九年级数学上册一道数学中考题的错解剖析 学案

一道数学中考题的错解剖析
有一类中考题中的文字阅读量大、数据多，往往会使部分考生审题不清、信息遗漏，再加上自信不足、悟性不强，或者缺乏细致观察，以及思维定势等因素，导致解答过程中出现思维误区而解题失败.下面举一例加以分析.
题目(2016年盐城中考题)某地拟召开一场安全级别较高的会议，预估将有4000至7000名人员参加会议，为了确保会议的安全，会议组委会决定对每位入场人员进行安全检查.现了解到安检设备有门式安检仪和手持安检仪两种:门式安检仪每台3000元，需安检员2名，每分钟可通过10人;手持安检仪每只500元，需安检员1名，每分钟可通过2人.该会议中心共有6个不同的入口，每个入口都有5条通道可供使用，每条通道只可安放一台门式安检仪或一只手持安检仪.每位安检员的劳务费用均为200元.(注:安检总费用=安检设备费用+安检员劳务费用)
现知道会议当日参会人员从上午9:00开始入场，到上午9:30结束入场，6个入口都采用相同的安检方案，所有人员须提前到达并根据会议通知到指定入口接受安检.
(1)如果每个入口处，只有2个通道安放门式安检仪，而其余3个通道均为手持安检仪.在这个安检方案下，请问:在规定时间内可通过多少名参会人员 安检所需要的总费用为多少元
(2)请你设计一个安检方案，确保安检工作的正常进行，同时使得安检所需要的总费用尽可能少.
一、典型错解
错解情形1设每个入口处安放台门式安检仪，只手持安检仪，记通过的总人数为，6个入口的安检总费用为，则可以得到
因为可能有4000至7000名人员到现场参会，所以，解得.
因为，且为整数，所以或者.
由于安检总费用，是关于的一次函数，且，所以函数，随的增大而增大，即取最小值时，总费用最少，所以每个入口处安放2台门式安检仪、3只手持安检仪总费用最少，总费用为53400元.
错解情形2列表如下:
方案
方案一
方案二
方案三
安检仪
门式
手持
门式
手持
门式
手持
数量
0
5
1
4
2
3
费用
0
21000
20400
16800
40800
12600
总费用
21000
37200
53400
通过总数
4680
方案
方案四
方案五
方案六
安检仪
门式
手持
门式
手持
门式
手持
数量
3
2
4
1
5
0
费用
61200
8400
81600
4200
102000
0
总费用
69600
85800
102000
通过总数
6120
7560
9000
通过列举法发现方案五符合要求，即每个入口处安放4台门式安检仪、1只手持安检仪总费用最低.
二、错因分析
本题不但因为阅读量大、数据多，计算容易出错，而且还因为学生缺乏生活观察及定势思维等因素导致解答过程中多处出现思维误区.
思维误区1
由于可能有4000至7000人到现场参会，所以，这个不等式看似有道理，其实这正是思维的“愚钝点”之一根据参会人数，我们准备的会议场所座位数7000是可行的，少于7000还能确保参会的所有人都有座位吗 假如我们提供的是6000
个座位的会议场所，参会人员却来了6500人，显然不能满足要求.
因此，正确的不等式式应该是
，解得.
即取4或5时，才能满足安检工作正常进行的需要.
接下来，按照安检费用一次函数的增减性进一步解答.
上述“愚钝点”本质上是受定势思维的影响，因为平时遇到的实际问题在转化为不等式时，大多采用所给范围的端点值，这里却偏偏行不通，似乎属于思维“高冷”地段——不同寻常路.破解方法只需来一个自我设问就能打破常规思维的局限.
思维误区2
对于题(2)，无论是用函数和不等式的知识求解，还是运用列举法求解，都容易想到“每个入口处安放4台门式安检仪和1只手持安检仪”这种方案，却忽略了“每个入口处安放4台门式安检仪，剩余的1个通道关闭”的这种客观存在性，这是解答本题的第二个思维“愚钝点”.学生往往在审题“每个入口都有5条通道可供使用”时，仅抓住了一个关键词“5个通道”，却忽略了“可供使用”这一非常用语，其实，“可供使用”有“不一定都要使用”的意思.每个入口处仅安放4台门式安检仪，剩余的1个通道封闭时，可通过的总人数为，也满足安检工作正常进行的需要，此时比每个入口处安放4台门式安检仪和1只手持安检仪所需要的安检总费用更少.
同学们留心生活注意观察就会发现，大型超市里的收银台平时仅仅启用部分收费通道，剩下的都被临时关闭不用收费，等到重大节日或者组织促销活动时，才会启用全部收费通道.
三、解题启示
题(2)还可以从“安检仪的人均费用”入手进行思考:
使用门式安检仪的人均费用为
元
使用手持安检仪的人均费用为
元
再根据不等式进一步求解.
当我们把生活中的实际问题转化为数学问题时，往往因为过于“模型化”而陷入“定势”.数学来源于生活，又高于生活，数学思维的填密性通常是生活化的逻辑所不能比拟的.有时一个自我想当然，就会犯下自己无法觉察的错误，尽管思路微偏差，也可能造成结局大不同.如，上述不等式与所表达的意思就大相径庭.前者源于想象，后者得益于分析和推敲.
留心观察生活中的细节，善于思考的人往往会有意外收获.如果你留心过体育馆的入口开放情况，或者超市收费通道的启用情况，就能避免本题中的思维“愚钝点”.走马观花难遇奇葩，只有真正用心的人，才不会错过每一个学习和提高的机会.