(共14张PPT)
第四章
因式分解
1
因式分解
用简便方法计算：
（1）
736×95+736×5
解
：736×95+736×5=736×（95+5）
=736×100=73600
（2）-2.67×
132+25×2.67+7×2.67
解：-2.67×
132+25×2.67+7×2.67
=2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267
-2.67×
132+25×2.67+7×2.67=
993-99能被100整除吗
小明是这样想的:
993-99=99×992-99
×1
=99
×(992-1)
=99
(99+1)(99-1)
=
99×100×98
所以,
993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗
想一想:
993-99还能被哪些整数整除
答：
98，
99
探究
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
用a表示任意一个大于1的整数，则：
上面式子化成了几个整式积的形式
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解定义
把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式
分解因式与整式乘法是互
为逆运算关系.
多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.
几个整式的积
分解因式，也叫因式分解。
做一做
计算下列个式:
3x(x-1)=
_____
(m+4)(m-4)=
____
(y-3)2=
_______
根据左面的算式填空:
3x2-3x=_______
m2-16=__________
(3)
y2-6y+9=______
(4)ma+mb+mc
=
m(a+b+c)
3x2-3x
ma+mb+mc
m2-16
y2-6y+9
3x(x-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
（4）
m(a+b+c)
=_________
左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算变形过程.
注意：
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a
（2）4x
y–8xy
+1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a
–ab
（4）2a
–2b
=2(a–b)
2
2
2
2
2
2
答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
的值
求
时，
１当
ac
ab
c
b
a
-
=
=
=
386
.
1
,
386
.
2
,
14
.
3
解:
ab-ac=a(b-c)
当a=3.14,
b=2.386,
c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14
能力提升
拓展应用
2.
20082+2009能被2008整除吗
解:
∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008
×2009
∴
20082+2009能被2009整除
３．（随堂练习p94１、２）
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
规律总结
对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作业：
1.
书94页3,4,5
2.
数学练习册通信双方为了保密，内部有一套秘密约定，这个秘密约定叫做密钥．如果他人掌握了这把秘密钥匙，就可以破译通信双方的秘密．
1976年，美国两位数学家提出了一个编码学中的新颖想法：应该有一种编码方法，即使把编码方法与密钥公之于众，别人也无法破译．第二年，他们的三位同事找到了一种实施办法，这种新的编码方法叫做RSA码，这名称由三位发明者姓氏的头一个字母组成．
1977年，当三位美国学者提出RSA码的时候，他们曾经预言：随意制造一个百位数字的密码，人们要破译它，至少需要两万年，即使计算机的性能提高百倍，也需要不间断地工作二三百年．
要破译128位数字密码，解这个密码的钥匙就藏在N=129位数字的两个素数因子之中．要分解N，大约需要23000年，但不到18年，这个密码就被人破译，意思是：“The
magic
words
are
squeamish
ossifrage”——“谜一般的词是令人毛骨悚然的秃鹰”．
破译的关键是把RSA分布的N=129位数字分解出来了．
RSA—129为什么会如此快地被分解了呢？原来是全世界20多个国家的600多位因数分解迷自发地联合起来，利用计算机网络，同时进行分解活动，并不断地交流信息，汇总计算结果，用了不到一年的时间，便将RSA—129分解成64
在数学上也不乏无声胜有声这种意境。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐走上讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是267–1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？
因为科乐解决了200年来一直没弄清的问题，即267–1是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了267–1不是质数，而是合数。
科乐只作了一个简短的无声的报告,可这是他花了3年中全部星期天的时
间,才得出的结论。在这简单算式中所蘊含的勇气。毅力和努力,比洋洋洒洒的
万言报告更具魅力。1、有公因式但不提取
分解因式：
错解：=（6x–3）2
错误原因：分解时没有首先考虑提取公因式，故分解不彻底．
正解：=9（4x2–4x+1）=9（2x–1）2
2、乱套公式
分解因式：9a2–4b2
错解：9a2–4b2=（3a–2b）2
错误原因：将平方差公式与两数差的完全平方公式混为一谈，而出现张冠李戴的现象．
正解：9a2–4b2=（3a+2b）（3a–2b）
3、顾此失彼
分解因式：–3m2n+6mn–3n
错解：–3m2n+6mn–3n=3n(–m2+2m–1)
错误原因：首项中的负号没有提出，造成分解不彻底．
正解：–3m2n+6mn–3n=–3n(m2–2m+1)=–3n(m–1)2
4、乱去分母
分解因式：
错解：==
错误原因:将代数式的恒等变形与方程的同解变形混淆
正解:1
a“-ab+=b
a-28b+a
)=(a-b)2
2总体说明
因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学任务分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念
难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念（确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结
第一环节
复习回顾：
活动内容：下题简便运算怎样进行
问题1：736×95+736×5
2，-2.67×
132+25×2.67+7×2.67
设计意图：
观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。
第二环节
比较探究：
活动内容：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99
=
99×992-99
=
99(992-1)
∴993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99
=
99×992－99×1
=
99（992－1）
=
99（99+1）（99-1）
=
99×98×100
所以993-99能被100整除
活动目的：
以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。
想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
与同学交流。
（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）
小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
可以了解:
993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：
①你能理解吗 你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
②这样变形是为了达到什么样的目的？
活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗 ”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。
议一议：
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)=
；
（2）m(a+b-1)=
；
（3）（m+4）(m-4)=
；
（4）（y-3）2=
；
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x=
；
（2）ma+mb-m=
;
（3）m2-16=
；
（4）y2-6y+9=
．
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明
活动目的：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
第五环节
反馈练习
活动内容：
看谁连得准
x2-y2
.
