九年级数学上册对一道中考试题的剖析、拓展及反思 学案

平淡中的精彩
——对一道中考试题的剖析、拓展及反思
本文以一道平淡的甚至可以忽略的填空题入手，引导学生深入挖掘书本资源，认真探索思考，并在适度拓展中使学生的思维能力得到进一步的提高.
原题(2016年南京中考题)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是()
(A)3，4，4(B)3，4，5(C)3，4，6(D)3，4，7
解如图1，我们首先构造一个3，4，5的直角，其中是直角.当我们将边长为3的直角边绕逆时针旋转某个角度，且保持不变，我们发现此时的显然是钝角三角形，而将直角边绕顺时针旋转某个角度，且保持不变，我们发现此时的显然是锐角三角形.通过度量，易猜想得3，4，6构成的三边的三角形是钝角三角形，3，4，4构成的三边的三角形是锐角三角形.对于3，4，4三边构成的三角形，我们也可以通过图2进行解释，其中的长度是4，的长度是3，画图之后可以立刻观察出这是一个锐角三角形.当然，过顶点作底边上的高线，可得.此时通过计算发现，因此，故，便说明此时的三角形是锐角三角形.
评析初次看到此题时，大多学生感觉有困难，主要是大多学生习惯了按角对三角形进行分类，按边的大小来判定三角形的形状是有困难的.本道试题的解决给了我们很多启示，这就是需要我们教师引导学生去交流建构的学生比较欠缺的知识，指导学生如何思考，如何突破问题的难点，这也就是为什么课堂教学要“慢”的原因，“慢”其实是为将来的“快”.因此，我们在解题教学中应更好的培养学生的核心素养，让学生更好的理解数学.
下面，针对本题，谈谈如何引导学生更好地理解数学.
1.一个念头
苏科义务教育教科书八年级上册中有一道练习题:
如图3，和都不是直角三角形，分别以和的各边为一边向三角形外部作正方形，其中两个小正方形面积和等于大正方形的面积和吗
这道例题是学完勾股定理第一课时后的一道习题.主要是让学生经历了直角三角形面积的割补法后，通过具体面积数值的计算，猜想得到直角三角形三边平方和的关系.作为本节课的一个延续，我们很自然产生一个“念头”，如果是非直角三角形，我们是否有类似的结论 笔者认为这个想法很重要，从数学的发展角度来说，这是研究问题的心路历程;从解题的角度来说，这是特殊与一般的思想.我们需要这样的思考，需要这种的研究问题的思维方式，因此这个习题让我们眼前一亮.学生在已有知识基础上，容易得出相关结论:假设三角形的三边长为，，，且不妨设，对于锐角三角形，我们有；钝角三角形，我们有.
2.研究的可行性
我们知道，通过面积法可以验证勾股定理，那么我们能否证明这个结论 带着这样一种研究问题的执着和热情，我们觉得开设一节研究课是有必要的，虽然它并非课标范围内的内容，但是作为数学研究与发现，这是更高层次的素养，于是我们决定继续作深入的
研究.
师:同学们，我们学过哪些方法可以判定
两个三角形全等
生1:我们学习了“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”，还有直角三角形的“HL”.
师:那你们有没有想过三角形全等意味着什么
生2:三角形全等说明三角形的边、角的元素满足某种数量关系后，三角形的形状就唯一确定了.
师:你们是否想过学习全等三角形的意义是什么
生3:学完三角形全等之后，我们发现，只要满足上述几个条件的两个三角形就是一个三角形，有化多为少的意思.
师:回答精彩!我们研究一个问题，要学会从两个方面进行研究:定性和定量，也就是我们常说的数与形.
那么，我们前面探索的三角形全等是从哪个方面进行研究的呢
生4:从定性的角度研究.
师:很好，既然满足上述条件的三角形全等的，是唯一确定的，那么，我们就可以求出三角形的三边和三角.今天，老师将带领大家一起从定量的角度研究三角形.
3.收获与惊喜
师:请看这么一个问题:
引例如图4，中，，，求的长
师:对于这个引例大家有什么想法 有没有什么类似的情境
生5:我们学过勾股定理，所以，对于非直角三角形问题可以考虑转化成直角三角形来解决.
师:很棒，化未知为已知，这是研究数学问题的一个重要方法.
那么，如何转化成直角三角形呢
生6:过点作于点，变成两个直角三角形，便可求得长.
师:好的!下面请思考对于这道题目，是否可以作一些变化，改编成其它问题呢
(教师每一次的提问应该是自然的，应该是师生共同完成的，每一次的提问都应该使学生的思维得到飞跃，给学生发现问题、思考问题的机会和时间.因此，课堂上多一点设问，多一点思考时间是非常必要的.)
生7:我觉得可以将边的长度和角度都改成非具体的，如将的长度改成，的长
度改成，的度数变成.
师:研究问题的方法之一就是由特殊到一般.很好!掌声响起来.
例题中，，，，求的长.
解过点作于点.
∵
∴
在中，
，，，
∴，
又∵
∴
在中，
，
∴
对于，由锐角三角函数，可得
∴
设，则有
(此刻学生发现了一个与勾股定理类似的定理，非常兴奋.)
生8:我发现，当接近时，接近于0，因此这个公式可以看作勾股定理的推广.
生9:我发现，当是锐角时，，因此对于锐角三角形我们可以得到.
师:很好!那么，钝角三角形是否有类似结论 能否仿照证明
拓展如图5，中，，，，求的长.
解如图5，过点作于点.
∵
∴
在中，
，，，
∴，
又∵
∴
在中，
，
∴
∵，
∴
由锐角三角函数，可得
∴
设，则有
这时课堂气氛达到了高潮，对于钝角三角形也有类似于勾股定理的结论，这让学生感到数学的神奇，同时让学生欲罢不能.
至此，我们顺利挖掘了书本上的这道习题的结论:
对于锐角三角形，;
钝角三角形，.
其实按照定性研究的思路，三角形在全等的情况下是可以确定每条边和每一个内角，因此第三条边的长度是可以确定的，只不过含有夹角的余弦值.虽然知识超出了目前的学习范围，但研究数学问题的方法是我们能够接受的.
4.教学反思
其实，我们对于探索三角形全等中的“SAS”进行研究，也可对于“AAS”进行研究，这就可以得到高中阶段的正弦定理.这些内容的生成实际是非常自然的东西，对于学生学习知识也可以有一个连贯性的作用.总之，只要我们教师在教学设计时，多思考，多联系学生的实际情况，从学生角度出发，你就会有大的收获和惊喜.这就是理解数学的过程，也正是我们数学教师的追求目标.