湖南省益阳市桃江县2016-2017学年高一数学下学期期末试卷（含解析）

2016-2017学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列给出的赋值语句中正确的是（　　）
A．3=A
B．M=﹣M
C．B=A=2
D．x+y=0
2．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（　　）
A．20
B．40
C．60
D．80
4．sin（﹣225°）的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
6．运行如下的程序：当输入168，72时，输出的结果是（　　）
A．168
B．72
C．36
D．24
7．有20位同学，编号从1﹣20，现在从中抽取4人的作问卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（　　）
A．5，10，15，20
B．2，6，10，14
C．2，4，6，8
D．5，8，11，14
8．一个样本M的数据是x1，x2，…，xn，它的平均数是5，另一个样本N的数据x12，x22，…，xn2它的平均数是34．那么下面的结果一定正确的是（　　）
A．SM2=9
B．SN2=9
C．SM2=3
D．Sn2=3
9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（　　）
A．﹣845
B．220
C．﹣57
D．34
10．函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（　　）
A．
B．
C．
D．
11．在以下关于向量的命题中，不正确的是（　　）
A．若向量，向量（xy≠0），则
B．若四边形ABCD为菱形，则
C．点G是△ABC的重心，则
D．△ABC中，和的夹角等于A
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0 a1，h1=h0 a2， 运算规则为：0 0=0，0 1=1，1 0=1，1 1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（　　）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生约有　
　人．
14．函数的单调递增区间是　
　．
15．如图是2016年我市举行的名师评选活动中，8位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数为　
　．
16．在下列结论中：
①函数y=sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象的一条对称轴为π；
④若tan（π﹣x）=2，则cos2x=．
其中正确结论的序号为　
　（把所有正确结论的序号都填上）．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知=（1，2），=（﹣3，2），
当k=　
　时，（1）k+与﹣3垂直；
当k=　
　时，（2）k+与﹣3平行．
18．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．
（1）求事件“x+y≤3”的概率；
（2）求事件“|x﹣y|=2”的概率．
19．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）
求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）
估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（Ⅲ）
设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率．
20．（1）化简：．
（2）已知：sinαcosα=，且＜α＜，求cosα﹣sinα的值．
21．设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π．且f（）=．
（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象（3）若f（x）＞，求x的取值范围．
22．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．
　
2016-2017学年湖南省益阳市桃江县高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
　
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列给出的赋值语句中正确的是（　　）
A．3=A
B．M=﹣M
C．B=A=2
D．x+y=0
【考点】EB：赋值语句．
【分析】本题根据赋值语句的定义直接进行判断．
【解答】解：根据题意，
A：左侧为数字，故不是赋值语句
B：赋值语句，把﹣M的值赋给M
C：连等，不是赋值语句
D：不是赋值语句，是等式，左侧为两个字母的和．
　
2．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（　　）
A．至多有1次中靶
B．2次都中靶
C．2次都不中靶
D．只有1次中靶
【考点】C4：互斥事件与对立事件．
【分析】根据对立事件的定义可得事件“至少有1次中靶”的对立事件．
【解答】解：由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，
再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，
故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，
故选C．
　
3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，现要用分层抽样的方法从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为（　　）
A．20
