陕西省西安市2016-2017学年高一数学下学期期中试卷理（含解析）

2016-2017学年陕西省西安市高一（下）期中数学试卷（理科）
　
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x2+2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣3＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|﹣3＜x＜3}
2．如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩余的部分是（　　）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
3．在△ABC中，，，，则C=（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在等比数列{an}中，a1=﹣16，a4=8，则a7=（　　）
A．﹣4
B．±4
C．﹣2
D．±2
5．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＜b＜0，则a2＜b2
C．若a＞b＞0，则＜
D．若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd
6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（　　）
A．
+
B．1+
C．1+
D．2+
7．数列{an}的通项公式是an=（n∈N
），若前n项的和为，则项数为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．1
B．
C．
D．
9．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．
10．在△ABC中，若，，则△ABC的面积等于（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
11．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．定义算式 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．
　
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．函数的定义域是　
　．（用区间表示）
14．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为　
　．
15．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，塔高AB为　
　．
16．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为　
　．
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共5小题，共56分）
17．已知a∈R，解关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≥0．
18．如图，圆内接四边形ABCD中，AD=DC=2BC=2，AB=3．
（1）求角A和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
19．已知a＞b＞c且恒成立，求实数m的最大值．
20．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6．
（1）求正四棱台的表面积；
（2）求正四棱台的体积．
21．设数列{an}的前n项和为，数列{bn}的前n项和为Qn=2bn﹣2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
　
2016-2017学年陕西省西安市铁一中学高一（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．已知集合M={x|﹣1＜x＜3}，N={x|x2+2x﹣3＜0}，则集合M∩N等于（　　）
A．{x|﹣1＜x＜3}
B．{x|﹣3＜x＜1}
C．{x|﹣1＜x＜1}
D．{x|﹣3＜x＜3}
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】先求出集合N，由此能求出M∩N．
【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x＜3}，
N={x|x2+2x﹣3＜0}={x|﹣3＜x＜1}，
∴集合M∩N={x|﹣1＜x＜1}．
故选：C．
　
2．如图所示，在三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，则剩余的部分是（　　）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
【考点】L1：构成空间几何体的基本元素．
【分析】画出图形，根据图形和四棱锥的结构特征，即可得出剩余几何体是什么图形．
【解答】解：如图所示，
三棱台A′B′C′﹣ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′﹣ABC，
剩余部分是四棱锥A′﹣BCC′B′．
故选：B．
　
3．在△ABC中，，，，则C=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】HP：正弦定理．
【分析】运用三角形的内角和定理可得角A，再由正弦定理，计算即可得到C．
【解答】解：由A=60°，＞，
则A＞B．
由正弦定理=，
则有，
得：sinB=，
∵A＞B，
∴B=．
则C=，
故选：D．
　
4．在等比数列{an}中，a1=﹣16，a4=8，则a7=（　　）
A．﹣4
B．±4
C．﹣2
D．±2
【考点】88：等比数列的通项公式．
【分析】由等比数列的性质可得，a1 a7=a42结合已知可求
【解答】解：由等比数列的性质可得，a1 a7=a42
故选：．
　
5．若a，b，c为实数，则下列命题错误的是（　　）
