广东省深圳市平湖实验学校2016届高考数学（理）查漏补缺练习题（解析版）

www.
2016年高考理科数学查漏补缺练习题
1．在中，角的对边分别为，且满足．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若点为中点，且，求．
2．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知函数满足：对于任意恒成立．
（1）求角A的大小；
（2）若，求BC边上的中线AM长的取值范围．
3．已知，且．
（1）将表示为的函数，并求的单调增区间．
（2）已知分别为的三个内角对应边的边长，若且，求的面积．
4．已知函数，．
（1）求的单调增区间；
（2）已知△内角、、的对边分别为、、，且，，若向量与共线，求、的值．
5．某市教育部门规定,高中学生三年在校期间必须参加不少于80小时的社区服务．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据,按时间段,,,,（单位：小时）进行统计,其频率分布直方图如图所示．
（1）求抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数,并估计从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生,记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望．
6．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学
（男30女20），
给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：（单位：人）
（1）能否据此判断有97．5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、
乙两女生被抽到的人数为X，
求X的分布列及数学期望E（X）
．
附表及公式
7．年，国际数学协会正式宣布，将每年的月日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率.为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关
顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得个、个、个学豆的奖励.游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束.设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响.
（1）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；
（2）设该选手所得学豆总数为，求的分布列与数学期望.
8．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于为正品，小于为次品，现随机抽取这两种元件各件进行检测，检测结果统计如下：
测试指标
元件甲
元件乙
（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；
（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元；生产一件元件乙，若是正品可盈利元，若是次品则亏损元．在（Ⅰ）的前提下：
（1）记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）求生产件元件乙所获得的利润不少于元的概率
9．为了做好“双十一”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品盒重新设计．方案如下：将一块边长为10的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的包装盒S－EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合(如图所示)．
（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；
（2）当AE＝时，求二面角E－SH－F的余弦值．
10．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，，底面，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
11．
已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿BD将△BCD翻折到△，使得平面⊥平面ABD．
（Ⅰ）求证：平面ABD；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
12．如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
13.已知函数.
（Ⅰ）求函数的最大值；
（Ⅱ）求函数在区间上的零点的个数（为自然对数的底数）；
（Ⅲ）设函数图象上任意不同的两点为、，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．
14.已知函数.直线经过点且与曲线相切.
（Ⅰ）求切线的方程；
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）设，若函数有唯一的零点，求证.
15．已知函数的图象在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若，且对任意恒成立，求的最大值；
（Ⅲ）当时，证明．
16.设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
17.设、分别是椭圆的左、右焦点.
（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;
（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.
18.设椭圆过点，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上.
19．已知椭圆两焦点分别为、，是椭圆在第一象限弧上一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线、分别交椭圆于、两点.
（Ⅰ）求点坐标；
（Ⅱ）求证直线的斜率为定值；
（Ⅲ）求面积的最大值.
20．已知动圆过定点,且与定直线相切．
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹曲线的方程；
（Ⅱ）若点是直线上的动点，过点作曲线的切线，切点记为，求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.
极坐标与参数方程
1.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．
（I）求点的直角坐标；
（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．
2．已知曲线的极坐标方程为，倾斜角为的直线过点.
（1）求的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设是过点且关于直线对称的两条直线，与交于两点，与交于两点，求证：.