B．40
C．60
D．80
【考点】B3：分层抽样方法．
【分析】根据甲乙丙的数量之比，利用分层抽样的定义即可得到结论．
【解答】解：∵甲、乙、丙三类产品，其数量之比为1：2：4，
∴从中抽取140件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为，
故选：B．
　
4．sin（﹣225°）的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【分析】先根据正弦函数为奇函数化简原式，把225°变为180°+45°，利用诱导公式sin=﹣sinα化简后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．
【解答】解：sin（﹣225°）
=﹣sin225°
=﹣sin
=﹣（﹣sin45°）
=sin45°
=．
故选A
　
5．为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】按照函数图象的平移法则，直接求出所求函数的表达式，可得结果．
【解答】解：函数y=sin（2x﹣）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点，横坐标向右平移单位，纵坐标不变，可得函数y=sin（2x﹣）的图象．
故选：D．
　
6．运行如下的程序：当输入168，72时，输出的结果是（　　）
A．168
B．72
C．36
D．24
【考点】EF：程序框图．
【分析】由程序结构看出，第一次循环后m的值是除数，除数n的值是运算所得的余数，在第二次循环中又一次执行了这样一个取余赋值的过程，一直到余数为0时退出循环体．
【解答】解：此程序功能是辗转相除法求最大公约数，故
168÷72的商是2，余数是24
72÷24的商是3，余数是0
由此可知，168与74两数的最大公约数是24．
故选D．
　
7．有20位同学，编号从1﹣20，现在从中抽取4人的作问卷进行调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（　　）
A．5，10，15，20
B．2，6，10，14
C．2，4，6，8
D．5，8，11，14
【考点】B4：系统抽样方法．
【分析】根据系统抽样的定义，判断样本间隔是否相同即可．
【解答】解：根据题意编号间隔为20÷4=5，
则只有A，满足条件，
故选：A．
　
8．一个样本M的数据是x1，x2，…，xn，它的平均数是5，另一个样本N的数据x12，x22，…，xn2它的平均数是34．那么下面的结果一定正确的是（　　）
A．SM2=9
B．SN2=9
C．SM2=3
D．Sn2=3
【考点】BC：极差、方差与标准差．
【分析】先设一个样本M的数据x12，x22，…，xn2它的方差为S2，利用方差的计算公式，则S2=
[（x1﹣5）2+（x2﹣5）^2+（x3﹣5）2+…（xn﹣5）2]=
[x12+x22+x32…xn2﹣10（x1+x2+x3+…+xn）+25×n]，从而得出SM2=9即可．
【解答】解：设样本M的数据x12，x22，…，xn2它的方差为S2，则
S2=
[（x1﹣5）2+（x2﹣5）^2+（x3﹣5）2+…（xn﹣5）2]
=
[x12+x22+x32…xn2﹣10（x1+x2+x3+…+xn）+25×n]
=34﹣10×5+25=9，
∴SM2=9．
故选：A．
　
9．用秦九韶算法计算多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6在x=﹣4时的值时，V3的值为（　　）
A．﹣845
B．220
C．﹣57
D．34
【考点】EL：秦九韶算法．
【分析】由于多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，可得当x=﹣4时，v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2，v3即可得出．
【解答】解：∵多项式f（x）=12+35x﹣8x2+79x3+6x4+5x5+3x6
=（（（（（3x+5）x+6）x+79）x﹣8）x+35）x+12，
当x=﹣4时，
∴v0=3，v1=3×（﹣4）+5=﹣7，v2=﹣7×（﹣4）+6=34，v3=34×（﹣4）+79=﹣57．
故选：C．
　
10．函数y=cosx|tanx|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】H2：正弦函数的图象；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】根据x的范围判断函数的值域，使用排除法得出答案．
【解答】解：当0时，y=cosxtanx≥0，排除B，D．
当时，y=﹣cosxtanx＜0，排除A．
故选：C．
　
11．在以下关于向量的命题中，不正确的是（　　）
A．若向量，向量（xy≠0），则
B．若四边形ABCD为菱形，则
C．点G是△ABC的重心，则
D．△ABC中，和的夹角等于A
【考点】9B：向量加减混合运算及其几何意义；9A：向量的三角形法则．
【分析】根据向量数量积判断两个向量的垂直关系的方法，可判断A；根据菱形的定义及相等向量及向量的模的概念，可判断B；根据三角形重心的性质，可判断C；根据向量夹角的定义，可判断D；进而得到答案．
【解答】解：对于A，若向量=（x，y），向量=（﹣y，x），则=0，则⊥，故A正确；
对于B，由菱形是邻边相等的平行四边形，故四边形ABCD是菱形的充要条件是，且||=||，故B正确；
对于C，由重心的性质，可得 G是△ABC的重心，故C正确；
对于D，在△ABC中，和的夹角等于角A的补角，故D不正确．
∴关于向量的命题中，不正确的是D．
故选：D．
　
12．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0 a1，h1=h0 a2， 运算规则为：0 0=0，0 1=1，1 0=1，1 1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（　　）
A．11010
B．01100
C．10111
D．00011
