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推理与证明
推理
证明
一、探入与展示
已知
判断
前提
新的
判断
结论
一、探入与展示
一、探入与展示
推理
演绎推理
合情推理
类比推理
归纳推理
一、推理定义
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.
------归纳推理
据说歌德巴赫无意中观察到:
3+7=10,3+17=20,13+17=30
他有意把上面的式子改成:
10=3+7,20=3+17,30=13+17
其中
反映出这样一个规律:
偶数=奇质数+奇质数
二、探读与思考
引入1.数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
12=5+7
14=7+7
16=5+11
……
1000=29+971
1002=139+863
……
歌德巴赫大胆的猜想:
任何一个不小于6的偶数都
等于奇质数的和
任何形如
的数都是质数这就是著名的"费马猜想"
观察到都是质数,进而猜想:
引入2
费马猜想
铜能导电
铝能导电
金能导电
银能导电
一切金属都能导电.
三角形内角和
为
凸四边形内角
和为
凸五边形内角
和为
凸n边形内角和为
第一个数为2
第二个数为4
第三个数为6
第四个数为8
第n个数为2n.
部分
个别
蛇类是用肺呼吸的
鳄鱼是用肺呼吸的
海龟是用肺呼吸的
蜥蜴是用肺呼吸的
爬行动
物都是
用肺呼
吸的
整
体
一
般
引入3：
由某类事物的
具有某些特征,
推出该类事物的
都具有这些特征
的推理,或者由
概括出
的推理,称为归纳推理(简称归纳).
部分对象
全部对象
个别事实
一般结论
半个世纪后,
三、探疑与点拨
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论.所以结论未必可靠，仅仅是一种猜想。
费马猜想
任何形如
的数都是质数
宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现
不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.
大胆猜想
小心求证
例题1:
观察下列的等式,你有什么猜想吗
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
……
由此猜想:
例2:已知数列{an}的第1项a1=1，且
（n=1
,
2
,
…),试归纳出这个数列的通项公式.
分别把n=1,2,3代入
得:
由此猜想（归纳）
小结：归纳推理的一般步骤:
(1)通过观察特例发现特例的某些共性;
(2)把这种共性推广为一个明确表达的一般性命题
(猜想).
（练习）教材P77练习
1
2
概括、推广
猜测一般性结论
实验、观察
(创新方案P43）
[例2] 如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少部分？
设圆内两两相交的n条线段，彼此最多分割成的线段为f(n)条，将圆最多分割为g(n)部分．
(1)
f(1)＝1＝12，
g(1)＝2；
f(2)＝4＝22，
g(2)＝4；
f
(3)＝9＝32，
g(3)＝7；
f(4)＝16＝42，
g(4)＝11；
[通一类]
2．
(05年广东)设平面内有n条直线(n≥2)，其中任意两条直线都不平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则当n≥2时，f(n)＝_____
_____.(用含n的数学表达式表示)
（练习：创新方案P44）课堂强化
第1题
1．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正方形(如图)则第n个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2
D．(n＋1)2．
2．如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{an}的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1
B．an＝3n
C．an＝3n－2n
D．an＝3n－1＋2n－3
（创新方案P44）
课堂强化
第2题
例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动1个金属片；
(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
1
2
3
四、引导与迁移
1
2
3
第1个圆环从1到3.
设
为把
个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
＝1时，
＝1
＝2时，
1
2
3
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
＝3
第1个圆环从1到3.
设
为把
个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
＝1时，
＝1
n＝3时，
前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
＝7
＝2时，
前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3;
第1个圆环从2到3.
＝3
第1个圆环从1到3.
设
为把
个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
＝1时，
＝1
1
2
3
当n=1时,a1=1
当n=2时,a2=
3
当n=3时,a3=
7
当n=4时,a4=
15
猜想
an=
2n
-1
1
2
3
n＝3时，
前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
＝7
设
为把
个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则
1
2
3
n=2时,
n=1时,
n=3时,
n=4时,
n=3时,
n=2时,
n=1时,
n=4时,
n=3时,
n=2时,
n=1时,
归纳:
例4.如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(1)每次只能移动1个金属片；
(2)较大的金属片不能放在较小的金属片上面；
把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次记为f(n),
试求f(n)：
1
2
3
五、引伸与评价
归纳推理的基础
归纳推理的作用
归纳推理
观察、分析
发现新事实、获得新结论
由部分到整体、
个别到一般的推理
注意
归纳推理的结论不一定成立
五、引伸与评价
作业P83习题A组1、2、3、4题，B组1题
五、引伸与评价
再
见第二章
合情推理与演绎推理
§2.1.1.1合情推理(第一课时)
一、教学目标：
1、知识与技能：
掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
2、过程与方法：
通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
3、情感、态度与价值观：
感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
二、教学重点：
归纳推理及方法的总结。
三、教学难点：
归纳推理的含义及其具体应用。
四、教学过程：
（一）探入与展示：
1、推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫推理.
推理一般由两部分组成：前提和结论
2、
（二）探读与思考
引入1.
哥德巴赫猜想：观察4=2+2,
6=3+3,
8=5+3,
10=5+5,
12=5+7,
12=7+7,
16=13+3,
18=11+7,
20=13+7,
……,
50=13+37,
……,
100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.