3．在平面直角坐标系中，点的直角坐标为（为参数）．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，直线的极坐标方程为．．
（1）试求出动点的轨迹方程（用普通方程表示）
（2）设点对应的轨迹为曲线，若曲线上存在四个点到直线的距离为1,求实数的取值范围．
4．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的参数方程是（θ为参数），曲线C与l的交点的极坐标为（2，）和（2，），
（1）求直线l的普通方程；
（2）设P点为曲线C上的任意一点，求P点到直线l的距离的最大值．
参考答案
1解：（1），
，
又因为
所以
，即
（2）此题多种方法，现给出一种方法
设
，
2解（1）由题意，∵对于任意恒成立，∴的最大值为，
当取得最大值时，，即，
∴，又∵A是三角形的内角，即，∴．
（2）∵AM是BC边上的中线，
∴在△ABM中，，①
在△ACM中，，②
又∵，∴，
①＋②得．由余弦定理，
∵，∴，
∴，即
3解：（1）由得，所以，
即，
由，得，
即增区间为．
（2）因为，所以，
所以，因为，所以．
由余弦定理，得，即，
所以，因为，所以．所以．
4试题解析：（1）
，
令，，此时函数单调递增，解得，即函数的递增区间为，．
（2）由（1），
∴或，解得或．
∵与共线，
∴，
∴由正弦定理可得，即,①
当时，
∵，∴由余弦定理可得，②
联立①②解方程组可得
当时，
∵，∴由勾股定理可得，③
联立①③可得，，
综上，，或，．
5【解析】（1）根据题意,
参加社区服务在时间段的学生人数为（人）；
参加社区服务在时间段的学生人数为（人）．
∴抽取的200位学生中,参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为80人
∴从全市高中学生中任意选取一人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．
（2）由（1）可知,从全市高中生中任意选取1人,其参加社区服务时间不少于90小时的概率为．
由已知得,随机变量的可能取值为,
则；；
；．
随机变量的分布列为
0
1
2
3
因为,所有．
考点：统计；随机变量的分布列与期望.
6【解析】（Ⅰ）由表中数据得的观测值
所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关．）
（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）
设事件为“乙比甲先做完此道题”
则满足的区域为
由几何概型
即乙比甲先解答完的概率为．
（Ⅲ）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种
可能取值为，，
，
1
的分布列为：
．
7【解析】（1）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件，则，互斥，
，，
.
（2）所有可能的取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
0
5
15
35
P
考点：独立事件的概率，数学期望.
8【解析】（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：
元件乙为正品的概率约为：
（Ⅱ）（1）随机变量的所有取值为，，，，而且
；；
；
所以随机变量的分布列为：
所以：
（2）设生产的件元件乙中正品有件，则次品有件，
依题意，，解得：，所以或，
设“生产件元件乙所获得的利润不少于元”为事件，则：
考点：古典概率；分布列和期望．
9.【解】(1)∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH.
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，∴SE＝SG，∴EG⊥SO.
又∵SO，FH平面SFH，SO∩FH＝O，∴EG⊥平面SFH.
又∵EG?平面SEG，∴平面SEG⊥平面SFH.
(2)法1：过O作OM⊥SH交SH于M点，连接EM，∵EO⊥平面SFH，∴EO⊥SH，
∴SH⊥平面EMO，∴∠EMO为二面角E－SH－F的平面角.
当AE＝时，即OE＝，Rt△SHO中，SO＝5，SH＝，∴OM＝，
Rt△EMO中，EM＝，cos∠EMO＝.
所以所求二面角的余弦值为。
法2：由(1)知EG⊥FH，EG⊥SO，并可同理得到HF⊥SO，故以O为原点，分别以OF，
OG，OS所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O－xyz，
在原平面图形中，AE＝，则底面正方形EFGH的对角线EG＝5，
∴，
在原平面图形中，可求得，在Rt△SOE中，可求得，
设平面SEH的一个法向量为，则得，
令x＝2，则
∵EG⊥平面SFH，∴是平面SFH的一个法向量，设二面角E－SH－F的大小为θ，
则cosθ＝，∴二面角E－SH－F的余弦值为.