(x+3)2
9-25
x
2
y(x
-y)
+6x+9
(3-5
x)(3+5
x)
xy-y2
(x+y)(x-y)
下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a
-3)=
a
2-9
（2）m
2-4=(
m+2)(
m-2)
（3）a
2-b2+1=(
a
+b)(
a
-b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。
第六环节
：小结
活动内容：（1）你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
（2）应该怎样认识“因式分解”？
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性。
巩固练习：课本第94页习题2.1第3，4,5题
四、教学反思
关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。(共17张PPT)
第四章
因式分解
回顾与思考
1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。
知识回顾
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
分解因式
方法
提公因式法
运用公式法
整式乘法
互为逆运算
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
平方差公式
完全平方公式
知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（
）。
A.
B.
C.
D.
B
A选项没有化成几个整式的积的形式;
B选项运用完全平方公式;
C选项属于整式乘法;
D选项没有化成几个整式的积的形式.
总结归纳
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
解：原式
⑵
解：原式
公因式既可以是单
项式，也可以是多
项式，需要整体把
握。
例3.把下列各式分解因式
⑴
⑵
解：原式
解：原式
⑶
⑷
解：原式
解：原式
知识点三：利用公式法分解因式
可以先化简整理，再
考虑用公式或其它
方法进行因式分解。
小试牛刀
练一练：把下列各式分解因式
⑴
解：原式
⑵
解：原式
连续两次使用公式
法进行分解因式。
当多项式形式上是二
项式时，应考虑用平
方差公式，当多项式
形式上是三项式时，
应考虑用完全平方公
式。
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
⑵
解：原式
解：原式
⑶
⑷
解：原式
解：原式
先观察是否有公因式，若有公因式提出后
看是否具有平方差公式或完全平方公式特
征，若有使用公式法；若都没有，则考虑
将多项式进行重新整理或分组后进行分解
因式。
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算
⑴
⑵
解：原式
解：原式
⑶
解：原式
例6.已知
，求
的值。
解：
例7.已知
，求
的值。
解：
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
(2)当R=7.5，r=1.25时，
S=πR2
–4πr2
=π(R+2r)(R
–2r)
=π(7.5+2×1.25)(7.5
–2×1.25)
=π×10×5=50π
解：(1)S=πR2
–4πr2
能力提升
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
活学活用
解：设正方形Ⅰ的边长为x
cm,正方形Ⅱ的边长为y
cm;
列方程得：
化简得：
整理得：
解得：
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100
x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
2.
解：x2+2x+1=(x+1)2
当x=-1时，
x2+2x+1取得最小值0。
3.解：100
x2-kxy+49y2
=(10x)2-kxy+(7y)2
所以k=±2×10×7=±140
例10.利用分解因式说明：
能被120整除。
提示：底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使用平方差公式则需要
转化底数。
解：
永攀高峰：
可以被60和70之间某两个自然数整除，
求这两个数。
答：这两个数分别为65和63。
解：
反复利用平方差公
式进行分解因式，
分解过程中需注意
题目中的条件要求，
分解因式“适可而止”。
作业
完成书上习题(共20张PPT)
第四章
因式分解
2
提公因式法（一）
一、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.
二、整式乘法与分解因式之间的关系
互为逆运算
计算：
问：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？
解：
如图：两个长和宽分别为a和m，b和m的长方形，合并成一个较大的长方形，求这个新长方形的面积？
认真观察等式两边各有什么特点？
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式
多项式
ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式
x
+4x呢？
多项式mb
+nb–b呢？
中各项的公因式是什么？
①多项式
②你能尝试将多项式
因式分解吗？
③
多项式
中各项的公因式是什么？
你认为怎样确定一个多项式的公因式？
例:
找
2
x
2
+
6
x
的公因式。
定系数
2
定字母
x
定指数
2
3
所以，公因式是
2
x
2
2
X
+
6
x
=
2
X
×1+
2
X2
×3
x=
2
X2
(1
+3
X)
2
3
2
如果一个多项式的各项含有公因式，那么
就可以把这个公因式提出来，从而将多项式
化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的
方法叫做提公因式法。
2
X
+
6
x
=
2
X
(1
+3
X)
2
3
2
（1）把
3a2-9ab分解因式.
