江苏省如皋市2016-2017学年高二数学下学期期末教学质量调研试题理（含解析）

2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
理科数学试题
填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1.
已知集合，则__________.
【答案】
【解析】由已知可得
.
2.
复数（为虚数单位）的模为______.
【答案】
【解析】
3.
函数的定义域为___________
【答案】
【解析】由已知可得，故答案为.
4.
已知函数，则________.
【答案】
【解析】
.
5.
已知函数，设为的导函数，
根据以上结果，推断_____________.
【答案】
【解析】
.
6.
已知正实数满足，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】由已知可得
，故最小值为
7.
若指数函数的图象过点，则不等式的解集是_________.
【答案】
【解析】设
解集为.
8.
已知满足约束条件，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】
化简，由上图可得当圆与可行域相切时得最小值，故
.
9.
已知函数在处取得极小值，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
，当
时，
为极大值，矛盾；当
时
为极大值；当
时，无极值；当
时
为极小值，故取值范围为.
10.
已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，若，则的大小关系为___________.（用“<”连接）
【答案】
【解析】设
在
是减函数，由
是奇函数是偶函数在
是增函数，又
，又
.
11.
已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】求导
在
上恒成立，即
.
12.
若不等式对任意恒成立，则实数的值______.
【答案】
【解析】当
时，记
；当
时
或，综上
.
13.
已知函数若关于的方程有三个不同的解，其中最小的解为，则的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
令
，又
.
14.
已知函数的图象为曲线C,O为坐标原点，若点P为曲线C上的任意一点，曲线C上存在点Q,使得，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】不妨设
，设
，记
是减函数，由
，故所求集合为
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15.
已知命题：方程有解；命题：函数在R上是单调函数.
（1）当命题为真命题时，求实数的取值范围；
（2）当为假命题，为真命题时，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）由题意得
；（2）由题意得
.
试题解析：（1）由题意得，得.
（2）命题为真命题时实数满足，得，
若为假命题，为真命题时，则实数满足
，得。
16.
已知集合其中，集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
或;(2)
.
【解析】（1）先检验当
，不符合题意，当
时，分和
两种情况建立不等式组，解之即可得正解；（2）先检验当
，符合题意，当
时，分和
两种情况建立不等式组，解之即可得正解.
试题分析：
试题解析：（1）集合
方法一：（1）当时，，不符合题意。
（2）当时，.
①当，即时，
又因为
所以，即，所以
②当，即时，
又因为
所以，即，所以
综上所述：实数的取值范围为：或
方法二：因为，所以对于，
恒成立.
令则
得
所以实数的取值范围为：或
（2）方法一：（1）当时，，符合题意。
（2）当时，.
①当，即时，
又因为
所以
或者
，
即
或者，
所以
②当，即时，
又因为
所以
或者
，
即
或者，
所以
综上所述：实数的取值范围为：
方法（二）令
由得
①
即
所以
②
即
所以
综上所述：实数的取值范围为：
试题分析：
试题解析：
17.
已知函数，其中
（1）当时，求函数在上的值域；
（2）若函数在上的最小值为3，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
.
【解析】试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得
，再分
和
两种情况进行讨论；
试题解析：（1）解：
时，
则
令得列表
+
-
+
单调递增
单调递减
单调递增
21
由上表知函数的值域为
（2）方法一：
①当时，，函数在区间单调递增
所以
即（舍）
②当时，，函数在区间单调递减
所以
符合题意
③当时,
当时，
区间在单调递减
当时，
区间在单调递增
所以
化简得：
即
所以或（舍）
注：也可令
则
对
在单调递减
所以不符合题意
综上所述：实数取值范围为
方法二：
①当时，，函数在区间单调递减
所以
符合题意
…………8分
②当时，，函数在区间单调递增
所以
不符合题意
③当时,
当时，
区间在单调递减
当时，
区间在单调递增
所以
不符合题意
综上所述：实数取值范围为
18.
某地方政府要将一块如图所示的直角梯形ABCD空地改建为健身娱乐广场.已知AD//BC,百米，百米，广场入口P在AB上，且，根据规划，过点P铺设两条相互垂直的笔直小路PM,PN（小路的宽度不计），点M,N分别在边AD,BC上（包含端点），区域拟建为跳舞健身广场，区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设.
（1）求绿化草坪面积的最大值；
（2）现拟将两条小路PNM,PN进行不同风格的美化，PM小路的美化费用为每百米1万元，PN小路的美化费用为每百米2万元，试确定M,N的位置，使得小路PM,PN的美化总费用最低，并求出最小费用.
【答案】(1)
绿化草坪面积的最大值为平方百米;(2)
时总美化费用最低为4万元.
【解析】试题分析：（1）先求得
,再利用均值不等式求得正解；（2）先求得
，
总美化费用为
，再利用导数工具求得正解.