A．若ac2＞bc2，则a＞b
B．若a＜b＜0，则a2＜b2
C．若a＞b＞0，则＜
D．若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd
【考点】R3：不等式的基本性质．
【分析】根据不等式的基本性质，判断每个选项即可
【解答】解：对于A：若ac2＞bc2，则a＞b，故正确，
对于B：根据不等式的性质，若a＜b＜0，则a2＞b2，故B错误，
对于C：若a＞b＞0，则＞，即＞，故正确，
对于D：若a＜b＜0，c＞d＞0，则ac＜bd，故正确．
故选：B
　
6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（　　）
A．
+
B．1+
C．1+
D．2+
【考点】LB：平面图形的直观图．
【分析】根据斜二测画法还原出原平面图形，求出它的面积即可．
【解答】解：把直观图还原出原平面图形，如图所示；
∴这个平面图形是直角梯形，
它的面积为
S=×（1+1+）×2
=2+．
故选：D．
　
7．数列{an}的通项公式是an=（n∈N
），若前n项的和为，则项数为（　　）
A．12
B．11
C．10
D．9
【考点】8E：数列的求和．
【分析】由已知，an=，l利用裂项相消法求和后，再求出项数n即可．
【解答】解：an=，（n∈N
）
，前n项的和Sn=（）+（）+…（）=1﹣=
当Sn=时解得n=10
故选C．
　
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，计算出几何体的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可知：该几何体是以俯视图为底面的四棱锥，
其底面面积S=×（1+2）×1=，
高h=1，
故棱锥的体积V==，
故选：C
　
9．函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（　　）
A．4
B．5
C．6
D．
【考点】3O：函数的图象．
【分析】根据指数函数的性质得出A点坐标，代入一次函数得出m+n=1，利用基本不等式得出答案．
【解答】解：f（x）=ax﹣1﹣2恒经过点A（1，﹣1），
∴m﹣1=﹣n，即m+n=1．
∴=+=3++≥3+2（当且仅当时取等号）．
故选D．
　
10．在△ABC中，若，，则△ABC的面积等于（　　）
A．1
B．2
C．
D．4
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】由正弦定理可得：sinAcosA=sinBcosB，C=．在R△ABC中，由a2+b2=c2=20，，解得：a，b，即可求得△ABC的面积
【解答】解：解：∵，由正弦定理可得：，
即sinAcosA=sinBcosB，
可得sin2A=sin2B，解得2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或C=．
又∵，∴C=，
在R△ABC中，由a2+b2=c2=20，，
解得：a=4，b=2
则△ABC的面积等于．
故选：D．
　
11．公差不为零的等差数列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比数列，则数列{an}的公差等于（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】设出数列的公差，利用a1+a2+a5=13，求得a1和d关系同时利用a1、a2、a5成等比数列求得a1和d的另一关系式，联立求得d．
【解答】解：设数列的公差为d则
3a1+5d=13①
∵a1、a2、a5成等比数列
∴（a1+d）2=a1（a1+4d）②
①②联立求得d=2
故选B
　
12．定义算式 ：x y=x（1﹣y），若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意x都成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜1
B．0＜a＜2
C．
D．
【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】由已知中算式 ：x y=x（1﹣y），我们可得不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意x都成立，转化为一个关于x的二次不等式恒成立，进而根据二次不等式恒成立的充要条件，构造一个关于a的不等式，解不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：∵x y=x（1﹣y），
∴若不等式（x﹣a） （x+a）＜1对任意x都成立，
则（x﹣a） （1﹣x﹣a）﹣1＜0恒成立
即﹣x2+x+a2﹣a﹣1＜0恒成立
则△=1+4（a2﹣a﹣1）=4a2﹣4a﹣3＜0恒成立
解得
故选D
　
二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．函数的定义域是　（1，2]　．（用区间表示）
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，求解分式不等式得答案．
【解答】解：由≥0，得，即，解得1＜x≤2．
∴函数的定义域是（1，2]．
故答案为：（1，2]．
　
14．在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，则此数列的公比q为　3　．
【考点】89：等比数列的前n项和．
【分析】分q=1，及q≠1，两种情况，结合等比数列的通项公式及求和公式分别表示已知，解方程可求q
【解答】解：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，
若q=1，则，不符合题意
若q≠1
∴
两式相减整理可得，
∴
∴q=3
故答案为：3
法二：∵a5=2S4+3，a6=2S5+3，
两式相减可得，a6﹣a5=2（s5﹣s4）=2a5
即a6=3a5
∴q=3
故答案为：3
　
15．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30m，并在点C处测得塔顶A的仰角为60°，塔高AB为　　．
【考点】HU：解三角形的实际应用．