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】首先理解 的运算规则，然后各选项依次分析即可．
【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0 a1=1 0=1，h1=h0 a2=1 1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；
B选项原信息为110，则h0=a0 a1=1 1=0，h1=h0 a2=0 0=0，所以传输信息为01100，B选项正确；
C选项原信息为011，则h0=a0 a1=0 1=1，h1=h0 a2=1 1=0，所以传输信息为10110，C选项错误；
D选项原信息为001，则h0=a0 a1=0 0=0，h1=h0 a2=0 1=1，所以传输信息为00011，D选项正确；
故选C．
　
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．如图是某班50名学生身高的频率分布直方图，那么身高在区间[150，170）内的学生约有　20　人．
【考点】BD：用样本的频率分布估计总体分布；B8：频率分布直方图．
【分析】由已知中频率分布直方图，结合频率=矩形高×组距，可以求出身高在区间[150，170）内的累积频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案．
【解答】解：∵身高在区间[150，170）内的累积频率为（0.01+0.03）×10=0.4
∴身高在区间[150，170）内的学生人数为0.4×50=20人
故答案为：20
　
14．函数的单调递增区间是　，k∈Z　．
【考点】HA：余弦函数的单调性．
【分析】先将函数分解为两个初等函数，分别考虑函数的单调增区间，利用复合函数求单调性的方法，即可得到结论．
【解答】解：由题意，函数可化为
设，则y=cosu
∵在R上增函数，y=cosu的单调增区间为（2kπ﹣π，2kπ
），k∈Z
∴，k∈Z
∴，k∈Z
∴函数的单调递增区间是，k∈Z
故答案为：，k∈Z
　
15．如图是2016年我市举行的名师评选活动中，8位评委为某位教师打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的中位数为　85　．
【考点】BA：茎叶图．
【分析】由茎叶统计图去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据从小到大为84，84，84，86，87，93，由此能求出所剩数据的中位数．
【解答】解：由茎叶统计图去掉一个最高分和一个最低分，
所剩数据从小到大为84，84，84，86，87，93，
∴所剩数据的中位数为：
=85．
故答案为：85．
　
16．在下列结论中：
①函数y=sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象的一条对称轴为π；
④若tan（π﹣x）=2，则cos2x=．
其中正确结论的序号为　①③④　（把所有正确结论的序号都填上）．
【考点】HH：正切函数的奇偶性与对称性；HB：余弦函数的对称性．
【分析】利用诱导公式、分类讨论可得y=sinx
为奇函数，故①正确．
由于当x=时，函数y=tan=≠0，故（，0）不是函数的对称中心，故②不正确．
当x=时，函数y取得最小值﹣1，故③的图象关于直线x=对称，故③正确．
若tan（π﹣x）=2，则tanx=2，由同脚三角函数的基本关系可得cos2x=，，故④正确．
【解答】解：对于①函数y=sin（kπ﹣x）（k∈Z），当k为奇数时，函数即y=sinx，为奇函数．
当k为偶数时，函数即y=﹣sinx，为奇函数．故①正确．
对于②，当x=时，函数y=tan=≠0，故
y=tan（2x+）的图象不关于点（，0）对称，故②不正确．
对于③，当x=时，函数y=cos（2x+）=cos（﹣π）=﹣1，是函数y
的最小值，故③的图象关于直线x=对称．
对于④，若tan（π﹣x）=2，则tanx=2，tan2x=4，cos2x=，，故④正确．
故答案为：①③④．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知=（1，2），=（﹣3，2），
当k=　19　时，（1）k+与﹣3垂直；
当k=　　时，（2）k+与﹣3平行．
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由向量的坐标运算可得k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由垂直和平行关系分别可得k的方程，解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵=（1，2），=（﹣3，2），
∴k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4）
∵k+与﹣3垂直，∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0，
解得k=19；
（2）由（1）知k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4）
∵k+与﹣3平行，∴﹣4（k﹣3）=10（2k+2），
解得k=﹣
故答案为：19；．
　
18．将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x，第二次出现的点数为y．
（1）求事件“x+y≤3”的概率；
（2）求事件“|x﹣y|=2”的概率．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）列出基本事件，求出基本事件数，找出满足“x+y≤3”的种数，再根据概率公式解答即可；
（2）从基本事件中找出满足条件“|x﹣y|=2”的基本事件，再根据古典概型的概率公式解之即可．
【解答】解：设（x，y）表示一个基本事件，则掷两次骰子包括：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），…，（6，5），（6，6），共36个基本事件．
（1）用A表示事件“x+y≤3”，
