22、定积分
【知识网络】
1．
了解定积分的实际背景。
2．
初步了解定积分的概念，并能根据定积分的几何意义计算简单的定积分。
【典型例题】
[例1]
利用定积分表示图中四个图形的面积：
[例2]画出下列定积分所体现出的曲边梯形并计算定积分的结果：
；
；
课内练习（1）下列定积分为1是
）
A．
B．
C．
D．
（2）求由围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为
（
）A．［0，］
B．［0，2］
C．［1，2］
D．［0，1］
（3）由y=cosx及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为
．
（4）利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小．
，
，
。
(5)计算
（6）]计算下列定积分：
；
。
（7）①利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？
（1）；
（2）；
（3）．
（8）计算=
。
（9）已知和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A可用定积分表示为
（
）
A．
B．
C．
D．
【课后作业】
1．
下列定积分值为1的是
（
）
A．
B。
C。
D。
2．
=
（
）
A．0
B。
C．
D。
3．
设连续函数f(x)＞0，则当a＜b时，定积分的符号
（
）
A．一定是正的
B．当0
C．一定是负的
D．当04．
由直线，及ｘ轴所围成平面图形的面积为
（
）
A．
B。
C．
D。
5．
和式当n→+∞时，无限趋近于一个常数A，则A用定积分可表示为
。
6．
曲线，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ．
7．
计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。（下列公式可供使用：12+22+…+n2=）
8．
求由曲线与所围的图形的面积.
9．
计算，其中,
10．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是正的常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。
参考答案
22．1
曲边梯形的面积与定积分
【典型例题】
[例1]（1）B．
（2）C．
3．
B。
（4）或。
（5）。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。
[例2]①（1）正
(2)正
(3)负。
②≥
≥。
[例3]
(1)；
(2)
；(3)0
；(4)0。
[例4]
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【课内练习】
1．
C。
2．
A。提示：被积函数为奇函数，且积分区间又关于原点对称，利用定积分的几何意义知，面积的代数和为0。
3．
A。
4．
C。
5．
。
6．
。
7．
。提示：请参看教材P42~44。
8．
6。
9．
6。
10．可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：。
x
O
a
y
=
x2
(1)
x
O
2
–1
y
=
x2
(2)
y
y
y=(x-1)2
-1
O
x
–1
2
(3)
x
a
b
O
y
=
1
(4)
y
y(共20张PPT)
微积分在几何上有两个基本问题
1.如何确定曲线上一点处切线的斜率；
2.如何求曲线下方“曲边梯形”的面积。
x
y
0
x
y
0
x
y
o
直线
几条线段连成的折线
曲线？
知识回顾：
用
“以直代曲”解决问题的思想和具体操作过程：
分割
以直代曲
作和
逼近
课题：定积分
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(2)以直代曲:任取xi [xi-1,
xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),
宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.
(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为
(3)
作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：
xi-1
y=f(x)
x
y
O
b
a
xi
xi
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x
课题：定积分
如果当n +∞时，Sn
就无限接近于某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a,
b]上的定积分，记作
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近.
课题：定积分
定积分的定义:
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,将区间[a,b]等分成n个小区间,每个小区的长度为
,在每个小区间上取一点,依次为x1,x2,…….xi,….xn,作和
如果
无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作:
.
课题：定积分
定积分的相关名称：
———叫做积分号，
f(x)dx
—叫做被积表达式，
f(x)
——叫做被积函数,
x
———叫做积分变量，
a
———叫做积分下限，
b
———叫做积分上限，
[a,
b]
—叫做积分区间。
被积函数
被积表达式
积分变量
积分下限
积分上限
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
1.由曲线y=x2+1与直线x=1,x=3及x轴所围成的曲边梯形的面积,用定积分表示为____________.
2.
中,积分上限是___,积分下限是___,积分区间是______
2
-2
[-2,2]
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
定积分的几何意义.
当
f
(x)
≥
0，定积分
的几何意义就是
b
A
o
x
y
a
y=f
(x)
S
曲线
y
=
f
(x)
直线
x
=
a，
x
=
b，
y
=
0
所
围成的曲边梯形的面积
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
当函数
f
(x)
0
，
x [a,
b]
时
定积分
几何意义
就是位于
x
轴下方的曲边梯形面积的相反数.
o
x
y
a
b
y=f
(x)
S
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
当函数
f
(x)在
x [a,
b]
有正有负时,
定积分
几何意义
就是图中几个曲边图形面积的代数和,(x轴上方面积取正号,x轴下方面积取负号)
O
X
S2
S1
y
S3
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
用定积分表示下列阴影部分面积
S=______;
S=______;
y=sinx
X
O
y
X
O
y
5
-1
y=x2-4x-5
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
S=______;
X
O
y
y=cosx
定积分的几何意义：
在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).
-4
6
5
O
x
y
A
B
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
例：计算下列定积分.
求定积分，只要理解被积函数和定积分的意义，并作出图形，即可解决。
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
定积分的基本性质
性质1.
性质2.
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
定积分的基本性质
定积分关于积分区间具有可加性
性质3.
O
x
y
a
b
y f
(x)
Ｃ
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
小结:
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割
化整为零
求和
积零为整
取逼近
精确值——定积分
求近似以直（不变）代曲（变）
取逼近
3.定积分的几何意义及简单应用
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
1.曲边梯形面积问题;
2.变力作功问题;
3.变速运动的距离问题.
我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分的定义
它们都归结为:分割、近似求和、取逼近值
问题情境:
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
注
：定积分数值只与被积函数及积分区间
[a,
b]
有关,
与积分变量记号无关
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
按定积分的定义，有
(1)
由连续曲线y=f(x)
(f(x) 0)
，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
(2)
设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a,
b]内运动的距离s为
(3)
设物体在变力F=F(r)的方向上有位移，则F在位移区间[a,
b]内所做的功W为
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功
思考:
函数在区间[a,b]上的定积分
能否为负的
定积分
定积分
=__________.
课题：定积分
我行
我能
我要成功
我能成功