13.5 逆命题与逆定理 教案（3课时）

13.5　逆命题与逆定理
1.互逆命题与互逆定理
【教学目标】
知识与技能
使学生理解逆命题与逆定理的意义,会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.
过程与方法
通过探索逆命题的写法、培养学生的观察能力、应变能力和语言表达能力.
情感、态度与价值观
教学中渗透着数学的形式美和内涵美,提高学生对数学美的鉴赏能力.
【重点难点】
重点会写出一个命题的逆命题,会判断定理的逆命题的真假.
难点
正确有写出一个命题的逆命题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
观察下列两个命题:(1)“两直线平行,内错角相等”;(2)“内错角相等,两直线平行”.你能分别说出它们的条件与结论吗 两者的条件与结论位置上有什么关系 从而导入新课.
二、师生互动,探究新知
1.原命题、逆命题、互逆命题
教师讲解并板书:在两个命题中,一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论,又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题,其中的一个叫做原命题,另一个叫做它的逆命题.
教师启发如何构造一个命题的逆命题,并与同排同学做一个游戏:一个出示命题,一个构造它的逆命题.
学生活动、交流,教师选几组代表展示.教师强调互逆命题是相对的,而不能说×××命题是逆命题.
2.互逆命题与逆定理
教师选取交流代表中的例子,分析互逆命题的真假.
板书:如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理互为逆定理,其中一个定理叫做另一个定理的逆定理,教师强调:不能说×××定理是逆定理.
【教师提问】
你能说出我们已经学过的互逆定理的例子吗
学生交流、讨论、回答,教师点评.
三、随堂练习,巩固新知
1.下列说法中正确的是(　　)
A.每个命题都有逆命题
B.每个定理都有逆定理
C.真命题的逆命题都是真命题
D.假命题的逆命题都是真命题
2.“两直线平行,内错角相等”的逆命题是　　　　.
3.“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是　　　　.
【答案】
1.A
2.内错角相等,两直线平行
3.对角线互相平分的四边形是平行四边形
【例】
写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假.
(1)四边形是多边形;
(2)两直线平行,同旁内角互补;
(3)如果ab=0,那么a=0,b=0.
【答案】
(1)多边形是四边形.原命题是真命题,逆命题是假命题.
(2)同旁内角互补,两直线平行.原命题是直命题,逆命题是真命题.
(3)如果a=0,b=0,那么ab=0.原命题是假命题,逆命题是真命题.
四、典例精析,拓展新知
【例】
下列命题的逆命题是真命题的是(　　)
A.对顶角相等
B.若a=b,则|a|=|b|
C.两直线平行,同位角相等
D.全等三角形的对应角相等
【答案】
C
【教学说明】
先写出命题的逆命题,再判断真假,而不是判断原命题的真假.教师强调:假命题的逆命题可能是真命题,真命题的逆命题很有可能是假命题.
五、运用新知,深化理解
写出下列命题的逆命题,并判断其真假.
(1)若x=1,则x2=1;(2)若|a|=|b|,则a=b.
【答案】
(1)逆命题是:若x2=1,则x=1,是假命题.
(2)逆命题是:若a=b,则|a|=|b|,是真命题.
下面的命题互为逆定理吗 如是不是,请说明理由.
(1)“如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形”与“等腰三角形的两个底角相等”.
(2)“对顶角相等”与“相等的角是对顶角”.
【答案】
(1)中的两个命题是互为逆定理.
(2)中的两个命题不互为逆定理,原因是命题“相等的角是对顶角”是假命题.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有什么收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果一个定理的逆命题是真命题,那么这两个命题成了互为逆定理.
【教学反思】
这节课内容较少,学生搞懂互逆命题、互逆定理的概念是教学的关键,判断逆命题的真假是本节的难点,应在教学中让学生多构造互逆命题,并判断其真假,让他们自己去感知命题与逆命题、定理与逆定理之间的关系.
2.线段垂直平分线
【教学目标】
知识与技能
掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵
活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.
过程与方法
通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
情感、态度与价值观
通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识,使学生发现数学.
【重点难点】
重点
线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.
难点
灵活运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
线段是轴对称图形吗 它的对称轴是什么
如图,l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l上,CA与CB有什么关系 写出你的证明过程.
二、师生互动,探究新知
在学生交流发言基础上,教师板书:线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
巩固练习　材料P96第1、2题.
教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗 它是不是真命题
学生完成并回答.
下面我们一起来证明它,见教材P95.
教师提问这个命题与线段垂直平分线的性质定理有何关系
学生回答,教师板书.线段垂直平分线的判定定理到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.
三、随堂练习,巩固新知
1.已知MN是线段AB的垂直平分线,C、D是MN上任意两点,则∠CAD和∠CBD之间的关系是(　　)
A.∠CAD<∠CBD　　　B.∠CAD=∠CBD
C.∠CAD>∠CBD
D.无法判断
2.如图,在△ABC中,已知AB=AC,DE垂直平分AC,分别交AB、AC于D、E,∠A=50°,是∠DCB的度数是　　　　.
