课件11张PPT。第一节 等腰三角形(一)第一章 三角形的证明1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;
3. ____________对应相等的两个三角形全等; （SAS）
4. ____________对应相等的两个三角形全等; （ASA）
5. _____对应相等的两个三角形全等; （SSS）
你能证明下面的推论吗？
推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）耐心填一填，一锤定音！基本事实:同位角同位角两边及其夹角两角及其夹边三边用心想一想，马到功成 推论 两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）议一议, 做一做(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗? 如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足. 定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.证明：取BC的中点D, 连接AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, BD=CD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SSS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）一题多解证法一:等腰三角形的性质等腰三角形的性质已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵ AB=AC, ∠BAD=∠CAD, AD=AD
∴ △ABD≌△ACD (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）一题多解证法二:定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)等腰三角形的性质已知：如图, 在△ABC中, AB=AC.
求证：∠B=∠C.证明：在△ABC和△ACB中
∵ AB=AC, ∠A=∠A, AC=AB,
∴ △ABC≌△ACB (SAS)
∴ ∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）一题多解证法三z x xk: 点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。定理: 等腰三角形的两个底角相等. (等边对等角)想一想 在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论? 推论: 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合. (三线合一) 1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；
等腰三角形的性质 2. 如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证： △ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.大胆尝试，练一练！ 1. 通过折纸活动获得三个定理，均给予了严格的证明，为今后解决有关等腰三角形的问题提供了丰富的理论依据。
2. 体会了证明一个命题的严格的要求，体会了证明的必要性。课堂小结, 畅谈收获：课件13张PPT。第一节 等腰三角形(三)第一章 三角形的证明想一想问题1.等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题
的题设和结论分别是什么？
问题2.我们是如何证明上述定理的？
问题3.我们把性质定理的条件和结论反过来还成立么？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等？
前面已经证明了等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗?议一议已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC． 分析：只要构造两个全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了. 作角A的平分线，或作BC上的高，都可以把△ABC分成两个全等的三角形． 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(等角对等边.) 等腰三角形的判定定理：在△ABC中
∵∠B＝∠C（已知），
∴AB=AC（等角对等边）.几何的三种语言练习1 如图，∠A =36°，∠DBC =36°，∠C =72°，图中一共有几个等腰三角形？找出其中的一个等腰三角形给予证明．
随堂练习 练习2：
已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
AD∥BC且∠1=∠2．
求证：AB=AC．随堂练习 想一想 小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗? 我们来看一位同学的想法：
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等．
假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC
你能理解他的推理过程吗? 再例如，我们要证明△ABC中不可能有两个直角，也可以采用这位同学的证法.
假设有两个角是直角，不妨设∠A=90°，∠B=90°，
可得∠A+∠B=180°，但△ABC中∠A+∠B+∠C=180°
“∠A+∠B=180°”与“∠A+∠B+∠C=180°”相矛盾，
因此△ABC中不可能有两个直角． 上面的证法有什么共同的特点呢? 在上面的证法中，都是先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．我们把它叫做反证法． 例1.证明:如果a1,a2,a3,a4,a5都是正数,且a1+a2+a3+a4+a5=1,那么,这五个数中至少有一个大于或等于1/5.用反证法来证:
证明:假设这五个数全部小于1/5,那么这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5就小于1.这与已知这五个数的和a1+a2+a3+a4+a5=1相矛盾.因此假设不成立, 原命题成立,即这五个数中至少有下个大于或等于1/5.1.用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角
已知：△ABC．
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角．证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，
所以∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．z x xk活动与探究 1.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长. . 分析：要求△AMN的周长，则需求出AM+MN+AN，而这三条边都是未知的．由已知AB=12，AC=18，可使我们联想到△AMN的周长需转化成与AB、AC有关系的形式．而已知中的角平分线和平行线告诉我们图形中有等腰三角形出现，因此，找到问题的突破口． 2.现有等腰三角形纸片,如果能从一个角的顶点出发,将原纸片一次剪开成两块等腰三角形纸片,问此时的等腰三角形的顶角的度数? 36° 90° 108°活动与探究 （1）本节课学习了哪些内容？
（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？
（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判
定的区别和联系．
（4）举例谈谈用反证法说理的基本思路课堂小结课件13张PPT。第一节 等腰三角形(二)第一章 三角形的证明想一想, 做一做 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的结论吗? 作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等． 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成求证：BD=CE．已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．例1. 证明: 等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成求证：BD=CE．一题多解大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．1. 证明: 等腰三角形两腰上的高相等.求证：BD=CE． 分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．大胆尝试，练一练！已知：如图，在△ABC中， AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．2. 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等.求证：BD=CE． 分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等． 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?想一想, 做一做议一议小结 简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.1. 求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.大胆尝试，练一练！随堂练习 及时巩固如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
证明:∵ △ABC和△BDE都是等边三角形∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD∴ △ABE≌△CBD∴AE=CD.将不全等的两个等边三角形△ABC和等边三角形△DEF任意摆放,请你画出不少于5种的摆放示意图,使得AE=CF,同时满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个),并说明理由.ABCFE课时小结 1.等腰三角形中还有那些相等的线段？
2.等边三角形有哪些性质？
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？课件14张PPT。第一节 等腰三角形(四)第一章 三角形的证明 (1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形?
(2)你认为有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗?你能证明你的结论吗?把你的证明思路与同伴交流．想一想 分析：有一个角是60°，在等腰三角形中有两种情况：(1)这个角是底角；(2)这个角是顶角．定理：有一个角是60°.的等腰三角形是等边
三角形．等边三角形的判定定理：求证：三个角都相等的三角形是等边三角形．
已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．
求证：△ABC是等边三角形．
证明：∵∠A=∠B，
∴BC=AC(等角对等边)．
又∵∠A=∠C，
∴BC=AB(等角对等边)．
∴AB=BC=CA，
即△ABC是等边三角形． 随堂练习等边三角形的性质和判定： 用含30°角的两个三角尺，你能拼成一个怎样的三角形?能拼出一个等边三角形吗?说说你的理由．
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?你能证明你的结论吗?做一做 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD．等腰三角形的底角为15°腰长为2a，求腰上的高． [例题]已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°,CD是腰AB上的高；
求：CD的长. 一个问题“反过来”思考，就可能形成一个真命题．你能举个例子吗?
例如“等边对等角”反过来“等角对等边”也是真命题；“等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°”，反过来“三个角都相等的三角形是等边三角形”．
但有些命题“反过来”就不成立．例“对顶角相等”反过来“相等的角是对顶角”就不成立．想一想试一试 命题“在三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”是真命题吗？如果是，请你证明它． 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A =30°，∴ BC =3.7（m）． 答：立柱BC 的长是3.7 m，DE 的长是1.85 m． 性质运用 例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB
的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，
∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？等边三角形性质： 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.定理：在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.课时小结 课时小结 1、等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类的思想方法．2、推理证明了含30°角的直角三角形的边的关系.
