
学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在已经认识了平行线、
( http: / / www.21cnjy.com )相交线；掌握了两条直线相交构成的四个角的关系，了解了对顶角、邻补角的定义，理解了对顶角相等这一重要的结论，初步了解推理过程的书写。这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能。
学生活动经验基础：在前面知识的学习过程中，教师为学生提供了广阔的可供探讨和交流的空间，学生已经经历了一些动手操作，探索发现的数学活动，积累了初步的数学活动经验，具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题解决问题的能力；能够将直观与简单推理相结合；在合作探究的过程中，学生在以前的数学学习中学生已经经历了小组合作的学习过程，积累了大量的方法和经验，具备了一定的合作与交流能力。
教学任务分析
针对七年级学生的学情，本节从学生熟悉的、感兴趣的情境出发，引导学生自主提炼归纳出同一平面内两直线的位置关系，了解补角、余角的概念及其性质并能够进行简单的应用；通过“让学生经历观察、操作、推理、想象等探索过程”
，发展学生的空间观念及推理能力；能从实际情境中抽象出数学模型，为后续学习“空间与图形”这一数学领域而打下坚实的基础;激发学生从数学的角度认识现实，能够敏锐的发现问题、提出问题，并运用所掌握的数学知识初步解决问题；引导学生在思考、交流、表达的基础上逐步达成有关情感与态度目标.
本节内容在教材中处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。因此，本节课的目标是：
1．知识与技能：在具体情境中了解补角、余角的定义，知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题。
2．过程与方法：经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
3．情感与态度：激发学生学习数学的兴趣，认识到现实生活中蕴含着大量的数量和图形的有关问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。
三、教学过程设计
本课时我遵循“开放”的原则
( http: / / www.21cnjy.com )，重组教材，恰当地创设情境,以问题串的方式激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题分析问题，并创造性地解决问题；通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了有效开放的学习环境。本节课共设计以下环节：第一环节：走进生活，引入课题；第二环节：动手实践、探究新知；第三环节：学以致用，步步为营；第四环节：
拓展延伸，综合应用；第五环节：学有所思，反馈巩固；
第六环节：布置作业，能力延伸。
第一环节
走进生活
引入课题
活动内容：观看丁俊晖斯诺克十佳球
欣赏完丁俊晖斯诺克十佳球后，在观看“斯诺克撞球过程”的图片，提炼出数学图形，然后小组合作交流。
球在运行过程中，与桌沿形成的角有怎样关系？这些角有怎样的性质？
活动目的：独立思考、学会
( http: / / www.21cnjy.com )思考是创新的核心。数学来源于生活，通过课前开放，引导学生从身边熟悉的图形出发，体会数学与生活的联系，总结出同一平面内两条直线的基本位置关系，体会本章内容的重要性和在生活中的广泛应用，为引入新课做好准备。通过亲身经历提炼有关数学信息的过程，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学。充分利用现代化教学手段加强直观教学，引起学生学习的兴趣：通过师生互动，生生互动，增加学生之间的凝聚力，在相互探讨中激发学生学习积极性，提高学课堂效率。
第二环节
动手实践
探究新知
1、观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com"
2、观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
新知介绍
补角定义：一般地，如果两个角的和是1800，那么称这两个角互为补角.
