九年级数学上册例谈一图多变证切线 学案

例谈一图多变证切线
本文以2016年广东梅州的一道中考题为原型进行变式，通过一图多变，一题多解，研究一类关于“圆的切线的判定”的常见问题的求解思路，以帮助同学们掌握“圆的切线的判定”的两种题型及六种常见的证明方法.
类型一
知公共点，连半径，证垂直
例1
(2016年梅州中考题)如图1，点在⊙的直径的延长线上，点在⊙上，，.求证是⊙的切线.
分析
根据圆的切线的判定定理，一条直线成为圆的切线必须满足两个条件:1.过半径的外端，即与圆有公共点;2.垂直于过该点的半径.该题要证明是⊙的切线，题目中已告诉我们直线与⊙有公共点，那么我们只需要连结，证明垂直于即可.这种证明切线的方法我们可以归纳为:知公共点，连半径，证垂直.
证明
连结.
∵，
∴
∴
∴
∴
∴是⊙的切线.
点拨
解答过程中运用了三角形内角和定理，求得，因此，我们可以得到以下结论:在判定切线时，如果知道具体角度，可以运用三角形内角和定理证垂直.
在例1图形中，过点作垂直的延长线于点，与圆交于点，可变式为:
变式1
(2016云南)如图2，点在⊙的直径的延长线上，点在⊙上，，垂足为，是与⊙的交点，平分.求证是⊙的切线.
证明
连结
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
点拨
题目中已知.运用“两直线平行，同位角相等”得到，因此，我们可以得到以下结论:在判定切线时，如果已知直角，可以运用“平行线的性质”证垂直，在例1图形中，过点作垂直于点，交的延长线于点，连，可变式为:
变式2
如图3，点在⊙的直径的延长线上，与⊙相切于点，过点作于点，交切线延长线于点.求证:是⊙的切线.
证法1
连结
∵是圆的切线
∴
∴
∵
∴为垂直平分线
∴，
∵
∴
∴
∴
∴是圆的切线
证法2
连结
∵是圆的切线
∴
∴
∵
∴为垂直平分线
∴，
∴，
∴
即
∴
∴是圆的切线.
点拨
由变式2的两种证法，我们可以得到以下结论:在判定切线时，如果已知直角，可以运用“全等三角形对应角相等”或”角的等量代换”证垂直.
在例1图形中建立坐标系，点在坐标轴上，则的解析式为，可变式为:
变式3
如图4，点在⊙的直径的延长上，如图建立直角坐标系，点为原点，直线：与二轴交于点，其中.求证:是⊙的切线.
证法1
当时，
当时，，
得，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴是圆的切线.
证法2
当时，
当时，，
得，，
∵
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
∴
∴
∴是圆的切线.
点拨
由两种证法，我们可以得到以下结论:在判定切线时，如果已知具体线段，可以运用“相似三角形的性质”或“勾股定理逆定理”证垂直.
类型二
未知公共点，作垂直，证半径
在例1图形中，作，可变式为:
例2
如图5，点在⊙的直径的延长上，与⊙相切于点，点在的平分线上.求证:是⊙的切线.
分析
题目条件并不知道与⊙的公共点，根据切线的判定定理，此时，我们可以过点作于，根据圆的切线的判定定理:若与⊙相切，则点必须在圆上，即需要证明为半径.这种证明切线的方法我们可以归纳为:未知公共点，作垂直，证半径.
证明
点作于，连.
∵是圆的切线
∴
∵平分，，
∴
∴是⊙的切线.
综上可知，“圆的切线判定”问题主要有两类.第一类是:知道直线与圆的公共点，连接过该公共点的半径，证明直线与半径垂直，例1、变式1、2、3均属于第一类.该方法可巧记为:知公共点，连半径，证垂直.第二类是:不知直线与圆的公共点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段为半径，例2属于第二类.该方法可巧记为:不知公共点，作垂直，证半径.