试题解析：（1）在中，，得，
所以
由,
在中，，得，
所以
所以绿化草坪面积
又因为
当且当，即。此时
所以绿化草坪面积的最大值为平方百米.
（2）方法一：在中，，得，
由,
在中，，得，
所以总美化费用为
令得列表如下
-
0
-
单调递减
单调递增
所以当时，即时总美化费用最低为4万元。
方法二：在中，，得，
由,
在中，，得，
所以总美化费用为
令得
所以，
所以在上是单调递减
所以当，时，即时总美化费用最低为4万元。
19.
已知函数是定义在R上的奇函数，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值；
（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若函数在上不存在最值，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析：由
；（2）不等式可化为
，又单调增函数
存在
，使
，利用均值不等式可得
.
(3)化简函数，令
原命题等价于函数
在
上不存在最值成立令
，再利用导数工具求得：.
试题解析：（1）解：因为在定义域上是奇函数，
所以
即恒成立，
所以，此时
（2）
因为
所以
又因为在定义域上是奇函数，
所以
又因为恒成立
所以在定义域上是单调增函数
所以存在，使不等式成立
等价于存在，成立
所以存在，使，即
又因为，当且仅当时取等号
所以，即
注：也可令
①对称轴时，即
在是单调增函数的。
由不符合题意
②对称轴时，即
此时只需得或者
所以
综上所述：实数的取值范围为.
(3)函数
令
则在不存在最值等价于
函数在上不存在最值
由函数的对称轴为得：成立
令
由
所以在上是单调增函数
又因为
，所以实数的取值范围为：
20.
已知函数，其中
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在定义域上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
;(2)
;(3)
.
【解析】试题分析：（1）先求
切线方程（2）求导得，令
，再分
和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；（3）利用分类讨论思想分
和三种情况讨论，借助导数工具求得正解；
试题解析：（1）当则
又则切线的斜率，
所以函数在处的切线方程为．
（2），，则，
令，
①若，则，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；
②若，，该二次函数开口向下，对称轴，，
所以在上有且仅有一根，故，
且当时，，，函数在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减；
所以时，函数在定义域上有且仅有一个极值点，符合题意；
③若，，该二次函数开口向上，对称轴．
（ⅰ）若，即，，故，函数在上单调递增，所以函数在上无极值点，故不符题意，舍去；
（ⅱ）若，即，又，所以方程在上有两根，，故，且
当时，，，函数在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减；
当时，，，函数在上单调递增；
所以函数在上有两个不同的极值点，故不符题意，舍去，
综上所述，实数的取值范围是．
（3）由（2）可知，
①当时，函数在上单调递增，所以当时，
，符合题意，
②当时，，
（ⅰ）若，即，函数在上单调递减，故，不符题意，舍去，
（ⅱ）若，即，故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，（事实上，令，，则，函数在上单调递减，所以，即对任意恒成立．）
所以存在，使得，故不符题意，舍去；
③当时，，函数在上单调递增，所以当时，，符合题意．
综上所述，实数的取值范围是．
2016—2017学年度高二年级第二学期期末教学质量调研
数学附加卷
21.
选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，若，求的值
【答案】
【解析】试题分析：计算
，从而建立方程组，解之便可得正解.
试题解析：由
得
所以
22.
选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线，若直线被曲线C截得的弦长为，求实数的值.
【答案】
【解析】试题分析：利用极径几何意义建立方程组消元建立方程，解之便可得正解.
试题解析：方法一：由得，所以.
方法二：极坐标的极点为坐标原点，以极轴为建立直角坐标系。
由曲线：即得
即
由直线
得
圆心到直线的距离
所以
解得（负舍）
23.
已知函数满足
(1).求函数的解析式；
(2).当时，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
【答案】(1)
;(2)详见解析.
【解析】试题分析：（1）令；（3）计算
，从而猜想：当都有，再利用数学归纳法证明．
试题解析：（1）令，则，
所以，故函数的解析式为．
（2）当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
当时，，，此时
；
猜想：当，，都有．
要证明：当，，都有，
即要证：当，，，
即要证：当，，．
证明：①当时，，，显然，成立；
②假设当时，成立，
那么，当时，，又当时，
，
故，
所以时，结论成立，
由①②，根据数学归纳法可知，当，，都有．
24.
已知函数，其中为自然对数的底数
(1).讨论函数的单调性；
(2).若不等式对任意的恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增;(2)
的最大值为.
【解析】试题分析：（1）求导
，再分
两种情况讨论，并利用导数工具求得正解；（2）由（1）可知，若，无最小值，与题意矛盾，舍去；当
，
在上的最小值为
，原命题转化为
令，再利用导数工具求得
.
试题解析：（1），，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，得，
x
0
↘
极小值
↗
综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可知，若，函数在上单调递增，在上无最小值，与题意矛盾，舍去；
所以，在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为．
因为不等式对任意都成立，
所以，其中，
故，，
令，，，
令，解得，
m
0
↗
极大值
↘
所以，故，
即的最大值为．