余角定义：如果两个角的和是900，那么称这两个角互为余角
动手操作
你能不能画两个互为余角和两个互为补角的角呢？
活动目的：通过动手画图，可以加深学生对
( http: / / www.21cnjy.com )概念的理解，在相互交流中，初步形成评价与反思的意识，在相互补充、相互学习中，体验“互补互余”仅仅表明了两个角的度量关系，并没有限制角的位置关系；在合作共赢中，获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心，可以更好地掌握新知识。
活动注意事项：教师首先应关注全体学生是
( http: / / www.21cnjy.com )否积极思考？是否进行有效讨论？在巡视中，还应关注学生的画图是否合乎要求，要及时收集学生一些好的画法进行展示，关注学习上稍微落后的学生，提前给予点拨，在集体展示时给这部分同学展示的机会，可以极大的调动这部分同学的学习热情！
巩固反馈：
问题1：小组合作，每人编一道有关余角或者补角的题目，其余同学抢答，组长记录、整理各种题型，练习2分钟。教师巡视，给予评价，捕捉好资源。
问题2：教师将捕捉到的好资源用投影仪集体展示，全班抢答，及时给予评价。
问题3：下列说法中，正确的有
。（填序号）
已知∠A=40 ，则∠A的余角=500②若∠1+∠2=90 ，则∠1和∠2互为余角。
③若∠1+∠2+∠3=180 ，则∠1、∠2和∠3互为补角。④若∠A=40 26′，则∠A的补角=139 34′⑤一个角的补角必为钝角。⑥一个锐角的补角比这个角的余角大900
活动目的：据学生活泼好动、争强好胜
( http: / / www.21cnjy.com )的心理，设置问题1和问题2可以更好地激发学生的参与意识，在竞争中加深对概念的理解，提升所编题的质量，促进合作交流的意识。问题3是针对学生易错题而改编的一组判断题，这种形式能引导学生逐步加深对余角、补角的概念及其性质的理解和掌握。
活动注意事项：学生在编题的过程中，教师一定要仔细聆听每组的发言，对每组的表现予以点拨和激励，注意收集出色的资源及学生出错的信息，教师还应关注学生已经掌握了什么？具备了什么能力？还存在哪些不足？
展示时给予合理的评价和强调。
动手实践
打台球时，选择适当的方向，用白球击打红球
( http: / / www.21cnjy.com )，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2，将图（1）抽象成图（2），ON与DC交于点O，∠DON=∠CON=900，∠1=∠2
小组合作交流，解决下列问题：在图2.1—8中
问题1：哪些角互为补角？哪些角互为余角？
问题2：∠3与∠4有什么关系？为什么？
问题3：∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？
你还能得到哪些结论？
活动目的：概括归纳得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。通过生动有趣的活动情景，为学生提供了观察、操作、推理、交流等丰富的数学活动，使学生在自主学习的过程中，掌握“同角或者等角的补角相等。”“同角或者等角的余角相等。”并能够用自己的语言说出简单推理。同时发散学生思维，让学生尽可能用多种方法来说明自己猜测的正确性，培养学生合情说理的能力。并在这个过程中，培养学生抽象几何图形进行建模的能力。本着面向全体的原则，从学生生活经验和熟悉的背景知识出发，通过创设情境串---问题串，极大的调动全体学生的参与意识，充分挖掘他们的潜能，给学生一个充分展示的舞台，以达到人人都能学好数学的目标！
活动注意事项：
学生应有足够的时间和空间经历观察、猜测、推理、验证等活动过程。本环节的三个问题是环环紧扣、层层递进提出来的，前一个问题为下一个问题作好铺垫。在学习的过程中，时刻不能忘记学生是主体，一切教学活动都应当从学生已有的认知角度出发，问题环节设计跨越性不能太强，让学生在不断的探索过程中得到不同程度的感悟，自己能够主动地去探究问题的实质，体验成功的喜悦；教师要充分发散学生的思维，鼓励学生各抒己见，敢于质疑；上课要渗透合情说理的方法，进一步培养学生的推理能力。
第三环节
学以致用，步步为营
例1、一个角的补角是这个角的余角的3倍
，求这个角的度数
变式训练：
变式训练一：（1）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的度数为__________
（2）一个角的补角比它的余角大_________;
活动目的：通过一题多变，可以引导学生透过现象看本质、通过本质找规律、通过规律找方法。重视动手操作，是发展学生思维，培养学生数学能力最有效途径之一。通过亲自画图，可以直观的发现有关结论，它有利于让学生参与知识的形成过程，促进对抽象数学的理解，为问题的顺利解决而奠定基础。变式训练题的设置更能激发学生的兴趣，在超级变变变中体验数学的美，学会从不同的角度看待问题。
活动注意事项：
学生可能会认为概念和
( http: / / www.21cnjy.com )性质不难理解，但认识中却存在不清晰的地方。此处应给学生充分的讨论与思考的时间，可以分组讨论合作，也可以现场辩论，充分发挥学生的作用，让他们之间思维互相碰撞，在争论中发现问题要比盲目的接受知识更有意义，特别是学生之间通过合作学来的知识更能在脑海中留下深刻的印象。
第四环节
拓展延伸，综合应用
例2、如图，直线CD和∠AOB两边相交于点M、N，已知∠α＋∠β＝180°。
（1）试找出图中所有与∠α、∠β相等的角
（2）写出图中与∠α互补的角。
变式训练：
变式训练二：
如图，已知，完成下列各题：
（1）右图中所有相等的角有_____________________;
