九年级数学上册利用几何模型解一道竞赛题 学案

利用几何模型解一道竞赛题
本文借助一道2017年的全国数学竞赛题，展示五种几何模型的应用.
题目如图1，四边形中，是对角线，是等边三角形，，则的长为()
(A)
(B)4
(C)
(D)4.5
模型1“手拉手”全等模型
如图2,与都是等腰三角形，顶角分别为与，且，则.
下面就图2的(1)与(3)说明结论成立.
由题意，知,
又
(如图2(1)),
或
(如图2(3)),
.
解1因为是等边三角形，所以只需以(或以)为边作一个等边三角形，便构造出“手拉手”全等模型.
现以为边作等边(如图3)，连结，则
.
，
.
在中，,
.故选B.
模型2“斜射影”相似模型
中，点在边上.若是直角，且，由射影定理，得
.
若是任意角，且(如图4)，则结论仍成立.
这是因为当时，，
，即.
我们不妨将图4称为“斜射影”相似模型.
解2这里将与或联系起来是解题的关键，为此作于点.这样一来，使与共用一边，于是由勾股定理，得到与间的关系式
，
即.
显然，由该式欲得到结论，只需.
到此，使我们联想到“斜射影”相似模型.
因为式子与“3”相关，所以要依托去构造，对比图4，可在射线上取一点，使得.
那么如何得到这个30°角呢 图中已有60°角，所以只要有一个含60°角的直角三角形，即可得到30°角，因此延长交射线于点(如图5).
，
.
由“斜射影”相似模型，得
.
显然，,
.
据以上分析，得，故选B.
模型3“一线三等角”相似模型
如图6，直线上有三点，点在直线同侧，若
，则.
简证
.
又.
特别地，当与有一组对应边相等时，有.
解3因为，所以若在线段上取一点，使，则.故，从而，所以原问题转化为求的长.
另一方面，因为的顶点在直线上，且，所以若作的外接等边，则构造出三组“一线三等角”形，而且构造出的含60°角的三个小三角形都是全等形(如图7)，从而.
设的延长线交于，因为.所以，由此得到与含30°角的，这就为运用已知条件中的“=5”创造出有利条件.
设，
则，，
.
，
，
=25.
由此得，即,
，故选B.
模型4圆周角定理及其推论(证略)
解4本题中有一特殊条件，是，解1就是通过建立“手拉手”全等模型，利用此特殊点得到一个直角三角形的.由此启发我们思考，还能通过其他方法，
利用此特殊点得到另一个直角三角形吗？
首先，考虑借助于什么几何模型，能够得到与、相等的角 因为同弧上的圆周角相等，自然会想到试用一下这个模塑.所以作或的外接圆⊙(如图8).
设的延长线分别交⊙于点,连结EF，由圆周角定理，得
.
同样，设的延长线交⊙于，连结，则
，
.
再连结，则是直角三角形.
接下来自然要想，的三条边与有没有数量关系 若有，
才能在解题中发挥作用.
观察图形，发现,
，设，
则.
,
又.
.
,
.
在中，，
即，
由此易得.故选B.
可见，运用几何模型，能快速找到问题的突破口，进而顺利解决问题.