1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.
1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.
引入2.
费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数.
后来瑞士数学家欧拉，发现不是素数，推翻费马猜想.
引入3：1．由铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．
2．由三角形内角和为180°，凸四边形内角和为360°，凸五边形内角和为540°，猜想：凸n边形内角和为(n－2)·180°.
1、归纳推理的定义：
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该
( http: / / www.21cnjy.com )类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)。
2、归纳推理的特点：
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤：
三、探疑与点拨
归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分析的基础上，提出带有规律性的结论.所以结论未必可靠，仅仅是一种猜想。
半个世纪后欧拉发现：225＋1＝4
294
( http: / / www.21cnjy.com )
967
297＝641×6
700
417.
这说明了什么？
费马猜想是不成立的．
后来人们又发现226＋1,227＋1,228＋1都是合数，又能得到什么样的结论？
任何形如22n＋1(n∈N?，n≥6)的数都是合数．
4、例题讲解：
例题1:
观察下列的等式,你有什么猜想吗
1+3=4=22
1+3+5=9=32
1+3+5+7=16=42
1+3+5+7+9=25=52
……
由此猜想：
例
2、已知数列｛
( http: / / www.21cnjy.com )｝的第1项
( http: / / www.21cnjy.com )，且
( http: / / www.21cnjy.com )（n=1,2,3，…），试归纳出这个数列的通项公式．
分析：数列的通项公式表示的是数列{
( http: / / www.21cnjy.com )}的第n项
( http: / / www.21cnjy.com )与序号
n
之间的对应关系．为此，我们先根据已知的递推公式，算出数列的前几项．
解：当n=1时，
( http: / / www.21cnjy.com );
当
n
=2时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
当n
=3时，
( http: / / www.21cnjy.com )；
当n=4时，
( http: / / www.21cnjy.com )．
观察可得，数列的前
4
项都等于相应序号的倒数．由此猜想，这个数列的通项公式为
( http: / / www.21cnjy.com )．
课堂练习：课本P77页练习1、2
（创新P43）[例2] 如图所示，在圆内画一条线段，将圆分成两部分；画两条线段，彼此最多分割成4条线段，将圆最多分割成4部分；画三条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最多分割成7部分；画四条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最多分割成11部分．
2．设平面内有n条直线(n≥2)，其中任意两条直线都不平
行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则当n≥2时，f(n)＝__________.(用含n的数学表达式表示)
（创新方案P44）课堂强化第1、2题
四、引导与迁移
在数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理
( http: / / www.21cnjy.com )常常能帮助我们猜测和发现结论；证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．下面再来看一个例子．
例5（课本例4）如图2
.1-2
所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片．按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
( http: / / www.21cnjy.com )
1．每次只能移动1个金属片；
2．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
分析：我们从移动1,
2,
3,
4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动
n个金属片所需的次数．
解：当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13
)表示，共移动了1次．
当n=2
时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：
(1)把第1个金属片从1号针移到
2
号针；
(2)把第2个金属片从1号针移到
3
号针；
(3)把第1个金属片从2号针移到
3
号针．
用符号表示为：(12)
(13
)
(23
)
.
共移动了3
次．
当n=3
时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2
的情形，移动顺序是：
(1)把上面两个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第
3
个金属片从1号针移到3号针；
(3)把上面两个金属片从
2
号针移到3
号针．
其中（1）和（3）都需要借助中间针．用符号表示为：
(
13
)
(12
)
(
32
)
;
(
13
)
;
(
21
)
(
23
)
(
13
)
.
共移动了
7
次．
当n=4
时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：
(1)把上面3个金属片从1号针移到2号针；
(2)把第4个金属片从
1
号针移到3号针；
(3)把上面
3
个金属片从
2
号针移到
3
号针．用符号表示为：
(
12
)
(
13
)
(23
)
(12
)
(31)
(32
)
(12
)
;
(13
)
;
(
23
)
(21
)
(31
)
(23
)
(
12
)
(13
)
(23
)
.
共移动了15次．
至此，我们得到依次移动1,
2,
3,
4
个金属片所需次数构成的数列：1,
3,
7,15.
观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：
1
=
21-
1
,
3
=
22
-
1,
7
=
23
-1,
15
=
24
-1.
由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动次，则数列{}的通项公式为．
①
通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n
个金属片都适用的移动方法．当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：
(1)将上面（n-1）个金属片从1号针移到2号针；
(2)将第
n
个金属片从1号针移到3号针；
(3)将上面（n
-1）个金属片从2号针移到3号针．
这样就把移动n个金属片的任务，转化为移动两次（n-1）个金属片和移动一次第
n
个金属片的任务．而移动（n-1）个金属片需要移动两次（n-2）个金属片和移动一次第（n-1）个金属片，移动（n-2）个金属片需要移动两次（n-3）个金属片和移动一次第（n-2）个金属片…
…
如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形．根据这个过程，可得递推公式
从这个递推公式出发，可以证明通项公式①是正确的．
五、引伸与评价
1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
2、归纳推理的一般步骤：
通过观察个别情况发现某些相同的性质
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。
3、作业：课本P83页习题A组1、2、3、4题，B组1题。
概括、推广
实验、观察
猜测一般性结论