温馨提示
分两步
第一步，找出公因式；
第二步，提取公因式
，
(即将多项式化为两个因式的乘积)
例1
解：原式
=3a a-3a 3b
=3a(a-3b)
例2
把
9x2–
6xy+3xz
分解因式.
=
3x·3x
-
3x·2y
+
3x·z
解：
=
3x
(3x-2y+z)
9x2
–
6
x
y
+
3x
z
例3（2）把
-24x3
–12x2
+28x
分解因式.
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
小颖解的有误吗？
把
8
a
3
b2
–12ab
3
c
+
ab分解因式.
解：
8
a3b2
–12ab3c
+
ab
=
ab·8a2b
-
ab·12b2
c
+ab·1
=
ab(8a2b
-
12b2c)
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1。
错误
提公因式法分解因式
正确的找出多项式各项的公因式。
注意：
1
多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2
当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
③
④
把下列各式分解因式：
看你能否过关？
a
提公因式法分解因式与单项式
乘多项式有什么关系？
提公因式法与单项式乘多项是
互为逆运算关系
2、确定公因式的方法：
小结与反思
3、提公因式法分解因式：
1、什么叫因式分解？
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（
把多项式化为两个因式的乘积）
1)定系数
2)定字母
3)定指数
1、
多项式是几项，提公因式后也剩几项。
2
、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1。
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
1、习题4.2
1,2,3题
小小数学家
今年是2006年，这儿有一道与2005有关的计算题。已知x3+x2+x+1=0，求1+x+x2+x3+…+x2006的值。聪明的同学，你能得到这个计算结果吗？（课余探索）
2.
思考：
公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例并尝试。
祝同学们：
天天快乐，
学业有成。一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在七年级下册第一章中已经学习过完全平方公式，将其逆用就是本节课所涉及的主体知识．对于公式逆用，学生已经不是第一次接触了，在上一节课中学生已经经历过将平方差公式逆用的过程，应该说是比较熟悉的。
学生活动经验基础：通过上节课的学习，学生积累了一定的学习经验。本节课的学习模式与前者基本相同：公式倒用，分析公式的结构特征，整体思想换元进行分解因式以及要求分解彻底。这些活动方法是学生非常熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用平方差公式进行因式分解的基础上，本节课又安排了用完全平方公式进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：
1．知识与技能：使学生了解运用公式法分解因式的意义；会用公式法（直接用公式不超过两次）分解因式（指数是正整数）；使学生清楚地知道提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式或完全平方公式进行分解因式．
2．过程与方法：经历通过整式乘法的完全平方公式逆向得出运用公式法分解因式的方法的过程，发展学生的逆向思维和推理能力。
3．情感与态度：培养学生灵活的运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会因式分解在数学学科中的地位和价值。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：复习回顾——学习新知——落实基础——范例学习——随堂练习——联系拓广——自主小结．
第一环节
复习回顾
活动内容：
活动目的：回顾完全平方公式，直入主题将完全平方公式倒置得新的分解因式方法．
注意事项：在上一课时平方差公式倒置学习的基础上，学生比较容易理解和接受此课时的学习铺垫内容．
第二环节
学习新知
活动内容：
活动目的：总结归纳完全平方公式的基本特征，讲授新知形如的多项式称为完全平方式．
注意事项：举例说明便于学生理解．同时归纳总结，由分解因式与整式乘法的互逆关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
第三环节
落实基础
活动内容：
1．判别下列各式是不是完全平方式．
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
结论：找完全平方式可以紧扣下列口诀：首平方、尾平方，首尾相乘两倍在中央；
完全平方式可以进行因式分解，
a2–2ab+b2=（a–b）2
a2+2ab+b2=（a+b）2
活动目的：加深学生对完全平方式特征的理解，为后面的分解因式做能力铺垫．
注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．
第四环节
范例学习
活动内容：
例1．把下列各式因式分解：
活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；
（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．
注意事项：灵活掌握完全平方式的特征成为运用公式法进行分解因式的关键，在运用整体法时，注意去括号后的符号变化和系数变化。
活动内容：
例2．把下列各式因式分解：
活动目的：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．
注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解.
2、把下列各式因式分解：
（1）m2–12mn+36n2
（2）16a4+24a2b2+9b4
(3）–2xy–x2–y2
（4）4–12（x–y）+9（x–y)2
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：当完全平方公式中的a与b
表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．
第六环节
联系拓广
活动内容：
1.