（2）图中互为余角的角有：____________________
______________________________________________
（3）图中与∠3互为补角的角有_________;
与∠2互为补角的角有___________
活动目的：通过问题串的巧妙设置，不仅高
( http: / / www.21cnjy.com )效率的复习了本节的知识点，而且让学生在开放的环境中畅所欲言，收获了一份自信！问题串的设置提高了学生的探索意识和创新意识的形成，激发了学生的学习兴趣和探究欲。
活动的注意事项：鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，对出现的错误，一定进行积极的辨析，让学生学会解决的方法。
第五环节
学有所思
反馈巩固
归纳总结：
你学到了哪些知识点？
你学到了哪些方法？
你还有哪些困惑？
活动目的：本环节的设置使学生学
( http: / / www.21cnjy.com )会从系统的角度把握知识方法，努力使知识结构化、网络化，引导学生时刻注意新旧知识之间的联系；鼓励学生畅谈自己学习的知识和体会，激发学生对数学的学习兴趣与信心，培养学生独自梳理知识，归纳学习方法及解题方法的能力。锻炼学生组织语言及表达能力，经历与同伴分享成果的快乐过程。
活动注意事项：教师一定让学生畅谈自己的
( http: / / www.21cnjy.com )切身感受，对于知识点的整合，更要有所思考，达到对所学知识巩固的目的。鼓励其他学生进行补充纠正，教师也应进行适时的点拨和强调。
第六环节
当堂测试效果检测
《余角和补角》课堂5分钟检测
1.∠α＝42°，那么∠α的余角等于____________，补角等于____________.毛
2.已知∠α、∠β互为余角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。
3.若∠1和∠2互补，∠2
和∠3
互余，∠1＝123°，则∠3
＝________.
4.①若∠A＋∠B＝90°，∠C＋∠D＝90°，且∠A=∠C那么∠B=∠D，理由是_________________;
②若∠1＋∠2＝180°,∠1＋∠3＝180°,则∠2=∠3，理由是___________________________。
5.一个角的余角比这个角的补角的一半少，则这个角的度数
第七环节
布置作业
能力延伸
已知∠A＝65°，则∠A的补角等于（
）
A．
125°
B．105°
C．115°
D．95°
若∠1与∠2互为余角，且，则∠2＝（
）
A
B
C
D
若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（
）
A、
30°
B、
60°
C
、
90°
D
、
120°
任意两条线相交于一点，互为补角的角有(
)
A.3对
B.4对
C.5对
D.6对
如右图，，图中共有（
）对角互为补角
A.2
B.3
C.4
D.5对
∠α＝，那么∠α的余角等于____________，补角等于____________.
任意一个锐角∠A的余角可以表示为_____________,补角表示为________________.毛
已知∠1＋∠2=900，∠2＋∠3=900，则∠1=∠3,理由是__________________________
如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线
①∠AOD的余角是________________;
②∠AOD的补角是________________;
③∠DOB的补角是______________________.
如图，直线CD和∠AOB两边相交于点M、N，已知∠α＋∠β＝180°。
（1）试找出图中所有与∠α、∠β相等的角；
（2）写出图中与∠β互为补角的角。
（思考题）如图，先找到长方形纸的宽DC的中
( http: / / www.21cnjy.com )点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠GEF是直角吗？为什么？
（2）∠FEH与∠GEH互为余角吗？为什么？
（3)
在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角互为补角？
( http: / / www.21cnjy.com )
活动目的：作业应该体现出课堂学习的延续性，因此本节课我也精心设计了一道探究性的题目，实现了同一图形经过不同变化可以产生不同问题，与课堂的问题相呼应；作业分层，可以让不同程度的学生都能有不同的收获。
活动注意事项：首先应激励学生独立完成作业，其次注意提高效率，最后应鼓励学生进行反思。
四、教学设计反思：
开放课堂
激发潜能
数学来源于生活，反之又服务于
( http: / / www.21cnjy.com )生活。本课时我遵循“开放”的原则，引导学生从身边熟悉的情境出发，使学生经历从现实生活中抽象出数学模型的过程，体会本节课的重要性和在生活中的广泛应用；通过课堂开放，可以让学生在直观有趣的问题情境中学到有价值的数学；学生搜集的信息是丰富多彩的，有利于教师给学生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，激发了学生的潜能，使学生成为课堂的主人，提高了学生分析问题解决问题的能力！
2．动手操作
探究新知
“几何直觉是增进数学理解力的很
( http: / / www.21cnjy.com )有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。”通过动手画图，可以加深学生对知识的理解，这也是促使学生认真审题的重要方法。学生的画法千变万化，他们在相互交流中，很容易发现自己的问题，起到相互补充，相互学习的效果，可以轻而易举地掌握新知识。
