九年级上学期方差公式的妙用 学案

方差公式的妙用
一、知识回顾
若一组数据，，…的平均数为，方差为，则有
变形，得
由方差定义公式，显然有，当且仅当时，.这个变形后的方差公式很有用处，在解决有些问题中，巧妙地利用这个变形公式，往往让人耳目一新.
比如，已知两数和，则和两数的方差为
.
因此，当问题中具备平方和的特征时，不妨考虑采用方差公式试试看，或许会有不一样的体会.
二、公式应用
1.判断三角形的形状
例1设的三边为、、，满足：，，试问是什么三角形 并证明你的结论.
分析由题设可求得，的值及、的平均数，因此，、两数的方差可求.
解为等腰三角形.证明如下:
由已知，得
.
∴、两数的平均数，
、两数的方差为
∵，即，
即，
又
∴，，
∴此时，，故，
∴是以为底，以、为腰的等腰三角形.
2.解方程组
例2解方程组.
分析两个方程三个未知数，一般情况下是求不出具体的未知数的值的.但根据及的值就可以求出的值，这符合变形后的方差公式的特点.因此，考虑利用方差变形公式，通过求，两数的方差尝试解决问题.
解由题意，得
又，两数的平均数为，
∴，的方差为
∵，即
则，而
∴，
∴，此时，
∴原方程组的解为
3.求参数的值
例3设，，为的三边，且满足:
(1)；
(2)；
(3)，则整数.
分析由题设，可得
，，
有
故可以考虑通过计算，，三个数的方差进行求解;或者，，可以考虑通过计算，两数的方差进行尝试求解.
解由(2)，得，
∴，，三个数的平均数
又由(4)，得，，的方差为
∴
(也可由(2)(4)，得
所以，，
的方差为
∴）
由得
，
∴，
∴
又为正整数，
∴，
4.解多元方程
例4解方程:
.
分析通过换元法构造出两数的平方和形式，并通过计算这两数的方差进行求解.
解设，，
则，
∴原方程可化为，
∴.
∴，两数的方差为:
∵
∴，即
∴，且，
从而得到，
故，
经检验，是原方程的解.
5.证明等式
例5已知实数、、满足，，求证.
分析根据，得出，可求出，两数的平方和，故可考虑通过计算，两数的方差进行探究.如果得出方差为0，则自然得出，命题就成立.
证明由已知，得，
∴
∴，两数的方差为
∵，即
∴
此时，故有.
6.求函数的最值
例64实数、满足，设，则的最大值为
分析从形式看，容易使我们联想到求，两数的方差公式.因此，不妨用方差公式尝试解答.
解由，得
∴，两数的方差为:
又，，
∴当且仅当时，的最大值为