用简便方法计算：
2.将再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？
3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2
+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试 ”
活动目的：题1考察学生灵活应用能力，需要学生有一定的数感将拆成的形式，从而利用完全平方公式进行简便运算。题2是一道开放题旨在考察学生的分类讨论思想。题3难道较大，对学有余力的孩子可以适当引导学习。
注意事项：这3道习题的设置均有一定的难度，无需要求所有学生都能掌握，按学生自身能力分层学习即可。
第七环节
自主小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
结论：由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的完全平方公式与因式分解的完全平方公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
课后作业：完成课后习题；
拓展作业：两个连续奇数的平方差能被8整除吗？为什么？
四、教学设计反思
本节课我们学习了运用公式法分解因式的第二种方法，即逆用完全平方公式分解因式的方法，使用该方法的关键就是观察完全平方式的结构特征：两数的平方和与这两个数的乘积的2倍，具体应用时要特别关注第二项的符号。
把一个多项式进行因式分解的一般方法是：先看有无公因式可提取，然后再尝试用公式法分解因式，直到最终结果再也不能分解因式为止。
运算类型的课往往比较枯燥，学生容易产生浮躁的心理，不利于知识的掌握与运算能力的提高。本节课的设计尽量做了平实无华，将新知教学层层深入，适当的巩固练习，每一个环节让学生感觉不吃力。同时设计过程中注意题型的变化，引导学生暴露学习中的问题，这样易于激发学生的兴趣，使学生的思维不断被拓展，从而达到强化所学知识和提高能力的目的。(共18张PPT)
第四章
因式分解
3
公式法（一）
zxx````k
填空：
（1）（x+5）（x-5）
=
；
（2）（3x+y）（3x-y）=
；
（3）（3m+2n）（3m–2n）=
．
它们的结果有什么共同特征？
x
–25
2
2
2
9m
–4n
9x
–y
2
2
复习回顾
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
（x+5）（x-5）
（3x+y）（3x-y）
（3m+2n）（3m–2n）
将多项式
进行因式分解
因式分解
整式乘法
探究新知
谈谈你的感受。
整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。
这种分解因式的方法称为运用公式法。
（１）公式左边：
（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2)
公式右边:
（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
▲
▲
▲
说一说
找特征
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
(1)
m2
－81
(2)
1
－16b2
(3)
4m2+9
(4)
a2x2
－25y
2
(5)
－x2
－25y2
=
m2
－92
=
12－(4b)2
不能转化为平方差形式
＝
(ax)2
－(5y)2
不能转化为平方差形式
试一试
写一写
例1.分解因式：
先确定a和b
范例学习
解：原式
解：原式
1.判断正误：
a2和b2的符号相反
落实基础
（
）
（
）
（
）
（
）
√
×
×
×
2.分解因式：
分解因式需“彻底”！
把括号看作一个整体
能力提升
例2.分解因式：
解：原式
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
结论：
公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。
解：原式
方法：
先考虑能否用提取公因式法，再考虑能否用平方差公式分解因式。
解：原式
结论：
分解因式的一般步骤：一提二套
多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
巩固练习
1.把下列各式分解因式：
2.简便计算：
利用因式分解计算
例3.如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长
为b的正方形．用a
与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，
b=0.8时的面积．
联系拓广
解:a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8)
(3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R
cm和r
cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
问题解决
解:
R2-
r2
=
(R+r)(R-r)cm2
当R=8.45，r=3.45时,
原式=(8.45+3.45)
×(8.45-3.45)
×3.14
=186.83cm2
自主小结
从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
作业
完成课本习题
拓展作业：
你能尝试运用今天所学的知识解决下面的问题吗
你知道992-1能否被100整除吗？
Zx````xk
如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。
再攀高峰1.已知x2+x+1=0，求代数式x2006+x2005+x2004+...+x2+x+1的值。
2.实数a、b、c、x、y、z满足a本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．
二、教学任务分析
根据学生在上一节课的经验，学生只是对因式分解有了一个初步的印象和判断，而对于怎样把一个多项式进行因式分解还很茫然，相应的数学能力还有待于进一步加强和巩固．因此，本课时的教学目标是：
1.使学生了解因式分解的意义，了解因式分解和整式的乘法是整式的两种相反方向的变形。
2.让学生会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法进行因式分解。
3.通过与质因数分解的类比，让学生感悟数学中数与式的共同点，体验数学的类比思想；通过对公因式是多项式时的因式分解的教学，培养“换元”的意识。
教学重点：因式分解的概念及提公因式法的应用。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：温故知新——想一想——议一议——试一试——做一做——想一想——反馈练习．
第一环节
温故知新
活动内容：计算：采用什么方法？依据是什么？
活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
第二环节
想一想
活动内容：
多项式
ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式
3x2+x呢？多项式mb2+nb–b呢？
结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．
活动目的：在学生能顺利地寻找数的公因数之后，再引导学生采用类比的方法在多项式中寻找相同的因式．
第三环节
议一议
活动内容：
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？那多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？