10.【解析】（1）∵平面，平面，∴．
∵，，∴．
∴，∴，
∵平面，∴平面平面．
如图，以点为原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，
则，设，则．
，
设，则，为面的法向量．
设为面的法向量
，则，
即，取，则，
于是，．
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角为．
考点：1、面面垂直的判定；2、线面角的计算；3、空间向量的计算．
11.【解析】（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△，可知CD=6，，BD=8，即，故．
因为平面⊥平面，平面平面=，平面，
所以平面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，
如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．
则，，，．
由于E是线段AD的中点，
所以，．
在平面中，，，
设平面法向量为，所以
，即，
令，得，．
设直线与平面所成角为，则
．
故直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，而平面的法向量为，
故
，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
考点： 用空间向量求平面间的夹角 直线与平面垂直的判定
12．【解析】（Ⅰ）证明：设为的中点，连接，则
∵，，，∴四边形为正方形，
∵为的中点，∴为的交点，∵，
∴，
∵，∴，，
在三角形中，，∴，
∵，∴平面；
（Ⅱ）方法1：连接，∵为的中点，为中点，
∴，
∵平面，平面，∴平面．
方法2：由（Ⅰ）知平面，又，所以过分别做的平行线，以它们做轴，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：
，，
，，，
，
则，，，．
∴∴
∵平面，平面，∴平面；
（Ⅲ）
设平面的法向量为，直线与平面所成角，
则，即，
解得，令，则平面的一个法向量为，
又则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
考点：1．直线与平面平行的判定；2．直线与平面垂直的判定；3．直线与平面所成的角．
13解：（Ⅰ）∵函数，其定义域是，
∴，
，，∴，
∴当时，；当1时，.
∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.
∴当时，取得最大值，其值为，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知的最大值为，
①
当时，，若,
则,
即.
此时，函数与轴只有一个交点，故函数只有一个零点；
②
当时，，又,
,
∴函数与轴有两个交点，故函数有两个零点；
③
当时，，函数与轴没有交点，故函数没有零点.
（Ⅲ）∵，
∴.
又
.　
不妨设，要证明，
即证明
即需证明，
由可得
∴
需证明．
即需证.
令，则，
∴在上是增函数．
∴当时，，
又，∴，
∴，　　　　　
∴，
即.
【选题理由】本题是构造新函数问题较为典型的问题，而且本题提出了一种研究二元不等式的重要技巧，化多元为少元.
14解：(Ⅰ)设直线与的图象相切于点，由于，
∴，
∵直线过点，
∴，
即，
解得，
∴切线的方程为.
(Ⅱ)设，
∴，
当时，，当时，，
∴在时取极小值，也是最小值.
∴要使原不等式成立，则，
∴，
故的最大值是.
（Ⅲ）由条件可知，函数，
，
∴在上单调递增，
令得，
画出与的大致图象可知，有唯一实数根，
且当时，，当时，，
又有唯一零点，∴，
∴，，
故，
设，，
则在上单调递增，
又∵，，
∴，
由零点存在性定理可知.
【选题理由】第Ⅰ问是过曲线外一点求曲线的切线方程的代表方法；第Ⅱ问是求解不等式恒成立问题的典型方法；第Ⅲ巧妙运用了导数零点的设而不求技巧.
15解：（Ⅰ）因为，所以．
因为函数的图像在点处的切线斜率为3，
所以，即．
所以．
（Ⅱ）由（1）知，，
所以对任意恒成立，即对任意恒成立．
令，
则，
令，
则，
所以函数在上单调递增．
因为，
所以方程在上存在唯一实根，且满足．
当，即，当，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故整数的最大值是3．
（Ⅲ）证明1：由（2）知，是上的增函数，
所以当时，．
即．
整理，得．
因为，
所以．
即．
即．
所以．
证明2：构造函数，
则．
因为，所以．
所以函数在上单调递增．
因为，
所以．
所以．
即．
即．
即．
所以．
【选题理由】本题将函数零点的存在性定理、导数零点的设而不求和二元不等式的证明融为一体，是一道很漂亮的试题.
16解：（Ⅰ）函数的定义域为.
，
令，则在上递增，在上递减，
.当时，，
在上恒成立.
即当时,函数在定义域上单调递增。
（Ⅱ）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.
（2）当时，，时，
时，时，函数在上无极值点。
（3）当时，解得两个不同解，.