3．巧设问题串
打造高效课堂
我在教材提供的教学素材的基础上，重组教
( http: / / www.21cnjy.com )材，恰当地创设情境,以问题串的方式激发学生的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断提出问题分析问题，并创造性地解决问题，通过动手操作、合作交流等方式，为学生构建了开放有效的学习环境。变式训练、一题多解的设置，题目由易到难，由简到繁，争取能让每一位学生都能领略到成功的喜悦！使学生思维分层递进，揭示概念的实质，不断完善新的知识结构，同时体验了知识的形成过程和发现的快乐，继而转化为进一步探索的内驱力；鼓励学生从多角度思考问题，充分激发学生的创新能力，使学生的思维多向开花，极大的调动学生学习数学的热情！
4.注意事项。
课堂上让学生充分发表自己的见解。
( http: / / www.21cnjy.com )学生搜集的信息是丰富多彩的，学生的思维也是百花齐放，教师应注意捕捉有效信息，从激励学生的角度出发，给予学生一个充分展示自我的舞台，在活动中提高学生与他人合作交流的能力，激发学生的学习兴趣。针对不同的问题，应大胆放手给学生，注意培养学生抽象几何图形的能力，简单合情说理的能力，观察分析的能力，总结归纳的能力等。讨论时，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应注重学生几何语言的培养，对课堂生成的问题，应予以重视，教师可以激励学生课后继续探究，将课内学习延伸到课外，开阔学生的视野。
注意：互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关。
2
D
C
O
1
3
4
A
N
B
（2）
（1）
同角或者等角的余角相等。
同角或者等角的补角相等。《余角与补角》学案
【学习目标】：1．在具体情境中了解相交线、平行线、补角、余角、对顶角的定义。
2．知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等、对顶角相等，并能解决一些实际问题。
3．经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
【课前预习】
观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
以上各图形中∠1和
∠2之间具有的共同特点是：___________________________
2、观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
以上各图形中∠1和
∠2之间具有的共同特点是：_______________________
〖探索发现〗
1、互为余角的定义：____________________________
__________
,∠α的余角为________
互为补角的定义
，∠α的补角为________
2、_________________________的余角相等; ______________________________的补角相等
注意：互为余角和互为补角是指两个角的之间的_________关系，与它们的_______关系无关。
〖典型例题〗
例1、一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角的度数
变式训练一：（1）一个角的补角比这个角的余角的3倍少，则这个角的度数为__________
（2）一个角的补角比它的余角大_________;
例2、如图，直线CD和∠AOB两边相交于点M、N，已知∠α＋∠β＝180°。
（1）试找出图中所有与∠α、∠β相等的角
（2）写出图中与∠α互为补角的角。
变式训练二：
如图，已知，完成下列各题：
（1）右图中所有相等的角有_____________________;
（2）图中互为余角的角有：____________________
______________________________________________
（3）图中与∠3互为补角的角有___________;
与∠2互为补角的角有___________
【课后作业】
已知∠A＝65°，则∠A的补角等于（
）
A．125°
B．105°
C．115°
D．95°
若∠1与∠2互为余角，且，则∠2＝（
）
A
B
C
D
若一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角是（
）
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（
）
A、
30°
B、
60°
C
、
90°
D
、
120°
任意两条线相交于一点，互为补角的角有(
)
A.3对
B.4对
C.5对
D.
6对
如右图，，图中共有（
）对角互为补角
A.2
B.3
C.4
D.5对
∠α＝，那么∠α的余角等于____________，补角等于____________.
任意一个锐角∠A的余角可以表示为_____________,补角表示为________________.毛
已知∠1＋∠2=900，∠2＋∠3=900，则∠1=∠3,理由是__________________________
如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线
①∠AOD的余角是________________;
②∠AOD的补角是________________;
③∠DOB的补角是______________________.
