八年级上学期一个结论在反比例函数中的应用 学案

一个结论在反比例函数中的应用
数学教学中，如何将复杂难懂的问题转换为简单易懂的问题 这是我们教师时时面对的课题.笔者认为，及时归纳和总结解题思路与方法，可以有效地避免题海战术，提高学生解决问题的能力.本文介绍一个结论在解反比例函数问题中的应用.
一、结论证明
如图1，直线与反比例函数的图象交于、两点，交坐标轴于、两点，过点分别作轴，轴，垂足分别是、;过点分别作轴，轴，垂足分别是、，垂线和相交于点.求证:.
证明，
，
，
,
即，
∴，
又∵，，
∴，
∴
即
同理可得
于是，有，即，
易得
二、应用举例
例1如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，动点在边上(不与、重合)，过点的反比例函数的图象与边交于点，直线分别与轴和轴相交于点和.
(1)，(2)，(3)略;
(4)若，则，问这个命题是否正确
解设，则.
由上述结论可知，
则
∵，
∴
∵，
∴
即
又∵
∴，即
点评显然，利用上述结论，避免了在求解和的长度中花费很多时间.如果先求点和坐标，再用勾股定理求和的长度，计算量大，容易出错.
例2如图3，已知直线与双曲线交于，，两点(与不重合)，直线与轴交于点，与轴交于点.
(1)若、两点坐标分别为，，求点的坐标;
(2)若，点的坐标为，且，求，两点的坐标;
(3)结合(1)，(2)中的结果，猜想并用等式表示，，之间的关系(不要求证明).
解作轴于，轴于.
(1)由结论，可得.
∵，，
∴，，
∴
即可求出点的坐标为.
(2)由结论，可得，
∴
∵，
∴点，是的三等分点.
又因为点的坐标为，所以点，的横坐标分分别是，.
∵，
∴，即，.
(3)结合(1)，(2)，猜想.
∵，
又，
∴，
点评题目本身不难，如果不利用这一结论，也能求解，但利用这一结论，就更加简单了.
例3(2016年丽水中考题)
如图4，一次直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴、轴分别交于、两点，连结、.过作轴于点交于点，设点的横坐标为.
(1)(用含的代数式表示);
(2)若，则的值是
解(1)由题意，显然有
(2)法一分别过点、作轴与于点，轴于点，由结论，可得，
∴，即.
∴直线的解析式为，
∴
由反比例函数的性质，可得，
∴
∴
解得
∵，
∴
法二
而，
由，得
，
∴，即，
∴，
即，解得
∵，
∴
点评本题如果我们不知道，，则很难下手.而一旦知道这个结论后，我们发现可轻松突破本题的难点，为解题节省了时间.
以上三题应用这一结论解题，可把复杂的问题转化的较为简单的问题.因此，我们要善于在解题中掌握有用的信息、不断总结归纳方法、提炼知识精华，为解题提供有益的帮助.