课件42张PPT。第一讲 线性变换与二阶矩阵一 线性变换与二阶矩阵(一)几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.理解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换及二阶矩阵的概念.
2.会求几何元素在某变换作用下的像,会求变换公式及对应的二阶矩阵.123456781.线性变换
名师点拨在表达式(*)中,x',y'都是关于x,y的常数项为0的一次式,通常称“一次表达式”为“线性表达式”,所以上述变换称为“线性变换”.答案:(2,11) 12345678名师点拨二阶矩阵仅仅是一个包含两行、两列的数表,它既不是数,也不是代数式.手写矩阵时要注意数与数之间的间距.12345678答案:3 123456783.特殊矩阵
名师点拨1.矩阵通常用大写的英文字母A,B,C…表示.
2.零矩阵和单位矩阵是常用的两个矩阵.12345678【做一做3】 在下列矩阵中,二阶单位矩阵是( )
解析:由二阶单位矩阵的定义知,选C.
答案:C1243567812435678名师点拨1.(x,y)为平面内任意一点的坐标,(x',y')是旋转后的相应点的坐标.
2.α角可正可负,α为正角说明按逆时针方向旋转|α|,α为负角说明是按顺时针方向旋转|α|.12435678123456785.反射变换
平面上的任意一点P变成它关于直线l的对称点P'的线性变换叫做关于直线l的反射.1234567812345678【做一做5】 在直角坐标系xOy内,求任意一点P(x,y)关于直线y=-x 的反射变换的坐标变换公式及相应矩阵.
解:P(x,y)关于直线y=-x的对称点为P'(-y,-x),则坐标变换公式123456786.伸缩变换
在直角坐标系xOy内,将每个点的横坐标变为原来的k1倍,纵坐标变为原来的k2倍,其中k1,k2均为非零常数,称这样的几何变换为伸缩变换.1234567812345678123456787.投影变换
设l是平面内一条给定的直线,对平面内的任意一点P作直线l的垂线,垂足为点P',则称点P'为点P在直线l上的投影.将平面上每一点P变成它在直线l上的投影P',这个变换称为关于直线l的投影变换.1234567812345678【做一做7】 在直角坐标系xOy内,关于直线y=2x的投影变换的矩阵为( )
答案:B1234567812345678名师点拨在直角坐标系xOy内,将每一点P(x,y)沿着与x轴平行的方向平移ky个单位长度变成点P',其中k是非零常数,称这类变换为平行于x轴的切变变换.同理,平行于y轴的切变变换是指直角坐标系内的每一点P(x,y)沿着与y轴平行的方向平移kx个单位长度(其中k是非零常数)的线性变换.12345678题型一题型二题型三题型四题型五题型六【例1】 请写出在平面直角坐标系xOy内,将每一点绕原点O按顺时针方向旋转30°的变换对应的二阶矩阵.
分析:先写出旋转变换公式,再写出二阶矩阵.
解:根据旋转变换公式,题型一题型二题型三题型四题型五题型六反思本题中的旋转变换是按顺时针方向旋转的,所以代入旋转变换坐标公式时,要用负角表示.题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型一题型二题型三题型四题型五题型六反思只要明确了点A、点A'与直线y=kx的关系,此类题可灵活求解,在点A、点A'及直线l中可知二求一.题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型一题型二题型三题型四题型五题型六反思熟记伸缩变换的坐标变换公式及相应的二阶矩阵是解决此类题的金钥匙.题型一题型二题型三题型四题型五题型六【例4】 在直角坐标系xOy内,求关于直线y=3x的投影变换对应的二阶矩阵.
分析:根据投影变换的定义,在关于直线l的投影变换下,点P与它的像P'应满足PP'⊥l,且点P'在直线l上.题型一题型二题型三题型四题型五题型六解:设平面内任一点P(x,y)在关于直线y=3x的投影变换下的对应点为P'(x',y'),则有PP'与直线y=3x垂直,且点P'在直线PP'上,反思解决此类问题,要紧扣概念,依据概念解题. 题型一题型二题型三题型四题型五题型六【例5】 已知一切变变换是将坐标平面内的任意一点(x,y)沿与x轴平行的方向平移2y个单位长度,则点P(1,2)在此变换作用下的像P'为( )
A.(3,2) B.(5,2) C.(-1,2) D.(2,5)
∴点P(1,2)在此变换作用下的像P'为(5,2).
答案:B题型一题型二题型三题型四题型五题型六题型一题型二题型三题型四题型五题型六错因分析:在旋转变换中,把旋转角的旋转方向搞错了,逆时针方向旋转的角代入旋转变换公式时为正角,顺时针方向旋转的角代入旋转变换公式时为负角.123451.在直角坐标系xOy内,将点A(1,2)绕原点按逆时针方向旋转150°后的点的坐标为( )12345解析:设点A绕原点按逆时针方向旋转150°后的点的坐标为(x',y'),
答案:B123452.在直角坐标系xOy内,点P(1,1)在关于直线x=5的反射变换作用下的像为( )
A.(9,1) B.(1,9)
C.(-1,1) D.(1,-1)
解析:点P(1,1)关于直线x=5的对称点为(9,1).
