八年级上学期“设而不求”的思想及其应用 学案

巧妙设元设而不求事半功倍
“设而不求”指在解题中利用题设条件，巧妙设元，又通过整体替换消元，最后达到以简驭繁顺利求解的目的.本文通过实例介绍“设而不求”的思想及其应用，供读者参考.
一、在三角形中解决有关角度的问题
例1如图1，，、为上的点，，，则的度数为.
解析如图1中，设
则
由，，可求得
，
∴
∴
点评本题条件较少，且已知与未知之间的关系不能看出来，但通过巧设，利用三角内角和为以及等腰三角形的性质，即可将题目中的其他角表示出来，从而求出.这里利用添加辅助元将几何问题转化为代数问题解决，达到以简化繁的效果.
例2如图2，在，中，、两点分别在、上，与相交于点.若，，则的度数等于.
解析∵
故设
同理设
又是的外角，
则
同理
∴
从而
∴
点评本题利用等腰三角形的性质，通过设两个角为辅助元，将这个条件转化到中，利用三角形的内角和性质，即可求出答案.这里通过设元将几何问题转化为代数问题，思路简洁明了，同时也体现了数形结合的思想.
二、在三角形中解决有关面积的问题
例3一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长是，求这个三角形的面积.
解析根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质，可以求出斜边长为.
设该直角三角形两直角边长分别为，，则可以求出两条直角边的和，又该直角三角形的面积是.
另外，由勾股定理，可得，利用完全平方的变形，可求得
点评本题如果根据习惯性思维，先求三角形的底和高再求面积，则难以求解，此时可以设而不求底和高(和)，只需整体求出它们的积即可.巧妙地将几何问题转化为代数问题，利用完全平方公式的变形和勾股定理，即可轻松求出三角形的面积.
三、在几何证明中解决有关等量关系的问题
例4如图3，矩形的对角线、相交于点，过点作的垂线，与的平分线相交于点.求证:.
解析是矩形，
∴，，
，，
∴
∵平分，则有.
设(如图3)，
则，
∴
又，
从而，
∴.
点评此题利用三角形内角和及角平分线的性质表示出所求证的两条边，的对
角相等，再由等角对等边，得到线段相等.通过设，再用其表示其余相关的角，
通过消元或整体求解，从而避免了角度间的
复杂转换，使整求证过程更加快捷.
四、在反比例函数中解决有关面积的问题
例5(2016年宿迁中考题)如图4，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数图象交于两点、，与轴交于点，且点是的中点，分别过两点、作轴的平行线，与反比例函数的图象交于两点、，连结，则四边形的面积为.
解析∵、两点反比例函数图象上，故可设点的坐标为
∵点为线段的中点，且点在轴上
∴点的坐标为
∵轴、轴，且点、在反比例函数的图象上，
∴点的坐标为
点的坐标为
∴
故答案为.
点评本题设出反比例函数图象上点的坐标，根据中点坐标公式求出点坐标，进一步表出四边形的面积，最后一步分子分母中的约掉，使问题得到解决.这一设元方法可以普遍地运用在解反比例函数这一类问题中.
五、在一次函数中解决有关线段的问题
例6已知:如图5，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为.
(1)求点的坐标;
(2)若点为直线上一点，且，求点的坐标;
(3)点为线段上一点，.点为轴负半轴上一点，且点到直
线和直线的距离相等.求点的坐标.
解析(1)，(2)问略.
第(3)问先根据“点到直线和直线的距离相等”这一条件，可知点在直线和直线所形成的角的角平分线上，找出点的位置并画出相应的图，分别如图5(1)，5(2).
由已知条件，可设
在图5(1)中平分,
可设
又是的外角，
则有
由“等角对等边”得到，从而求出点的坐标.
图5(2)中亦可求的，得到，求出点的坐标.
点评此题综合性较强，在解决此题时不太容易找到等量关系，但通过设辅助元，把题目中提供的相关条件表示出来，就比较容易发现这样关键的条件，进一步得到，从而求出点的坐标.可见，通过设辅助元，避免了复杂的角度之间的转化，降低了思维的难度，使整个解题过程变得更加清晰明了，从而达到以简驭繁，事半功倍的效果.