则A的结果有（1，1），（1，2），（2，1），共3个基本事件．
∴．
答：事件“x+y≤3”的概率为．
（2）用B表示事件“|x﹣y|=2”，
则B的结果有（1，3），（2，4），（3，5），（4，6），（6，4），（5，3），（4，2），（3，1），共8个基本事件．
∴．
答：事件“|x﹣y|=2”的概率为．
　
19．某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后，画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）
求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）
估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（Ⅲ）
设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），现从成绩属于该区间的学生中任选两人，求甲、乙中至少有一人被选的概率．
【考点】B8：频率分布直方图；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图先求出成绩落在[70，80）上的频率，由此能补全这个频率分布直方图．
（Ⅱ）利用频率分布直方图能估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．
（Ⅲ）设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），区间[40，50）内有6名学生，现从成绩属于该区间的学生中任选两人，基本事件总数n==15，甲、乙中至少有一人被选的对立事件是甲、乙两人没被选，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙中至少有一人被选的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：
成绩落在[70，80）上的频率是：1﹣（0.01+0.015+0.015+0.025+0.005）×10=0.3，
补全这个频率分布直方图，如图．﹣﹣﹣
（Ⅱ）
估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）
为1﹣0.01×10﹣0.015×10=75%
平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71．﹣﹣﹣
（Ⅲ）设学生甲、乙的成绩属于区间[40，50），
区间[40，50）内有：60×0.01×10=6名学生，
现从成绩属于该区间的学生中任选两人，
基本事件总数n==15，
甲、乙中至少有一人被选的对立事件是甲、乙两人没被选，
∴甲、乙中至少有一人被选的概率p=1﹣=．﹣﹣﹣
　
20．（1）化简：．
（2）已知：sinαcosα=，且＜α＜，求cosα﹣sinα的值．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值；GH：同角三角函数基本关系的运用．
【分析】（1）原式化简成平方和，即可求解；
（2）根据sin2α+cos2α=1、完全平方差公式（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2解答sinα﹣cosα的值即可．
【解答】解：（1）原式===﹣1
（2）∵（sinα﹣cosα）2=sin2α﹣2sinαcosα+cos2α
=（sin2α+cos2α）﹣2sinαcosα；
又∵sin2α+cos2α=1，sinαcosα=
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2×=
∵＜α＜
∴cosα﹣sinα=﹣
　
21．设函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜0）的最小正周期为π．且f（）=．
（1）求ω和φ的值；
（2）在给定坐标系中作出函数f（x）在[0，π]上的图象（3）若f（x）＞，求x的取值范围．
【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H7：余弦函数的图象；HA：余弦函数的单调性．
【分析】
【解答】解：（I）周期，∴ω=2，
∵，
且，∴．
（II）知，则列表如下：
2x﹣
﹣
0
π
x
0
π
π
f（x）
1
0
﹣1
0
图象如图：
（III）∵，
∴
解得，
∴x的范围是．
　
22．设事件A表示“关于x的一元二次方程x2+ax+b2=0有实根”，其中a，b为实常数．
（Ⅰ）若a为区间[0，5]上的整数值随机数，b为区间[0，2]上的整数值随机数，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）若a为区间[0，5]上的均匀随机数，b为区间[0，2]上的均匀随机数，求事件A发生的概率．
【考点】CF：几何概型；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（Ⅰ）本题是古典概型，首先明确事件的个数，利用公式解答；
Ⅱ）本问是几何概型的求法，明确事件对应的区域面积，利用面积比求概率．
【解答】解：（Ⅰ）当a∈{0，1，2，3，4，5}，b∈{0，1，2}时，共可以产生6×3=18个一元二次方程．
若事件A发生，则a
2﹣4b2≥0，即|a|≥2|b|．又a≥0，b≥0，所以a≥2b．
从而数对（a，b）的取值为（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（4，0），（4，1），（4，2），（5，0），（5，1），（5，2），共12组值．
所以P（A）=．
（Ⅱ）据题意，试验的全部结果所构成的区域为D={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2}，构成事件A的区域为A={（a，b）|0≤a≤5，0≤b≤2，a≥2b}．
在平面直角坐标系中画出区域A、D，如图，
其中区域D为矩形，其面积S（D）=5×2=10，
区域A为直角梯形，其面积S（A）=．
所以P（A）=．