结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；
（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．
活动目的：公因式由简单到复杂，由于第一个多项式提供的比较简单，寻找的公因式不具备归纳的条件，而后面所提供的寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式只是多了含字母y的因式，对比前一个公因式，通过寻找多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式，可顺利的归纳出确定多项式各项公因式的方法，培养学生的初步归纳能力
具备了归纳出怎样寻找多项式各项公因式的条件，培养学生的初步归纳能力．
第四环节
试一试
活动内容：
将以下多项式写成几个因式的乘积的形式：
（1）ab+ac
（2）x2+4x
（3）mb2+nb–b
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
活动目的：
让学生尝试着使用因式分解的意义以及提公因式法的定义进行几个简单的多项式的分解，为过渡到较为复杂的多项式的分解提供必要的准备．
第五环节
做一做
活动内容：将下列多项式进行分解因式：
（1）3x+
（2）7x–21
（3）8a3b2–12ab3c+ab
（4）–24x3+12x2－28x
先让学生思考这些问题，然后教师在教学中注意讲清确定公因式的具体步骤，从系数、字母和字母的次数3个方面进行分析；讲完后要分析公因式和另一个因式之间的关系，并思考：如果提出公因式，另一个因式是否还有公因式？从而把提取公因式的“提”的具体含意深刻化。
最后学生归纳：提取公因式的步骤：
（1）找公因式；
（2）提公因式．
易出现的问题：（1）第二题只提出7x作为公因式
（2）第（3）题中的最后一项提出ab后，漏掉了“+1”；
（3）第（4）题提出“–”时，后面的因式不是每一项都变号．
教师提醒：（1）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；
（2）因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数是否相同；
（3）如果多项式的首项为“–”时，则先提取“–”号，然后提取其它公因式；
（4）将分解因式后的式子再进行单项式与多项式相乘，其积是否与原式相等．
活动目的：根据用提公因式法进行因式分解时出现的问题，在教师的启发与指导下，学生自己归纳出提公因式的步骤及怎样预防提取公因式时出现类似问题，为提取公因式积累经验．
第六环节：想一想：提公因式法因式分解与单项式乘多项式有什么关系？
活动目的：通过学生的回顾与思考，强化学生对确定公因式的方法及提公因式法的步骤的理解，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比的数学思想的理解。
第七环节：反馈练习
活动内容：
1、找出下列各多项式的公因式：
（1）4x+8y
（2）am+an
（3）48mn–24m2n3
（4）a2b–2ab2+ab
2.把下列各式因式分解：（随堂练习）
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对公因式概念的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．通过查缺补漏强化学生确定公因式的方法及提公因式法的步骤，能熟练地利用提公因式法分解因式。
四、教学反思
由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简，比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程、二次根式化简等中都要用到因式分解的知识。因此应该注重因式分解的概念和方法的教学。知识要点
1.
思想方法提炼
（1）直接用公式。如：x2－4＝（x＋2）（x－2）
（2）提公因式后用公式。如：ab2－a＝a（b2－1）＝a（b+1）（b－1）
（3）整体用公式。如：
（4）连续用公式。如：
（5）化简后用公式。如：
（a＋b）2－4ab
＝a2＋b2＋2ab－4ab
＝（a－b）2
（6）变换成公式的模型用公式。如：
2.
注意事项小结
（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。然后再考虑运用公式法
（2）要熟悉三个公式的形式特点。灵活运用对多项式正确的因式分解。
（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。
3.
考点拓展研究
a.
分组分解法
在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分解。
b.
用整体思想分解因式
在分解因式时，要建立一种整体思想和转化的思想。
【典型例题】
例1.
解：
例2.
解：
例3.
解：
例4.
解：
例5.
解：
例6.
解：
例7.
解：
例8.
精析：后三项提负号后是完全平方式。和原来的16a2正好可继续用平方差公式分解因式。
解：一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是(
)
A.a2b2－1
B．4－0．25a2
C．－a2－b2
D．－x2+1
2．如果多项式x2－mx+9是一个完全平方式,那么m的值为(
)
A．－3
B．－6
C．±3
D．±6
3．下列变形是分解因式的是(
)
A．6x2y2=3xy·2xy
B．a2－4ab+4b2=(a－2b)2
C．(x+2)(x+1)=x2+3x+2
D．x2－9－6x=(x+3)(x－3)－6x
4．下列多项式的分解因式，正确的是（
）
A．
B.
C.
D.
5．满足的是（
）
A.
B.
C.
D.
6．把多项式分解因式等于（
）
A
B
C、m(a-2)(m-1)
D、m(a-2)(m+1)
7．已知多项式分解因式为，则的值为（
）
A、
B、
C、
D、
8、若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（
）
A.
11
B.
22
C.
11或22
D.
11的倍数
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．多项式－2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
10．分解因式：__________
11．完全平方式
12．利用分解因式计算:32003+6×32002－32004=_____________．
13．若，则_________
14．若，则p=
，q=
。
15．已知，则的值是
。
16．已知正方形的面积是
（x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式
。
三、解答题：（共52分）
17：分解因式（16分）
（1）(x2+2x)2+2(x2+2x)+1
（2）
（3）
（4）
18．
计算（每小题4分，共8分）
（1）2022+1982
（2）
19．已知x2－2(m－3)x+25是完全平方式,你能确定m的值吗 不妨试一试．（6分）
20．先分解因式,再求值：（6分）
已知，求的值。
21．不解方程组，求的值。（8分）
22．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（8分）
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是
，共应用了
次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+
x(x+1)2004，则需应用上述方法
次，结果是
.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+
x(x+1)n(n为正整数).