【分析】先根据三角形内角和为180°，求得∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在Rt△ABC中，根据AB=BCtan∠ACB求得AB
【解答】解：在△BCD中，∠CBD=180°﹣15°﹣30°=135°，
由正弦定理，得=，
所以BC==15
在Rt△ABC中，AB=BC tan∠ACB=15tan
60°=15
（m）．
所以塔高AB为15
m．
　
16．已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，则9x+3y的最小值为　6　．
【考点】7F：基本不等式；9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】利用向量垂直的充要条件列出方程求出x，y满足的方程；利用基本不等式得到函数的最值，检验等号何时取得．
【解答】解：由已知⊥ =0 （x﹣1，2） （4，y）=0 2x+y=2
则9x+3y=，
当且仅当32x=3y，即时取得等号．
故答案为：6
　
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共5小题，共56分）
17．已知a∈R，解关于x的不等式x2﹣（a+2）x+2a≥0．
【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】将不等式因式分解，x2﹣（a+2）x+2a=（x﹣2）（x﹣a）≥0，讨论a与2的大小，可得不等式的解集．
【解答】解：不等式x2﹣（a+2）x+2a≥0．
因式分解：（x﹣2）（x﹣a）≥0，
由方程：（x﹣2）（x﹣a）=0，可得x1=2，x2=a．
当a=2时，得（x﹣2）2≥0，不等式的解集为R．
当a＞2时，得x1＜x2，不等式的解集为{x|x≤2或x≥a}．
当a＜2时，得x1＞x2，不等式的解集为{x|x≤a或x≥2}．
　
18．如图，圆内接四边形ABCD中，AD=DC=2BC=2，AB=3．
（1）求角A和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】NC：与圆有关的比例线段．
【分析】（1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD2=22+32﹣2×2×3×cos∠BAD，BD2=22+12﹣2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π﹣∠BCD）=﹣cos∠BCD．即可得出．
（2）四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD．
【解答】解：（1）分别在△ABD与△BCD中，由余弦定理可得：BD2=22+32﹣2×2×3×cos∠BAD，
BD2=22+12﹣2×2×1×cos∠BCD，又cos∠BAD=cos（π﹣∠BCD）=﹣cos∠BCD．
∴cos∠BAD=．∴∠BAD=．
BD2=13﹣12×=7，解得BD=．
（2）四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=+=2．
　
19．已知a＞b＞c且恒成立，求实数m的最大值．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】设a﹣b=p，b﹣c=q，则a﹣c=p+q，那么不等式转化为，根据不等式的性质即可得解．
【解答】解：法一：由题意，a＞b＞c，a﹣b=p＞0，b﹣c=q＞0，则a﹣c=p+q＞0，那么不等式转化为，
不等式转化为，
可得：
即．（当且仅当q=p时取等号）
∴实数m的最大值为．
法二：由题意，a﹣b＞0，b﹣c＞0，a﹣c＞0，
∴转化为：．
可得：．
分离：
3+2．（当且仅当（a﹣b）=（b﹣c）时取等号）
∴实数m的最大值为3．
　
20．已知正四棱台上、下底面的边长分别为4、10，侧棱长为6．
（1）求正四棱台的表面积；
（2）求正四棱台的体积．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由题意画出图形，求出四棱台的高与斜高．
（1）由上下底面面积加侧面积求得四棱台的表面积；
（2）直接由棱台体积公式求解．
【解答】解：如图，
ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，AB=4，A1B1=10，AA1=6．
在等腰梯形A1B1BA中，过A作AE⊥A1B1，可得，
求得AE=．
连接AC，A1C1，可得AC=，，
过A作AG⊥A1C1，可得．
∴．
（1）正四棱台的表面积S=；
（2）=．
　
21．设数列{an}的前n项和为，数列{bn}的前n项和为Qn=2bn﹣2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【分析】（1）数列{an}的前n项和为，可得n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时，a1=S1=1．可得an．数列{bn}的前n项和为Qn=2bn﹣2．n≥2时，Qn﹣1=2bn﹣1﹣2，相减可得：bn=2bn﹣1．n=1时，b1=Q1=2b1﹣2，解得b1．利用等比数列的通项公式可得bn．
（2），n=1时，c1=，n≥2时，cn==．利用错位相减法即可得出．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为，
∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣1﹣[2（n﹣1）2﹣1]=4n﹣2．
n=1时，a1=S1=1．
∴an=．
数列{bn}的前n项和为Qn=2bn﹣2．
n≥2时，Qn﹣1=2bn﹣1﹣2，可得bn=2bn﹣2bn﹣1，化为：bn=2bn﹣1．
n=1时，b1=Q1=2b1﹣2，解得b1=2．
∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为2．
∴bn=2n．
（2），
n=1时，c1=，n≥2时，cn==．
∴n=1时，T1=c1=．
n≥2时，Tn=++…+．
=+++…++．
∴=+2×++…+﹣=﹣．
∴Tn=﹣．