答案:A12345123454.点P(2,3)在关于直线l的投影变换作用下的像为P'(-1,1),则直线l的方程为 .?
答案:3x+2y+1=012345课件18张PPT。(二)变换、矩阵的相等1.理解并掌握变换相等与二阶矩阵相等的概念.
2.会利用变换、矩阵的相等解决简单问题.121.变换相等
一般地,设σ,ρ是同一个直角坐标平面内的两个线性变换.如果对平面内的任意一点P,都有σ(P)=ρ(P),则称这两个线性变换相等,简记为σ=ρ.
知识拓展根据与α角终边相同的角为2kπ+α(k∈Z),它们的三角函数值一定相等,可知旋转变换Rα一定与旋转变换R2kπ+α(k∈Z)相等,即有Rα=R2kπ+α.12122.二阶矩阵相等
对于两个二阶矩阵A和B,如果它们的对应元素都分别相等,则称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B.如何求关于过原点且倾斜角为α的直线l的反射变换的坐标变换公式?
剖析:设平面内点P(x,y)关于直线l的对称点为P'(x',y'),如图所示.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思两个矩阵相等,它们相应位置的对应元素分别相等. 题型一题型二题型三错解:∵矩阵A与矩阵B的所有元素都相同,∴A=B.
错因分析:错解对矩阵相等的概念理解不到位,两个矩阵相等,不仅要求元素相同,还要保证相同元素在相对应的位置上.
正解:∵矩阵A与矩阵B的第一行、第一列的元素不相同,∴A≠B.123451234512345123451234512345课件25张PPT。二 二阶矩阵与平面向量的乘法1.理解列向量、行向量的概念,掌握二阶矩阵与平面向量的乘法法则.
2.会利用二阶矩阵与平面向量的乘法法则,计算矩阵与向量的乘积、求已知点在矩阵A所对应的线性变换下的像的坐标.123名师点拨在本专题中,规定所有的平面向量都写成列向量的形式. 123123名师点拨二阶矩阵A与平面向量α的乘积仍然是一个平面向量,它的第一个分量为A的第一行的元素与α的对应位置元素乘积的和,第二个分量为A的第二行的元素与α的对应位置元素乘积的和.123123123名师点拨二阶矩阵与平面向量的乘法实现了用二阶矩阵和平面向量的乘积表示线性变换的目的,可以用二阶矩阵求出平面内的任意一点在线性变换作用下的像的坐标.123题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三分析:在平面坐标系内,平面内的点与平面向量是一一对应的,故可直接转化成向量求解.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451234512345123451234512345123451234512345课件31张PPT。三 线性变换的基本性质(一)线性变换的基本性质1.理解数乘平面向量和平面向量的加法的概念,掌握线性变换的基本性质1、性质2及定理1.
2.会利用线性变换的性质及定理进行相关的计算,会确定直线在线性变换后的图形,并能解决简单的实际问题.121212122.线性变换的基本性质
(1)性质1.
设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ是一个任意实数,则
①A(λα)=λAα,
②A(α+β)=Aα+Aβ.
名师点拨平面内的两个向量α,β满足数乘交换律和数乘对加法的分配律,即λ1(λ2α)=λ2(λ1α)=(λ1λ2)α和λ(α+β)=λα+λβ,由此联想到矩阵是否也有类似的性质,并加以证明,记忆时可类比联想记忆.12(2)性质2.
二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点).
名师点拨直线作为平面内的特殊图形,经过线性变换变成了直线,特殊情况下变成一点.
(3)定理1.
设A是一个二阶矩阵,α,β是平面上的任意两个向量,λ1,λ2是任意两个实数,则A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ.12A.y=x+2 B.y=2x+3
C.y=3x+2 D.y=-x+212的作用下变成γ'=A(λ1α+λ2β)=λ1Aα+λ2Aβ(λ1,λ2∈R,且λ1+λ2=1).
(1)如果Aα≠Aβ,则由Aα和Aβ的终点确定直线l',即把直线l变为直线l'.
(2)如果Aα=Aβ,则γ'=(λ1+λ2)Aα=Aα,Aα的终点是平面上一个确定的点.所以矩阵所对应的线性变换把平面上的直线变成直线或一点.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四反思本题是利用定理1解决的,也可先利用平面向量的性质进行计算,再结合性质1求出结果.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四分析:先由切变变换的概念写出A,根据直线的性质求出直线l的方程,进而求出A将l变换后的图形其方程.题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四题型一题型二题型三题型四12345123451234512345123451234512345课件24张PPT。(二)一些重要线性变换对单位正方形区域的作用1.了解线性变换(恒等变换、旋转变换、切变变换、反射变换、投影变换)对单位正方形区域的作用.