参考答案：
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
B
C
C
D
A
二、填空题：
9：2x
10:2x(x+3)(x-3)
11:±12xy,2x±3y
12：0
13：(6x-4y)2
14：-2、-8
15：7
16：3x+y
三、解答题：
17：(1)（x+1）4
(2)(m-n)2(m+2)(m-2)
(3)
(4)8(a-b)2(a+b)
18：（1）80008
（2）
19：m=8或m=-2
HYPERLINK
"file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image008.emz"
\t
"_blank"
HYPERLINK
"file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image006.wmz"
\t
"_blank"
HYPERLINK
"file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image004.wmz"
\t
"_blank"
HYPERLINK
"file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
\t
"_blank"
HYPERLINK
"file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msoclip1/01/clip_image001.wmz"
\t
"_blank"总体说明
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：
学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：
1.会用提取公因式法进行因式分解．
数学能力：
2.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．
3.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．
4.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．
情感与态度：
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．
三、教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项
的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
四、教学重难点
教学重点:用提公因式法把多项式分解因式
教学难点:探索多项式因式分解方法的过程
五、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．
第一环节
回顾与思考：复习提公因式法及注意事项
活动内容：把下列各式因式分解：
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
+9b
(3)
(4)
活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。
第二环节
探索新知（
例题讲解）
活动内容：因式分解：（1）a（x–3）+2b（x–3）
（2）
活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x –3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x –3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解．
第三环节
练一练
1、x(a+b)+y(a+b)
2、3a(x-y)-(x-y)
3、6(p+q)2-12(q+p)
4、a(m-2)+b(2-m)
做一做
活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a=
（a–2）
（2）y–x=
（x–y）
（3）b+a=
（a+b）
（4）（b–a）2=
（a–b）2
（5）–m–n=
（m+n）
（6）–s2+t2=
（s2–t2）
活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
此时由学生归纳所得规律：
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；
（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“ –”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．
第四环节
例题讲解
活动内容：将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x）
（2）3（m–n）3–6（n–m）2
活动目的：
有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．
第五环节
反馈练习
活动内容：
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b）
（2）3a（x–y）–（x–y）
（3）6（p+q）2–12（q+p）
（4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）2+3（x–y）
（6）mn（m–n）–m（n–m）2
活动目的：学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
第六环节
问题解决：
活动内容：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为，第二块草坪面积为
，第三块草坪面积为，求这三块草坪的总面积。
活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．
第七环节
小结思考
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
活动目的：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．
通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．
作业练习：课本第98页习题4．3第1，2题．
六、教学反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．一、确定公因式的方法
用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：
第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；
公因式系数是各项系数的最大公约数；
公因式中的字母是各项都含有的字母；
公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；
若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；
6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出．
二、提出公因式时易出现的错误
1、提公因式时丢项
分解因式：
错解：=2ab（2a–3b）
错误原因：误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略．
正解：=2ab（2a–3b+1）
2、提公因式时不完全提取
分解因式：6（a–b）2–12（a–b）
错解：6（a–b）2–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）
错误原因：没有按提取公因式的规则找出公因式：即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积．
正解：6（a–b）2–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）
3、提取公因式后，有同类项不合并
分解因式：x(x+y)2–x(x+y)(x–y)
x+y)=2xy(x+y)把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、
提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、
分解因式x3
-2x
2-x
x3
-2x2
-x=x(x2
-2x-1)
2、
应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2
+4ab+4b2
解：a2
+4ab+4b2
=（a+2b）2
3、
分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m2
+5n-mn-5m
解：m2
+5n-mn-5m=
m
2-5m
-mn+5n
=
(m2
-5m
)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、
十字相乘法
对于mx2
+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x2
-19x-6
分析：
1
×7=7,
2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x2
-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2
+6x-40
解x2
+6x-40=x2
+6x+(
9)
-(9
)
-40
=(x+
3)2
-(7
)
2
=[(x+3)+7]
[(x+3)
–
7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、
换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x4
–x3
-6x2
-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)
解：2x
4–x3
-6x2
-x+2=2(x4
+1)-x(x2
+1)-6x2
=x2
{2[x2
+
()2]-(x+
)-6}
令y=x+
,
x2
{2[x2
+(
)2]-(x+)-6}
=
x2
[2(y2
-2)-y-6]
=
x2
(2y2
-y-10)
=x
2(y+2)(2y-5)
=x2
(x+
+2)(2x+
-5)
=
(x2
+2x+1)
(2x2
-5x+2)
=(x+1)2
(2x-1)(x-2)
8、
求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2
,x3
,……xn
,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1
)(x-x
2)(x-x3
)……(x-xn
)
（一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根）
例8、分解因式2x4
+7x3
-2x2
-13x+6
解：令f(x)=2x4
+7x3
-2x2
-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为
，-3，-2，1
,
则2x
+7x
-2x
-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、
图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的）
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x1
,x2
,x3