如图，直线CD和∠AOB两边相交于点M、N，已知∠α＋∠β＝180°。
（1）试找出图中所有与∠α、∠β相等的角；
（2）写出图中与∠β互为补角的角。
( http: / / www.21cnjy.com )
（思考题）如图，先找到长方形纸的宽DC的中
( http: / / www.21cnjy.com )点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠GEF是直角吗？为什么？
（2）∠FEH与∠GEH互为余角吗？为什么？
（3)
在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角
互为补角？
《余角和补角》课堂5分钟检测
1.∠α＝42°，那么∠α的余角等于____________，补角等于____________.毛
2.已知∠α、∠β互为余角，且∠α=∠β，则∠α＝___________。
3.若∠1和∠2互补，∠2
和∠3
互余，∠1＝123°，则∠3
＝________.
4.①若∠A＋∠B＝90°，∠C＋∠D＝90°，且∠A=∠C那么∠B=∠D，理由是_________________;
②若∠1＋∠2＝180°,∠1＋∠3＝180°,则∠2=∠3，理由是___________________________。
5.一个角的余角比这个角的补角的一半少，则这个角的度数(共16张PPT)
你知道吗？打台球的游戏中，台球击到桌沿又反弹回来的路线，就象光的反射定律中入射光线与反射光线的路线是一样的。
下图中是一个经过改造的台球桌面示意图，图中的阴影为6个袋孔，如果一球按图示方向击出去，最后落入第几个袋孔？
1．在具体情境中了解补角、余角的定义。
2．知道同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决实际问题。
3．经历操作、观察、猜想、交流、推理等获取信息的过程，进一步发展空间观念、推理能力和有条理表达的能力。
1、观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
∠1＋
∠2＝９００
（1）30
，70
与80
的和为平角，所以这三个角互补（
）
（2）一个角的余角必为锐角。
（
）
（3）一个角的补角必为钝角。
（
）
（4）90
的角为余角。
（
）
（5）两角是否互补既与其大小有关又与其位置有关（
）
0
×
√
×
×
×
互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置关系无关。
判断下列说法是否正确
0
0
0
2、观察下列图形，你能发现∠1和
∠2的关系吗？
∠1＋
∠2＝１８００
1.
下列哪些角互为余角？有相等的角吗？
∠1与∠4，∠2与∠3
∠1与∠3，∠2与∠4
∠3=
∠4
∠1与∠2，∠2与∠3
∠1=
∠3
如图，有一破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？为什么？
40
0
方法一：可利用对顶角相等得出。
方法二：可利用补角得出。
3
4
1
2
B
D
O
C
E
A
2.
如右图，已知∠1=∠2，你还能找出其他相等的角？由此你能得到什么结论？
等角的补角相等
②
∠AOD=∠BOE，理由如下：
∵∠3=
∠4
∠
AOD+∠3=180
,∠BOE+∠4=180
∴
∠AOD=∠BOE
0
0
例1、一个角的补角是这个角的余角的3倍
，求这个角的度数
解：设这个角为x度,则这个角的补角为（180－x)度,这个角的余角为（90－x)度，由题意得：
（180－x)＝3
（90－x)
解得：x=45
答：这个角的度数为45
例2、如图，直线CD和∠AOB两边相交于点M、N，已知∠α＋∠β＝180°。
（1）试找出图中所有与∠α、∠β相等的角
（2）写出图中与∠α互补的角。
１）相等的角有：
∠1＝∠３，
∠２＝∠４
２）互为余角的角有：
∠1与∠4，∠2与∠3，∠1与∠２，∠３与∠4
３）与∠３互补的角有：
∠ＢＯＥ
４）与∠２互补的角有：
∠ＡＯＤ
余角、补角的概念：
余角、补角的性质：
（1）
和为直角的两个角称互为余角；
（2）
和为平角的两个角称互为补角；
（1）
同角或等角的余角相等；
（2）
同角或等角的补角相等；
（3）
对顶角相等。
互余与互补只与角的数量有关，与位置无关。而对顶角是根据角的位置来判断的
思维拓广
如图，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将∠C过点E折起任意一个角，折痕是EF，再将∠D过点E折起，使DE与HE重合，折痕是GE，请探索下列问题：
（1）∠GEF是直角吗？为什么？
（2）∠FEH与∠GEH互余吗？为什么？
（3)
在上述折纸的图形中，还有哪些角互为余角？还有哪些角
互为补角？