2.认识矩阵可表示如下的线性变换:恒等、反射、旋转、切变、投影等.1234561.单位正方形区域在线性变换作用下所变成的图形
(1)直角坐标系xOy内的单位正方形区域(如图)可用向量形式表示为x1i+x2j(0≤x1,x2≤1).
(2)设A是一个二阶矩阵,由矩阵与平面向量乘积的性质得A(x1i+x2j)=x1(Ai)+x2(Aj)(0≤x1,x2≤1).该等式的右端表示以Ai,Aj为邻边的平行四边形区域,所以矩阵A所对应的线性变换把(1)中的单位正方形区域,变成以Ai,Aj为邻边的平行四边形区域.123456123456【做一做1】 旋转变换R30°把单位正方形区域x1i+x2j(0≤x1,x2≤1)绕原点按逆时针方向旋转 度,变换后图形的面积为 .?
答案:30 1124356123456123456123456【做一做2】 关于y轴的投影变换,把单位正方形区域x1i+x2j(0≤x1,x2≤1)变为 ,其长度为 .?
答案:线段 11.线性变换对单位正方形区域的作用
剖析:(1)恒等变换,关于x轴、y轴的反射变换以及旋转变换,变换前后正方形区域的形状都未发生改变,只是位置发生了变化.
(2)切变变换把原来的正方形区域变成了一边不动,另一边平移了的平行四边形.
(3)投影变换把正方形区域变成了线段.
2.线性变换对平面区域作用的求解
剖析:(1)当线性变换对由线段组成的图形如三角形、矩形等作用时,只需求出端点的对应点,然后依次连起来即可.
(2)当线性变换对由光滑曲线形成的图形如圆、双曲线等作用时,应借助变换对任一点的作用,利用已知点在曲线上进行求解.题型一题型二题型一题型二题型一题型二题型一题型二分析:应找曲线上任一点在矩阵M对应的变换作用下的像,利用点在曲线上列等式求解.题型一题型二123451.恒等变换I将直线x+2y-1=0变换为( )
A.x+2y-1=0 B.x+2y+1=0
C.x-2y-1=0 D.x-2y+1=0
解析:恒等变换保持原图形不变.
答案:A1234512345123451234512345123451234512345课件27张PPT。本讲整合?专题一专题二专题三专题四专题五专题一 几类特殊线性变换及其二阶矩阵
掌握几类特殊的线性变换,首先要弄清平面内任意一点的坐标与该点在线性变换作用下的像的坐标之间的关系,即线性变换坐标公式,才能写出其对应的二阶矩阵,并记住几类特殊的线性变换及其二阶矩阵.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五应用2下列所给的矩阵将给定的图形变成了什么图形?画图并指出该变换是什么变换?提示:根据矩阵与线性坐标变换之间的关系,求出新的坐标,并判断出变换类型.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题二 矩阵与向量的乘法
线性变换的坐标变换公式可以改写为矩阵的形式,而矩阵如果与向量相乘又可以将矩阵改写成坐标变换公式,即可以直接由矩阵与向量相乘得到平面内任意一点的变换对应点,使用起来较为方便.专题一专题二专题三专题四专题五提示:本题中的△ABC为变换后的图形,应该先分别求出与A,B,C三点相对应的变换前的点的坐标.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五提示:根据题意先写出直线l的方程,再在l上任取一点P(x,y),求得其关于线性变换的对应点P',再代回直线l的方程即可.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题三 几何图形的变换
平面内的点在线性变换的作用下,其坐标发生了变化.如果点在线上,则会引起线发生变化.一些几何图形在不同的线性变换下对应的图形也会发生改变,如单位正方形在不同的线性变换下会得到不同的图形,而直线在线性变换下得到的是一条直线,特殊情况下是一个点.
对于一些由线段组成(或围成)的几何图形来说,只需求各顶点(或各端点)在变换作用下对应的点的坐标即可得到新图形.专题一专题二专题三专题四专题五应用1求把△ABC变换成△A'B'C'的变换对应的矩阵,其中A(-2,1),B(0,1),C(0,-1);A'(-2,-3),B'(0,1),C'(0,-1).
提示:可先设出矩阵,再根据矩阵与向量的乘法进行运算求解.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五提示:要求曲线的方程,需要先在xy=1上任取一点P,找到其在变换作用下的对应点P'.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题四 转化与化归思想的应用
转化与化归是一种重要的数学思想方法,它是从运动、变化、联系、发展的观点来看待问题,“转化”的目的是将问题转化为我们较熟悉的,或者较容易解决的问题.在本讲中,几类特殊的线性变换、二阶矩阵与平面向量的乘法等,都用到了转化思想.专题一专题二专题三专题四专题五专题一专题二专题三专题四专题五专题五 数形结合思想的应用
数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,其关键是代数问题与图形之间的互相转化.本讲中,线性变换对平面单位正方形区域的作用就运用了数形结合思想.专题一专题二专题三专题四专题五提示:只需找出i=(1,0)与j=(0,1)在矩阵A对应的变换作用下变成了哪个向量,即可作出图形.专题一专题二专题三专题四专题五