,……xn
，则多项式可因式分解为
从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4
所以
解得
则x4
–x3
-5x2
-6x-4
=(x
2+x+1)(x2
-2x-4)
f(x)=
f(x)=(x-x1
)(x-x2
)(x-x3)……(x-xn
)
例9、因式分解x3
+2x2
-5x-6
解：令y=
x3
+2x2
-5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x3
+2x
2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、
主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a2
(b-c)+b2
(c-a)+c2
(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a2
(b-c)+b2
(c-a)+c2
(a-b)=a2
(b-c)-a(b2
-c
2)+bc(b-c)
=(b-c)
[a2
-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、
利用特殊值法
将2或10（或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x
3+9x2
+23x+15
解：令x=2，则x3
+9x
2+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x3
+9x2
+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。1．你知道992-1能否被100整除吗？
2．如图，在边长为6.8cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积。
3．如图，在一个边长为13.75米的正方形的苗圃中央建一个边长为6.25米的正方形的花坛，花坛上种植鲜花，在苗圃上，花坛的周围种草，问草地的面积有多大？你是怎么做的，能用简便方法吗？一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：
通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．
二、教学任务分析
学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。
本节课的具体教学目标为：
1．知识与技能：
（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性；
（2）会用平方差公式进行因式分解；
（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解
2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．
3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。
三、教学过程分析
本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．
第一环节
复习回顾
活动内容：填空：
（1）（x+5）（x–5）
=
；
（2）（3x+y）（3x–y）=
；
（3）（3m+2n）（3m–2n）=
．
它们的结果有什么共同特征？
尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：
活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．
注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．
第二环节
探究新知
活动内容：谈谈你的感受。
结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。
活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。
注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。
活动内容：
说一说
找特征
(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）
★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（ ）２－（ ）２的形式。
(2)
公式右边:（是分解因式的结果）
★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。
试一试
写一写
下列多项式能转化成（ ）２－（ ）２的形式吗？
如果能，请将其转化成（ ）２－（ ）２的形式。
活动目的：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。
注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。
第三环节
范例学习
活动内容：例1把下列各式因式分解：
（1）25–16x2
（2）9a2–
活动目的：教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。
注意事项:
使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．
第四环节
落实基础
2、把下列各式因式分解：
活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．
注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标．最后一题分解因式强调分解需彻底。
活动目的：进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。
注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。
2.简便计算
活动目的：本课时设置的第二个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用能力。
注意事项：在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误．
第七环节
联系拓广
教学内容：
例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a
与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
问题解决：如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R
cm和r
cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？
活动目的：本课时的第3个例题讲解环节，旨在对因式分解进行实际应用问题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌握情况。
注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．
第八环节
自主小结
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．
注意事项：学生认识到了以下事实：
（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；
（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；
（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；
课后作业：完成课本习题
四、教学设计反思
探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：
1
本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。
2
有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．
3．保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。(共14张PPT)
第四章
因式分解
2
提公因式法（二）
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
复习：提公因式法
2、
公因式的系数是多项式各项__________________;
3、
字母取多项式各项中都含有的____________;
4、
相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
想一想：提公因式法分解因式与单项式
乘多项式有什么关系？
把下列各式分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
分解因式：
思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？
回忆搭桥
公因式
是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
找找上面各式的公因式，并尝试把他们因式分
例2:把（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2）
分解因式
解:（1）
a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b)
=y(x+1)(1+xy+y)
(2)
练一练：
1、x(a+b)+y(a+b)
2、3a(x-y)-(x-y)
3、6(p+q)2-12(q+p)
4、a(m-2)+b(2-m)
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立：
(a-b)
=___(b-a);
(2)
(a-b)2
=___(b-a)2;
(3)
(a-b)3
=___(b-a)3;
(4)
(a-b)4
=___(b-a)4;
(5)
(a+b)5
=___(b+a)5;
(6)
(a+b)6
=___(b+a)6.
+
－
－
+
+
+
(7)
(a+b)
=___(-b-a);
-
(8)
(a+b)2
=___(-a-b)2.
+
由此可知规律：
(1)a-b
与
-a+b
互为相反数.
(a-b)n
=
(b-a)n
(n是偶数）
(a-b)n
=
-(b-a)n
(n是奇数）
(2)
a+b与b+a
互为相同数,
(a+b)n
=
(b+a)n
(n是整数）
a+b
与
-a-b
互为相反数.
(-a-b)n
=
(a+b)n
(n是偶数）
(-a-b)n
=
-(a+b)n
(n是奇数）
请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1)
2-a=
(a-2)
(2)
y-x=
(x-y)
(3)
b+a=
(a+b)
－
(6)-m-n=
(m+n)
(5)
–s2+t2=
(s2-t2)
(4)
(b-a)2=
(a-b)2
(7)
(b-a)3=
(a-b)3
－
＋
＋
－
－
－
开阔视野
分解下列因式
随堂练习p98
小结
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如:
a-b
和
-b+a
即
a-b
=
-b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如:
a-b
和
b-a
即
a-b
=
-（a-b）
某大学有三块草坪，第一块草坪面积为
第二块草坪面积为
，第三块草坪面积为
，求这三块草坪的总面积。
P98
1,
2
1.