【答案】
1.B　2.15°
四、典例精析,拓展新知
如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,CD交BE于点F.
求证:BE垂直平分CD.
【答案】
∵BD=BC,
∴点B在CD的垂直平分线上,∠BCD=∠BDF.
又∵∠ACB=90°=∠BDE,
∴∠ACB-∠BCD=∠BDE-∠BDC,
即∠ECD=∠EDC,∴ED=EC,
∴E在CD的垂直平分线上.
根据两点确定一条直线可得:BE垂直平分CD.
【教学说明】
任意三角形的三边垂直平分线都相交于一点,在后面将学习这一点是三角形的外心,锐角三角形的各
边垂直平分线的交点在三角形内,直角三角形各边垂直平分线的交点,在斜边的中点,钝角三角形各边垂直平分线的交点在三角形外;要证明某直线是某线段的垂直平分线,可证明这条直线有两点到线段两端的距离相等.
五、运用新知,深化理解
如图,在△ABC中,DE是AC的垂直平分线,△ABC与△ABD的周长分别为18
cm和12
cm,求线段AE的长.
【答案】
∵DE是AC的垂直平分线,∴AD=DC,AE=EC.
△ABC的周长为AB+AC+BC=18(cm),①
△ABD的周长为AB+AD+BD=12(cm),②
①-②,得AC=6
cm,∴AE=AC=3
cm.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
1.引导学生作知识总结:线段垂直平分线的性质、判定定理,三角形三边的垂直平分线交于一点.
2.教师扩展:利用两个定理证明线段相等,线段垂直时不用再证明全等,可简化解题过程.
【教学反思】
本节课在教学过程中,首先提出问题,让学生回答,通过观察、发现、论证得出线段的垂直平分线的性质定理,接着写出性质定理的逆命题.教师与学生一起证明这个定理,并在习题中运用这两个定理,得出三角形各边的垂直平分线相交于同一点的重要结论.
在教学过程中,应注意让学生搞清两个定理的条件与结论,并充分调动学生的积极性,体会解决问题成功的乐趣.
3.角平分线
【教学目标】
知识与技能
掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.
过程与方法
让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别.
情感、态度与价值观
通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数学、热爱数学.
【重点难点】
重点
角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.
难点
灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
角是轴对称图形吗 它的对称轴是什么
如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点,且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,将∠AOB沿OC对折你发现了什么 如何表达,并简述你的证明过程.
二、师生互动,探究新知
在学生交流发言的基础上,老师板书:角平分线的性质定理,即角平分线上的点到角两边的距离相等.几何推理为:∵OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,∴PD=PE.教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.
巩固练习　教材P98第1题.
教师提问:你能写出这个性质定理的逆命题吗 它是不是真命题
学生完成并回答.
下面我们一起来证明这个定理,见教材P97.
教师指出:角平分线是一条射线,那么这个逆定理应如何表述 学生讨论并发言.在学生发言基础上教师归纳总结,并板书:角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上.
巩固练习　教材P98第2题.
三、随堂练习,巩固新知
1.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,则PC与PD的大小关系是(　　)
A.PC>PD　　　　　B.PC=PD
C.PCD.不能确定
2.如图等腰△ABC中,AC=BC,CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC,则DE　　　　DF(填=,>或).
【答案】
1.B　2.=
四、典例精析,拓展新知
【例1】
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,DE⊥BC于E,且BC=8
cm,求△DEC的周长.
【答案】
因为BD平分∠ABC,DE⊥BC,∠A=90°,
所以DA=DE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等),
所以DC+DE=DC+DA=AC.
在Rt△ABD
≌
Rt△EBD,
所以AB=BE.
又因为AB=AC,
所以AC=BE,
所以DC+DE+EC=AC+EC=BE+EC=BC,
所以△DEC的周长为8
cm.
【教学说明】
作意三角形三个角平分线都交于同一点,在后面将学习这一点叫做三角形的内心,设△ABC的内心为I,则∠BIC=90°+∠A;如图,三条直线l1、l2、l3相交于A、B、C三点,到三条直线距离都相等的点应有4个,即两对角平分线的交点,以及相邻外角平分线的交点.
五、运用新知,深化理解
【例2】
如图,已知BD=CD,BF⊥AC,CE⊥AB,求证:点D在∠BAC的平分线上.
【答案】
因为BF⊥AC,CE⊥AB,所以∠BED=∠CFD=90°.
在△BDE和CDF中,
因为∠BED=∠CFD,∠BED=∠CDF,BD=CD,
所以△BDE
≌
△CDF,所以DE=DF,
所以点D在∠BAC的平分线上.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么 有何收获 有何困惑 与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.
学生要会证明角平分线性质与判定定理,并会应用这个定理,会证明三角形三条角平分线相交于一点,并会运用这个定理.
【教学反思】
本节课的教学类比线段垂直平分线的教学,本课时的教学应突出学生的主体性原则,指引学生自己操作、观察、发现、归纳、论证,相互交流或课堂展示,让学生分享学习的收获,从而激发学生参与的热情,体验成功的快乐.