当时，，，
此时在上有唯一的极小值点.
当时，
在都大于0
，在上小于0
，
此时有一个极大值点和一个极小值点.
综上可知，时，在上有唯一的极小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，函数在上无极值点。
（Ⅲ）
当时，
令则在上恒正，
在上单调递增，当时，恒有.
即当时，有，
对任意正整数，取得
【选题理由】本题给出了导数零点为无理式问题的求解方法，这类问题是导数问题中的一种重要题型.
17本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知
所以，设，则
因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值
当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值
解法二：易知，所以，设，则
（以下同解法一）
（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，
联立，消去，整理得：
∴
由得：或
又
∴
又
∵，即
∴
故由①、②得或.
【选题理由】本题是“求范围”和“求定值”问题典型问题.
18解:
（Ⅰ）由题意：
，解得，所求椭圆方程为
（Ⅱ）
方法一
设，，，且，
设直线的方程为，
④
将④代入＝1中整理，得
.
依题意，是上述方程的两个根，且，
∴
⑤
∵，，
，.
而
∴
即.
③
将⑤代入③整理，得.
⑥
由④、⑥消去得，这就是点所在的直线方程.
∴点总在定直线上.
【选题理由】本题实际上是求轨迹方程问题，此题解法较为特别，方法非常重要.
19解：（Ⅰ）由题可得，，设
则，，……………………2分
∴，∵点在曲线上，则，∴，从而，得.则点P的坐标为.
……………………5分
（Ⅱ）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为，………6分
则BP的直线方程为：.由得，设，则，
同理可得，则，.
………………9分
所以：AB的斜率为定值.
………………10分
（Ⅲ）设AB的直线方程：.
由，得，
由，得
P到AB的距离为，………………12分
则
。
当且仅当取等号
∴面积的最大值为.………………14分
【选题理由】本题综合性较强，运用了各种技巧和方法.
20解：（Ⅰ）根据抛物线的定义,由题意可得：动圆圆心的轨迹是以点为焦点，以定直线为准线的抛物线；………………………………………………………………………………………………2分
设
∵
点到准线的距离为,
∴
圆心的轨迹的方程为…………………………………………………………………………
4分
(Ⅱ)
∵,∴
设切点的坐标分别为,,则,
则过点的切线方程为，即，即
过点的切线方程为，即，即
∵过点的切线都过点
∴，
∴点,都在直线上
∴直线的方程为，即…………………………………………………6分
又因为点是直线上的动点,所以
∴直线的方程为,即
∴直线恒过定点…………………………………………………………………………………8分
联立得到
又因为点是直线上的动点,所以,即…①
则是①的二根
∴,
∴
………………………………………………………………………………10分
点到直线的距离是:
…………………………………………………11分
∴
即
面积的最小值是…………………………………………12分
【选题理由】导数、函数图象的切线，切点弦方程的求法等典型方法的综合应用，有启发性.
极坐标与参数方程参考答案
1解：（1）由题意，得曲线的普通方程为，其参数方程为为参数，又因为点的坐标为，所以点的坐标为，即；点的坐标为，即．
（2）由圆的参数方程，可设点，
于是
，
∴的范围是．
2解：（1）（为参数）.
（2）∵关于直线对称，∴的倾斜角互补，设的倾斜角为，则的倾斜角为，把直线（为参数）代入并整理得：，根据韦达定理，，即.
同理，得.∴，
即.（10分）
3解：（1）由（为参数）消去参数得：
故动点A的普通方程为；
（2）由（1）知，动点A的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
由展开得：,
∴的普方程为：.
要使圆上有四个点到的距离为1，则必须满足,解得.
4解：（1）直线l与曲线交点的直角坐标分别是（2cos，2sin），（2cos，2sin），即（1，），（，1）．
∴直线l的普通方程为，即x+y﹣=0.
（2）点P到直线l的距离d==．
∴当cosθ=﹣1时，d取得最大值=．
A
B
D
E
C