提公因式法是最基本的分解因式的方法之一，其一般步骤是什么？
2.
提公因式法的关键是什么？
3.
检验分解因式正误的方法有那些？(共17张PPT)
第四章
因式分解
3
公式法（二）
现在我们把完全平方公式反过来，可得：
两个数的平方和，加上
这两个数的积的两倍，等于这两数和
的平方．
完全平方公式：
（或减去）
（或者差）
复习回顾
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两数和（或者差）的平方．
形如
的多项式称为完全平方式.
学习新知
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。
平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
完全平方公式法：适用于完全平方式
完全平方式的特点：
1．判别下列各式是不是完全平方式．
不是
是
是
不是
是
落实基础
2.请补上一项，使下列多项式成为完全平方式．
例1.把下列完全平方式分解因式:
找到完全平方式中的“头”和“尾”，确定中间项的符号。
范例学习
解:原式
解：原式
解:原式
解：原式
完全平方式中的“头”和“尾”，可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式。
例2.把下列各式分解因式:
若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式。
解:原式
解：原式
1.判别下列各式是不是完全平方式，若是说出
相应的
各表示什么？
是
不是
不是
是
不是
是
随堂练习
2.
把下列各式分解因式：
1.
用简便方法计算：
联系拓广
2.将 再加上一个整式，使它成为完全平方式，你有几种方法？
3.一天,小明在纸上写了一个算式为4x2
+8x+11,并对小刚说:“无论x取何值,这个代数式的值都是正值,你不信试一试 ”
从今天的课程中，你学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
你认为分解因式中的平方差公式以及完全平方公式与乘法公式有什么关系？
自主小结
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法．
（1）形如________________形式的多项式可以用完全平方公式分解因式。
（3）因式分解要_________
（2）因式分解通常先考虑______________方法。再考虑____________方法。
提取公因式法
彻底
运用公式法
课后作业
完成课后习题4.5中1、2题
拓展作业：
两个连续奇数的平方差能被8整除吗？
为什么？代数诊所里来了两个整式：胖子和瘦子，他俩一进门就对医生诉说起来：“我们俩从来没有生活在一起，长得一点也不像，可有人偏说我俩是双胞胎，我俩今天来的目的就是想检查一下，我们到底是不是双胞胎．”
医生点点头：“你俩跟我来！”然后把胖子送到一台机器前，机器上方写着“分解因式机”，他把送到机器面前一照，图像很快就在屏幕上显示出来．
惊讶地叫起来：“怎么图像与我是一模一样呀？这是怎么回事呀？”
医生说：“这没有什么奇怪的，你们俩其实就是双胞胎，只不过你通过了这种分解因式机整过容罢了．”
“真的？”指着说：“那他能不能也到分解因式机里整容？”
“当然可以，他整容后的形象与你一模一样．”
“那我要是想现在整成他的那个样子，行不行？”
“行！”医生肯定地说．
“那咋整？”
医生把他带到这台机器的后面，只见上面写着：“整式乘法机”，医生说：“如果到这个整式乘法机里再整一次容，你就又变成他那个样子了，也就是你以前的样子．”
“那分解因式与整式的乘法两种手术是不是互逆的关系？”
“对，你真聪明！”
“那手术会失败吗？”
“手术可能会失败，但那是在庸医手里，在高明的医生手里是不会失败的．”
“怎么会这样呢？”一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.
学生活动经验基础：
在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．
2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
3．情感与态度：通过因式分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳
——能力提升――活学活用——永攀高峰．
第一环节
知识回顾
活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。
活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．
注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
A.
B.
C.
D.
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：引导学生说出相应的理由．
活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
⑵
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
⑷
活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．
注意事项：前五题学生完成得较好，但最后一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。
第三环节
小试牛刀
活动内容：练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2
（2）
活动目的：
连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
注意事项：区分两个公式法分解因式。
第四环节
总结归纳
活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
⑷
活动目的：
考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。
注意事项：先观察是否有公因式，若有公因式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。
活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴
⑵
⑶（–2）101+（–2）100
例6．已知
，求
的值。
例7.已知x+y=1，求的值．
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
活动目的：使学生了解因式分解在计算中的作用，例5考察分别考察运用公式法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第五环节
能力提升
活动内容：知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．
第六环节
活学活用
活动内容：练一练
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100
x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。
注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。
第七环节：
永攀高峰
活动内容：例10.利用分解因式说明：
能被120整除。
练一练：
可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。
活动目的：
利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学习。
注意事项：
练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、\
课后练习：完成课后习题。
四、教学设计反思
在因式分解的几种方法中，提取公因式法师最基本的的方法，学生也很容易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。
培养学生的整体观念，灵活运用公式的能力。注重总结做题步骤。这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。
