八年级数学上册一道“折叠问题”引发的思考 学案

一道“折叠问题”引发的思考
课堂应该是师生思维碰撞交流的一个阵地，教师不必要求教学完全按着自己的预设进行，而是要遵循学生的自然想法，展示解题中真实的探索过程，再进行反思优化，从而提高学生的数学素养.本文以一道折叠问题为例，加以说明.
一、课堂生成
题目如图1，矩形中，，且，为边上的任意一点(不与，重合).设，将沿对折，得到，延长交的延长线于点，则(用含t的代数式表示)
一般解法根据折叠，可得
.
又∵
∴
∴
设
∵
故，.
在中，由勾股定理，得
解得
则
课堂上，学生1提出了不同的思路:我是这样想的，如图2，过点作分别交、于点、，则可以构造“一线三等角”基本图形.因为，所以在中，只要求出和的长度即可，这由即可求得.
教学对策这个想法显然与笔者预设的解法不符.图形多了一条辅助线变复杂了，但是，这是学生智慧的体现，应该鼓励.于是教师顺水推舟，引导学生沿着这条思路进行下去，来求和的长度.
生1:设，
则，，得
∵因为，
∴
∴
即
在中，由勾股定理，得
这个方程好像很难解出，…
教师:仔细观察这个方程，比较方程两边常数项，试着计算看看.
生3:方程两边可消去常数项，计算得
∴
教师:生1根据勾股定理得到的方程，形式上比较繁，这时要仔细观察方程特点，具体分析，不要轻易放弃.本题中你能否得到更加简单的方程，从而减少计算量，请同学们注意
和的关系.
生3:因为，用相似关系求出和，根据这个关系列出方程，得
，
∴
这是关于的一次方程，计算得
∴
教学对策学生通过自己的知识经验，构造熟悉的基本图形去解决此题，这是一种直觉探索，教师应该提倡和鼓励.在求解的过程中，通过勾股定理的计算或用相似比，突出了解决折叠问题用到的数学方法.同时，通过这两种方法在计算方面繁简的比较，教师应该引导学生进行反思总结，从而加深对这类问题的理解.
教师:通过两位同学的解法比较，我们发现题目中的数量关系是非常重要，其他同学们还有另外想法和补充吗
生4:还可以连结，过点作垂直于点(如图3)，根据折叠，可得
又∵
∴
∴
又∵
∴
在中，
，
可求出，
∴
∵，
∴
∴
教学对策学生4的解法出来后，让人无比欣喜，不但因为这位同学新的解法，更是由于这位同学发现了此题的本质是是等腰三角形，这为引导学生发现笔者预设的解法自然地创造了条件.
教师:我们为这位同学的精彩解法鼓掌.每一种解法值得我们欣赏和思考，想一想，当我们发现是等腰三角形后，即，在中，已知，我们求的长，还要构造三角形相似吗
生5:用勾股定理简单.设，可以得到方程
.
至此，学生历经不同的解法，曲折迁回，认识到这个问题的基本模型“角平分线加平行线成等腰”，最终获得了教师预设的教学目标.
二、思考与感悟
1.教学要从学生的思维角度出发
教学中，教师对问题的选择和设计，都应当以学生的思维发展为主要目标，要尊重学生的想法，体现学生的主体性.每个学生都有不同的基础和能力，选择不同的思路和方法，不仅体现教学的层次性，而且符合“不同的学生在数学上得到不同的发展”的新课程理念.在本题中，教师正是从学生的思路出发，引导学生一题多解，再回到多解归一，使学生进一步加深了对这类问题的认识，这样的教学走进学生思维，是真实自然有效的教学.
2.教学中要充分关注课堂意外生成
课堂永远是动态的，我们经常会遇到学生的意外的提问和想法，教师应该以引导者的身份，保护学生的灵感，带领学生共同经历思维探索.把课堂还给学生，少一点预定模式，多一点关注学生的思维，为学生的需求而产生的探究，无论在知识的获取，情感的体验，还是思维的培养，都胜似教师的预设.这样，建立在学生主动思考的基础上，课堂才可能更精彩.本节课也充分说明，教师和学生一起去见证数学思考的自然过程，更能凸现课堂教学效果.